2.4 等比数列
第1课时 等比数列的概念及通项公式
课后篇巩固提升
基础巩固
1.等比数列{an}中,a1a2=2,a2a4=16,则公比q等于( )
A.2 B.3 C.48 D.234
解析等比数列{an}中,a1a2=2,a2a4=16,
∴a2·a4a1·a2=q3=8,则公比q=2,故选A.
答案A
2.若a,b,c成等差数列,则13a,13b,13c一定( )
A.是等差数列
B.是等比数列
C.既是等差数列也是等比数列
D.既不是等差数列也不是等比数列
解析因为a,b,c成等差数列,所以2b=a+c,于是13b2=132b=13a+c=13a·13c,所以13a,13b,13c一定是等比数列.
答案B
3.设{an}为等比数列,给出四个数列:①{2an};②{an2};③{2an};④{log2|an|},其中一定为等比数列的是( )
A.①② B.①③ C.②③ D.②④
解析{an}为等比数列,设其公比为q,则通项为a1qn-1,所以对于①,2an是以2a1为首项,以q为公比的等比数列;对于②,an2an-12=q2为常数,又因为a12≠0,故②为等比数列;对于③,2an2an-1=2an-an-1,不一定为常数;对于④,log2|an|log2|an-1|=log2|a1qn-1|log2|a1qn-2|,不一定为常数,故选A.
答案A
4.已知等差数列{an}的公差为2,若a1,a3,a4成等比数列,则a2=( )
A.-4 B.-6 C.-8 D.-10
解析∵a4=a1+6,a3=a1+4,a1,a3,a4成等比数列,
∴a32=a1·a4,即(a1+4)2=a1·(a1+6),
解得a1=-8,∴a2=a1+2=-6.故选B.
答案B
5.已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,Sn=2an+1,则Sn=( )
A.2n-1 B.32n-1 C.23n-1 D.12n-1
解析由Sn=2an+1,得Sn=2(Sn+1-Sn),即2Sn+1=3Sn,Sn+1Sn=32.又S1=a1=1,所以Sn=32n-1,故选B.
答案B
6.在160与5中间插入4个数,使它们同这两个数成等比数列,则这4个数依次为 .?
解析设这6个数所成等比数列的公比为q,则5=160q5,∴q5=132,∴q=12.
∴这4个数依次为80,40,20,10.
答案80,40,20,10
7.在数列{an}中,已知a1=3,且对任意正整数n都有2an+1-an=0,则an= .?
解析由2an+1-an=0,得an+1an=12,所以数列{an}是等比数列,公比为12.因为a1=3,所以an=3·12n-1.
答案3·12n-1
8.在等比数列{an}中,若a1=18,q=2,则a4与a8的等比中项是 .?
解析依题意,得a6=a1q5=18×25=4,而a4与a8的等比中项是±a6,故a4与a8的等比中项是±4.
答案±4
9.已知数列{an}是等差数列,且a2=3,a4+3a5=56.若log2 bn=an.
(1)求证:数列{bn}是等比数列;
(2)求数列{bn}的通项公式.
(1)证明由log2 bn=an,得bn=2an.
因为数列{an}是等差数列,不妨设公差为d,
则bnbn-1=2an2an-1=2an-an-1=2d(n≥2),2d是与n无关的常数,所以数列{bn}是等比数列.
(2)解由已知,得a1+d=3,a1+3d+3(a1+4d)=56,
解得a1=-1,d=4,于是b1=2-1=12,公比q=2d=24=16,所以数列{bn}的通项公式bn=12·16n-1.
10.已知数列{an}满足a1=1,an+1=2an+1.
(1)证明:数列{an+1}是等比数列;
(2)求数列{an}的通项公式.
(1)证明∵an+1=2an+1,∴an+1+1=2(an+1).
由a1=1,知a1+1≠0,从而an+1≠0.
∴an+1+1an+1=2(n∈N*).
∴数列{an+1}是等比数列.
(2)解由(1)知{an+1}是以a1+1=2为首项,2为公比的等比数列.∴an+1=2·2n-1=2n.即an=2n-1.
能力提升
1.若a,b,c成等差数列,而a+1,b,c和a,b,c+2都分别成等比数列,则b的值为( )
A.16 B.15 C.14 D.12
解析依题意,得2b=a+c,b2=(a+1)c,b2=a(c+2),解得a=8,b=12,c=16.
