2.2 等差数列
第1课时 等差数列的概念及通项公式
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基础巩固
1.已知等差数列{an}的首项a1=2,公差d=3,则数列{an}的通项公式为( )
A.an=3n-1 B.an=2n+1
C.an=2n+3 D.an=3n+2
解析an=a1+(n-1)d=2+(n-1)·3=3n-1.
答案A
2.若△ABC的三个内角A,B,C成等差数列,则cos(A+C)=( )
A.12 B.32
C.-12 D.-32
解析因为A,B,C成等差数列,所以A+C=2B.又因为A+B+C=π,所以A+C=2π3,故cos(A+C)=-12.
答案C
3.在等差数列{an}中,已知a1=13,a4+a5=163,ak=33,则k=( )
A.50 B.49 C.48 D.47
解析设等差数列{an}的公差为d,∵a1=13,a4+a5=163,∴2a1+7d=163,解得d=23,则an=13+(n-1)×23=2n-13,则ak=2k-13=33,解得k=50.
答案A
4.在等差数列{an}中,a1=8,a5=2,若在相邻两项之间各插入一个数,使之成等差数列,则新等差数列的公差为 ( )
A.34 B.-34 C.-67 D.-1
解析设原等差数列的公差为d,则8+4d=2,解得d=-32,因此新等差数列的公差为-34.
答案B
5.等差数列20,17,14,11,…中第一个负数项是( )
A.第7项 B.第8项
C.第9项 D.第10项
解析∵a1=20,d=-3,
∴an=20+(n-1)×(-3)=23-3n,
∴a7=2>0,a8=-1<0.
故数列中第一个负数项是第8项.
答案B
6.已知{an}为等差数列,若a2=2a3+1,a4=2a3+7,则a3= .?
解析∵{an}为等差数列,a2=2a3+1,a4=2a3+7,
∴a1+d=2(a1+2d)+1,a1+3d=2(a1+2d)+7,
解得a1=-10,d=3,
∴a3=a1+2d=-10+6=-4.
答案-4
7.已知a,b>0,2a=3b=m,且a,ab,b成等差数列,则m= .?
解析∵a,b>0,2a=3b=m≠1,∴a=lgmlg2,b=lgmlg3.
∵a,ab,b成等差数列,∴2ab=a+b,
∴2×lgmlg2×lgmlg3=lgmlg2+lgmlg3.
∴lg m=12(lg 2+lg 3)=12lg 6=lg 6.则m=6.
答案6
8.正项数列{an}满足:a1=1,a2=2,2an2=an+12+an-12(n∈N*,n≥2),则a7= .?
解析因为2an2=an+12+an-12(n∈N*,n≥2),
所以数列{an2}是以a12=1为首项,以d=a22?a12=4-1=3为公差的等差数列,所以an2=1+3(n-1)=3n-2,
所以an=3n-2,n≥1.所以a7=3×7-2=19.
答案19
9.已知x,y,z成等差数列,求证:x2(y+z),y2(x+z),z2(y+x)也成等差数列.
证明因为x,y,z成等差数列,所以2y=x+z,
而x2(y+z)+z2(y+x)=x2y+x2z+z2y+z2x
=x2y+z2y+xz(x+z)=x2y+z2y+2xyz=y(x+z)2=2y2(x+z),
故x2(y+z),y2(x+z),z2(y+x)也成等差数列.
10.已知数列{an},a1=1,an+1=2an+2n.
(1)设bn=an2n-1,证明:数列{bn}是等差数列;
(2)求数列{an}的通项公式.
解(1)因为an+1=2an+2n,所以an+12n=2an+2n2n=an2n-1+1,
所以an+12n?an2n-1=1,n∈N*.
又因为bn=an2n-1,所以bn+1-bn=1.所以数列{bn}是等差数列,其首项b1=a1=1,公差为1.
(2)由(1)知bn=1+(n-1)×1=n,
所以an=2n-1bn=n·2n-1.
能力提升
1.已知等差数列的前4项分别是a,x,b,2x,则ab等于( )
A.14 B.12 C.13 D.23
解析依题意,得a+2x=x+b,2b=x+2x,解得a=x2,b=3x2,,故ab=13.
答案C
2.下列命题正确的是( )
A.若a,b,c成等差数列,则a2,b2,c2成等差数列
B.若a,b,c成等差数列,则log2a,log2b,log2c成等差数列
C.若a,b,c成等差数列,则a+2,b+2,c+2成等差数列
D.若a,b,c成等差数列,则2a,2b,2c成等差数列
解析因为a,b,c为等差数列,所以2b=a+c,所以2(b+2)=(a+2)+(c+2),故a+2,b+2,c+2成等差数列.
