第二章数列
2.1 数列的概念与简单表示法
第1课时 数列的概念与简单表示法
课后篇巩固提升
1.有下列命题:
①数列23,34,45,56,…的一个通项公式是an=nn+1;
②数列的图象是一群孤立的点;
③数列1,-1,1,-1,…与数列-1,1,-1,1,…是同一数列;
④数列12,14,…,12n是递增数列.
其中正确命题的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.0
解析由通项公式知a1=12,故①不正确;易知②正确;由于两数列中数的排列次序不同,因此不是同一数列,故③不正确;④中的数列为递减数列,所以④不正确.
答案A
2.已知数列-1,14,-19,…,(-1)n1n2,…,它的第5项的值为( )
A.15 B.-15 C.125 D.-125
解析第5项为(-1)5×152=-125.
答案D
3.已知数列的通项公式an=3n+1,n为奇数,2n-2,n为偶数,则a2a3等于( )
A.70 B.28 C.20 D.8
解析由an=3n+1,n为奇数,2n-2,n为偶数,
得a2a3=2×10=20.故选C.
答案C
4.已知数列的通项公式为an=n2-8n+15,则3( )
A.不是数列{an}中的项
B.只是数列{an}中的第2项
C.只是数列{an}中的第6项
D.是数列{an}中的第2项和第6项
解析令n2-8n+15=3,解得n=2或n=6,因此3是数列{an}中的第2项和第6项.
答案D
5.下面四个数列中,既是无穷数列又是递增数列的是 ( )
A.1,12,13,14,…
B.sinπ7,sin2π7,sin3π7,…
C.-1,-12,-14,-18,…
D.1,2,3,…,21
解析A中数列是递减数列,B中数列不是单调数列,D中数列是有穷数列,C中数列符合条件.
答案C
6.数列0,1,0,-1,0,1,0,-1,…的一个通项公式是( )
A.(-1)n+12 B.cosnπ2
C.cos(n+1)π2 D.cos(n+2)π2
解析当n=1时,C不成立;当n=2时,B不成立;当n=4时,A不成立.故选D.
答案D
7.数列53,108,17a,b24,3735,…中,有序数对(a,b)可以是 .?
解析由已知,各项可写为3+21×3,8+22×4,15+2a,b4×6,35+25×7,…,
可得a=3×5=15,b=24+2=26,故数对(a,b)为(15,26).
答案(15,26)
8.数列-1,1,-2,2,-3,3,…的一个通项公式为 .?
解析注意到数列的奇数项与偶数项的特点即可得an=-n+12,n为奇数,n2,n为偶数.
答案an=-n+12,n为奇数,n2,n为偶数
9.写出以下各数列的一个通项公式.
(1)1,-12,14,-18,…;
(2)10,9,8,7,6,…;
(3)2,5,10,17,26,…;
(4)12,16,112,120,130,…;
(5)3,33,333,3 333,….
解(1)an=(-1)n+112n-1;
(2)an=11-n;
(3)an=n2+1;
(4)an=1n(n+1);
(5)an=13(10n-1).
10.已知数列{an},an=n2-pn+q,且a1=0,a2=-4.
(1)求a5;
(2)判断150是不是该数列中的项?若是,是第几项?
解(1)由已知,得1-p+q=0,4-2p+q=-4,
解得p=7,q=6,所以an=n2-7n+6,
所以a5=52-7×5+6=-4.
(2)令an=n2-7n+6=150,解得n=16(n=-9舍去),所以150是该数列中的项,并且是第16项.
11.在数列{an}中,an=n2n2+1.
(1)求数列的第7项;
(2)求证:此数列的各项都在区间(0,1)内;
(3)区间13,23内有没有数列中的项?若有,有几项?
(1)解a7=7272+1=4950.
(2)证明∵an=n2n2+1=1-1n2+1,
∴0
(3)解令13<n2n2+1<23,则12故n=1,即在区间13,23内有且只有1项a1.
