2.3 等差数列的前n项和
第1课时 等差数列的前n项和
课后篇巩固提升
基础巩固
1.已知Sn为等差数列{an}的前n项和,a2+a5=4,S7=21,则a7的值为( )
A.6 B.7 C.8 D.9
解析设{an}的公差为d,则a1+d+a1+4d=4,7a1+7×62d=21,解得a1=-3,d=2,所以a7=a1+6d=-3+6×2=9,故选D.
答案D
2.在等差数列{an}中,已知a4+a8=16,则该数列前11项的和S11=( )
A.58 B.88 C.143 D.176
解析∵S11=11(a1+a11)2,a1+a11=a4+a8=16,
∴S11=11×162=88,故选B.
答案B
3.已知数列{an}的前n项和Sn=n2,则an等于( )
A.n B.n2 C.2n+1 D.2n-1
解析当n=1时,a1=S1=1;当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2-(n-1)2=2n-1,且a1=1适合上式,故an=2n-1(n∈N*).
答案D
4.在我国古代著名的数学专著《九章算术》里有一段叙述:今有良马与驽马发长安至齐,齐去安一千一百二十五里,良马初日行一百零三里,日增十三里;驽马初日行九十七里,日减半里,良马先至齐,复还迎驽马,二马相逢,问:相逢时良马比驽马多行( )
A.1 125里 B.920里 C.820里 D.540里
解析设良马每天所行路程为{an},则{an}是以103为首项,以13为公差的等差数列,其前n项和为An,驽马每天所行路程为{bn},则{bn}是以97为首项,以-12为公差的等差数列,其前n项和为Bn,设共用n天二马相逢,则An+Bn=2×1 125,所以103n+n(n-1)2×13+97n+n(n-1)2-12=2 250,
化简得n2+31n-360=0,解得n=9.
A9=103×9+9×82×13=1 395,
B9=2 250-1 395=855,A9-B9=1 395-855=540.
答案D
5.已知数列{an}的通项公式为an=2n+1,令bn=1n(a1+a2+…+an),则数列{bn}的前10项和T10=( )
A.70 B.75 C.80 D.85
解析∵an=2n+1,
∴数列{an}是等差数列,首项a1=3,其前n项和Sn=n(a1+an)2=n(3+2n+1)2=n2+2n,∴bn=1nSn=n+2,∴数列{bn}也是等差数列,首项b1=3,公差为1,
∴其前10项和T10=10×3+10×92×1=75,故选B.
答案B
6.设数列{an}是等差数列,且a2+a3+a4=15,则该数列的前5项和S5= .?
解析由a2+a3+a4=15,得3a3=15,解得a3=5,故S5=5(a1+a5)2=5a3=25.
答案25
7.在等差数列{an}中,其前n项和为Sn,若S12=8S4,则a1d=.
解析∵S12=12a1+12×112d,S4=4a1+4×32d,
∴12a1+66d=32a1+48d.∴20a1=18d.
∴a1d=1820=910.
答案910
8.已知数列{an}的前n项和为Sn=n·2n-1,则a3+a4+a5= .?
解析a3+a4+a5=S5-S2=(5×25-1)-(2×22-1)=152.
答案152
9.设数列{an}的前n项和为Sn,点n,Snn(n∈N*)均在函数y=3x-2的图象上,求数列{an}的通项公式.
解依题意,得Snn=3n-2,即Sn=3n2-2n.
当n≥2时,an=Sn-Sn-1
=(3n2-2n)-[3(n-1)2-2(n-1)]=6n-5.
因为a1=S1=1,满足an=6n-5,
所以an=6n-5(n∈N*).
10.已知数列{an}满足a1=1,a2=2,an+2=2an+1-an+2.
(1)设bn=an+1-an,证明{bn}是等差数列;
(2)求{an}的通项公式.
解(1)∵an+2=2an+1-an+2,
∴an+2-an+1=an+1-an+2,即bn+1=bn+2.
又b1=a2-a1=2-1=1,
∴数列{bn}是以1为首项,2为公差的等差数列.
(2)由(1)可知,an+1-an=1+2(n-1)=2n-1,
∴an-an-1=2(n-1)-1,
an-1-an-2=2(n-2)-1,
……
a2-a1=2×1-1,
累加,得an-a1=2×n(n-1)2-(n-1)=n2-2n+1,
∴an=a1+n2-2n+1=n2-2n+2,
∴数列{an}的通项公式为an=n2-2n+2.