答案C
3.已知等差数列{an}满足4a3=3a2,则{an}中一定为零的项是( )
A.a6 B.a8 C.a10 D.a12
解析设等差数列{an}的公差为d.
∵4a3=3a2,∴4(a1+2d)=3(a1+d),可得a1+5d=0,∴a6=0,则{an}中一定为零的项是a6.
答案A
4.已知{an}是公差为d的等差数列,若3a6=a3+a4+a5+12,则d= .?
解析3a6=a3+a4+a5+12?3(a1+5d)=a1+2d+a1+3d+a1+4d+12?6d=12,解得d=2.
答案2
5.已知数列{an}与an2n均为等差数列(n∈N*),且a1=1,则a10= .?
解析设等差数列{an}的公差为d,
则an=1+(n-1)d=dn+1-d,
∴an2n=d2n+2d(1-d)+(1-d)2n为等差数列,
根据等差数列的性质可知(1-d)2n=0,
即d=1,∴a10=10.
答案10
6.已知数列{an},a1=1,a2=23,且1an-1+1an+1=2an(n≥2),则an= .?
解析∵1an-1+1an+1=2an,
∴数列1an是等差数列,公差d=1a2?1a1=12.
∴1an=1a1+(n-1)d=1+12(n-1)=n+12.
∴an=2n+1.
答案2n+1
7.已知等差数列{an}:3,7,11,15,….
(1)求等差数列{an}的通项公式.
(2)135,4b+19(b∈N*)是数列{an}中的项吗?若是,是第几项?
(3)若am,at(m,t∈N*)是数列{an}中的项,则2am+3at是数列{an}中的项吗?若是,是第几项?
解(1)设等差数列{an}的公差为d.
依题意,得a1=3,d=7-3=4,
故an=3+4(n-1)=4n-1.
(2)令an=4n-1=135,解得n=34,
故135是数列{an}的第34项.∵4b+19=4(b+5)-1,且b∈N*,∴4b+19是数列{an}的第(b+5)项.
(3)∵am,at是数列{an}中的项,∴am=4m-1,at=4t-1,∴2am+3at=2(4m-1)+3(4t-1)=4(2m+3t-1)-1.∵2m+3t-1∈N*,
∴2am+3at是数列{an}的第(2m+3t-1)项.
8.在数列{an}中,a1=1,3anan-1+an-an-1=0(n≥2,n∈N*).
(1)证明:数列1an是等差数列;
(2)求数列{an}的通项公式;
(3)若λan+1an≥λ对任意的n≥2恒成立,求实数λ的取值范围.
(1)证明由3anan-1+an-an-1=0(n≥2),
整理得1an?1an-1=3(n≥2),
所以数列1an是以1为首项,3为公差的等差数列.
(2)解由(1)可得1an=1+3(n-1)=3n-2,
所以an=13n-2.
(3)解λan+1an≥λ对任意的n≥2恒成立,
即λ3n-2+3n-2≥λ对任意的n≥2恒成立,
整理,得λ≤(3n-2)23n-3对任意的n≥2恒成立.
令f(n)=(3n-2)23n-3,则f(n+1)-f(n)=(3n+1)23n?(3n-2)23n-3=9n2-9n-13n(n-1)=3-13n(n-1).因为n≥2,所以f(n+1)-f(n)>0,即f(2)课件30张PPT。第1课时 等差数列的概念及通项公式一、等差数列
1.观察下列三个数列:①100,150,200,250,300,…;②0,-4,-8,-12,-16,…;思考:(1)你能否写出每个数列后面的各项?依据是什么?(2)这几个数列的共同特征是什么?2.填空:
一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母d表示.
3.等差数列概念的理解
(1)定义中强调“从第2项起”,因为第1项没有前一项;
(2)每一项与它的前一项的差必须是同一个常数(因为同一个常数体现了等差数列的基本特征);
(3)公差d是每一项(从第2项起)与它的前一项的差,不要把被减数与减数弄颠倒;
(4)公差可以是正数、负数、零;
(5)等差数列的增减性与公差d的关系:当d>0时,是递增数列;当d<0时,是递减数列;当d=0时,是常数列.4.做一做:
(1)判断正误.
①如果一个数列的每一项与它的前一项的差是一个常数,那么这个数列是等差数列. ( )
②若数列{an}满足an-an-1=d(d是常数),则{an}是等差数列. ( )
答案:①× ②×
(2)判断下列各组数列是不是等差数列.如果是,写出首项a1和公差d.
①1,3,5,7,9,…;
②9,6,3,0,-3,…;
③1,3,4,5,6,…;
④7,7,7,7,7,…;解:①是,a1=1,d=2;②是,a1=9,d=-3;③不是;④是,a1=7,d=0;⑤不是. 二、等差中项
1.思考:在下面两个数之间,插入一个怎样的数,这三个数就可以构成等差数列?插入的数唯一吗?