课件28张PPT。第1课时 数列的概念与简单表示法一、数列
1.思考:观察给出的下列各组数:
(1)前6个正整数的平方:1,4,9,16,25,36;(4)5个2排成一行:2,2,2,2,2;
(5)-1的正整数次幂的值:-1,1,-1,1,-1,1,…;
(6)15以内的质数按照从大到小的顺序排列:13,11,7,5,3,2.
以上给出的各组数有什么共同的特点?
提示:每一组数都是按照一定的次序排列起来的一列数.2.填空:
(1)定义:按照一定顺序排列的一列数叫做数列.
(2)项:数列中的每一个数都叫做这个数列的项.数列中的每一项都和它的序号有关,排在第一位的数称为这个数列的第1项(通常也叫做首项),排在第二位的数称为这个数列的第2项……排在第n位的数称为这个数列的第n项.
(3)表示:数列的一般形式可以写成:a1,a2,…,an,…,简记为{an}.an表示数列中的第n个数.
3.思考:数列中的数可以重复出现吗?数列中的数互换位置后,例如:1,2,3,4,5和2,1,5,4,3是同一个数列吗?
提示:数列中的数可以重复出现,数列中的数互换位置后,与原数列是不同的数列.4.总结:数列与集合的关系:
(1)集合中的元素具有确定性、无序性、互异性,而数列具有确定性、有序性、可重复性;
(2)集合中的元素可以是数,也可以是点、方程以及其他事物等,但数列中的每一项必须是数;
(3)数列{an}不是集合,它是数列的一个整体符号,{an}表示数列a1,a2,a3,…,an,…,而an表示数列的第n项.
5.做一做:
判断正误.
(1)数列中的项互换次序后还是原来的数列. ( )
(2){an}与an的意义一样,都表示数列. ( )
答案:(1)× (2)×二、数列的分类
1.思考:在本节最前面的“思考”中给出的6个数列中,(1)(4)(6)的项数与(2)(3)(5)的项数有什么不同特点?若考察每个数列中,每一项与它前一项的大小关系,分别是什么情况?
提示:数列(1)(4)(6)的项数有限,数列(2)(3)(5)的项数有无穷多;从第2项起,有的数列的每一项总比前一项大,如(1)(2);从第2项起,有的数列的每一项总比前一项小,如(3)(6);从第2项起,有的数列的每一项总与前一项相等,如(4);从第2项起,有的数列的每一项有时比前一项大,有时比前一项小,如(5).2.填空:
数列的分类3.做一做:
下列叙述正确的是( )
A.所有数列可分为递增数列和递减数列两类
B.数列中的数由它的位置序号唯一确定
C.数列1,3,5,7可表示为{1,3,5,7}
D.同一个数在数列中不可能重复出现
解析:按项的变化趋势,数列可分为递增数列、递减数列、常数列、摆动数列等数列,A错误;数列1,3,5,7与由实数1,3,5,7组成的集合{1,3,5,7}是两个不同的概念,C错误;同一个数在数列中可能重复出现,如2,2,2,…表示由实数2构成的常数列,D错误;对于给定的数列,数列中的数由它的位置序号唯一确定,B正确.
答案:B三、数列的通项公式 2.填空:
数列的通项公式
如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式.
3.思考:结合前面已知的数列,思考一下是不是所有数列都存在通项公式?数列通项公式的形式一定是唯一的吗?数列的通项公式可以用分段函数表示吗?数列的通项公式与函数的解析式有何关系?
提示:不一定;不一定唯一;可以;数列的通项公式实际就是函数的解析式.4.总结:关于数列通项公式的说明
(1)并非每一个数列都有通项公式;
(2)数列通项公式的形式不是唯一的;
(3)数列的通项公式可以用分段函数表示;
(4)数列的通项公式实际就是函数的解析式,利用数列的通项公式可以求出数列的任何一项.
5.做一做:
若数列{an}的通项公式是an=n2-1,则该数列的第10项a10= ,224是该数列的第 项.?