答案D
2.在等比数列{an}中,a1=1,公比|q|≠1.若am=a1a2a3a4a5,则m等于( )
A.9 B.10 C.11 D.12
解析∵am=a1a2a3a4a5=q·q2·q3·q4=q10=1×q10,
∴m=11.
答案C
3.已知等比数列{an},各项都是正数,且a1,12a3,2a2成等差数列,则a9+a10a7+a8=( )
A.3+22 B.1-2 C.1+2 D.3-22
解析由a1,12a3,2a2成等差数列,得a3=a1+2a2.在等比数列{an}中,有a1q2=a1+2a1q,即q2=1+2q,得q=1+2或1-2(舍去),所以a9+a10a7+a8=q2=(1+2)2=3+22.
答案A
4.已知-7,a1,a2,-1四个实数成等差数列,-4,b1,b2,b3,-1五个实数成等比数列,则a2-a1b2= .?
解析由题意,得a2-a1=-1-(-7)3=2,b22=(-4)×(-1)=4.又b2是等比数列中的第3项,所以b2与第1项同号,即b2=-2,所以a2-a1b2=2-2=-1.
答案-1
5.已知一个等比数列的各项均为正数,且它的任何一项都等于它的后面两项的和,则它的公比q= .?
解析依题意,得an=an+1+an+2,所以an=anq+anq2.因为an>0,所以q2+q-1=0,解得q=-1+52q=-1-52舍去.
答案-1+52
6.若数列a1,a2a1,a3a2,…,anan-1,…是首项为1,公比为-2的等比数列,则a5= .?
解析由题意,得anan-1=(-2)n-1(n≥2),所以a2a1=-2,a3a2=(-2)2,a4a3=(-2)3,a5a4=(-2)4,将上面的四个式子两边分别相乘,得a5a1=(-2)1+2+3+4=32.又a1=1,所以a5=32.
答案32
7.已知各项都为正数的数列{an}满足a1=1,an2-(2an+1-1)an-2an+1=0.
(1)求a2,a3;
(2)求{an}的通项公式.
解(1)由题意可得a2=12,a3=14.
(2)由an2-(2an+1-1)an-2an+1=0,得2an+1(an+1)=an(an+1).因为{an}的各项都为正数,所以an+1an=12.故{an}是首项为1,公比为12的等比数列,
因此an=12n-1,n∈N*.
8.已知数列{an}的前n项和Sn=2an+1,
(1)求证:{an}是等比数列,并求出其通项公式;
(2)设bn=an+1+2an,求证:数列{bn}是等比数列.
证明(1)∵Sn=2an+1,∴Sn+1=2an+1+1,Sn+1-Sn=an+1=(2an+1+1)-(2an+1)=2an+1-2an,
∴an+1=2an.由已知及上式可知an≠0.
∴由an+1an=2知{an}是等比数列.
由a1=S1=2a1+1,得a1=-1,∴an=-2n-1.
(2)由(1)知,an=-2n-1,∴bn=an+1+2an=-2n-2×2n-1=-2×2n=-2n+1=-4×2n-1.
bn+1bn=-4×2n-4×2n-1=2.∴数列{bn}是等比数列.
课件28张PPT。第1课时 等比数列的概念及通项公式一、等比数列 提示:③是等差数列,其余都不是等差数列;这些数列的共同特点是从第2项起,每一项与它的前一项的比都是同一个常数.2.填空:
等比数列的定义
一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一常数,那么这个数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,公比通常用字母q(q≠0)表示.3.总结:对等比数列定义的理解
(1)定义中强调“从第2项起”,因为第1项没有前一项.
(2)每一项与它的前一项的比必须是同一个常数(因为同一个常数体现了等比数列的基本特征).
(3)公比q是每一项(从第2项起)与它的前一项的比,不要把分子与分母弄颠倒.
(4)等比数列中的任何一项均不能为零.
(5)等比数列的公比可以是正数、负数,但不能为零.4.做一做:
(1)判断正误.
①如果一个数列的每一项与它的前一项的比是一个常数,那么这个数列是等比数列. ( )
②常数列a,a,a,a,…一定是等比数列. ( )
答案:①× ②×(2)判断下列数列是不是等比数列.如果是,写出其公比q.④1,0,1,0,1,0,…;
⑤1,-4,16,-64,256,….
解:①不是等比数列;②是等比数列,公比为1;③是等比数列,公比为二、等比中项
1.能否在如下的两个数之间,插入一个数,使这三个数构成等比数列?