能力提升
1.在等差数列{an}中,2a4+a7=3,则数列{an}的前9项和S9等于( )
A.3 B.6 C.9 D.12
解析设等差数列{an}的公差为d,因为2a4+a7=3,所以2(a1+3d)+a1+6d=3,整理,得a1+4d=1,即a5=1,所以S9=9(a1+a9)2=9a5=9.
答案C
2.若公差不为0的等差数列{an}的前21项的和等于前8项的和,且a8+ak=0,则正整数k的值为( )
A.20 B.21 C.22 D.23
解析设等差数列{an}的前n项和为Sn,由题意,得S21=S8,即a9+a10+…+a21=0.根据等差数列的性质,得13a15=0,即a15=0.故a8+a22=2a15=0,即k=22.故选C.
答案C
3.已知等差数列{an},a2=6,a5=15,若bn=a2n,则数列{bn}的前5项和等于( )
A.30 B.45 C.90 D.186
解析由等差数列{an}易得公差d1=3.又bn=a2n,所以{bn}也是等差数列,公差d2=6.故S5=b1+b2+b3+b4+b5=a2+a4+a6+a8+a10=5×6+5×42×6=90.
答案C
4.设Sn为等差数列{an}的前n项和,Sn=336,a2+a5+a8=6,an-4=30(n≥5,n∈N*),则n等于( )
A.8 B.16 C.21 D.32
解析由a2+a5+a8=6,得3a5=6,所以a5=2.因为a5+an-4=a1+an=2+30=32,所以Sn=n(a1+an)2=32n2=336,解得n=21.
答案C
5.已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2an-1(n∈N*),则a5= .?
解析当n≥2时,由Sn=2an-1,得Sn-1=2an-1-1.两式相减,得an=2an-2an-1,所以an=2an-1.因为a1=2a1-1,所以a1=1,故a5=2a4=22a3=23a2=24a1=16.
答案16
6.在数列{an}中,an=4n-52,a1+a2+…+an=an2+bn+c,n∈N*,其中a,b为常数,则ab+c= .?
解析因为an=4n-52,即an是关于n的一次函数,所以数列{an}是等差数列,所以a1+a2+…+an=n32+4n-522=2n2-12n,因此a=2,b=-12,c=0,故ab+c=2×-12+0=-1.
答案-1
7.已知数列{an}的前n项和为Sn(Sn≠0),且满足an+2Sn·Sn-1=0(n≥2),a1=12.
(1)求证:1Sn是等差数列;
(2)求数列{an}的通项公式.
(1)证明∵-an=2SnSn-1(n≥2),∴-Sn+Sn-1=2SnSn-1(n≥2).又Sn≠0(n=1,2,3,…),∴1Sn?1Sn-1=2.
又1S1=1a1=2,∴1Sn是以2为首项,2为公差的等差数列.
(2)解由(1)可知1Sn=2+(n-1)·2=2n,∴Sn=12n.
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=12n?12(n-1)=-12n(n-1)或当n≥2时,an=-2SnSn-1=-12n(n-1);
当n=1时,S1=a1=12.故an=12,n=1,-12n(n-1),n≥2.
8.设Sn为数列{an}的前n项和,Sn=λan-1(λ为常数,n=1,2,3,…).
(1)若a3=a22,求λ的值;
(2)是否存在实数λ,使得数列{an}是等差数列?若存在,求出λ的值;若不存在,请说明理由.
解(1)因为Sn=λan-1,
所以a1=λa1-1,a2+a1=λa2-1,a3+a2+a1=λa3-1.
由a1=λa1-1,可知λ≠1,
所以a1=1λ-1,a2=λ(λ-1)2,a3=λ2(λ-1)3.
因为a3=a22,所以λ2(λ-1)3=λ2(λ-1)4,解得λ=0或λ=2.
(2)假设存在实数λ,使得数列{an}是等差数列,则2a2=a1+a3,
由(1)可得2λ(λ-1)2=1λ-1+λ2(λ-1)3,
所以2λ(λ-1)2=2λ2-2λ+1(λ-1)3=2λ(λ-1)2+1(λ-1)3,即1(λ-1)3=0,显然不成立,所以不存在实数λ,使得数列{an}是等差数列.
课件29张PPT。第1课时 等差数列的前n项和一、 数列的前n项和
1.填空:
数列的前n项和
对于数列{an},一般地,我们称a1+a2+a3+…+an为数列{an}的前n项和,用Sn表示,即Sn=a1+a2+a3+…+an.
2.做一做:
已知数列{an}的通项公式an=n2+1,若其前n项和为Sn,则S3= .?
解析:∵an=n2+1,∴a1=2,a2=5,a3=10,
∴S3=a1+a2+a3=17.
