章末复习 不等式（44张PPT课件+练习）

第3课时　不等式
课后篇巩固提升
基础巩固
1.若a>1>b>0,则下列不等式正确的是(　　)
A.a2lg1b
C.1lna>1lnb D.(a-b)2>(a-b)3
解析由a>1>b>0,知ln a>0,ln b<0,则必有1lna>1lnb.
答案C
2.若集合A={x|x2+x<0},B=x1x<2,则A∪B等于(　　)
A.?
B.(-1,0)∪12,+∞
C.(-∞,0)∪12,+∞
D.(-1,0)
解析由已知得A={x|x2+x<0}={x|-1B=x1x<2=xx<0或x>12,
故A∪B=(-∞,0)∪12,+∞.
答案C
3.已知不等式组x+y≤1,x-y≥-1,y≥0表示的平面区域为M,若直线y=kx-3k与平面区域M有公共点,则k的取值范围是(　　)
A.0,13 B.-∞,13
C.-13,0 D.-∞,-13
解析作出不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示,y=kx-3k=k(x-3)过定点D(3,0),由图象可知直线AD的斜率最小,BD的斜率最大,且kAD=1-00-3=-13,kBD=0.要使直线y=kx-3k与平面区域M有公共点,则-13≤k≤0.
答案C
4.已知函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)在x=-1取得最小值,且一个零点为2,则不等式f(x)>0的解集是(　　)
A.(-4,2)
B.(-2,4)
C.(-∞,-4)∪(2,+∞)
D.(-∞,-2)∪(4,+∞)
解析依题意,f(x)是二次函数,其图象是抛物线,开口向上,对称轴的方程为x=-1,方程ax2+bx+c=0的一个根是2,另一个根是-4,因此f(x)=a(x+4)(x-2)(a>0),于是f(x)>0即为(x+4)(x-2)>0,解得x>2或x<-4.
答案C
5.若a>1,则a+a+1a-1的最小值等于(　　)
A.3 B.2 C.1 D.22
解析a+a+1a-1=a+a+1(a+1)(a-1)=a+1a-1=a-1+1a-1+1.因为a>1,所以a-1>0,于是a-1+1a-1+1≥2(a-1)·1a-1+1=3,当且仅当a-1=1a-1,即a=4时,取最小值3.
答案A
6.不等式x-1x≥2的解集为　　　　　.?
解析不等式可化为x-1x-2≥0,即-x-1x≥0,所以x(x+1)≤0,x≠0,解得-1≤x<0.
答案[-1,0)
7.若对任意的x>1,x2+3x-1≥a恒成立,则a的最大值是　　　　　.?
解析由于x>1,所以x-1>0,
于是x2+3x-1=(x-1)2+2(x-1)+4x-1=x-1+4x-1+2≥2(x-1)·4x-1+2=6,当且仅当x=3时,取等号.故x2+3x-1的最小值为6,因此a≤6,a的最大值是6.
答案6
8.已知变量x,y满足约束条件y≤3x-2,x-2y+1≤0,2x+y≤8,若y=kx-1,则k的取值范围为　　　　　.?
解析作出不等式组y≤3x-2,x-2y+1≤0,2x+y≤8表示的可行域如图阴影部分所示.由y=kx-1可得k=y+1x,则k的几何意义是可行域内的点P(x,y)与定点E(0,-1)的连线的斜率.由图可知当点P在点B处时,k取得最小值;当点P在点C处时,k取得最大值.由x-2y+1=0,2x+y=8,解得B(3,2);由y=3x-2,2x+y=8,解得C(2,4).由于kBE=2-(-1)3=1,kCE=4-(-1)2=52,
所以k∈1,52.
答案1,52
9.某工厂生产某种产品,每日的成本C(单位:万元)与日产量x(单位:吨)满足函数关系式C=3+x,每日的销售额R(单位:万元)与日产量x满足函数关系式S=3x+kx-8+5(0(1)求k的值.
(2)当日产量为多少吨时,每日的利润可以达到最大?并求出最大值.