解析:a10=102-1=99.令an=n2-1=224,解得n=15,即224是该数列的第15项.
答案:99 15探究一探究二探究三核心要点当堂检测列的概念及分类
例1给出下列说法:
①数列中的项数一定是无限的;②数列1,3,2,6,3,9,…是递增的无穷项公式是an=n2;⑤数列1,5,2,10,3,15,…没有通项公式;⑥摆动数列也可能有通项公式.
其中正确说法的序号是 .?
分析:根据数列的定义、分类以及通项公式的概念进行判断.探究一探究二探究三核心要点当堂检测解析:对于①,错误,数列中的项数可以是有限项或无限项;
对于②,错误,该数列是无穷数列,但不是递增数列;
对于③,正确;
对于④,错误,该数列的通项公式是an=(n-1)2;对于⑥,正确.
答案:③⑥探究一探究二探究三核心要点当堂检测变式训练1下列正确说法的序号是 .?
①{0,1,2,3,4,5}是有穷数列;
②按从小到大排列的所有自然数构成一个无穷递增数列;
③-2,-1,1,3,-2,4,3是一个项数为5的数列;
④数列1,2,3,4,…,2n是无穷数列.
解析:紧扣数列的有关概念,验证每一个说法是否正确.{0,1,2,3,4,5}是集合,而不是数列,故①错误;按从小到大排列的所有自然数构成一个无穷递增数列,故②正确;同一个数在数列中可以重复出现,故此数列共有7项,故③错误;数列1,2,3,4,…,2n,共有2n项,是有穷数列,故④错误.
答案:②探究一探究二探究三核心要点当堂检测根据数列的前几项求通项公式
例2写出下列数列的一个通项公式:分析:观察、分析,寻找数列的每一项与其所在项的序号之间的关系. 探究一探究二探究三核心要点当堂检测(2)数列各项的绝对值分别为1,3,5,7,9,…是连续的正奇数,其通项公式为2n-1;考虑(-1)n+1具有转换符号的作用,所以数列的一个通项公式为an=(-1)n+1(2n-1).
(3)各项加1后,分别变为10,100,1 000,10 000,…,此数列的通项公式为10n,可得原数列的一个通项公式为an=10n-1.
(4)数列中每一项均由三部分组成,分母是从1开始的奇数列,其通项公式为2n-1;分子的前一部分是从2开始的自然数的平方,其通项公式为(n+1)2,分子的后一部分是减去一个自然数,其通项公式为n,综探究一探究二探究三核心要点当堂检测探究一探究二探究三核心要点当堂检测反思感悟1.根据数列的前几项写通项公式,体现了由特殊到一般的规律.解题时,一定要注意观察项与项数的关系和相邻项间的关系.具体思路为:
(1)先统一项的结构,如都化成分数、根式等.
(2)分析这一结构中变化的部分与不变的部分,探索变化部分的规律与对应序号间的关系.
(3)对于符号交替出现的情况,可先观察其绝对值,再用(-1)k处理符号.
(4)对于周期出现的数列,考虑拆成几个简单数列和的形式,或者利用周期函数的知识解答.探究一探究二探究三核心要点当堂检测(1)数列-1,1,-1,1,…的一个通项公式是an=(-1)n,数列1,-1,1,-1,…的一个通项公式是an=(-1)n+1或(-1)n-1.
(2)数列1,2,3,4,…的一个通项公式是an=n.
(3)数列1,3,5,7,…的一个通项公式是an=2n-1.
(4)数列2,4,6,8,…的一个通项公式是an=2n.
(5)数列1,2,4,8,…的一个通项公式是an=2n-1.