答案:17二、等差数列的前n项和
1.思考:高斯求和的故事我们一定耳熟能详,高斯是怎样求出1+2+3+…+100的结果的呢?2.思考:如图,某仓库堆放的一堆钢管,最上面的一层有4根钢管,下面的每一层都比上一层多1根,最下面的一层有9根.问题(1):一共有几层?图形的横截面是什么形状?
问题(2):假设在这堆钢管旁边再倒放上同样一堆钢管,如图所示,则这样一共有多少根钢管?问题(3):原来有多少根钢管?
问题(4):能否利用这种方法推导等差数列{an}的前n项和公式Sn=a1+a2+…+an?3.填空:
(1)若{an}是等差数列,则Sn可以用首项a1和末项an表示为4.从函数角度认识等差数列的前n项和公式:
(1)公式的变形(2)从函数角度认识公式
①当d≠0时,Sn是项数n的二次函数,且不含常数项;
②当d=0时,Sn=na1,Sn不是项数n的二次函数.(3)结论及其应用
已知数列{an}的前n项和Sn=An2+Bn+C,
若C=0,则数列{an}为等差数列;
若C≠0,则数列{an}不是等差数列.5.做一做:
(1)判断正误.
①若数列{an}的前n项和Sn=4,则{an}不是等差数列. ( )
②若数列{an}的前n项和Sn=kn(k∈R),则{an}为常数列. ( )
③等差数列{an}的前n项和Sn一定是关于n的二次函数. ( )
答案:①√ ②√ ③×
(2)①在等差数列{an}中,其前n项和为Sn,a3=7,公差d=2,则S20= .?
②已知数列{an}为等差数列,a1=2,an=10,Sn=72,则n= .?答案:①440 ②12 三、数列中an与Sn的关系
1.思考:若已知数列{an}的前n项和为Sn,则Sn-1表示什么?an与Sn,Sn-1之间的关系是什么?
提示:Sn-1表示数列{an}前(n-1)项的和;an=Sn-Sn-1(n≥2).
2.填空:
an与Sn的关系3.做一做:
(1)判断正误.
①若等差数列{an}的前n项和为Sn,则S10+S20=S30. ( )
②公式an=Sn-Sn-1成立的条件是n∈N*. ( )
答案:①× ②×探究一探究二探究三思维辨析当堂检测等差数列前n项和公式及其应用
例1(1)设Sn是等差数列{an}的前n项和,且a1=1,a4=7,则S9= .?
(2)设Sn为等差数列{an}的前n项和,若S3=3,S6=24,则a9= .?
(3)在等差数列{an}中,若a1=1,an=-512,Sn=-1 022,则公差d= .?
分析:利用等差数列的通项公式和前n项和公式列方程进行计算求解.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测答案:(1)81 (2)15 (3)-171 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测反思感悟a1,d,n称为等差数列的三个基本量,an和Sn都可以用这三个基本量来表示,五个量a1,d,n,an,Sn中,可知三求二,即等差数列的通项公式及前n项和公式中“知三求二”的问题,一般是通过通项公式和前n项和公式联立方程(组)来求解.这种方法是解决数列运算的基本方法.在运算中要注意等差数列性质的应用.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测变式训练1(1)设等差数列{an}的前n项之和为Sn,已知a2=3,a5=9,则S5等于( )
A.15 B.20 C.25 D.30
(2)若等差数列{an}的前5项和S5=25,且a2=3,则a7=( )
A.12 B.13 C.14 D.15
(3)已知Sn为等差数列{an}的前n项的和,若a3=16,S20=20,Sn=110,则n= .?探究一探究二探究三思维辨析当堂检测答案:(1)C (2)B (3)10或11 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测利用an与Sn的关系解决问题
例2(1)已知数列{an}的前n项和Sn=5n-1,求数列{an}的通项公式;分析:利用an与Sn的关系求通项公式,注意对首项的检验.解:(1)当n=1时,a1=S1=51-1=4.
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(5n-1)-(5n-1-1)=5n-5n-1=4·5n-1.
由于a1=4也适合an=4·5n-1,因此数列{an}的通项公式是an=4·5n-1(n∈N*).探究一探究二探究三思维辨析当堂检测反思感悟已知数列{an}的前n项和Sn,求通项公式an的步骤
1.当n=1时,a1=S1.
2.当n≥2时,根据Sn写出Sn-1,化简an=Sn-Sn-1.
