江苏省启东市2020届高三上学期期中考试数学试题（含附加题和答案 ）

2019～2020学年第一学期期中素质调研测试
高三数学（Ⅰ）试题
参考公式：柱体的体积公式V＝Sh，其中S为底面面积，h为高；
锥体的体积公式V＝Sh，其中S为底面面积，h为高.
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上．
1． 已知集合，，则 ▲ ．
2． 函数的最小正周期为 ▲ ．
3． “”是“”的 ▲ 条件．（从“充要”，“充分不必要”，“必要不充分”，“既不充分又不必要”中选择一个正确的填写）
4． 在△中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，
则cosB＝ ▲ ．
5． 记Sn是等比数列的前n项和，，，则= ▲ ．
6． 如图所示，长方体ABCD－A1B1C1D1的体积为24，
E为线段B1C上的一点，则棱锥A－DED1的体积为 ▲ ．
7． 已知函数的最小值为，则＝ ▲ ．
8． 已知f(x)是定义在R上的奇函数，满足f(2－x)＝f(x)．
若当0≤x≤1时，f(x)＝2x－cos，则f(2019)＝ ▲ ．
9． 若，，则 ▲ ．
10．如图，在平面四边形中，，，
，E，F分别为边BC，CD的中点，则 ▲ ．
11．在平面直角坐标系xOy中，点A在曲线y＝x3上，该曲线在点A处的切线l与x轴交于点B．若AC⊥x轴，垂足为C，且BC长为1，则切线l的斜率为 ▲ ．
12．已知函数则不等式的解集是 ▲ ．
13．若函数（）有两个不同的零点，
则a的取值范围是 ▲ ．[来源:学科网ZXXK]
14．如图，在△ABC中，D，E是BC上的两个三等分点，
，则的最小值为 ▲ ．
二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．(本小题满分14分)
如图，在四棱锥P－中，底面ABCD是平行四边形，E为棱PD的中点，
平面PAB⊥底面，∠PAB＝90°．求证：
（1）PB∥平面AEC；
（2）平面PAC⊥平面ABCD．
16．(本小题满分14分)
已知a＝，b＝，．
（1）若，求的值；
（2）求函数f(x)＝a·b的单调区间和值域．
17．(本小题满分14分)
已知函数是偶函数．
（1）求的值；
（2）若f(lg x)＜f(1)，求x的取值范围．
18．(本小题满分16分)
如图，某登山队在山脚A处测得山顶B的仰角为45°，沿倾斜角为α（其中tanα＝）的斜坡前进 km后到达D处，休息后继续行驶 km到达山顶B．
（1）求山的高度BE；
（2）现山顶处有一塔CB＝ km．从A到D的登山途中，队员在点P处测得塔的视角为θ(∠CPB＝θ)．若点P处高度PF为x km，则x为何值时，视角θ最大？
19．(本小题满分16分)
已知函数f(x)＝(a∈R)．
（1）当时，求f(x)的极值；
（2）若f(x)在区间内有两个极值点，求实数a的取值范围．
20．(本小题满分16分)
数列的各项均为正数，其前项和为．已知对任意的，存在实数
满足．
（1）若，求的值；
（2）若成等差数列，求证：数列是等差数列．
2019～2020学年第一学期期中素质调研测试
高三数学（Ⅱ）附加题
21．（本小题满分10分）
在空间直角坐标系中，，，，，
点满足．
（1）求点的坐标（用λ表示）；
（2）若，求λ的值．
22．（本小题满分10分）
确定函数，的单调区间．
23．（本小题满分10分）
在直四棱柱中，，，，．
（1）求二面角的余弦值；
（2）试问线段上是否存在点，使得直线平面？
若存在，求线段的长；若不存在，说明理由．

24．（本小题满分10分）
已知，，，．
（1）比较与的大小；
（2）比较与（）大小，并加以证明．
2019～2020第一学期期中学生素质调研测试
高三数学参考答案及评分建议
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．
1． 已知集合，，则 ▲ ．
【答案】
2． 函数的最小正周期为 ▲ ．
【答案】