解(1)由题意可得L=2x+kx-8+2,0因为当x=2时,L=3,所以3=2×2+k2-8+2,
所以k=18.
(2)当0所以L=2(x-8)+18x-8+18=-2(8-x)+188-x+18≤-22(8-x)·188-x+18=6,
当且仅当2(8-x)=188-x,即x=5时取等号.
当x≥6时,L=11-x≤5,
所以当x=5时,L取得最大值6.
故当日产量为5吨时,每日的利润可以达到最大值6万元.
10.已知a>0,b>0,且a+b=2.
(1)求2a+8b的最小值及其取得最小值时a,b的值;
(2)求证:a2+b2≥2.
(1)解因为a>0,b>0,且a+b=2,
所以2a+8b=12(a+b)·2a+8b=(a+b)·1a+4b=5+ba+4ab≥5+2ba×4ab=9,
当且仅当a=23,b=43时,等号成立.
故2a+8b的最小值为9,此时a=23,b=43.
(2)证明因为a>0,b>0,且a+b=2,
所以2(a2+b2)≥(a+b)2=4,
故a2+b2≥2,当且仅当a=b=1时,取等号.
能力提升
1.已知a,b∈R,若a+|b|<0,则下列不等式正确的是(　　)
A.a-b>0 B.a3+b3>0
C.a2-b2<0 D.a+b<0
解析当b≥0时,a+b<0;当b<0时,a-b<0,所以a答案D
2.关于x的不等式x2-4ax+3a2<0(a>0)的解集为(x1,x2),则x1+x2+ax1x2的最小值是(　　)
A.63 B.233 C.433 D.263
解析依题意可得x1+x2=4a,x1·x2=3a2,所以x1+x2+ax1x2=4a+a3a2=4a+13a≥24a·13a=433,当且仅当4a=13a时,取等号.故x1+x2+ax1x2的最小值为433.
答案C
3.已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x<0时,f(x)=-x2-4x,则不等式f(3x)≤-3的解集为(　　)
A.[1,3] B.[0,1] C.[-3,-1] D.[3,27]
解析设x>0,则-x<0,于是f(-x)=-(-x)2-4(-x)=-x2+4x,而f(x)是奇函数,所以-f(x)=-x2+4x,因此f(x)=x2-4x(x>0).令3x=t>0,所以t2-4t≤-3,解得1≤t≤3,即1≤3x≤3,解得0≤x≤1.
答案B
4.若2m+2n<4,则点(m,n)必在(　　)
A.直线x+y-2=0的左下方
B.直线x+y-2=0的右上方
C.直线x+2y-2=0的右上方
D.直线x+2y-2=0的左下方
解析因为2m+2n≥2·2m·2n,所以4>22m·2n,即2m+n<4,
所以m+n<2,即m+n-2<0,
所以点(m,n)必在直线x+y-2=0的左下方.
答案A
5.若不等式1+4x2+x?kx≥0对一切x>0恒成立,则实数k的取值范围是　　　　　.?
解析由于x>0,所以不等式可化为k≤x+4x+1.令g(x)=x+4x+1,则g(x)=x+1+4x+1-1≥2(x+1)4x+1-1=3,当且仅当x+1=4x+1,即x=1时,g(x)取最小值3.故实数k的取值范围是k≤3.
答案k≤3
6.已知一元二次不等式ax2+2x+b>0的解集为xx≠-1a,且a>b,则a2+b2a-b的最小值为　　　　　.?
解析由已知可得方程ax2+2x+b=0有两个相等的实数根,于是Δ=4-4ab=0,则ab=1.所以a2+b2a-b=(a-b)2+2aba-b=(a-b)+2a-b≥2(a-b)·2a-b=22,当且仅当a-b=2时,取等号.故a2+b2a-b的最小值为22.
答案22
7.已知不等式x(ax-1)>a(x-1),其中a∈R.
(1)当a=12时,解不等式;
(2)若不等式在R上恒成立,求实数a的取值范围.
解(1)当a=12时,不等式即为x12x-1>12(x-1),即x2-3x+1>0,
解得x>3+52或x<3-52.故不等式的解集为3+52,+∞,-∞,3-52.