3.如果a1也满足当n≥2时,an=Sn-Sn-1的通项公式,那么数列{an}的通项公式为an=Sn-Sn-1;
如果a1不满足当n≥2时,an=Sn-Sn-1的通项公式,那么数列{an}的通探究一探究二探究三思维辨析当堂检测变式训练2已知数列{an}的前n项和Sn=n2-9n,第k项满足5
A.9 B.8 C.7 D.6
解析:当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2-9n-(n-1)2+9(n-1)=2n-10.当n=1时,a1=S1=-8也适合,所以an=2n-10.因为5答案:B探究一探究二探究三思维辨析当堂检测例3已知数列{an}的各项均为正数,前n项和为Sn,且满足(1)求证:{an}为等差数列;
(2)求出{an}的通项公式.减,利用an与Sn的关系可消去Sn,得到an与an-1的关系,从而可判断数列{an}是不是等差数列,再根据a1=S1可求出a1的值,即得{an}的通项公式.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测若an-1=-an-1,则an+an-1=1,而a1=3,所以a2=-2,这与数列{an}的各项均为正数相矛盾;
若an-1=an-1,即an-an-1=1,因此{an}为等差数列.
(2)由(1)知,{an}为等差数列,且a1=3,公差d=1,所以an=3+(n-1)=n+2,故{an}的通项公式为an=n+2.反思感悟利用an与Sn的关系求数列{an}的通项公式.
已知an与Sn的关系式求an时,可根据已给出的关系式,令n取n+1或n取n-1,再写出一个关系式,将两式相减,消去Sn,得到an与an+1或an与an-1的关系,从而确定数列{an}是等差数列或其他数列,求出其通项公式.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测延伸探究在本例中,若条件变为“数列{an}的各项均为正数,前n项和为Sn,且满足8Sn=(an+2)2”,求数列{an}的通项公式.
解:当n=1时,8a1=(a1+2)2,
解得a1=2.
当n≥2时,8Sn-1=(an-1+2)2,即(an+an-1)(an-an-1-4)=0.
因为数列{an}的各项均为正数,所以an+an-1>0,
所以an-an-1-4=0,即an-an-1=4,所以数列{an}为首项为2,公差为4的等差数列,故an=2+4(n-1)=4n-2.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测等差数列在实际生活中的应用
例4 某人用分期付款的方式购买一件家电,价格为1 150元,购买当天先付150元,以后每月的这一天都交付50元,并加付欠款利息,月利率为1%.若交付150元后的一个月开始算分期付款的第一个月,则分期付款的第10个月该交付多少钱?全部贷款付清后,买这件家电实际花费多少钱?探究一探究二探究三思维辨析当堂检测解:设每次交款数额依次为a1,a2,…,a20,
则a1=50+1 000×1%=60,
a2=50+(1 000-50)×1%=59.5,
…
a10=50+(1 000-9×50)×1%=55.5,
即第10个月应付款55.5元.
由于{an}是以60为首项,以-0.5为公差的等差数列,即全部付清后实际付款1 105+150=1 255(元).
反思感悟建立等差数列的模型时,要根据题意找准首项、公差和项数或者首项、末项和项数.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测变式训练3甲、乙两物体分别从相距70 m的两处同时相向运动,甲第1分钟走2 m,以后每分钟比前1分钟多走1 m,乙每分钟走5 m.
(1)甲、乙开始运动后几分钟相遇?
(2)如果甲、乙到达对方起点后立即返回,甲继续每分钟比前1分钟多走1 m,乙继续每分钟走5 m,那么开始运动几分钟后第二次相遇?整理得n2+13n-140=0.解得n=7,n=-20(舍去).
所以第1次相遇是在开始运动后7分钟.
(2)设n分钟后第2次相遇,由题意,整理得n2+13n-420=0.
解得n=15,n=-28(舍去).
所以第2次相遇是在开始运动后15分钟.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测已知Sn求an时,忽视n=1的情况致误
典例已知数列{an}的前n项和Sn=n2+2,求此数列的通项公式.
错解:an=Sn-Sn-1=n2+2-(n-1)2-2=2n-1.
提示:错解中忘记了对a1的值是否符合求出的通项公式的检验,导致结果错误.
正解:当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2+2-(n-1)2-2=2n-1;当n=1时,a1=S1=12+2=3,不适合上式,探究一探究二探究三思维辨析当堂检测防范措施已知数列{an}的前n项和公式Sn,求an时应分三步.第一步:利用a1=S1求a1;第二步:当n≥2时,求an=Sn-Sn-1;第三步:检验a1是否适合当n≥2时得到的an,若适合,则an即为所求;若不适合,将an用分段函数表示.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测1.设Sn为等差数列{an}的前n项和,公差d=-2,若S10=S11,则a1=( )
A.18 B.20 C.22 D.24答案:B 2.已知数列{an}的前n项和Sn=-n2+3n,若ak+1=-16,则k的值等于( )
A.9 B.8 C.7 D.6
解析:当n≥2时,an=Sn-Sn-1=-n2+3n+(n-1)2-3(n-1)=-2n+4.又a1=S1=2也适合上式,所以an=-2n+4(n∈N*),由ak+1=-16,得-2(k+1)+4=-16,解得k=9.