(1)2, ,6;(2)10, ,-30;(3)9, ,9.?
提示:插入的数分别是4,-10,9,插入的数是唯一的.
2.填空:
由三个数a,A,b组成的等差数列可以看成最简单的等差数列.这时,A叫做a与b的等差中项.这三个数满足关系式2A=a+b.3.做一做:
(1)判断正误.
①任何两个实数都有等差中项,且其等差中项是唯一的. ( )
②在等差数列中,除第1项和最后一项外,其余各项都是它前一项和后一项的等差中项. ( )
答案:①√ ②√
(2)若a,b是方程x2-2x-3=0的两根,则a,b的等差中项为( )答案:C 三、等差数列的通项公式
1.给出等差数列{an}:1,4,7,10,13,…,请根据下列两种思路探求其通项公式
(1)根据等差数列的定义,{an}的递推公式可以如何表示?利用累加法能否求得{an}的通项公式?
(2)根据等差数列的定义,能否将{an}的各项都利用首项和公差表示出来?由此归纳{an}的通项公式.
提示:(1){an}的递推公式是a1=1,an-an-1=3(n≥2),累加可得an=3n-2.
(2)a1=1,a2=a1+3,a3=a2+3=a1+2×3,…,an=a1+(n-1)·3.2.填空:
等差数列的通项公式
以a1为首项,d为公差的等差数列{an}的通项公式为an=a1+(n-1)d.
3.做一做:
(1)等差数列{an}:5,0,-5,-10,…的通项公式是 .?
(2)若等差数列{an}的通项公式是an=4n-1,则其公差d= .?
解析:(1)易知a1=5,d=-5,所以an=5+(n-1)·(-5)=10-5n.
(2)公差d=an-an-1=(4n-1)-[4(n-1)-1]=4.
答案:(1)an=10-5n (2)4探究一探究二探究三思维辨析当堂检测等差数列的通项公式及其应用
例1(1)已知数列{an}是首项为2,公差为4的等差数列,若an=2 022,则n=( )
A.504 B.505 C.506 D.507
(2)在等差数列40,37,34,…中,第一个负数项是 ( )
A.第13项 B.第14项
C.第15项 D.第16项
(3)在等差数列{an}中,若a3=12,a6=27,则其通项公式为 .?
分析:(1)与(2)均可先求通项公式,再利用通项公式解决相应问题;(3)可根据已知条件建立关于a1和d的方程组,求得a1和d即可得到通项公式.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测答案:(1)C (2)C (3)an=5n-3 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测反思感悟等差数列通项公式的求法与应用技巧
1.等差数列的通项公式可由首项与公差确定,所以要求等差数列的通项公式,只需求出首项与公差.
2.等差数列{an}的通项公式an=a1+(n-1)d中共含有四个参数,即a1,d,n,an,如果知道了其中的任意三个数,那么就可以由通项公式求出第四个数,这一求未知量的过程,我们通常称之为“知三求一”.
3.通项公式可变形为an=dn+(a1-d),可把an看作自变量为n的一次函数.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测变式训练1在等差数列{an}中,求解下列各题: 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测探究一探究二探究三思维辨析当堂检测等差中项及其应用
例2(1)若等差数列的前三项分别为a,2a-1,3-a,求其第2 020项;
(2)在-1和7之间插入三个数a,b,c,使这五个数成等差数列,求这三个数.
分析:(1)先根据条件求出通项公式,再代入求解;(2)先根据等差中项求出b,再依次利用等差中项求出a,c.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测探究一探究二探究三思维辨析当堂检测反思感悟等差中项的应用策略
1.求两个数x,y的等差中项,根据等差中项的定义得A= .
2.证明三项成等差数列,只需证明中间一项为两边两项的等差中项即可,即若a,b,c成等差数列,则a+c=2b;反之,若a+c=2b,则a,b,c成等差数列.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测探究一探究二探究三思维辨析当堂检测等差数列的判断与证明
例3判断下列数列是否为等差数列.
(1)在数列{an}中,an=3n+2;
(2)在数列{an}中,an=n2+n.
分析:根据等差数列的定义,判断an+1-an是否为常数.
解:(1)an+1-an=3(n+1)+2-(3n+2)=3(n∈N*),故该数列为等差数列.
(2)an+1-an=(n+1)2+(n+1)-(n2+n)=2n+2,故该数列不是等差数列.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测反思感悟定义法是判定(或证明)数列{an}是等差数列的基本方法,其步骤为:
(1)作差an+1-an;
(2)对差式进行变形;
(3)当an+1-an是一个与n无关的常数时,数列{an}是等差数列;当an+1-an不是常数,而是与n有关的代数式时,数列{an}不是等差数列.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测变式训练3已知数列{an}:a1=a2=1,an=an-1+2(n≥3).