(6)数列1,4,9,16,…的一个通项公式是an=n2.探究一探究二探究三核心要点当堂检测变式训练2写出下列数列的一个通项公式,使它的前4项分别是下列各数:探究一探究二探究三核心要点当堂检测数列通项公式的应用 探究一探究二探究三核心要点当堂检测反思感悟判断给定的项是不是数列中的项,实质就是一个解方程的过程.若解得的n是正整数,则该项是此数列中的项;否则,就不是该数列中的项.探究一探究二探究三核心要点当堂检测探究一探究二探究三核心要点当堂检测归纳法求数列的通项公式
典例观察图中5个图形的相应小圆圈的个数的变化规律,猜想第n个图中有 小圆圈.?分析:仔细观察每个图形中圆圈的个数与对应顺序之间的关系,从而归纳出第n个图形中小圆圈的个数.
解析:观察图中5个图形小圆圈的个数分别为1,1×2+1,2×3+1,3×4+1,4×5+1,….故第n个图中小圆圈的个数为(n-1)·n+1=n2-n+1.
答案:n2-n+1探究一探究二探究三核心要点当堂检测反思感悟归纳是逻辑推理的一类,可以发现新命题.本例完美诠释了“观察现象,归纳规律,大胆猜想,小心求证”这一认识发展规律.探究一探究二探究三核心要点当堂检测1.下列各项表示数列的是( )
A.△,○,☆,□
B.2 008,2 009,2 010,…,2 017
C.锐角三角形、直角三角形、钝角三角形
D.a+b,a-b,ab,λa
解析:数列是指按照一定次序排列的一列数,而不能是图形、文字、向量等,只有B项符合.
答案:B探究一探究二探究三核心要点当堂检测2.下列数列既是递增数列,又是无穷数列的是( )
A.1,2,3,…,20
B.-1,-2,-3,…,-n,…
C.1,2,3,2,5,6,…
D.-1,0,1,2,…,100,…
解析:由递增数列和无穷数列的定义知D项正确.
答案:D
3.已知数列{an}的通项公式为an=log3(2n+1),则a3= .?
解析:∵an=log3(2n+1),∴a3=log3(23+1)=log39=2.
答案:2探究一探究二探究三核心要点当堂检测答案:19 第2课时 数列的递推公式
课后篇巩固提升
基础巩固
1.数列12,14,18,116,…的递推公式可以是( )
A.an=12n+1(n∈N*) B.an=12n(n∈N*)
C.an+1=12an(n∈N*) D.an+1=2an(n∈N*)
解析数列从第2项起,后一项是前一项的12,故递推公式为an+1=12an(n∈N*).
答案C
2.符合递推关系式an=2an-1的数列是( )
A.1,2,3,4,… B.1,2,2,22,…
C.2,2,2,2,… D.0,2,2,22,…
解析B中从第2项起,后一项是前一项的2倍,符合递推公式an=2an-1.
答案B
3.在数列{an}中,an+1=an+2-an,a1=2,a2=5,则a5=( )
A.-3 B.-11 C.-5 D.19
解析由an+1=an+2-an,得an+2=an+an+1,则a3=a1+a2=7,a4=a2+a3=12,a5=a3+a4=19.
答案D
4.已知数列{an}的通项公式为an=n-7n+2,则此数列中数值最小的项是( )
A.第10项 B.第11项 C.第12项 D.第13项
解析因为an=n-7n+2=n-722?414,所以易知当n=12时,an取得最小值,即此数列中数值最小的项是第12项.故选C.
答案C
5.已知a1=1,an=n(an+1-an)(n∈N*),则数列{an}的通项公式是( )
A.2n-1 B.n+1nn-1 C.n2 D.n
解析法一:构造法.
由已知整理,得(n+1)an=nan+1,
∴an+1n+1=ann,∴数列ann是常数列,
且ann=a11=1,∴an=n.
法二:累乘法.
当n≥2时,anan-1=nn-1,an-1an-2=n-1n-2,
…
a3a2=32,a2a1=21,
两边分别相乘,得ana1=n.∵a1=1,∴an=n.
答案D
6.在数列{an}中,若a1=2,an+1=an+n-1,则a4= .?
解析a2=a1+1-1=2,a3=a2+2-1=3,a4=a3+3-1=5.