答案:A探究一探究二探究三思维辨析当堂检测3.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若a6=S3=12,则{an}的通项an= .?
解析:设{an}的公差为d,故an=2+(n-1)×2=2n.
答案:2n探究一探究二探究三思维辨析当堂检测4.某电影院中,从第2排开始,每一排的座位数比前一排多两个座位,第1排有18个座位,最后一排有36个座位,则该电影院共有座位 个.?
解析:从第1排开始每排座位数形成等差数列{an},其中a1=18,an=36.公差为d=2,则36=18+2(n-1),解得n=10.∴该电影院共答案:270 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测5.已知数列{an}的前n项和为Sn=-2n2+3n+1.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)数列{an}是否为等差数列?
解:(1)当n=1时,a1=S1=2;当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(-2n2+3n+1)-[-2(n-1)2+3(n-1)+1]=-4n+5.又当n=1时,a1=2不满足上式,(2)由(1)知,当n≥2时,an+1-an=-4(n+1)+5-(-4n+5)=-4,
但a2-a1=-3-2=-5,所以数列{an}不是等差数列.第2课时 等差数列前n项和的性质与应用
课后篇巩固提升
基础巩固
1.在等差数列{an}中,Sn是其前n项和,a1=-11,S1010?S88=2,则S11=( )
A.-11 B.11 C.10 D.-10
解析∵{an}为等差数列,∴Snn为等差数列,首项S11=a1=-11,设Snn的公差为d,则S1010?S88=2d=2,∴d=1,∴S1111=-11+10d=-1,∴S11=-11.
答案A
2.某等差数列共有13项,其中偶数项之和为30,则奇数项之和为( )
A.34 B.35
C.36 D.不能确定
解析由题意可得,偶数项的S偶=a2+a4+…+a12=30,由等差数列的性质可知,6a7=30,即a7=5,因为共有13项,∴S奇=S偶+a7=35.
答案B
3.若Sn表示等差数列{an}的前n项和,S5S10=13,则S10S20=( )
A.19 B.18 C.310 D.13
解析由题意,得S5,S10-S5,S15-S10,S20-S15成等差数列.∵S5S10=13,∴S10=3S5,∴S15=6S5,S20=10S5,∴S10S20=310.
答案C
4.已知数列{an}为等差数列,a2=0,a4=-2,则其前n项和Sn的最大值为( )
A.98 B.94 C.1 D.0
解析因为a2=0,a4=-2,所以公差d=-2-04-2=-1,所以a1=1.又a2=0,所以数列{an}的前n项和Sn的最大值为1.
答案C
5.等差数列{an},{bn}的前n项和分别为Sn和Tn,若SnTn+2=2n+73n+6,则a2+a11+a20b5+b19=( )
A.161150 B.79 C.4946 D.76
解析∵SnTn+2=2n+73n+6,则根据等差数列的性质可知a2+a11+a20b5+b19=3a112b12=3×2a114b12=3×a1+a212×212×b1+b232×23×2321=32×21×2+721×3+6×2321=76.
答案D
6.已知等差数列{an},Sn为其前n项和,S3=9,a4+a5+a6=7,则S9-S6= .?
解析∵S3,S6-S3,S9-S6成等差数列,而S3=9,S6-S3=a4+a5+a6=7,∴S9-S6=5.
答案5
7.已知等差数列{an},|a5|=|a9|,公差d>0,则使得其前n项和Sn取得最小值的正整数n的值是 .?
解析由|a5|=|a9|,且d>0,得a5<0,a9>0,且a5+a9=0,即2a1+12d=0,即a1+6d=0,即a7=0,故S6=S7,且为最小值.
答案6或7
8.设等差数列{an}的前n项和为Sn,a1>0,n∈N*,若S12>0,S13<0,则数列{|an|}的最小项是 .?
解析设等差数列{an}的公差为d.
∵a1>0,n∈N*,S12>0,S13<0,
∴6(a6+a7)>0,13a7<0.
∴a6>0,a7<0,且a6>-a7>0.
而-a7<-a8<…,则数列{|an|}的最小项是a7.