(2)不等式x(ax-1)>a(x-1)可化为ax2-(a+1)x+a>0,
显然当a=0时,不合题意;
因此应有a>0,(a+1)2-4a2<0,解得a>1.故a的取值范围是(1,+∞).
8.某房地产开发公司计划在一小区内建造一个长方形公园ABCD,公园由长方形A1B1C1D1的休闲区和环公园的人行道(阴影部分)组成.已知休闲区A1B1C1D1的面积为4 000 m2,人行道的宽分别为4 m和10 m(如图所示).
(1)若设休闲区的长A1B1和宽B1C1的比值为x(x>1),求公园ABCD所占面积S关于x的函数S(x)的解析式;
(2)要使公园ABCD所占面积最小,休闲区A1B1C1D1的长和宽该如何设计?
解(1)设休闲区的宽为a m,则其长为ax m.由a2x=4 000,得a=2010x.所以S(x)=(a+8)(ax+20)=a2x+(8x+20)a+160=4 000+(8x+20)·2010x+160=80102x+5x+4 160(x>1).
(2)S(x)≥8010×22x×5x+4 160=1 600+4 160=5 760,当且仅当2x=5x,即x=52时,取等号,此时a=40,ax=100.故要使公园ABCD所占面积最小,休闲区A1B1C1D1应设计为长100 m,宽40 m.
课件44张PPT。第3课时　不等式知识网络要点梳理思考辨析知识网络要点梳理思考辨析知识网络要点梳理思考辨析1.不等式的基本性质
(1)对称性:a>b?b(2)传递性:a>b,b>c?a>c.
(3)可加性:a>b?a+c>b+c.
(4)可乘性:a>b,c>0?ac>bc;a>b,c<0?ac(5)加法法则:a>b,c>d?a+c>b+d.
(6)乘法法则:a>b>0,c>d>0?ac>bd.
(7)乘方法则:a>b>0?an>bn(n∈N,n≥2).知识网络要点梳理思考辨析2.一元二次不等式的解法 知识网络要点梳理思考辨析3.一元二次不等式恒成立的条件 注意:在解决不等式ax2+bx+c>0(或≥0)对于一切x∈R恒成立问题时,当二次项系数含有字母时,需要对二次项系数a进行讨论,并研究当a=0时是否满足题意.知识网络要点梳理思考辨析4.二元一次不等式(组)表示的平面区域与线性规划问题
(1)二元一次不等式(组)表示的平面区域:直线定界,特殊点定域.
(2)线性规划问题:
求线性目标函数z=ax+by(ab≠0)的最值,当b>0时,直线过可行域且在y轴上的截距最大时,z值最大,在y轴上的截距最小时,z值最小;当b<0时,直线过可行域且在y轴上的截距最大时,z值最小,在y轴上的截距最小时,z值最大.
(3)线性约束条件下的非线性目标函数的最值问题:距离型:z=(x-a)2+(y-b)2,它表示可行域内的点(x,y)与点(a,b)之间距离的平方.结合可行域及目标函数表示的几何意义求最值即可.知识网络要点梳理思考辨析5.基本不等式及有关结论 且仅当a=b时,等号成立,即正数a与b的算术平均数不小于它们的几何平均数.
(2)重要不等式:若a∈R,b∈R,则a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时,等号成立.
(3)几个常用的重要结论:知识网络要点梳理思考辨析6.利用基本不等式求最值
已知x>0,y>0,则注意:①求最值时要注意:“一正”“二定”“三相等”.所谓“一正”指正数,“二定”是指应用定理求最值时,和或积为定值,“三相等”是指等号成立.
②连续使用基本不等式时,注意等号要同时成立.知识网络要点梳理思考辨析判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.(2)若不等式a(x-2)(x+1)>0的解集是(-1,2),则a<0. (　　)
(3)若a+c>b+d,则必有a>b,c>d. (　　)
(4)关于x,y的不等式ax+by+c>0表示的平面区域是直线ax+by+c=0的上方. (　　)
(5)若关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)没有实数根,则关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为R. (　　)答案:(1)×　(2)√　(3)×　(4)×　(5)×　(6)× 专题归纳高考体验专题一　不等式的性质及其应用 答案:C 专题归纳高考体验反思感悟判断关于不等式的命题真假的三种方法
1.直接运用不等式的性质:把要判断的命题和不等式的性质联系起来考虑,找到与命题相近的性质,然后进行推理判断.