答案5
7.已知数列{an}的通项公式an=n-1+n2,则该数列是 .(填“递增数列”“递减数列”“摆动数列”或“常数列”)?
解析an=n-1+n2=-1n+1+n2,当n增大时,n+1+n2增大,-1n+1+n2增大,所以该数列是递增数列.
答案递增数列
8.若数列{an}满足an+1=2an-1,且a8=16,则a6= .?
解析∵an+1=2an-1,∴a8=2a7-1=16,
解得a7=172,又a7=2a6-1=172,解得a6=194.
答案194
9.在数列{an}中,a1=2,an+1=an+ln1+1n,求an.
解由题意,得an+1-an=lnn+1n,
∴an-an-1=lnnn-1(n≥2),
an-1-an-2=lnn-1n-2,
…
a2-a1=ln21,
∴当n≥2时,an-a1=lnnn-1·n-1n-2·…·21=ln n,∴an=2+ln n(n≥2).
当n=1时,a1=2+ln 1=2,符合上式,
∴an=2+ln n(n∈N*).
10.已知各项均不为0的数列{an}满足a1=12,anan-1=an-1-an(n≥2,n∈N*),求数列{an}的通项公式.
解∵anan-1=an-1-an,且各项均不为0,
∴1an?1an-1=1.∴当n≥2时,1an=1a1+1a2-1a1+1a3-1a2+…+1an-1an-1
=2+1+1+…+1(n-1)个1=n+1.
∴1an=n+1,
∴当n≥2时,an=1n+1.
∵a1=12也符合上式,∴an=1n+1.
能力提升
1.已知数列{an},a1=2,a2=1,an+2=3an+1-an,则a6+a4-3a5的值为( )
A.3 B.-2 C.-1 D.0
解析∵an+2=3an+1-an,∴an+2+an=3an+1.令n=4,得a6+a4=3a5,∴a6+a4-3a5=0.
答案D
2.已知数列{an}对任意的p,q∈N*满足ap+q=ap+aq,且a2=-6,则a10=( )
A.-12 B.-24 C.-30 D.-42
解析令p=q=2,则a4=2a2=-12,
令p=q=4,则a8=2a4=-24.
令p=8,q=2,则a10=a8+a2=-30.
答案C
3.已知数列{an},an+1=11-an,a1=3,则a2 019=( )
A.23 B.3 C.-12 D.32
解析由题意,可知:a1=3,
a2=11-a1=11-3=-12,
a3=11-a2=11+12=23,
a4=11-a3=11-23=3,
a5=11-a4=11-3=-12,
…
∴数列{an}是一个以3为最小正周期的周期数列.
∵2 019÷3=673,∴a2 019=a3=23.
答案A
4.已知数列{an},a1=1,ln an+1-ln an=1,则数列{an}的通项公式是( )
A.an=n B.an=1n
C.an=en-1 D.an=1en-1
解析∵ln an+1-ln an=1,∴lnan+1an=1.∴an+1an=e.
由累乘法可得an=en-1.
答案C
5.在数列{an}中,a1=1,an+1=an2-1,则此数列的前4项和为 .?
解析∵a1=1,an+1=an2-1,∴a2=12-1=0,a3=02-1=-1,a4=(-1)2-1=0,故前4项和a1+a2+a3+a4=0.
答案0
6.已知数列{an}满足:an≤an+1,an=n2+λn,n∈N*,则实数λ的最小值是 .?
解析∵an≤an+1,∴n2+λn≤(n+1)2+λ(n+1),
即λ≥-(2n+1)对任意n∈N*成立,∴λ≥-3.故λ的最小值为-3.
答案-3
7.已知数列{an}满足an=1n+1+1n+2+1n+3+…+12n.
(1)数列{an}是递增数列还是递减数列?为什么?
(2)证明:an≥12对一切正整数恒成立.
(1)解数列{an}是递增数列.
理由如下:∵an=1n+1+1n+2+1n+3+…+12n,
∴an+1-an=12n+1+12n+2?1n+1
=12n+1?12n+2=1(2n+1)(2n+2).