答案a7
9.已知等差数列{an}的前3项和为6,前8项和为-4.
(1)求数列{an}的前n项和Sn;
(2)求数列Snn的前n项和Tn.
解(1)设{an}的公差为d,由题意,得3a1+3×22d=6,8a1+8×72d=-4,
即3a1+3d=6,8a1+28d=-4,解得a1=3,d=-1.
所以Sn=3n+n(n-1)2×(-1)=-12n2+72n.
(2)由(1),得Snn=-12n+72,所以Sn+1n+1?Snn=-12(n+1)+72?-12n+72=-12,
即数列Snn是首项为S11=3,公差为-12的等差数列,故Tn=3n+n(n-1)2×-12=-14n2+134n.
10.在等差数列{an}中,a1=-60,a17=-12,求数列{|an|}的前n项和.
解等差数列{an}的公差d=a17-a117-1=-12-(-60)16=3,
故an=a1+(n-1)d=-60+(n-1)×3=3n-63.
由an<0,得3n-63<0,即n<21.
故数列{an}的前20项是负数,第20项以后的项都为非负数.
设Sn,S'n分别表示数列{an},{|an|}的前n项和,
当n≤20时,S'n=-Sn
=--60n+n(n-1)2×3=-32n2+1232n;
当n≥21时,S'n=-S20+(Sn-S20)=Sn-2S20
=-60n+n(n-1)2×3-2×-60×20+20×192×3
=32n2-1232n+1 260.故数列{|an|}的前n项和为S'n=-32n2+1232n,n≤20,32n2-1232n+1 260,n≥21.
能力提升
1.在数列{an}中,a1=-60,an+1=an+3,则这个数列前30项的绝对值之和为( )
A.495 B.765 C.46 D.76
解析由已知可以判断数列{an}是以-60为首项,3为公差的等差数列,因此an=3n-63.
∵a1<0,d>0,a21=0,a22>0,
∴数列前30项的绝对值之和为S30-2S21=30×(-60)+30×292×3-2×21×(-60)+21×202×3=765.
答案B
2.已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为An和Bn,且AnBn=7n+45n+3,则使得anbn为整数的正整数n有( )
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
解析anbn=2an2bn=a1+a2n-1b1+b2n-1=2n-12(a1+a2n-1)2n-12(b1+b2n-1)=A2n-1B2n-1=7(2n-1)+45(2n-1)+3=7n+19n+1=7+12n+1.
当n=1,2,3,5,11时,12n+1为整数,即当n=1,2,3,5,11时,anbn为整数.
答案D
3.在等差数列{an}中,其前n项和为Sn,nSn+1>(n+1)Sn(n∈N*),且a8a7<-1,则在Sn中( )
A.最小值是S7 B.最小值是S8
C.最大值是S8 D.最大值是S7
解析由nSn+1>(n+1)Sn,得Sn+1n+1>Snn,即Sn+1n+1?Snn>0.而Sn+1n+1?Snn=d2,所以d>0.因为a8a7<-1,所以a7+a8a7<0,即a7(a7+a8)<0.由于d>0,因此数列{an}是递增数列,所以a7<0,a7+a8>0,所以a7<0,a8>0,所以在Sn中最小值是S7.
答案A
4.设数列{an}为等差数列,其前n项和为Sn,已知a4和a5是方程x2-20x+99=0的两个根,若对任意n∈N*都有Sn≤Sk成立,则k的值为 .?
解析∵a4和a5是方程x2-20x+99=0的两个根,
∴a4+a5=20,a4·a5=99.
∵对任意n∈N*都有Sn≤Sk成立,即Sk是和的最大值,从而d<0,∴a4=11,a5=9,d=-2,an=a4+(n-4)×(-2)=19-2n,
当n≤9时,an>0,当n>9时,an<0,
若对任意n∈N*都有Sn≤Sk成立,则k=9.
答案9
5.在等差数列{an}中,Sn是其前n项和,且S2 011=S2 014,Sk=S2 009,则正整数k为 .?
解析因为等差数列{an}的前n项和Sn可看成是关于n的二次函数,所以由二次函数图象的对称性及S2 011=S2 014,Sk=S2 009,可得2 011+2 0142=2 009+k2,解得k=2 016.
答案2 016
6.已知数列{an}是以3为公差的等差数列,Sn是其前n项和,若S10是数列{Sn}中的唯一最小项,则数列{an}的首项a1的取值范围是 .?
解析依题意,得a10<0,a11>0,即a1+9×3<0,a1+10×3>0,解得-30答案(-30,-27)
7.设数列{an}的各项都为正数,其前n项和为Sn,已知对任意n∈N*,Sn是an2和an的等差中项.