2.利用函数的单调性:当利用不等式的性质不能比较大小时,可以利用指数函数、对数函数、幂函数的单调性等进行判断.
3.特殊值验证法:给要判断的几个式子中涉及的变量取一些特殊值,然后进行比较、判断.专题归纳高考体验变式训练1已知a>b,c>d,且c,d不为0,则下列不等式成立的是(　　)
A.ad>bc B.ac>bd
C.a-c>b-d D.a+c>b+d
解析:由不等式的性质易知选项D正确.
答案:D专题归纳高考体验专题二　一元二次不等式的解法及其应用
例2已知f(x)=-3x2+a(6-a)x+6.
(1)解关于a的不等式f(1)>0;
(2)若不等式f(x)>b的解集为(-1,3),求实数a,b的值;
(3)若不等式f(x)+a2x-12<0对一切x∈R恒成立,求实数a的取值范围.
分析:(1)利用一元二次不等式的一般解法求解;(2)根据一元二次不等式的解集与相应方程根的关系求解;(3)利用判别式求解.专题归纳高考体验专题归纳高考体验3.解含参数的一元二次不等式,可先考虑因式分解,再对根的大小进行分类讨论;若不能因式分解,则可对判别式进行分类讨论,分类要不重不漏.专题归纳高考体验变式训练2解关于x的不等式(m+3)x2+2mx+m-2>0(m∈R). 专题归纳高考体验专题归纳高考体验专题三　与线性规划有关的问题 专题归纳高考体验专题归纳高考体验专题归纳高考体验专题归纳高考体验反思感悟1.求目标函数的最值的一般步骤为:一作图、二平移、三求值.其关键是准确作出可行域,理解目标函数的意义.
2.常见的目标函数有:
(1)截距型:形如z=ax+by.求这类目标函数的最值时常将函数专题归纳高考体验专题归纳高考体验解析:先作出不等式组表示的平面区域,如图阴影部分所示.
要使阴影部分为直角三角形,且必有BC⊥AB.
因为x+y-4=0的斜率为-1,
所以直线kx-y=0的斜率为1,即k=1,故选A.
答案:A专题归纳高考体验专题四　基本不等式及其应用 专题归纳高考体验专题归纳高考体验反思感悟利用基本不等式求最值的方法
1.利用基本不等式解决条件最值的关键是构造和为定值或积为定值,主要有两种思路:
(1)对条件使用基本不等式,建立所求目标函数的不等式求解.
(2)条件变形,进行“1”的代换求目标函数的最值.
2.有些题目虽然不具备直接用基本不等式求最值的条件,但可以通过添项、分离常数、平方等手段使之能运用基本不等式.常用的方法还有:拆项法、变系数法、凑因子法、换元法、整体代换法等.专题归纳高考体验专题归纳高考体验考点一　不等式的性质
1.(2019·全国Ⅱ高考)若a>b,则(　　)
A.ln(a-b)>0 B.3a<3b
C.a3-b3>0 D.|a|>|b|
解析:取a=2,b=1,满足a>b.但ln(a-b)=0,排除A;
∵3a=9,3b=3,∴3a>3b,排除B;∵y=x3是增函数,a>b,∴a3>b3,故C正确;取a=1,b=-2,满足a>b,但|a|<|b|,排除D.故选C.
答案:C
2.(2017·北京高考)能够说明“设a,b,c是任意实数,若a>b>c,则a+b>c”是假命题的一组整数a,b,c的值依次为　　　　　.?
解析:答案不唯一,如令a=-1,b=-2,c=-3,则a>b>c,而a+b=-3=c,能够说明“设a,b,c是任意实数,若a>b>c,则a+b>c”是假命题.