(1)2, ,8;(2)-10, ,-10;(3)9, ,-1.?
提示:(1)能,插入的数是4或-4;(2)能,插入的数是10或-10;(3)不能.
2.填空:
等比中项
如果在a与b中间插入一个数G,使a,G,b成等比数列,那么G叫做a与b的等比中项,这三个数满足关系式ab=G2.
3.等比中项概念的理解
(1)只有同号的两个实数才有等比中项.
(2)若两个实数有等比中项,则一定有两个,它们互为相反数.4.做一做:
(1)判断正误.
①任何两个实数都有等比中项,且其等比中项有两个. ( )
②在等比数列中,除第1项和最后一项外,其余各项都是它前一项和后一项的等比中项. ( )
答案:①× ②√答案:C 三、等比数列的通项公式
1.思考:给出等比数列{an}:1,3,9,27,81,…,请根据下列两种思路探求其通项公式:
(1)根据等比数列的定义,{an}的递推公式可以如何表示?利用累乘法能否求得{an}的通项公式?
(2)根据等比数列的定义,能否将{an}的各项都用首项和公比表示出来?由此归纳{an}的通项公式.2.填空:
等比数列的通项公式
已知等比数列{an}的首项为a1,公比为q(q≠0),则数列{an}的通项公式为an=a1qn-1.
3.做一做:
已知等比数列{an}的首项a1=3,公比q=-2,则an= ( )
A.-6 B.-3×2n-1
C.-2×3n-1 D.3×(-2)n-1
解析:由等比数列的通项公式an=a1qn-1,得an=3×(-2)n-1.
答案:D探究一探究二探究三思维辨析当堂检测等比数列通项公式的应用
例1在等比数列{an}中,求解下列问题:(2)若a2=4,q=2,an=128,求n;
(3)若a2+a5=18,a3+a6=9,求a7.
分析:先根据等比数列的通项公式,结合条件列出方程(组)求得a1,q,再解决其他问题.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测探究一探究二探究三思维辨析当堂检测反思感悟1.等比数列的基本量是a1和q,很多等比数列问题都可以归结为其基本量的运算问题,解决这类问题时,最核心的思想方法是解方程(组)的方法,即依据题目条件,先根据等比数列的通项公式建立关于a1和q的方程(组),再解方程(组),求得a1和q的值,最后解决其他问题.
2.在等比数列的基本量运算问题中,建立方程(组)进行求解时,要注意运算的技巧性,特别注意整体思想的应用.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测变式训练1在等比数列{an}中,a5-a1=15,a4-a2=6,求a3. 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测比中项及其应用
例2(1)已知等比数列的前3项依次为x,2x+2,3x+3,求实数x的值.
(2)已知等比数列{an},a2a3a4=64,a3+a6=36,求a1和a5的等比中项.
分析:(1)可由等比中项的定义建立关于x的方程求解(2)先求出a1和a5的值,再根据等比中项的定义求解.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测解:(1)因为等比数列的前3项依次为x,2x+2,3x+3,所以x(3x+3)=(2x+2)2,解得x=-1或x=-4.
又因为当x=-1时,2x+2=3x+3=0不合题意,所以实数x的值为-4.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测反思感悟1.任意两个实数都有等差中项,且等差中项是唯一的.但与等差中项不同,只有同号的两个数才有等比中项,且等比中项有两个,它们互为相反数.
2.若a,b,c成等比数列,则必有b2=ac;但若b2=ac,a,b,c不一定成等比数列.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测变式训练2在等差数列{an}中,a1=9,公差d=1.若ak是a1和a2k的等比中项,则k=( )
A.2 B.4 C.6 D.8答案:B 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测等比数列的判断与证明
例3(1)判断下列数列是否为等比数列.
①1,3,32,33,…,3n-1,…;
②-1,1,2,4,8,…;
③a1,a2,a3,…,an,….①求证:{bn}为等比数列;
②求{an}的通项公式.分析:(1)判定等比数列,要抓住3个要点:①从第二项起.②要判定每一项,不能有例外.③每一项与前一项的比是同一个常数,且不能为0.得出bn与bn-1的关系,从而判断数列{bn}是否为等比数列;②由{bn}为等比数列,先求出bn,再根据bn=an-3求出an.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测∴数列为等比数列,且公比为3.