(1)证明:数列{an}为等差数列,并求an;
(2)若bn=-n+5,求{an·bn}的最大值,并求出取最大值时n的值.
(1)证明由已知,得2Sn=an2+an,且an>0.
当n=1时,2a1=a12+a1,解得a1=1.
当n≥2时,2Sn-1=an-12+an-1.
所以2Sn-2Sn-1=an2?an-12+an-an-1,即2an=an2?an-12+an-an-1,即(an+an-1)(an-an-1)=an+an-1.
因为an+an-1>0,所以an-an-1=1(n≥2).
故数列{an}是首项为1,公差为1的等差数列,且an=n.
(2)解由(1)可知an=n.设cn=an·bn,
则cn=n(-n+5)=-n2+5n=-n-522+254.
∵n∈N*,∴当n=2或n=3时,{cn}的最大项为6.
故{an·bn}的最大值为6,此时n=2或n=3.
8.在等差数列{an}中,a10=23,a25=-22.
(1)数列{an}的前多少项和最大?
(2)求数列{|an|}的前n项和Sn.
解(1)设{an}的公差为d,由a10=23,a25=-22,得a1+9d=23,a1+24d=-22,解得a1=50,d=-3,
所以an=a1+(n-1)d=-3n+53.
令an>0,得n<533,所以当n≤17,n∈N*时,an>0;当n≥18,n∈N*时,an<0,故数列{an}的前17项和最大.
(2)当n≤17,n∈N*时,|a1|+|a2|+…+|an|=a1+a2+…+an=-32n2+1032n;
当n≥18,n∈N*时,|a1|+|a2|+…+|an|=a1+a2+…+a17-a18-a19-…-an=2(a1+a2+…+a17)-(a1+a2+…+an)=32n2-1032n+884.
故Sn=-32n2+1032n,n≤17,32n2-1032n+884,n≥18.
课件24张PPT。第2课时 等差数列前n项和的性质与应用一、等差数列前n项和的性质
1.等差数列前n项和的性质:(2)设等差数列{an}的公差为d,Sn为其前n项和,则Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…仍构成等差数列,且公差为m2d.2.做 一做:
(1)判断正误.
①若等差数列{an}的前n项和为Sn,则S2n+1=(2n+1)an. ( )③若等差数列{an}的前n项和为Sn,则S5,S10,S15也成等差数列. ( )
答案:①× ②× ③×
(2)①已知某等差数列共有10项,其奇数项之和为15,偶数项之和为30,则其公差为( )
A.5 B.4
C.3 D.2
②在等差数列{an}中,其前n项和为Sn,S2=4,S4=9,则S6= .?解析:①设等差数列的公差为d,由题意,得S偶-S奇=30-15=5d,解得d=3.
②∵S2,S4-S2,S6-S4成等差数列,
∴4+(S6-9)=2×5,
解得S6=15.
答案:①C ②15二、等差数列前n项和的最值
1.如何求等差数列前n项和的最值?
提示:(1)在等差数列{an}中,当a1>0,d>0时,前n项和Sn有最小值S1.
(2)在等差数列{an}中,当a1<0,d<0时,前n项和Sn有最大值S1.
(3)在等差数列{an}中,当a1>0,d<0时,前n项和Sn有最大值,Sn取得从二次函数的角度看,当d>0时,Sn有最小值;当d<0时,Sn有最大值;且当n取最接近对应函数图象对称轴的正整数时,Sn取得最值.
(6)对于公差不为0的等差数列{an},使得其前n项和Sn取得最值的n的值可能有1个或2个.2.做一做:
(1)判断正误.
①若无穷等差数列{an}的公差d>0,则其前n项和Sn不存在最大值. ( )
②若数列{an}为等差数列,则数列{|an|}一定不是等差数列. ( )
答案:①√ ②×
(2)①在等差数列{an}中,an=21-3n,则当其前n项和Sn取最大值时,n的值等于 .?
②已知数列{an}的前n项和Sn=n2-48n,则Sn的最小值为 .?
解析:①由已知,得当n<7时,an>0,a7=0,当n>7时,an<0,所以当Sn取最大值时,n的值为6或7.
②Sn=n2-48n=(n-24)2-576.
∵n∈N*,∴当n=24时,Sn有最小值-576.