(1)判断数列{an}是否为等差数列?说明理由;
(2)求{an}的通项公式.
解:(1)当n≥3时,an=an-1+2,即an-an-1=2,
而a2-a1=0不满足an-an-1=2(n≥3),
∴{an}不是等差数列.
(2)当n≥2时,an是等差数列,公差为2.
当n≥2时,an=1+2(n-2)=2n-3,
又a1=1不适合上式,探究一探究二探究三思维辨析当堂检测(1)求证:数列{bn}是等差数列;
(2)求数列{an}的通项公式.
分析:先用an表示bn+1,bn,再验证bn+1-bn为常数,最后可求出数列{an}的通项公式.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测反思感悟1.判断等差数列的方法:
(1)定义法:an+1-an=d(n∈N*)或an-an-1=d(n≥2,且n∈N*)?数列{an}是等差数列.
(2)等差中项法:2an+1=an+an+2(n∈N*)?{an}为等差数列.
(3)通项公式法:数列{an}的通项公式an=pn+q(p,q为常数)?数列{an}为等差数列.
注意:(1)通项公式法不能作为证明方法.(2)若an+1-an为常数,则该常数为等差数列{an}的公差;若an+1-an=an-an-1(n≥2,且n∈N*)成立,则无法确定等差数列{an}的公差.(3)若数列的前有限项成等差数列,则该数列未必是等差数列;而要否定一个数列是等差数列,只要说明其中连续三项不成等差数列即可.
2.已知数列的递推公式求数列的通项时,要通过对递推公式进行合理变形,构造出等差数列求通项.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测延伸探究在本例中,若将条件改为“已知数列{an}满足 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测对等差数列的定义理解不深致误
典例已知数列{an}满足a1=1,an+1=an+2n,求数列{an}的通项公式.
错解:由已知,得an+1-an=2n,所以{an}是公差为2n的等差数列,于是an=1+(n-1)·2n=2n2-2n+1.
提示:错解中由an+1-an=2n推出{an}是等差数列,这是由于对等差数列的定义理解不深刻而造成的,事实上,“2n”并不是一个常数,因此{an}不是等差数列.正解:由已知,得an+1-an=2n,所以a2-a1=2×1,a3-a2=2×2,a4-a3=2×3,…,an-an-1=2(n-1),
以上各式相加,得an-a1=2×[1+2+3+…+(n-1)]=n(n-1),所以an=n2-n+1.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测防范措施等差数列的定义是判断或证明一个数列是不是等差数列的重要依据,要说明{an}是等差数列,应证明an+1-an=d,其中d必须是一个与n无关的常数.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测1.已知数列{an}的通项公式an=2n+5,则此数列( )
A.是公差为2的等差数列
B.是公差为5的等差数列
C.是首项为5的等差数列
D.是公差为n的等差数列
解析:∵an+1-an=2(n+1)+5-(2n+5)=2,
∴数列{an}是公差为2的等差数列.
答案:A探究一探究二探究三思维辨析当堂检测答案:D 3.在数列{an}中,a1=2,an+1=an+2,则a20=( )
A.38 B.40 C.-36 D.-38
解析:∵an+1=an+2,∴an+1-an=2,∴数列{an}是公差为2的等差数列.∵a1=2,∴a20=2+(20-1)×2=40.
答案:B探究一探究二探究三思维辨析当堂检测4.若m和2n的等差中项为4,2m和n的等差中项为5,则m和n的等差中项为 .?
解析:由m和2n的等差中项为4,得m+2n=8.
又由2m和n的等差中项为5,得2m+n=10.
两式相加,得3m+3n=18,即m+n=6.答案:3 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测5.在等差数列{an}中,a1=23,公差d为整数,若a6>0,a7<0.
(1)求公差d的值;
(2)求通项an.
解:(1)因为{an}是等差数列,a1=23,a6>0,a7<0,又公差d为整数,所以d=-4.
(2)因为等差数列{an}的首项为23,公差为-4,
所以通项an=23-4(n-1)=-4n+27.第2课时 等差数列的性质及应用
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1.在等差数列{an}中,a1+a3+a5=π,则cos a3=( )
A.32 B.22 C.-12 D.12
解析因为{an}是等差数列,所以a1+a3+a5=(a1+a5)+a3=3a3=π,所以a3=π3,故cos a3=cosπ3=12.