②记数列为{an},显然a1=-1,a2=1,a3=2,…,③当a=0时,数列为0,0,0,…是常数列,不是等比数列;
当a≠0时,数列为a1,a2,a3,a4,…,an,…,显然此数列为等比数列,且公比为a.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测探究一探究二探究三思维辨析当堂检测(3)通项公式法:若数列{an}的通项an=cqn(c,q≠0),则数列{an}为等比数列.
2.一般地,若数列{an}满足递推关系式an=kan-1+b(k,b∈R,k≠1),则可探究一探究二探究三思维辨析当堂检测延伸探究在本例(2)中,若将条件改为“数列{an}的前n项和Sn满足探究一探究二探究三思维辨析当堂检测忽视等比数列中奇、偶项的符号特点致误
典例在等比数列{an}中,a5,a9是方程7x2-18x+7=0的两个根,则a7= .?
错解:∵a5,a9是方程7x2-18x+7=0的两个根,
∴a5·a9=1.又a7是a5,a9的等比中项,提示:错解中,忽视了等比数列中奇数项的符号相同、偶数项的符号相同这一特点,从而导致增解.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测答案:1 防范措施解等比数列的问题时,一定要特别注意符号,等比数列中项可以同正、同负,还可以正负交错,但是所有奇数项(或偶数项)的符号是相同的.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测1.下列数列为等比数列的是( )
A.0,1,2,4,…
B.22,42,62,82,…
C.q-1,(q-1)2,(q-1)3,(q-1)4,…答案:D 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测2.在等比数列{an}中,已知a5+a1=34,a5-a1=30,则a3= ( )
A.8 B.-8 C.±8 D.16答案:A 3.若等比数列的首项为4,公比为2,则数列中第3项与第5项的等比中项为 .?
解析:∵a3=4×22=16,a5=4×24=64,答案:±32 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测4.若数列{an}的前n项和Sn满足Sn=4an+1(n∈N*),则数列{an}的通项公式为 .?探究一探究二探究三思维辨析当堂检测5.若等比数列{an}的各项均为正数,且前3项依次为1,a+1,2a+5.
(1)求该数列的通项公式;
(2)判断728是不是该数列中的项.解:(1)依题意,得(a+1)2=2a+5,解得a=2(a=-2舍去).(2)令3n-1=728,解得n=log3 728+1,但log3 728+1?N*,
所以728不是该数列中的项.第2课时 等比数列的性质及应用
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1.在等比数列{an}中,a2=27,q=-13,则a5=( )
A.-3 B.3 C.-1 D.1
解析等比数列{an}中,a2=27,q=-13,
则a5=a2·q3=-1,故选C.
答案C
2.已知等比数列{an}中,a3=4,a7=9,则a5=( )
A.6 B.-6 C.6.5 D.±6
解析由等比数列的性质可得:奇数项的符号相同,
∴a5=a3a7=4×9=6.
答案A
3.已知公比不为1的等比数列{an}满足a15a5+a14a6=20,若am2=10,则m=( )
A.9 B.10 C.11 D.12
解析依题意,数列{an}是等比数列,且a15a5+a14a6=2a102=20,所以a102=10,所以m=10.故选B.
答案B
4.已知等比数列{an}的各项均为正数,且a5a6+a4a7=18,则log3a1+log3a2+…+log3a10=( )
A.12 B.10
C.1+log35 D.2+log35
解析因为{an}是等比数列,所以a5a6=a4a7=9,于是log3a1+log3a2+…+log3a10=log3(a1a2…a10)=log3(a5a6)5=log395=10.
答案B
5.在等比数列{an}中,若a7=-2,则该数列的前13项的乘积等于( )
A.-213 B.213 C.26 D.-26
解析因为{an}是等比数列,所以a1a13=a2a12=a3a11=a4a10=a5a9=a6a8=a72,于是该数列的前13项的乘积为a1a2…a13=a713=(-2)13=-213.
答案A
6.在正项等比数列{an}中,a1a3=9,a5=24,则公比q= .?
解析在正项等比数列{an}中,a1a3=9,a5=24,可得a22=9,a2=3,得q3=a5a2=8,解得q=2.
答案2
7.已知数列{an}是等比数列,且a3+a5=18,a9+a11=144,则a6+a8= .?
解析设{an}的公比为q,则a9+a11=q6(a3+a5),于是q6=a9+a11a3+a5=14418=8,因此q3=±22,所以a6+a8=q3(a3+a5)=±362.