答案:①6或7 ②-576探究一探究二探究三当堂检测等差数列前n项和的性质及其应用
例1(1)等差数列{an}的前m项和为30,前2m项和为100,则数列{an}的前3m项的和S3m为 .?分析:运用等差数列前n项和的性质解决问题. 探究一探究二探究三当堂检测解析:(1)方法一 在等差数列中,
∵Sm,S2m-Sm,S3m-S2m成等差数列,
∴30,70,S3m-100成等差数列.
∴2×70=30+(S3m-100),∴S3m=210.探究一探究二探究三当堂检测反思感悟利用等差数列前n项和的性质简化计算
(1)在解决等差数列问题时,先利用已知求出a1,d,再求所求,是基本解法,有时运算量大些.
(2)如果利用等差数列前n项和的性质或利用等差数列通项公式的性质,那么可简化运算,为最优解法.
(3)设而不求,整体代换也是很好的解题方法.探究一探究二探究三当堂检测变式训练1(1)已知等差数列的前12项和为354,前12项中偶数项和与奇数项和之比为32∶27,则公差d= .?
(2)一个等差数列的前10项和为100,前100项和为10,则前110项之和为 .?探究一探究二探究三当堂检测答案:(1)5 (2)-110 探究一探究二探究三当堂检测等差数列前n项和的最值问题
例2在等差数列{an}中,Sn为前n项和,且a1=25,S17=S9,请问数列{an}前多少项和最大?
分析:解答本题可用多种方法,根据S17=S9找出a1与d的关系,转化为Sn的二次函数求最值,也可以先用通项公式找到通项的变号点,再求解.探究一探究二探究三当堂检测探究一探究二探究三当堂检测解法三∵S17=S9,
∴a10+a11+…+a17=0.
∴a10+a17=a11+a16=…=a13+a14=0.
∵a1=25>0,
∴当n≤13时,an>0;当n≥14时,an<0.
∴S13最大.探究一探究二探究三当堂检测反思感悟一般地,在等差数列{an}中,若a1>0,d<0,则其前n项和Sn有最大值;若a1<0,d>0,则其前n项和Sn有最小值,具体求解方法如下:(2)利用等差数列的性质,找出数列{an}中正、负项的分界项.当a1>0,d<0时,前n项和Sn有最大值,可由an≥0,且an+1≤0,求得n的值;当a1<0,d>0时,前n项和Sn有最小值,可由an≤0,且an+1≥0,求得n的值.探究一探究二探究三当堂检测变式训练2已知{an}为等差数列,a3=7,a1+a7=10,Sn为其前n项和,则使Sn取得最大值的n等于 .?答案:6 探究一探究二探究三当堂检测求数列{|an|}的前n项和问题 分析:先求出通项an,再确定数列中项的正负,最后利用Sn求解. 探究一探究二探究三当堂检测探究一探究二探究三当堂检测反思感悟已知等差数列{an},求{|an|}的前n项和的步骤
1.确定通项公式an;
2.根据通项公式确定数列{an}中项的符号,即判断数列{an}是先负后正,还是先正后负;
3.去掉数列{|an|}中各项的绝对值,转化为{an}的前n项和求解,转化过程中有时需添加一部分项,以直接利用数列{an}的前n项和公式;
4.将{|an|}的前n项和写成分段函数的形式.探究一探究二探究三当堂检测延伸探究在本例中,若将条件改为“等差数列{an}的通项公式为an=3n-23”,求数列{|an|}的前n项和.探究一探究二探究三当堂检测1.在项数为2n+1的等差数列中,所有奇数项的和为165,所有偶数项的和为150,则n的值为( )
A.9 B.10 C.11 D.12
解析:∵等差数列有2n+1项,S奇-S偶=a中,
∴a中=15.
又S2n+1=(2n+1)a中,∴165+150=(2n+1)×15,
∴n=10.
答案:B
2.已知Sn是等差数列{an}的前n项和,且Sn=20,S2n=80,则S3n=( )
A.130 B.180 C.210 D.260
解析:因为Sn,S2n-Sn,S3n-S2n仍然构成等差数列,所以20,60,S3n-80成等差数列,所以2×60=20+S3n-80,解得S3n=180.
答案:B探究一探究二探究三当堂检测4.在数列{an}中,a1=32,an+1=an-4,则当n= 时,前n项和Sn取得最大值,最大值是 .?
解析:由an+1=an-4,得{an}为等差数列,且公差d=an+1-an=-4,故an=-4n+36.
令an=-4n+36≥0,得n≤9,
故当n=8或n=9时,Sn最大,且S8=S9=144.
答案:8或9 144探究一探究二探究三当堂检测5.在等差数列{an}中,Sn为其前n项和.若S2=16,S4=24,求数列{|an|}的前n项和Tn.