答案D
2.设数列{an},{bn}都是等差数列,且a1=25,b1=75,a2+b2=100,则由an+bn所组成的数列的第37项的值为( )
A.0 B.37 C.100 D.-37
解析设cn=an+bn,{cn}也是等差数列,设其公差为d,
则c1=a1+b1=25+75=100,c2=a2+b2=100.
故d=c2-c1=0.故cn=100(n∈N*).
从而c37=100.
答案C
3.已知数列ann是等差数列,且a3=2,a15=30,则a9等于 ( )
A.12 B.24 C.16 D.32
解析令bn=ann,由题意可知b3=a33=23,b15=a1515=2,则等差数列{bn}的公差d=b15-b315-3=19,则b9=b3+(9-3)d=43,所以a9=9b9=12,故选A.
答案A
4.已知等差数列{an}满足am-1+am+1-am2-1=0,且m>1,则a1+a2m-1=( )
A.10 B.9 C.3 D.2
解析由等差数列的性质知,am-1+am+1=2am,则2am-am2-1=0,即(am-1)2=0,解得am=1.所以a1+a2m-1=2am=2,故选D.
答案D
5.我国明代珠算家程大位的名著《直指算法统宗》中有如下问题:“今有白米一百八十石,令三人从上及和减率分之,只云甲多丙米三十六石,问:各该若干?”其意思为:“今有白米一百八十石,甲、乙、丙三人来分,他们分得的白米数构成等差数列,只知道甲比丙多分三十六石,那么三人各分得多少白米?”请问甲应该分得白米为( )
A.96石 B.78石 C.60石 D.42石
解析依题意,设甲、乙、丙分得的米重量分别为a1,a2,a3,则a1+a2+a3=3a2=180,且a1-a3=-2d=36,解得a2=60,d=-18,所以a1=a2-d=60+18=78,故选B.
答案B
6.在等差数列{an}中,a3,a8是方程x2-3x-5=0的两个根,则a1+a10= .?
解析依题意,得a3+a8=3,所以a1+a10=a3+a8=3.
答案3
7.已知等差数列{an}共有10项,其奇数项之和为10,偶数项之和为30,则公差是 .?
答案4
8.在等差数列{an}中,已知a1+2a8+a15=96,则2a9-a10= .?
解析∵a1+2a8+a15=4a8=96,∴a8=24.
∴2a9-a10=a10+a8-a10=a8=24.
答案24
9.在等差数列{an}中,已知am=n,an=m,m,n∈N*,则am+n的值为 .?
解析设等差数列的公差为d,则d=am-anm-n=n-mm-n=-1,从而am+n=am+(m+n-m)d=n+n·(-1)=0.
答案0
10.在等差数列{an}中,
(1)已知a2+a3+a23+a24=48,求a13;
(2)已知a2+a3+a4+a5=34,a2·a5=52,求公差d.
解(方法一)(1)根据已知条件a2+a3+a23+a24=48,得4a13=48,∴a13=12.
(2)由a2+a3+a4+a5=34,
得2(a2+a5)=34,即a2+a5=17,
解a2·a5=52,a2+a5=17,得a2=4,a5=13或a2=13,a5=4.
∴d=a5-a25-2=13-43=3或d=a5-a25-2=4-133=-3.
(方法二)(1)直接化成a1和d的方程如下:
(a1+d)+(a1+2d)+(a1+22d)+(a1+23d)=48,即4(a1+12d)=48,∴4a13=48,∴a13=12.
(2)直接化成a1和d的方程如下:
(a1+d)+(a1+2d)+(a1+3d)+(a1+4d)=34,(a1+d)·(a1+4d)=52,
解得a1=1,d=3或a1=16,d=-3.∴d=3或-3.
能力提升
1.在等差数列{an}中,若a13=3,a2+a42=21,则a19=( )
A.11 B.10 C.9 D.8
解析因为a13+a2+a42=a13+a17+a27=a17+a19+a21=3a19=24,所以a19=8.
答案D
2.已知等差数列{an},a2=2,a4=8,若abn=3n-1,则b2 017=( )
A.2 016 B.2 017 C.2 018 D.0
解析由a2=2,a4=8,得数列{an}的公差d=8-22=3,所以an=2+(n-2)×3=3n-4,所以an+1=3n-1.又数列{an}的公差不为0,所以数列{an}为单调数列,所以结合abn=3n-1,可得bn=n+1,故b2 017=2 018.故选C.
答案C
3.设等差数列{an}的公差为d.若数列{2a1an}为递减数列,则( )
A.d>0 B.d<0 C.a1d>0 D.a1d<0
解析设bn=2a1an,则bn+1=2a1an+1,由于{2a1an}是递减数列,
因此bn>bn+1,即2a1an>2a1an+1.
