第一章解三角形
1.1 正弦定理和余弦定理
1.1.1 正弦定理
课后篇巩固提升
基础巩固
1.在△ABC中,已知a=8,B=60°,C=75°,则b等于( )
A.46 B.45 C.43 D.223
解析∵A+B+C=180°,又B=60°,C=75°,
∴A=180°-B-C=45°.由正弦定理asinA=bsinB,得b=asinBsinA=8sin60°sin45°=46.故选A.
答案A
2.在△ABC中,若a=3,b=3,A=π3,则角C的大小为 ( )
A.π6 B.π4 C.π3 D.π2
解析由正弦定理asinA=bsinB,得sin B=bsinAa=3sinπ33=12.因为a>b,所以A>B,所以B=π6,所以C=π-π3?π6=π2.
答案D
3.在△ABC中,角A,C的对边分别为a,c,C=2A,cos A=34,则ca的值为( )
A.2 B.12 C.32 D.1
解析由正弦定理,得ca=sinCsinA=sin2AsinA=2sinAcosAsinA=2cos A=2×34=32.
答案C
4.在△ABC中,已知BC=2AC,B∈π6,π4,则角A的取值范围为( )
A.π4,π2 B.π4,π2
C.π4,3π4 D.π4,3π4
解析∵BC=2AC,∴sin A=2sin B.
∵B∈π6,π4,∴sin B∈12,22,
∴sin A∈22,1,∴在△ABC中,A∈π4,3π4.
答案D
5.已知△ABC外接圆的半径为1,则sin A∶BC=( )
A.1∶1 B.2∶1 C.1∶2 D.无法确定
解析由正弦定理,得BCsinA=2R=2,
所以sin A∶BC=1∶2.
答案C
6.△ABC中,若sinAa=cosBb=cosCc,则该三角形一定是 ( )
A.等腰直角三角形
B.等腰三角形或直角三角形
C.等腰三角形但不是直角三角形
D.直角三角形但不是等腰三角形
解析根据正弦定理,得asinA=bsinB.
又sinAa=cosBb,所以bsinB=bcosB,
则sin B=cos B,即tan B=1,则B=45°,
同理可得C=45°.所以A=180°-C-B=90°.
故△ABC为等腰直角三角形.
答案A
7.在△ABC中,sinAsinB=32,则a+bb的值为 .?
解析由正弦定理,得a+bb=ab+1=sinAsinB+1=32+1=52.
答案52
8.在△ABC中,B=45°,C =60°,c=1,则最短边的长等于 .?
解析由三角形内角和定理,得A=75°.由三角形的边角关系,得B所对的边b为最短边.由正弦定理bsinB=csinC,得b=csinBsinC=1×2232=63.
答案63
9.在△ABC中,lg(sin A+sin C)=2lg sin B-lg(sin C-sin A),判断△ABC的形状.
解由题意,得(sin A+sin C)(sin C-sin A)=sin2B,
即-sin2A+sin2C=sin2B.
由正弦定理,得-a2+c2=b2,即a2+b2=c2,
所以△ABC是直角三角形.
10.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且acos C+32c=b.
(1)求角A的大小;
(2)若a=1,b=3,求c的值.
解(1)由acos C+32c=b和正弦定理,得sin Acos C+32sin C=sin B.
∵sin B=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C,
∴32sin C=cos Asin C.∵sin C≠0,∴cos A=32.
∵0
(2)由正弦定理,得sin B=bsinAa=3sinπ61=32.
∴B=π3或2π3.
①当B=π3时,由A=π6,得C=π2,∴c=2.
②当B=2π3时,由A=π6,得C=π6,∴c=a=1.
综上可得,c=1或c=2.
能力提升
1.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若2c=6b,C=60°,则B=( )
A.45° B.45°或135°
C.30° D.30°或150°
解析在△ABC中,∵2c=6b,C=60°,可得b=2c6,
∴由正弦定理bsinB=csinC,
可得sin B=b·sinCc=2c6×32c=22.