答案:-1,-2,-3(答案不唯一)专题归纳高考体验考点二　不等式的解法
3.(2016·全国高考乙卷)设集合A={x|x2-4x+3<0},B={x|2x-3>0},则A∩B=(　　)答案:D 专题归纳高考体验4.(2019·天津高考)设x∈R,使不等式3x2+x-2<0成立的x的取值范围为　　　　　　　.?专题归纳高考体验考点三　线性规划问题 数z=-4x+y的最大值为 (　　)
A.2 B.3 C.5 D.6解析:画出可行域如图,平移目标函数z=-4x+y可知过点A时取得最大值,得A(-1,1).
∴zmax=-4×(-1)+1=5.故选C.
答案:C专题归纳高考体验z=3x+2y的最大值是(　　)
A.-1 B.1 C.10 D.12
解析:在平面直角坐标系内画出题中的不等式组表示的平面区域为以(-1,1),(1,-1),(2,2)为顶点的三角形区域(包含边界),由图易得当直线z=3x+2y经过平面区域内的点(2,2)时,z=3x+2y取得最大值zmax=3×2+2×2=10.
答案:C专题归纳高考体验的最小值是(　　)
A.-15 B.-9 C.1 D.9
解析:画出不等式组所表示的平面区域如图所示,结合目标函数z=2x+y的几何意义,可得z在点B(-6,-3)处取得最小值,即zmin=-12-3=-15,故选A.答案:A 专题归纳高考体验z=3x-y的最大值是　　　　　.?
解析:画出可行域为图中阴影部分,z=3x-y表示直线3x-y-z=0的纵截距的相反数,当直线3x-y-z=0过点C(3,0)时,z取得最大值9.答案:9 专题归纳高考体验的最大值为　　　　.?
解析:作出可行域,如图阴影部分所示(包括边界).答案:6 专题归纳高考体验答案:3 专题归纳高考体验11.(2016·全国高考乙卷)某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A需要甲材料1.5 kg,乙材料1 kg,用5个工时;生产一件产品B需要甲材料0.5 kg,乙材料0.3 kg,用3个工时.生产一件产品A的利润为2 100元,生产一件产品B的利润为900元.该企业现有甲材料150 kg,乙材料90 kg,则在不超过600个工时的条件下,生产产品A、产品B的利润之和的最大值为　　　　　元.?专题归纳高考体验所以zmax=2 100×60+900×100=216 000.
答案:216 000专题归纳高考体验考点四　基本不等式 A.2 B.3 C.4 D.5 答案:C 专题归纳高考体验答案:C 专题归纳高考体验答案:B 专题归纳高考体验第三章测评
(时间:120分钟　满分:150分)
一、选择题(每小题5分,共60分)
1.若aA.1a>1b B.a3>b3
C.a2>b2 D.ba+ab>2
解析因为a答案B
2.若x>-2,且x≠0,则1x的取值范围是(　　)
A.-∞,-12
B.-12,0
C.(0,+∞)∪-12,0
D.(0,+∞)∪-∞,-12
解析因为x>-2,且x≠0,所以当x>0时,有1x>0;当-2答案D
3.不等式4+3x-x2<0的解集为(　　)
A.{x|-14或x<-1}
C.{x|x>1或x<-4} D.{x|-4解析不等式4+3x-x2<0可化为x2-3x-4>0,即(x+1)(x-4)>0,解得x>4或x<-1.故不等式的解集为{x|x>4或x<-1}.
答案B
4.若点(x,y)位于曲线y=|x|与y=2所围成的封闭区域内,则2x-y的最小值是(　　)
A.-6 B.-2 C.0 D.2
解析曲线y=|x|与y=2围成的封闭区域为Rt△AOB及其内部(如图阴影部分).
设2x-y=z,则y=2x-z,要使z最小,则-z最大,当直线y=2x-z经过点B(-2,2)时,-z最大,即zmin=2×(-2)-2=-6.故选A.
答案A
5.已知x<0,则函数y=4x+3x有(　　)
A.最大值43 B.最大值-43
C.最小值43 D.最小值-43
解析因为x<0,所以(-4x)+-3x≥2(-4x)·-3x=43,当且仅当x=-32时,取等号.于是y=4x+3x≤-43,即函数有最大值-43.