∵y=2x是单调增函数,∴a1an>a1an+1,
∴a1an-a1(an+d)>0,
∴a1(an-an-d)>0,即a1(-d)>0,∴a1d<0.
答案D
4.已知△ABC的一个内角为120°,并且三边长构成公差为4的等差数列,则△ABC的面积为 .?
解析不妨设角A=120°,c于是cos 120°=b2+(b-4)2-(b+4)22b(b-4)=-12,
解得b=10,所以a=14,c=6.
所以S△ABC=12bcsin 120°=153.
答案153
5.若x≠y,数列x,a1,a2,y和x,b1,b2,b3,y各自成等差数列,则a1-a2b1-b2= .?
解析由题意,得a1-a2=x-y-3,b1-b2=x-y-4,
所以a1-a2b1-b2=43.
答案43
6.已知中位数为1 010的一组数构成等差数列,其末项为2 017,则该数列的首项为 .?
解析设等差数列为{an},若这组数有(2m+1)个,则am+1=1 010,a2m+1=2 017.又a1+a2m+1=2am+1,即a1+2 017=2×1 010,所以a1=3;若这组数有2m个,则am+am+1=1 010×2=2 020,a2m=2 017.又a1+a2m=am+am+1,即a1+2 017=2 020,所以a1=3.综上,该数列的首项为3.
答案3
7.古代中国数学辉煌灿烂,在《张丘建算经》中记载:“今有十等人,大官甲等十人官赐金,以等次差降之.上三人先入,得金四斤持出;下四人后入,得金三斤持出;中央三人未到者,亦依等次更给.问:各得金几何及未到三人复应得金几何?”求该问题中未到三人共得金多少斤.
解由题意,得{an}为等差数列,
则a1+a2+a3=4,a7+a8+a9+a10=3,即3a1+3d=4,4a1+30d=3,解得a1=3726,d=-778.所以a4+a5+a6=a1+a2+a3+9d=4+9×-778=8326.故未到三人共得金8326斤.
8.已知{an}是等差数列,且a1+a2+a3=12,a8=16.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若从数列{an}中,依次取出第2项、第4项、第6项、…、第2n项,按原来顺序组成一个新数列{bn},试求出{bn}的通项公式.
解(1)∵a1+a2+a3=12,∴a2=4.
∵a8=a2+(8-2)d,∴16=4+6d,∴d=2,
∴an=a2+(n-2)d=4+(n-2)×2=2n.
(2)a2=4,a4=8,a6=12,a8=16,…,a2n=2×2n=4n.
当n>1时,a2n-a2(n-1)=4n-4(n-1)=4.
∴{bn}是以4为首项,4为公差的等差数列.
∴bn=b1+(n-1)d=4+4(n-1)=4n.
课件24张PPT。第2课时 等差数列的性质及应用等差数列的性质
1.思考:给出等差数列{an}:1,5,9,13,…,其通项公式是什么?从函数的角度看,an是关于n的什么函数?其图象有什么特点?
提示:通项公式为an=4n-3;an是关于n的一次函数,其图象是直线y=4x-3上的一些孤立的点.
2.填空:
(1)等差数列的图象
等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d=dn+(a1-d),当d=0时,an是关于n的常数函数;当d≠0时,an是关于n的一次函数,点(n,an)分布在以d为斜率的直线上,且是这条直线上的一列孤立的点.
(2)公差d与斜率
等差数列{an}的图象是一条直线上的孤立的点,而这条直线的斜率3.思考:在等差数列中,怎样用数列的任意其他项(非首项)和公差来表示通项an?在等差数列中,怎样由am,an求公差d?4.填空:
(1)在等差数列{an}中,an=am+(n-m)d;5.做一做:
已知等差数列{an},a3=5,a8=35,则其公差d= .?答案:6 6.思考:结合具体实例分析判断:若{an},{bn}均为等差数列,则{pan+qbn}(p,q∈R)是否也是等差数列?在{an}中,由奇数项组成的数列、偶数项组成的数列是否都能构成等差数列?
提示:是等差数列;都能构成等差数列.
7.填空:
(1)若{an},{bn}分别是公差为d1,d2的等差数列,则数列{pan+qbn}(p,q∈R)是公差为pd1+qd2的等差数列.
(2)若{an}是公差为d的等差数列,则ak,ak+m,ak+2m,…(k,m∈N*)构成公差为md的等差数列.8.做一做:
已知{an}是等差数列,则下列数列{bn}也为等差数列的是( )解析:若{an}的公差为d,则当bn=a3n时,bn+1-bn=a3n+3-a3n=3d,故{bn}是公差为3d的等差数列.