∵b答案A
2.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,则下列给出的各组条件能确定三角形有两解的是( )
A.a=10,b=8,A=30° B.a=8,b=10,A=45°
C.a=10,b=8,A=150° D.a=8,b=10,A=60°
解析对于A,C,由a>b可判断只有一解;对于D,8<10sin 60°=53可知无解;对于B,10sin 45°=52<8<10,可知有两解.故选B.
答案B
3.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若3bcos C=c(1-3cos B),则c∶a=( )
A.13 B.43 C.3 D.32
解析由正弦定理,设asinA=bsinB=csinC=k.
∵3bcos C=c(1-3cos B),
∴3sin Bcos C=sin C(1-3cos B),
化简可得sin C=3sin (B+C).
又A+B+C=π,∴sin C=3sin A,
∴c∶a=sin C∶sin A=3.故选C.
答案C
4.在△ABC中,若tan A=13,C=150°,BC=1,则AB= .?
解析因为tan A=13,A∈(0°,180°),所以sin A=1010.
由正弦定理,得BCsinA=ABsinC,
所以AB=BCsinCsinA=1×sin150°1010=102.
答案102
5.在△ABC中,b+c=12,A=60°,B=30°,则c= ,b= .?
解析由已知,得C=180°-A-B=90°,
则bc=sinBsinC=12.∵b+c=12,∴b=4,c=8.
答案8 4
6.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a=2,b=2,sin B+cos B=2,则角A的大小为 .?
解析由sin B+cos B=2,得1+sin 2B=2,所以sin 2B=1,所以B=45°.由正弦定理asinA=bsinB,得sin A=asinBb=2sin45°2=12.
又a答案30°
7.在△ABC中,若b =acos C,试判断该三角形的形状.
解因为b=acos C,asinA=bsinB=2R(2R为△ABC外接圆的直径),所以sin B=sin Acos C.
因为B=π-(A+C),所以sin(A+C)=sin Acos C,即sin AcosC+cos Asin C=sin Acos C,所以cos Asin C=0.因为A,C∈(0,π),所以cos A=0,所以A=π2,故△ABC为直角三角形.
8.(选做题)在△ABC中,AC=6,cos B=45,C=π4.
(1)求AB的长;
(2)求cosA-π6的值.
解(1)因为cos B=45,0(2)在△ABC中,A+B+C=π,所以A=π-(B+C),
于是cos A=-cos(B+C)=-cosB+π4=-cos Bcos π4+sin Bsinπ4,又cos B=45,sin B=35,
故cos A=-45×22+35×22=-210.
因为0因此,cosA-π6=cos Acos π6+sin Asin π6=-210×32+7210×12=72-620.
课件25张PPT。1.1.1 正弦定理一、正弦定理
1.思考:已知△ABC,设其三个内角分别为A,B,C,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.2.填空: 3.思考:在正弦定理中,三角形的各边与其所对角的正弦的比都相等,那么这个比值等于多少?与该三角形外接圆的直径有什么关系?
提示:这个比值恰好等于该三角形外接圆的直径.5.做一做:
(1)判断正误.
①正弦定理只适用于锐角三角形和钝角三角形,不适用于直角三角形. ( )
②在△ABC中,一定有asin A=bsin B=csin C. ( )
答案:①× ②×答案:①4 ②45° 二、正弦定理的变形
1.思考:正弦定理揭示了三角形中边与角的数量关系,那么根据正弦定理,怎样由边转化为角?怎样由角转化为边?2.填空:
正弦定理的变形(R为△ABC外接圆的半径)
(1)a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C;?(3)a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C.? 3.做一做:
(1)判断正误.
①在△ABC中,若a>b,则必有sin A>sin B. ( )
②在△ABC中,若sin A=sin B,则必有A=B.( )
③在△ABC中,a+b+c=sin A+sin B+sin C. ( )
答案:①√ ②√ ③×
(2)①在△ABC中,若asin A+bsin B=csin C,则角C= ;?
②在△ABC中,若2asin C= c,则角A= .?答案:①90° ②45°或135° 三、解三角形
1.填空:
解三角形
(1)一般地,把三角形的三个角A,B,C和它们的对边a,b,c叫做三角形的元素.