答案B
6.已知变量x,y满足约束条件x+2y-4≤0,3x+y-3≥0,x-y-1≤0,则z=yx+1的最大值为(　　)
A.97 B.13 C.0 D.2
解析可行域如图阴影部分所示,z=yx+1的几何意义是可行域内的点与点(-1,0)的连线的斜率.由图知,当连线经过点A时,目标函数取得最大值.由x+2y-4=0,3x+y-3=0,可得A25,95,则z=yx+1的最大值是9525+1=97.
答案A
7.已知函数f(x)=x2+ax-3a-9对任意的x∈R恒有f(x)≥0,则f(1)等于(　　)
A.6 B.5 C.4 D.3
解析依题意得a2-4(-3a-9)≤0,即a2+12a+36≤0,(a+6)2≤0,所以a=-6.所以f(x)=x2-6x+9,f(1)=4,故选C.
答案C
8.若正实数a,b满足a+b=1,则(　　)
A.1a+1b有最大值4
B.ab有最小值14
C.a+b有最大值2
D.a2+b2有最小值22
解析因为a+b=1,所以1a+1b=2+ba+ab≥4,当且仅当a=b=12时,取等号.故A错误;因为1=a+b≥2ab,则ab≤14,当且仅当a=b=12时,取等号.故B错误;由于1=a+b≥(a+b)22,所以a+b≤2,当且仅当a=b=12时,取等号.故C正确;因为a2+b2≥(a+b)22=12,当且仅当a=b=12时,取等号.所以D错误.
答案C
9.当x>0时,x2+mx+4≥0恒成立,且关于t的不等式t2+2t+m≤0有解,则实数m的取值范围是(　　)
A.[1,+∞)
B.[-4,1]
C.(-∞,-4]∪[1,+∞)
D.(-∞,-4]
解析∵当x>0时,x2+mx+4≥0恒成立,
∴m≥-x+4x.
∵x+4x≥2x·4x=4,当且仅当x=2时取等号,∴m≥-4.
∵关于t的不等式t2+2t+m≤0有解,
∴Δ=4-4m≥0,
∴m≤1.
故实数m的取值范围是[-4,1].故选B.
答案B
10.已知x,y满足约束条件2x+y-3≥0,x+2y-6≤0,y≥x,若z=y-kx取得最小值的最优解不唯一,则实数k的值为(　　)
A.12或1 B.-2或-12
C.-12或1 D.-2或1
解析作出不等式组所表示的平面区域,如图阴影部分所示,当直线z=y-kx与直线2x+y-3=0重合时,目标函数z取得最小值的最优解不唯一,此时k=-2;当直线z=y-kx与直线y=x重合时,目标函数z取得最小值的最优解不唯一,此时k=1.故实数k的值为-2或1.
答案D
11.已知x>0,y>0,若2yx+8xy>m2+2m恒成立,则实数m的取值范围是(　　)
A.m≥4或m≤-2
B.m≥2或m≤-4
C.-2D.-4解析∵x>0,y>0,∴2yx+8xy≥8当且仅当2yx=8xy时,等号成立　　.∵2yx+8xy>m2+2m恒成立,∴m2+2m<8恒成立,解得-4答案D
12.已知x,y满足约束条件3x-y-6≤0,x-y+2≥0,x≥0,y≥0,若目标函数z=ax+by(a>0,b>0)的最大值为6,则4a+6b的最小值为(　　)
A.256 B.253 C.356 D.503
解析不等式组表示的可行域如图中的阴影部分所示.根据目标函数所表示的直线的斜率是负值,可知目标函数只在点A处取得最大值,故实数a,b满足4a+6b=6,即2a+3b=3,从而4a+6b=13(2a+3b)4a+6b=1326+12ba+12ab≥13(26+24)=503,当且仅当a=b时取等号.从而4a+6b的最小值为503.故选D.
答案D
二、填空题(每小题5分,共20分)
13.不等式x-1x≥2的解集是　　　　　　　　　　.?