又n∈N*,∴an+1-an>0.∴数列{an}是递增数列.
(2)证明由(1)知数列{an}为递增数列,
∴数列{an}的最小项为a1=12.∴an≥a1=12,
即an≥12对一切正整数恒成立.
8.已知数列{an}的通项公式为an=1+12n+a,其中a∈R.
(1)若a=-9,求数列{an}的最小项和最大项;
(2)若不等式an≤a8对任意的n∈N*恒成立,求实数a的取值范围.
解(1)若a=-9,则an=1+12n-9.
于是,结合函数f(x)=1+12x-9的单调性,
可知1>a1>a2>a3>a4,且a5>a6>a7>…>1.
故数列{an}的最小项为a4=1+12×4-9=0,最大项为a5=1+12×5-9=2.
(2)对an=1+12n+a进行变形,可得an=1+12n+a2.
因为不等式an≤a8对任意的n∈N*恒成立,所以结合函数f(x)=1+12x+a2的单调性,可知应满足7<-a2<8,解得-16课件27张PPT。第2课时 数列的递推公式一、数列与函数的关系 提示:一定是;一定是. 3.填空:
(1)数列可以看成以正整数集N*(或它的有限子集{1,2,…,n})为定义域的函数an=f(n),当自变量按照从小到大的顺序依次取值时,所对应的一列函数值.如图所示.(2)在数列{an}中,若an+1>an,则{an}是递增数列;若an+1(1)判断正误.
①数列可以看作是定义域为正整数集的函数的函数值. ( )
②若数列an=f(n)是递减数列,则函数y=f(x)必为减函数. ( )
③若数列{an}满足an+1=an,则该数列是常数列. ( )
答案:①× ②× ③√A.递增数列 B.递减数列 C.摆动数列 D.不确定
②若数列{an}的通项公式an=kn-3,且为递减数列,则实数k的取值范围是 .?答案:①A ②k<0 提示:f(x)在区间[1,+∞)内不单调,但数列an=f(n)在区间[1,+∞)内单调.数列单调性与函数单调性的区别与联系略.6.总结:数列单调性与函数单调性的区别与联系
(1)联系:若函数f(x)在区间[1,+∞)内单调,则数列f(n)也单调.反之不正确.
(2)区别:二者定义不同,函数单调性的定义:函数f(x)的定义域为D,设D?I,对任意x1,x2∈I,当x1f(x2),则f(x)在I上单调递减,若f(x1)1.思考:(1)给出数列{an}:1,2,4,8,16,…,你能发现该数列中从第2项起,每一项与其前一项之间的关系吗?如何用公式表示呢?(2)如果对于数列{bn},令b1=1,b2=2,规定从第3项起每一项都等于其前面两项的和,那么b3,b4,b5分别等于多少?该数列后面的项能否确定?
提示:(1)从第2项起,每一项都等于其前一项的2倍,即an+1=2an(n∈N*);(2)b3=3,b4=5,b5=8,后面各项能确定.
2.填空:
递推公式
如果已知数列{an}的首项(或前几项),且任一项an与它的前一项
an-1(或前几项)间的关系可用一个公式来表示,那么这个公式叫做数列{an}的递推公式.用递推公式给出数列的方法叫做递推法.3.总结:通项公式和递推公式的区别
通项公式直接反映了an与n之间的关系,即已知n的值,即可代入通项公式求得该项的值an;递推关系则是间接反映数列的式子,它是数列任意两个(或多个)相邻项之间的推导关系,要求an,需将前面的各项依次求出.
4.数列的表示方法:数列的表示方法有通项公式法、图象法、列表法、递推公式法.5.做一做:
(1)判断正误.