答案:C
9.思考:请你观察几个具体的等差数列,通过计算分析判断:与首末两项“等距离”的两项之和是否等于首项与末项的和?当m+n=p+q时,是否有am+an=ap+aq?特别地,当m+n=2t时,am,an,at之间的关系是什么?
提示:等于;有am+an=ap+aq;am+an=2at.10.填空:
(1)等差数列的项的对称性:在有穷等差数列中,与首末两项“等距离”的两项之和等于首项与末项的和,即a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…;
(2)在等差数列{an}中,若m+n=p+q,则am+an=ap+aq.特别地,若m+n=2t,则am+an=2at.11.做一做:
(1)判断正误.
①在等差数列的通项公式中,an是关于n的一次函数. ( )
②在等差数列{an}中,若am+an=ap+aq,则m+n=p+q. ( )
③等差数列去掉前面若干项后,剩下的项仍构成等差数列. ( )
④摆动数列不可能是等差数列. ( )
⑤在等差数列{an}中,若m+n=p,则am+an=ap. ( )
⑥在等差数列{an}中,若m+n+p=3t,则am+an+ap=3at. ( )
答案:①× ②× ③√ ④√ ⑤× ⑥√
(2)在等差数列{an}中,若a5=7,a9=19,则a2+a12= ,a7= .?
解析:a2+a12=a5+a9=7+19=26.
因为a5+a9=2a7=26,所以a7=13.
答案:26 13探究一探究二探究三思维辨析当堂检测等差数列性质的应用
例1(1)已知等差数列{an},a5=10,a15=25,求a25的值;
(2)已知等差数列{an},a3+a4+a5+a6+a7=70,求a1+a9的值;
(3)已知数列{an},{bn}都是等差数列,且a1=2,b1=-3,a7-b7=17,求a19-b19的值.
分析:利用等差数列的性质解决各个问题.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测(方法2)因为5+25=2×15,所以在等差数列{an}中有a5+a25=2a15,从而a25=2a15-a5=2×25-10=40.
(方法3)因为5,15,25成等差数列,所以a5,a15,a25也成等差数列,因此a25-a15=a15-a5,即a25-25=25-10,解得a25=40.
(2)由等差数列的性质,得a3+a7=a4+a6=2a5=a1+a9,所以a3+a4+a5+a6+a7=5a5=70,于是a5=14,故a1+a9=2a5=28.
(3)令cn=an-bn,因为{an},{bn}都是等差数列,所以{cn}也是等差数列,设其公差为d,由已知,得c1=a1-b1=5,c7=17,则5+6d=17,解得d=2,故a19-b19=c19=5+18×2=41.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测反思感悟在等差数列中,一般存在两种运算方法:一是利用基本量运算,借助于a1,d建立方程组进行运算,这是最基本的方法;二是利用性质运算,运用等差数列的性质可简化计算,往往会有事半功倍的效果.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测变式训练1(1)已知数列{an}为等差数列,且a1+a6+a11=3,则a3+a9= .?
(2)已知{an}为等差数列,a15=8,a60=20,则a75= .?
解析:(1)因为数列{an}为等差数列,所以a1+a11=2a6,即3a6=3,解得a6=1,故a3+a9=2a6=2.
(2)因为{an}为等差数列,所以a15,a30,a45,a60,a75也成等差数列,设其公差为d,则a15为首项,a60为其第4项,所以a60=a15+3d,即20=8+3d,解得d=4,所以a75=a60+d=20+4=24.
答案:(1)2 (2)24探究一探究二探究三思维辨析当堂检测等差数列的综合问题
例2(1)设{an}是公差为正数的等差数列,若a1+a2+a3=15,a1a2a3=80,求a11+a12+a13的值;
(2)已知四个数依次成等差数列,且是递增数列,这四个数的平方和为94,首尾两数之积比中间两数之积少18,求此等差数列.
分析:(1)利用等差数列的性质求解;(2)可设这四个数依次为a-3d,a-d,a+d,a+3d进行求解.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测解:(1)设{an}的公差为d,∵a1+a3=2a2,
∴a1+a2+a3=15=3a2,∴a2=5.
又a1a2a3=80,{an}是公差为正数的等差数列,
∴a1a3=(5-d)(5+d)=16,解得d=3或d=-3(舍去),
∴a12=a2+10d=35,∴a11+a12+a13=3a12=105.
(2)设这四个数分别为a-3d,a-d,a+d,a+3d,则因为该数列是递增数列,所以d>0, 故此等差数列为-1,2,5,8或-8,-5,-2,1. 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测反思感悟三个数或四个数成等差数列时,设未知量的技巧如下:
(1)当等差数列{an}的项数n为奇数时,可先设中间一项为a,再用公差为d向两边分别设项:…,a-2d,a-d,a,a+d,a+2d,….