解析不等式可化为x-1x-2≥0,即x+1x≤0,所以-1≤x<0.故不等式的解集为{x|-1≤x<0}.
答案{x|-1≤x<0}
14.若实数x,y满足x-y+1≥0,x+y≥0,x≤0,则z=3x+2y的值域是　　　　.?
解析作出不等式组所表示的平面区域(如图阴影部分所示),令x+2y=t,由图形可知,当直线x+2y=t经过点A-12,12时,t取得最小值12;当直线x+2y=t经过点B(0,1)时,t取得最大值2,即12≤t≤2.故z=3x+2y的值域是[3,9].
答案[3,9]
15.若log2x=-log2(2y),则x+2y的最小值是　　　　.?
解析由已知得log2x+log2(2y)=0,因此2xy=1.由题意知x,y>0,所以x+2y≥22xy=2,当且仅当x=1,y=12时,取等号.
答案2
16.某火锅底料厂用辣椒、花椒等原材料由甲车间加工水煮鱼火锅底料,由乙车间加工麻辣鱼火锅底料.甲车间加工1吨原材料需10小时,可加工出140箱水煮鱼火锅底料,每箱可获利80元;乙车间加工1吨原材料需6小时,可加工出80箱麻辣鱼火锅底料,每箱可获利100元.若甲、乙两车间每天共能完成至多7吨原料的加工,每天甲、乙两车间耗时总和不得超过48小时,则甲、乙两车间每天总获利的最大值为　　　　元.?
解析设甲车间加工原材料x吨,乙车间加工原材料y吨,甲、乙两车间每天总获利为z元,则x≥0,y≥0,x+y≤7,10x+6y≤48,目标函数z=11 200x+8 000y,作出可行域,如图阴影部分所示.当z=11 200x+8 000y对应的直线过直线x+y=7与10x+6y=48的交点A时,目标函数z=11 200x+8 000y取得最大值.由x+y=7,10x+6y=48,得x=1.5,y=5.5.故zmax=11 200×1.5+8 000×5.5=60 800,即甲、乙两车间每天总获利的最大值为60 800元.
答案60 800
三、解答题(共6小题,共70分)
17.(本小题满分10分)已知关于x的不等式ax2+x+c>0的解集为{x|1(1)求实数a,c的值;
(2)若关于x的不等式ax2+2x+4c>0的解集为A,关于x的不等式3ax+cm<0的解集为B,且A?B,求实数m的取值范围.
解(1)由题意知1,3是关于x的方程ax2+x+c=0的两个根,且a<0,所以a<0,1+3=-1a,1×3=ca,解得a=-14,c=-34.
(2)由(1)得a=-14,c=-34,所以ax2+2x+4c>0,即为-14x2+2x-3>0,解得2又因为3ax+cm<0,即为x+m>0,解得x>-m,所以B=(-m,+∞).
因为A?B,所以-m≤2,即m≥-2.
故实数m的取值范围是[-2,+∞).
18.(本小题满分12分)已知关于x的不等式x2-2ax+1≥0,其中a∈R.
(1)解该不等式;
(2)若不等式对任意的x≥12恒成立,求实数a的取值范围.
解(1)当Δ=4a2-4≤0,即-1≤a≤1时,不等式的解集为R;
当Δ=4a2-4>0,即a>1或a<-1时,关于x的方程x2-2ax+1=0有两个不等的实数根,x1=a+a2-1,x2=a-a2-1,且x1>x2,不等式的解集为x≥x1或x≤x2.
综上,当-1≤a≤1时,不等式的解集为R;当a>1或a<-1时,不等式的解集为x|x≥a+a2-1或x≤a-a2-1.
(2)关于x的不等式x2-2ax+1≥0对任意的x≥12恒成立,即2ax≤x2+1,所以2a≤x2+1x.
由于x≥12,所以x2+1x=x+1x≥2,当且仅当x=1时,取等号,故x2+1x的最小值为2,要使不等式恒成立,应满足2a≤2,即a≤1.