答案±362
8.在《九章算术》中,“衰分”是按比例递减分配的意思.今共有粮98石,甲、乙、丙按序衰分,乙分得28石,则衰分比例为 .?
解析设衰分比例为q,则甲、乙、丙各分得28q石,28石,28q石,∴28q+28+28q=98,∴q=2或12.
又0答案12
9.等比数列{an}同时满足下列三个条件:①a1+a6=11,②a3·a4=329,③三个数23a2,a32,a4+49依次成等差数列,试求数列{an}的通项公式.
解由等比数列的性质知a1a6=a3a4=329,所以a1+a6=11,a1·a6=329,解得a1=13,a6=323或a1=323,a6=13.当a1=13,a6=323时,q=2,所以an=13·2n-1,
这时23a2+a4+49=329,2a32=329,所以23a2,a32,a4+49成等差数列,故an=13·2n-1.
当a1=323,a6=13时,q=12,an=13·26-n,23a2+a4+49≠2a32,不符合题意.故通项公式an=13·2n-1.
10.设{an}是各项均为正数的等比数列,bn=log2an,b1+b2+b3=3,b1b2b3=-3,求an.
解设数列{an}的首项为a1,公比为q,
∵b1+b2+b3=3,∴log2a1+log2a2+log2a3=3,
∴log2(a1a2a3)=3,∴a1a2a3=8,∴a2=2.
∵b1b2b3=-3,∴log2a1·log2a2·log2a3=-3,
∴log2a1·log2a3=-3,∴log2a2q·log2a2q=-3,
即(log2a2-log2q)·(log2a2+log2q)=-3,
即(1-log2q)·(1+log2q)=-3,解得log2q=±2.
当log2q=2时,q=4,a1=a2q=12,
所以an=12×4n-1=22n-3;
当log2q=-2时,q=14,a1=a2q=8,
所以an=8×14n-1=25-2n.
能力提升
1.已知数列{an}满足log3an+1=log3an+1(n∈N*),且a2+a4+a6=9,则log13(a5+a7+a9)的值为( )
A.-5 B.-15 C.5 D.15
解析∵log3an+1=log3an+1,∴an+1an=3,
∴数列{an}是等比数列,公比q=3,∴log13(a5+a7+a9)=log13(a2q3+a4q3+a6q3)=log13[(a2+a4+a6)q3]=log13(9×33)=-5.
答案A
2.某工厂去年产值为a,计划10年内每年比上一年产值增长10%,那么从今年起第几年这个工厂的产值将超过2a ( )
A.6 B.7 C.8 D.9
解析设从今年起第n年这个工厂的产值为an,则a1=1.1a,a2=1.12a,…,an=1.1na.依题意,得1.1na>2a,即1.1n>2,解得n≥8.
答案C
3.在正项等比数列{an}中,a3=2,16a52=a2a6,则数列{an}的前n项积Tn中最大的值是( )
A.T3 B.T4 C.T5 D.T6
解析依题意,数列{an}是等比数列,所以16a52=a2a6=a42,所以q2=116.又因为数列{an}为正项等比数列,所以q=14,所以an=a3·qn-3=2·43-n=27-2n,令an>1,即27-2n>1,得n<72,因为n∈N*,所以n≤3,数列{an}的前n项积Tn中T3最大,故选A.
答案A
4.等比数列{an}中,若a12=4,a18=8,则a36的值为 .?
解析由等比数列的性质可知,a12,a18,a24,a30,a36成等比数列,且a18a12=2,故a36=4×24=64.
答案64
5.在正项等比数列{an}中,已知a1a2a3=4,a4a5a6=12,an-1anan+1=324,则n= .?
解析设数列{an}的公比为q,由a1a2a3=a23=4与a4a5a6=a53=12可得a53a23=(q3)3,q9=3.又an-1anan+1=an3=(a2qn-2)3=324,因此q3n-6=81=34=q36,所以n=14.
答案14
6.在公差不为零的等差数列{an}中,2a3-a72+2a11=0,数列{bn}是等比数列,且b7=a7,则b6b8= .?
解析∵2a3-a72+2a11=2(a3+a11)-a72=4a7-a72=0,
又b7=a7≠0,∴b7=a7=4.∴b6b8=b72=16.
答案16
7.等差数列{an}的公差和等比数列{bn}的公比都是d(d≠1),且a1=b1,a4=b4,a10=b10.