①递推公式反映了该数列相邻两项或几项之间的取值关系. ( )
②给出数列的递推公式,即可确定该数列的所有各项. ( )
答案:①√ ②×探究一探究二探究三思维辨析当堂检测由递推公式求前若干项 分析:由a1的值和递推公式,分别逐一求出a2,a3,a4,a5的值. 反思感悟根据递推公式写出数列的前几项,要弄清楚公式中各部分的关系,依次代入计算即可.另外,解答这类问题时还需注意:若已知首项,通常将所给公式整理成用前面的项表示后面的项的形式;若已知末项,通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测变式训练1已知数列{an}满足an=4an-1+3,且a1=0,则此数列的第5项是( )
A.15 B.255 C.16 D.63
解析:因为a1=0,所以a2=4a1+3=3,a3=4a2+3=15,a4=4a3+3=63,a5=4a4+3=255.
答案:B探究一探究二探究三思维辨析当堂检测由递推公式求数列的通项公式 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测探究一探究二探究三思维辨析当堂检测反思感悟由递推公式求通项公式时,要根据递推公式的特点,选择恰当的方法求解.常用的方法有两种:
(1)累加法:当an=an-1+f(n)时,常用an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1求通项公式.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测探究一探究二探究三思维辨析当堂检测数列的单调性及其应用 (1)当k=1时,判断数列{an}的单调性;
(2)若数列{an}是递减数列,求实数k的取值范围.
分析:对于(1),因为已知数列的通项公式,所以可以通过比较数列的相邻两项an与an+1的大小来确定数列的单调性;对于(2),可根据数列是递减数列,得出an与an+1的大小关系,从而确定k的取值范围.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测反思感悟判断数列的增减性,一般是将其转化为比较相邻两项的大小,常用的方法有作差法、作商法.作差法判断数列增减性的步骤为:(1)作差;(2)变形;(3)定号;(4)结论.作商法适用于各项都是同号的数列,且应比较比值与1的大小关系.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测A.递增数列 B.递减数列
C.常数列 D.摆动数列答案:B 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测例4(1)已知数列{an}满足an=n2-5n-6,n∈N*.
①数列中有哪些项是负数?
②当n为何值时,an取得最小值?并求出此最小值.没有最大项?若有,求最大项和最大项的项数;若没有,请说明理由.
分析:(1)①根据数列的函数的特征,以及不等式的解法,即可求出;②根据二次函数的性质即可求出.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测(1)解:①an=n2-5n-6<0,解得0∵n∈N*,∴数列中第1,2,3,4,5项为负数,
即-10,-12,-12,-10,-6.∴当n<9时,an+1-an>0,即an+1>an;
当n=9时,an+1-an=0,即an+1=an;
当n>9时,an+1-an<0,即an+1故a1a11>a12>…,
∴数列中有最大项,最大项为第9,10项,探究一探究二探究三思维辨析当堂检测解法二设ak是数列{an}的最大项, 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测反思感悟求数列的最大(小)项的两种方法
(1)由于数列是特殊的函数,所以可以用研究函数的思想方法来研究数列的相关性质,如单调性、最大值、最小值等,此时要注意数列的定义域为正整数集或其有限子集{1,2,…,n}这一条件.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测探究一探究二探究三思维辨析当堂检测忽视数列中项数的特殊性致误
典例在数列{an}中,an=3n2-14n-8,求该数列的最小项.提示:在错解中,忽视了数列中的项数n必须为正整数的限制条件,从而导致错误.防范措施解决数列问题时,可以借鉴函数的方法,但必须注意数列相对函数的特殊性,尤其是数列中的项数n只能取正整数,在求解时应引起注意,避免出错.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测答案:C 2.已知数列{an},an-1=man+1(n>1),且a2=3,a3=5,则实数m等于( )答案:B 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测3.若数列{an}的通项公式为an=-2n2+25n,则数列{an}各项中的最大项是( )
A.第4项 B.第5项 C.第6项 D.第7项答案:C 答案:递增数列 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测5.求三角形数数列1,3,6,10,…的通项公式.
解:用{an}表示该数列,则a2-a1=2,a3-a2=3,a4-a3=4,…,an-an-1=n(n≥2).
以上各式两边分别相加,得an-a1=2+3+4+…+n.