1.1.2 余弦定理
课后篇巩固提升
基础巩固
1.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a=13,b=3,A=60°,则c=( )
A.1 B.2 C.4 D.6
解析由余弦定理,得a2=b2+c2-2bccos A,即13=9+c2-3c,即c2-3c-4=0,解得c=4(负值舍去).
答案C
2.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a2-c2+b2=ab,则sin C的值为( )
A.12 B.22 C.32 D.33
解析由余弦定理,得cos C=a2+b2-c22ab=12.
因为C∈(0,π),
所以C=π3,sin C=32.故选C.
答案C
3.在△ABC中,角A,B,C的对边分别是边a,b,c,若a=33,c=2,A+C=5π6,则b=( )
A.13 B.6 C.7 D.8
解析∵A+C=5π6,∴B=π-(A+C)=π6.∵a=33,c=2,∴由余弦定理可得b=a2+c2-2accosB=(33)2+22-2×33×2×32=13.
故选A.
答案A
4.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若B=60°,b2=ac,则△ABC一定是( )
A.直角三角形 B.钝角三角形
C.等边三角形 D.等腰直角三角形
解析由余弦定理可得b2=a2+c2-2accos B=a2+c2-ac=ac,化为(a-c)2=0,解得a=c.又B=60°,可得△ABC是等边三角形,故选C.
答案C
5.在△ABC中,AB=3,BC=13,AC=4,则边AC上的高为( )
A.322 B.332 C.32 D.33
解析在△ABC中,AB=3,BC=13,AC=4,由余弦定理,得cos A=AB2+AC2-BC22AB·AC=32+42-132×3×4=12,∴A=60°.∴边AC上的高h=AB·sin A=3sin 60°=332.故选B.
答案B
6.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知B=C,2b=3a,则cos A= .?
解析由B=C,得b=c=32a.由余弦定理,得cos A=b2+c2-a22bc=32a2+32a2-a22·32a·32a=13.
答案13
7.在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,若a2-c2=2b,且sin B=6cos Asin C,则b的值为 .?
解析由正弦定理及余弦定理,得sin B=6cos Asin C可化为b=6·b2+c2-a22bc·c,化简得b2=3(b2+c2-a2).
∵a2-c2=2b,且b≠0,∴b=3.
答案3
8.如图,在△ABC中,已知点D在边BC上,AD⊥AC于点A,sin∠BAC=223,AB=32,AD=3,则BD的长为 .?
解析因为sin∠BAC=223,且AD⊥AC,所以sinπ2+∠BAD=223,
所以cos∠BAD=223.
在△BAD中,由余弦定理,得
BD=AB2+AD2-2AB·ADcos∠BAD
=(32)2+32-2×32×3×223=3.
答案3
9.在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C所对的边长,若(a+b+c)(sin A+sin B-sin C)=3asin B, 求角C的大小.
解由题意及正弦定理,得(a+b+c)(a+b-c)=3ab,整理,得a2+2ab+b2-c2=3ab,即a2+b2-c22ab=12,所以cos C=12,所以C=60°.
10.在△ABC中,C=2A,a+c=10,cos A=34,求b.
解由正弦定理,得ca=sinCsinA=sin2AsinA=2cos A=2×34=32,∵a+c=10,∴a=4,c=6.
由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A,得b2+2012b=34,解得b=4或b=5.当b=4时,∵a=4,∴A=B.又C=2A,且A+B+C=π,∴A=π4,与已知cos A=34矛盾,不合题意,舍去.当b=5时,满足题意,故b=5.
能力提升
1.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若sin2B+sin2C-sin2A+sin Bsin C=0,则tan A的值是 ( )
A.33 B.-33
C.3 D.-3
解析由题意及正弦定理,得b2+c2-a2=-bc.由余弦定理,得cos A=b2+c2-a22bc=-bc2bc=-12.因为0
答案D
2.有一个内角为120°的三角形的三边长分别是m,m+1,m+2,则实数m的值为( )
A.1 B.32
C.2 D.52
解析由已知利用余弦定理可得cos 120°=m2+(m+1)2-(m+2)22m(m+1),
可得-12=m2+(m+1)2-(m+2)22m(m+1),
化简可得2m2-m-3=0,解得m=32或-1(舍去).故选B.
答案B
3.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知B=π3,cos A=13,b=33,则边c的长为( )
A.22?3 B.22+3
C.23?2 D.23+2
解析∵B=π3,cos A=13,b=33,
∴sin A=1-cos2A=223,
∴由正弦定理asinA=bsinB,可得a=b·sinAsinB=33×22332=42,∴由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A,
可得32=27+c2-2×33×c×13,
可得c2-23c-5=0,
解得c=22+3或3-22(舍去).
答案B
4.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若(a2+c2-b2)tan B=3ac,则角B的度数为 .?
解析由余弦定理,得2accos B·tan B=3ac,
整理,得sin B=32,
所以B=60°或120°.
答案60°或120°
5.在△ABC中,BD为∠ABC的平分线,AB=3,BC=2,AC=7,则sin∠ABD= .?
解析因为BD为∠ABC的平分线,所以∠ABD=12∠ABC.由余弦定理,得cos∠ABC=AB2+BC2-AC22AB·BC=32+22-(7)22×3×2=12,所以cos∠ABC=1-2sin2∠ABD=12,所以sin∠ABD=12.
答案12
6.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=2,b=3,C=2A,则cos C的值为 .?