(1)求实数a1和d的值;
(2)b16是不是{an}中的项?如果是,是第几项?如果不是,请说明理由.
解(1)设数列{an},{bn}的通项公式分别为an=a1+(n-1)d,bn=b1qn-1=a1dn-1.
由a4=b4,a10=b10,得a1+3d=a1d3,a1+9d=a1d9.
即3d=a1(d3-1),9d=a1(d9-1).
以上两式相除,整理得d6+d3-2=0.
解得d3=1或d3=-2.
∵d≠1,∴d3=-2.∴d=-32.
代入原方程中,解得a1=32.故a1=32,d=-32.
(2)由(1)得,数列{an},{bn}的通项公式分别为an=(2-n)·32,bn=-(-32)n.
故b16=-(-32)16=-3232.
由(2-n)32=-3232,解得n=34.
故b16为an的第34项.
8.某地区发生流行性病毒感染,居住在该地区的居民必须服用一种药片预防,规定每人每天上午8时和晚上20时各服一片.现知该药片每片含药量为220毫克,若人的肾脏每12小时从体内滤出这种药的60%,该药物在人体内的残留量超过380毫克,就将产生副作用.
(1)某人上午8时第一次服药,问到第二天上午8时服完药后,这种药在他体内还残留多少?
(2)若人长期服用这种药,这种药会不会对人体产生副作用?说明理由.
解(1)设人第n次服药后,药在体内的残留量为an毫克,
则a1=220,
a2=220+a1×(1-60%)=220×1.4=308,
a3=220+a2×(1-60%)=343.2,
即到第二天上午8时服完药后,这种药在他体内还残留343.2毫克.
(2)由题意,得an+1=220+25an,∴an+1-1 1003=25an-1 1003,
∴an-1 1003是以a1-1 1003=-4403为首项,25为公比的等比数列,
∴an-1 1003=-440325n-1,
∵-440325n-1<0,∴an<1 1003=36623,
∴an<380.故若人长期服用这种药,这种药不会对人体产生副作用.
课件23张PPT。第2课时 等比数列的性质及应用等比数列的常用性质
1.思考:请从如下列举的等差数列与等比数列的定义、递推关系式、通项公式以及证明等多个方面的联系,由等差数列的性质推测等比数列的性质.2.填空:
等比数列的常用性质
(1)若m+n=p+q(m,n,p,q∈N*),则am·an=ap·aq.
特例:若m+n=2p(m,n,p∈N*),则am·an= .
(2)an=am·qn-m(m,n∈N*).
(3)在等比数列{an}中,每隔k项取出一项,取出的项按原来顺序组成新数列,该数列仍然是等比数列,公比为qk+1.3.做一做:
(1)判断正误.
①在等比数列{an}中,若aman=apaq,则m+n=p+q. ( )
②等比数列去掉前面若干项后,余下的项仍构成等比数列. ( )
③若数列{an}是等比数列,则{an+an+1}也是等比数列. ( )
④在等比数列{an}中,若m+n=p,则aman=ap. ( )
答案:①× ②√ ③× ④×
(2)在等比数列{an}中,若a1a9=9,则a4a6=( )
A.3 B.±3 C.9 D.±9
答案:C4.思考:当等比数列的公比q>1时,该等比数列是递增数列吗?等比数列的单调性与等比数列的哪些量有关?
提示:不一定;等比数列的单调性与等比数列的首项a1,q的正负有关.5.填空:
等比数列的单调性6.做一做:
(1)判断正误.
①在等比数列的通项公式中,an是关于n的指数函数. ( )
②若等比数列的公比0答案:①× ②×(2)①在等比数列{an}中,首项a1<0,要使数列{an}对任意正整数n都有an+1>an,则公比q应满足( )
A.q>1 B.0解析:①an+1-an=a1qn-1(q-1)>0,
因为a1<0,所以0②∵a2=2,a4=8,又数列{an}是递增数列,∴q=2.
答案:①B ②2探究一探究二探究三当堂检测等比数列性质的应用 探究一探究二探究三当堂检测反思感悟1.等比数列的性质是等比数列的定义、通项公式等基础知识的推广与变形,熟练掌握和灵活应用这些性质可以有效、方便、快捷地解决许多等比数列问题.