(2)已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形.
2.做一做:
若三角形的两个内角分别为120°和45°,且45°角所对的边长为 ,则120°角所对的边长为 .?答案:3 探究一探究二探究三核心要点当堂检测已知两角和一边解三角形
例1在△ABC中,已知B=30°,C=105°,b=4,解三角形.
分析:由三角形的内角和定理可求A的度数.根据正弦定理可求a,c.
解:因为B=30°,C=105°,所以A=180°-(B+C)=180°-(30°+105°)=45°.反思感悟已知两角及一边解三角形的方法
先由三角形内角和定理求第三个角,再由正弦定理求另外两边.探究一探究二探究三核心要点当堂检测探究一探究二探究三核心要点当堂检测已知两边和其中一边的对角解三角形
例2在△ABC中,已知下列条件,解三角形:分析:先利用正弦定理求角B,再根据三角形的内角和定理求角C,最后利用正弦定理求边c.探究一探究二探究三核心要点当堂检测探究一探究二探究三核心要点当堂检测反思感悟已知三角形的两边和其中一边的对角解三角形的方法
(1)由正弦定理求出另一边对角的正弦值.
(2)当已知的角为大边所对的角时,由三角形中大边对大角,大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角,由正弦值可求锐角唯一.
(3)当已知的角为小边所对的角时,不能判断另一边所对的角为锐角,这时由正弦值可求得两个角,要分类讨论.延伸探究本例中,将条件改为“a=5,b=2,B=120°”,解三角形.探究一探究二探究三核心要点当堂检测判断三角形的形状
例3在△ABC中,已知a2tan B=b2tan A,试判断△ABC的形状.
分析:先将tan B,tan A化为弦函数,再根据正弦定理的变形将边化为角,最后通过三角恒等变换进行判断.探究一探究二探究三核心要点当堂检测反思感悟判断三角形的形状,就是根据题目条件,分析其是不是等腰三角形、直角三角形、等边三角形、等腰直角三角形、锐角三角形、钝角三角形等.利用正弦定理判断三角形形状的方法如下:探究一探究二探究三核心要点当堂检测变式训练2在△ABC中,已知2a=b+c,sin2A=sin Bsin C,试判断△ABC的形状.
解:由sin2A=sin Bsin C和正弦定理,得a2=bc.探究一探究二探究三核心要点当堂检测不解三角形判断三角形解的个数 典例满足条件a=4,b=3 ,A=45°的三角形的个数是( )
A.1个 B.2个
C.无数个 D.不存在
分析:先求出bsin A的值,然后与a,b比较,可以判断解的个数.答案:B 探究一探究二探究三核心要点当堂检测反思感悟已知两边及其中一边的对角,用正弦定理解三角形,可能有两解、一解或无解.在△ABC中,已知a,b和A时,解的情况如下:
(1)当A为锐角时,
①a①a>b,一个解;探究一探究二探究三核心要点当堂检测②a≤b,无解. 求解该类问题时,一般先判断角为锐角、钝角还是直角,然后借助边之间的关系进行判断.探究一探究二探究三核心要点当堂检测变式训练已知△ABC中,B=45°,a=1,若△ABC仅有一解,则b∈( )解析:由B=45°,a=1,三角形有一解,
则b=asin B=sin 45°= ,或b≥a=1,故选D.
答案:D 探究一探究二探究三核心要点当堂检测1.在△ABC中,若A∶B∶C=2∶3∶7,则a∶b等于 ( )
A.1∶2 B.2∶3答案:C 答案:B 探究一探究二探究三核心要点当堂检测3.在△ABC中,a=10,b=9,A=45°,则满足上述条件的三角形有( )
A.无数个 B.2个 C.0个 D.1个
解析:∵a>b,∴有一解.
答案:D答案:75°或15° 5.在△ABC中,已知acos B=bcos A,试判断△ABC的形状.
解:由正弦定理,得sin Acos B=sin Bcos A,即sin Acos B-sin Bcos A=0,所以sin(A-B)=0,
所以A=B,故△ABC是等腰三角形.