3． “”是“”的 ▲ 条件．（从“充要”，“充分不必要”，“必要不充分”，“既不充分又不必要”中选择一个正确的填写）
【答案】充分不必要
4． 在△中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，
则cosB＝ ▲ ．
【答案】
5． 记Sn是等比数列的前n项和，，，则= ▲ ．
【答案】
6． 如图所示，长方体ABCD－A1B1C1D1的体积为24，
E为线段B1C上的一点，则三棱锥A－DED1的体积为 ▲ ．
【答案】4
7． 已知函数的最小值为，则＝ ▲ ．
【答案】
8． 已知f(x)是定义在R上的奇函数，满足f(2－x)＝f(x)．若当0≤x≤1时，f(x)＝2x－cos，
则f(2019)＝ ▲ ．
【答案】－2
9． 若，，则 ▲ ．
【答案】
10．如图，在平面四边形中，，，，E，F分别为边BC，CD的中点，则 ▲ ．
【答案】
11．在平面直角坐标系xOy中，点A在曲线y＝x3上，该曲线在点A处的切线l与x轴交于点B．若AC⊥x轴，垂足为C，且BC长为1，则切线l的斜率为 ▲ ．
【答案】27
12．已知函数则不等式的解集是 ▲ ．
【答案】
13．若函数（）有两个不同的零点，则a的取值范围
是 ▲ ．
【答案】
14．如图，在△ABC中，D，E是BC上的两个三等分点，，则的最小值为 ▲ ．
【答案】
二、解答题：本大题共6小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．(本题满分14分)
如图，在四棱锥P－中，底面ABCD是平行四边形，E为棱PD的中点，
平面PAB⊥底面，∠PAB＝90°．求证：
（1）PB∥平面AEC；
（2）平面PAC⊥平面ABCD．
【证】（1）连，交于点，连.
因为底面ABCD是平行四边形，所以为的中点． ……2分
因为E为棱PD的中点，所以， ……4分
又因为平面AEC，平面AEC，
所以PB∥平面AEC. ……8分
（2）因为平面PAB⊥底面，∠PAB＝90°，
平面平面，平面，
所以平面， ……12分
因为平面，
所以平面PAC⊥平面ABCD． ……14分
16．(本题满分14分)
已知a＝，b＝，．
（1）若，求的值；
（2）求函数f(x)＝a·b的单调区间和值域．
【解】（1）因为，所以，
即， ……2分
所以．
因为，所以，
因为，所以，
所以． ……4分
所以
． ……7分
（2）因为
， ……9分
因为，所以，
当，即时，单调递减；
当，即时，单调递增；
故函数的单调增区间，单调减区间． ……12分
由于，所以函数的值域为． ……14分
17．(本题满分14分)
已知函数是偶函数．
（1）求的值；
（2）若f(lg x)＜f(1)，求x的取值范围．
【解】（1）因为是偶函数，所以对任意实数x，有
即
， ……2分
所以对任意实数x成立， ……4分
因为，
所以，即对任意实数x成立，
所以. ……6分
（2）由（1）知，此时，
因为，故不妨设，
任取，
则
， ……8分
因为，，所以，
所以，，
所以，即，
所以在上单调递增， ……10分
因为f(lg x)＜f(1)，所以，
所以，解得． ……14分
18．(本题满分16分)
如图，某登山队在山脚A处测得山顶B的仰角为45°，沿倾斜角为α（其中tanα＝）的斜坡前进 km后到达D处，休息后继续行驶 km到达山顶B．
（1）求山的高度BE；
（2）现山顶处有一塔CB＝ km．从A到D的登山途中，队员在点P处测得塔的视角为θ(∠CPB＝θ)．若点P处高度PF为x km，则x为何值时，视角θ最大？
【解】（1）法一：因为，是锐角，所以，，
所以
， ……2分
在中，过D作，垂足为.
因为，
所以 ……4分
在中，.
所以山的高度为3 km. ……6分
法二：过D作于点G，过D作于点，
在中，，，所以，，
所以，. ……2分
设，在直角中，，
由于，所以， ……4分
因为，所以.
所以山的高度为3 km. ……6分
（2）过P作于，因为，所以，
因为在上，，所以， ……8分
所以，
， ……10分
所以
，，……12分
令，所以，
则，
当且仅当，即时，即时取得最大值.