2.应用等比数列的性质解题的关键是发现问题中涉及的数列各项的下标之间的关系,充分利用①若m+n=p+q(m,n,p,q∈N*),则探究一探究二探究三当堂检测变式训练1(1)在等比数列{an}中,a1,a99是方程x2-10x+16=0的两个根,则a50的值为( )
A.10 B.16 C.±4 D.4
(2)在等比数列{an}中,a1a2=1,a5a6=9,则a3a4=( )解析:(1)依题意,得a1·a99=16,而a1·a99= ,所以a50=±4.
(2)在等比数列{an}中,a1a2=1,a5a6=9,
所以a1a2a5a6=9.又a3a4=a1a6=a2a5,所以(a3a4)2=9.又a3a4与a1a2的符号相同,故a3a4=3.
答案:(1)C (2)A探究一探究二探究三当堂检测等比数列的综合问题
例2有四个数,其中前三个数成等差数列,后三个数成等比数列,并且第一个数和第四个数的和是16,中间两个数的和是12.求这四个数.
分析:根据条件,用两个未知数表示这四个数.所以,当a=4,d=4时,所求四个数为0,4,8,16;
当a=9,d=-6时,所求四个数为15,9,3,1.
故所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.探究一探究二探究三当堂检测探究一探究二探究三当堂检测探究一探究二探究三当堂检测延伸探究将本例中的条件改为“有四个实数,前三个数依次成等比数列,它们的积是-8,后三个数依次成等差数列,它们的积为-80”,再求这四个数.探究一探究二探究三当堂检测等比数列的实际应用
例3为了治理“沙尘暴”,西部某地区政府经过多年努力,到2016年底,将当地沙漠绿化了40%,从2017年开始,每年将出现这种现象:原有沙漠面积的12%被绿化,即改造为绿洲(被绿化的部分叫绿洲),同时原有绿洲面积的8%又被侵蚀为沙漠,问至少经过几年的绿化,才能使该地区的绿洲面积超过50%?(可参考数据lg 2≈0.3,最后结果精确到整数)
分析:依题意,每年的沙漠面积与绿洲面积之和是确定的,另外需根据题意建立前后两年绿洲面积之间的关系,由此构造等比数列解决问题.探究一探究二探究三当堂检测探究一探究二探究三当堂检测所以至少经过4年才能使该地区的绿洲面积超过50%.探究一探究二探究三当堂检测反思感悟1.一般地,涉及产值增长率问题、银行利息问题、细胞繁殖等实际问题时,往往与等比数列有关,可建立等比数列模型进行求解.
2.建立等比数列模型进行运算时,往往涉及指数、对数方程或不等式的问题,要注意运算的正确性,还要善于进行估算,对于近似计算问题,答案要符合实际问题的需要.探究一探究二探究三当堂检测变式训练2一种专门占据内存的计算机病毒开始时占据内存2 KB,然后每3分钟自身复制一次,复制后所占内存是原来的2倍,那么开机后 分钟,该病毒占据内存64 MB(1 MB=210 KB).?
解析:由题意,得每3分钟病毒占的内存容量构成一个等比数列,设病毒占据64 MB时自身复制了n次,即2×2n=64×210=216,解得n=15,从而复制的时间为15×3=45(分钟).
答案:45探究一探究二探究三当堂检测1.对任意等比数列{an},下列说法一定正确的是( )
A.a1,a3,a9成等比数列 B.a2,a3,a6成等比数列
C.a2,a4,a8成等比数列 D.a3,a6,a9成等比数列
解析:根据等比数列的性质,若m+n=2k(m,n,k∈N*),则am,ak,an成等比数列.
即a3,a6,a9成等比数列.故选D.
答案:D
2.在等比数列{an}中,若a2=8,a5=64,则公比q为( )
A.2 B.3 C.4 D.8
解析:由a5=a2q3,得q3=8,所以q=2.
答案:A探究一探究二探究三当堂检测3.一张报纸的厚度为a,面积为b,现将此报纸对折(沿对边中点连线折叠)7次,这时报纸的厚度和面积分别为 ( )答案:C 探究一探究二探究三当堂检测4.在等比数列{an}中,a1+a2=30,a3+a4=120,则a5+a6= .?
解析:根据等比数列的性质可知a1+a2,a3+a4,a5+a6也成等比数列,即(a3+a4)2=(a1+a2)(a5+a6),答案:480 探究一探究二探究三当堂检测5.已知数列{an}为等比数列.
(1)若a1+a2+a3=21,a1a2a3=216,求an;
(2)若a3a5=18,a4a8=72,求公比q.