(2)当等差数列{an}的项数n为偶数时,可先设中间两项为a-d,a+d,再以公差为2d向两边分别设项:…,a-3d,a-d,a+d,a+3d,…,这样可减少计算量.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测(2)已知三个数成等差数列,且数列是递增的,它们的和为18,平方和为116,求这三个数.答案:A 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测(2)解:方法一:设这三个数分别为a,b,c,则 故这三个数分别为4,6,8.
方法二:设这三个数分别为a-d,a,a+d,由已知可得由①得a=6,代入②得d=±2.
∵该数列是递增的,∴d=-2舍去,∴d=2,∴这三个数分别为4,6,8.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测等差数列的实际应用
例3《九章算术》“竹九节”问题:现有一根9节的竹子,自上而下各节的容积成等差数列,最上面4节的容积共3升,最下面3节的容积共4升,则从上往下数,第5节的容积为( )分析:设出等差数列的首项与公差,运用等差数列的知识解决. 解析:设所构成的等差数列{an}的首项为a1,公差为d,则 答案:B 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测反思感悟解决等差数列实际应用问题的步骤及注意点
1.解答数列实际应用问题的基本步骤:(1)审题,即仔细阅读材料,认真理解题意;(2)建模,即将已知条件翻译成数学(数列)语言,将实际问题转化成数学问题;(3)判型,即判断该数列是否为等差数列;(4)求解,即求出该问题的数学解;(5)还原,即将所求结果还原到实际问题中.
2.在利用数列方法解决实际问题时,一定要弄清首项、项数等关键问题.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测变式训练3第一届现代奥运会于1896年在希腊雅典举行,以后每4年举行一次,如因故不能举行,届数照算,那么2020年将在日本东京举行的奥运会是( )
A.第30届 B.第31届 C.第32届 D.第33届
解析:依题意知举行奥运会的年份构成以1 896为首项,4为公差的等差数列,通项公式为an=1 896+4(n-1),令2 020=1 896+4(n-1),解得n=32.
答案:C探究一探究二探究三思维辨析当堂检测错用等差数列的性质致误
典例在等差数列{an}中,若a6=10,a15=1,求a21的值.
错解:因为{an}是等差数列,所以a21=a6+a15=10+1=11.
提示:错解是运用了“ap+aq=ap+q”这一结论得到的.事实上,在等差数列中,根本没有这样的性质.防范措施必须熟记等差数列的性质以便灵活运用,在性质“若m+n=p+q(m,n,p,q∈N*),则am+an=ap+aq”中,等式两边各有两项相加,项数相同,不能出现“am+an=am+n”的错误.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测1.已知等差数列{an},a7+a19=19,a5=1,则a21的值为( )
A.20 B.18 C.15 D.17
解析:因为a7+a19=a5+a21,所以19=1+a21,解得a21=18.
答案:B
2.已知数列{an},{bn}为等差数列,且公差分别为d1=2,d2=1,则数列{2an-3bn}的公差为( )
A.7 B.5 C.3 D.1
解析:2an+1-3bn+1-(2an-3bn)=2(an+1-an)-3(bn+1-bn)=2d1-3d2=4-3=1.
答案:D探究一探究二探究三思维辨析当堂检测3.已知等差数列{an}的各项均为正数,a1=1,且a2+a6=a8.若p-q=10,则ap-aq= .?
解析:设等差数列{an}的公差为d>0.
∵a1=1,且a2+a6=a8,
∴2+6d=1+7d,解得d=1.
若p-q=10,则ap-aq=10d=10.
答案:10
4.已知直角三角形的三条边的长度成等差数列,则它们长度的比等于 .?
解析:设这个直角三角形的三边长分别为a-d,a,a+d,根据勾股定理,得(a-d)2+a2=(a+d)2,解得a=4d,于是这个直角三角形的三边长分别是3d,4d,5d,即这个直角三角形的三边长的比是3∶4∶5.
答案:3∶4∶5探究一探究二探究三思维辨析当堂检测5.某公司2017年经销一种数码产品,获利200万元,从2018年起,预计其利润每年比上一年减少20万元,按照这一规律,如果公司不开发新产品,也不调整经营策略,从哪一年起,该公司经销这一产品将出现亏损?
解:记2017年为第1年,由题设可知第1年获利200万元,第2年获利180万元,第3年获利160万元,……,则每年获利构成等差数列{an},且当an<0时,该公司经销此产品将亏损.
设第n年的利润为an,因为a1=200,公差d=-20,所以an=a1+(n-1)d=220-20n.
由题意知,数列{an}为递减数列,令an<0,即an=220-20n<0,解得n>11,
即从第12年起,也就是从2028年开始,该公司经销此产品将出现亏损.