所以，当km时，视角最大. ……16分
19．(本题满分16分)
已知函数f(x)＝(a∈R)．
（1）当时，求f(x)的极值；
（2）若f(x)在区间内有两个极值点，求实数a的取值范围．
【解】（1）因为，所以f(x)＝，
所以f ′(x)，令得．列表如下．
x
2
f ′(x)
－
0
＋
f(x)[来源:Zxxk.Com]
↘[来源:学科网ZXXK]
极小值
↗
因此，当时，有极小值，无极大值．……4分
（2）因为f ′(x)，
由0＜x＜2，得，
记，
因为f(x)在区间内有两个极值点，
所以g(x)在区间内有两个零点，…………6分
所以且a＞0，
令，则，
①当－lna≤0，即a≥1时，，所以g(x)在(0，2)上单调递减，至多与x轴有一个交点，不满足题意；…………9分
②当－ln a≥2，即0③当0＜－ln a＜2，即时，g(x)在(0，－ln a)上单调递增，
在(－ln a，2)上单调递减；
由g(0)＝－a＜0，要使g(x)在区间内有两个零点，
必须满足解得，
综上所述，实数a的取值范围是. …………16分
20．(本题满分16分)
数列的各项均为正数，其前项和为．已知对任意的，存在实数
满足．
（1）若，求的值；
（2）若成等差数列，求证：数列是等差数列．
【解】（1）因为，所以， ……2分
代入得，，
因为上式对恒成立，所以，
故. ……4分
（2）因为成等差数列，设公差为，则
即 ……6分
，得，

得，，所以或，……8分
1°当时，，所以，
所以，
所以是以为首项，0为公差的等差数列. ……10分
2°当时，则，代入④，①得，，，
所以，，
两式相减得，，
，
所以或， ……12分
因为，成等差数列，
所以，，下面证明对恒成立，
假设成立的最小n值为k，即，显然，
又，
两式相减得，，这与， 矛盾，
因此，，，
所以是以为首项为公差的等差数列.
综合1°2°，数列是等差数列． ……16分
2019～2020学年第一学期期中学生素质调研测试
高三数学（Ⅱ）试题
注　意　事　项
1．本试卷包含解答题（第21题～第24题，共4题）总分40分，考试时间为30分钟．
2．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
21．(本小题满分10分)
在空间直角坐标系中，，，，，
点满足．
（1）求点的坐标（用λ表示）；
（2）若，求λ的值．
【解】（1）因为，， 所以， ……2分
因为，
所以，
所以点的坐标为． ……5分
（2）因为，，
所以，即，
解得． ……10分
22．（本小题满分10分）
确定函数，的单调区间．
【解】， ……4分
令，，又，所以； ……7分
令，，又，所以．
故的单调增区间为，单调减区间为． ……10分
23．（本小题满分10分）
在直四棱柱中，，，，．
（1）求二面角的余弦值；
（2）试问线段上是否存在点，使得直线平面？
若存在，求线段的长；若不存在，说明理由．

【解】（1）在直四棱柱中，平面，因为平面，平面，所以，，因为，所以以为坐标原点，分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示.
依题意可得，0，，，1，，，0，，，，，
，0，，，1，，，0，，．
设为平面的法向量，则
因为，所以
不妨设，可得． ……2分
设为平面的法向量，则
因为，所以
不妨设，可得． ……4分
所以．
由图知，二面角为锐角，
所以二面角的余弦值为． ……6分
（2）假设线段上是否存在点，使得直线平面，则，
设，则，，，．……8分
所以，
所以，不合题意，故舍去．
所以，线段上不存在点，使直线平面．……10分
24．（本小题满分10分）
已知，，，．
（1）比较与的大小；
（2）比较与（）大小，并加以证明.[来源:学。科。网Z。X。X。K]
【解】（1），……2分
因为，所以，
所以，所以. ……4分
（2）结论： ≤，，证明如下：
要证≤，，
只要证，，
只要证，，
因为，
所以只要证，，(＊) ……6分
下面用数学归纳法证明：
①当时, (＊)式成立.
②假设当时，(＊)式成立，即有，
则当时, (＊)式左边＝，
而此时(＊)式右边=，
所以只要证，
只要证，(＊＊)
令，，
因为，
所以在上单调递增，所以,
故(＊＊)式成立.这就是说，当时，(＊)式也成立，
综合①②可知（＊）式成立，
所以≤，成立，得证. ……10分