解析∵a=2,b=3,C=2A,
∴由正弦定理asinA=csinC,可得2sinA=csinC=c2sinAcosA,
可得cos A=c4,∴由余弦定理可得cos A=c4=b2+c2-a22bc=9+c2-42×3×c,解得c2=10,
∴可得cos C=a2+b2-c22ab=4+9-102×2×3=14.
答案14
7.若2a+1,a,2a-1为钝角三角形的三边长,求实数a的取值范围.
解因为2a+1,a,2a-1是三角形的三边长,
所以2a+1>0,a>0,2a-1>0,解得a>12,此时2a+1最大.要使2a+1,a,2a-1是三角形的三边长,还需a+2a-1>2a+1,解得a>2.设最长边2a+1所对的角为θ,则θ>90°,所以cos θ=a2+(2a-1)2-(2a+1)22a(2a-1)=a(a-8)2a(2a-1)<0,解得12课件23张PPT。1.1.2 余弦定理一、余弦定理
1.思考:在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.如果已知边a,b和角C,那么从向量的角度考虑,边c的长度可视为什么?向量 如何用已知边所对应的向量表示?如何求出| |?边c的长度用边a,b和角C如何表示?2.填空:
(1)文字语言:三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍.
(2)符号语言:在△ABC中,a2=b2+c2-2bccos A,b2=a2+c2-2accos B,c2=a2+b2-2abcos C.?3.做一做:
(1)判断正误.
①在三角形中,勾股定理是余弦定理针对直角三角形的一个特例. ( )
②已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时,只能用正弦定理,不能用余弦定理. ( )
答案:①√ ②×
(2)①在△ABC中,若AB=1,AC=3,A=60°,则BC= ;?
②已知△ABC是等腰三角形,且a=c=5,B =120°,则b= .?二、余弦定理的推论
1.思考:在△ABC中,已知三条边,如何求出其三个内角?2.填空: 3.做一做:
(1)判断正误.
①已知三角形的三边求三个内角时,解是唯一的. ( )
②在△ABC中,若a2+b2③在△ABC中,若△ABC是钝角三角形,则必有a2+b2④在△ABC中,若△ABC是锐角三角形,则必有a2+b2>c2. ( )
答案:①√ ②√ ③× ④√探究一探究二探究三思维辨析当堂检测已知两边及一角解三角形 分析:(1)已知两边及其夹角,可直接利用余弦定理求出第三条边;(2)已知两边及一边的对角,可利用余弦定理求解,也可利用正弦定理求解.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测探究一探究二探究三思维辨析当堂检测反思感悟已知三角形的两边及一角解三角形的方法:
已知三角形的两边及一角解三角形,必须先判断该角是给出两边中一边的对角,还是给出两边的夹角.若是给出两边的夹角,可以由余弦定理求第三边;若是给出两边中一边的对角,可以利用余弦定理建立一元二次方程,解方程求出第三边(也可以应用正弦定理求出第三边).探究一探究二探究三思维辨析当堂检测探究一探究二探究三思维辨析当堂检测已知三边解三角形
例2(1)在△ABC中,若a2+b2+ab=c2,则角C= ;?分析:(1)根据已知条件结合余弦定理的变形求解;(2)先由三边的比值设出三边的长度,再利用余弦定理的变形求解.答案:120° 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测反思感悟已知三角形的三边解三角形的方法
1.先利用余弦定理求出一个角的余弦,从而求出第一个角;再利用余弦定理或由求得的第一个角利用正弦定理求出第二个角;最后利用三角形的内角和定理求出第三个角.
2.利用余弦定理求出三个角的余弦,进而求出三个角.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测探究一探究二探究三思维辨析当堂检测利用余弦定理判断三角形形状
例3(1)在△ABC中,若3sin2A=3sin2B+3sin2C+sinBsinC,试判断该三角形的形状;
(2)在△ABC中,若acos B+acos C=b+c,试判断该三角形的形状.
分析:(1)先利用正弦定理将条件转化为边的关系,再利用余弦定理确定角的范围,从而判断三角形的形状;(2)利用余弦定理将角转化为边,通过代数变形判断三角形的形状.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测反思感悟1.利用三角形的边角关系判断三角形的形状时,需要从“统一”入手,即使用转化思想解决问题.一般有两条思考路线:(1)先化边为角,再进行三角恒等变换,求出三角之间的数量关系.(2)先化角为边,再进行代数恒等变换,求出三边之间的数量关系.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测2.判断三角形的形状时,经常用到以下结论:
(1)△ABC为直角三角形?a2=b2+c2或c2=a2+b2或b2=a2+c2.
(2)△ABC为锐角三角形?a2+b2>c2,且b2+c2>a2,且c2+a2>b2.
(3)△ABC为钝角三角形?a2+b2典例在钝角三角形ABC中,a=1,b=2,求边c的取值范围.提示:错解中出现了两个错误:一是只考虑了角C是钝角的情况,事实上角B也可能是钝角;二是没有考虑到在三角形中“两边之和大于第三边”的隐含条件.
正解:因为a=1,b=2,所以1A.锐角三角形 B.钝角三角形
C.直角三角形 D.等腰三角形整理可得2ac=2c2,∴a=c,
则△ABC的形状为等腰三角形.故选D.
答案:D探究一探究二探究三思维辨析当堂检测4.在△ABC中,若(a+b)2-c2=4,且C=60°,则ab的值等于 .? 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测