19.(本小题满分12分)某地区要建造一条防洪堤,其横断面为等腰梯形,腰与底边所成的角为60°(如图所示),考虑到防洪堤的坚固性及石块用料等因素,设计其横断面要求面积为93 m2,且高度不低于3 m.问防洪堤横断面的腰长AB为多少时,横断面的外周长(AB+BC+CD)最小,并求最小外周长.
解设腰长AB=x m,横断面的高度为h m,外周长为y m,
则有93=12(AD+BC)h,其中AD=BC+2·x2=BC+x,h=32x,
所以93=12(2BC+x)·32x,解得BC=18x?x2.
由h=32x≥3,BC=18x-x2>0,得2≤x<6.
所以y=BC+2x=18x+32x(2≤x<6).
由y=18x+32x≥218x·3x2=63,
当且仅当18x=32x,
即x=23时等号成立.
故外周长AB+BC+CD的最小值为63 m,此时腰长AB为23 m.
20.(本小题满分12分)某企业生产甲、乙两种产品,已知生产每吨甲产品要用A原料3吨、B原料2吨;生产每吨乙产品要用A原料1吨,B原料3吨.销售每吨甲产品可获得利润5万元,销售每吨乙产品可获得利润3万元.该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨,B原料不超过18吨.如何安排生产,使该企业可获得最大利润?最大利润为多少?
解设该企业生产甲产品为x吨,乙产品为y吨,该企业获得的利润为z万元,
则z=5x+3y,且x,y满足x≥0,y≥0,3x+y≤13,2x+3y≤18.画出不等式组表示的可行域如图阴影部分所示.
联立3x+y=13,2x+3y=18,解得x=3,y=4.将z=5x+3y化为y=-53x+z3.由图可知,当直线y=-53x+z3经过点P(3,4)时,直线在y轴上的截距最大,即z最大,且z的最大值为z=5×3+3×4=27.故该企业生产甲产品3吨,乙产品4吨时,可获得最大利润,最大利润为27万元.
21.(本小题满分12分)已知x,y满足x≥0,y≤x,2x+y+k≤0.
(1)若y≥0,且k=-4时,求不等式组表示的平面区域的面积;
(2)若z=x+3y的最大值为12,试求k的值.
解(1)画出不等式组表示的平面区域(如图①中的阴影部分),求得点A43,43,B(2,0).
①
于是所求的平面区域的面积为S=12×2×43=43.
(2)由于k的不同取值将影响不等式所表示的平面区域,故应对k的取值进行讨论:
若k≥0,在平面直角坐标系中画出不等式组所表示的平面区域(如图②中的阴影部分),由于z=x+3y,所以y=-13x+13z,因此当直线y=-13x+13z经过平面区域中的点A(0,-k)时,z取到最大值,且zmax=-3k.令-3k=12,得k=-4,这与k≥0相矛盾,舍去.
②
若k<0,在平面直角坐标系中画出不等式组所表示的平面区域(如图③中的阴影部分),由图知当直线y=-13x+13z经过平面区域中的点A'-k3,-k3时,z取到最大值,且zmax=-4k3.令-4k3=12,得k=-9.
综上,所求k的值为-9.
③
22.(本小题满分12分)已知函数f(x)=x2-2ax-1+a,a∈R.
(1)若a=2,试求函数y=f(x)x(x>0)的最小值;
(2)对于任意的x∈[0,2],不等式f(x)≤a成立,试求a的取值范围.
解(1)依题意得y=f(x)x=x2-4x+1x=x+1x-4.
因为x>0,所以x+1x≥2.
当且仅当x=1x,即x=1时,等号成立.
所以y≥-2.
故当x=1时,y=f(x)x的最小值为-2.
(2)因为f(x)-a=x2-2ax-1,所以要使得“任意的x∈[0,2],不等式f(x)≤a成立”只要“x2-2ax-1≤0在[0,2]上恒成立”.不妨设g(x)=x2-2ax-1,
则只要g(x)≤0在[0,2]上恒成立.
所以g(0)≤0,g(2)≤0,即0-0-1≤0,4-4a-1≤0,
解得a≥34.所以a的取值范围是34,+∞.