第三章不等式
3.1 不等关系与不等式
课后篇巩固提升
基础巩固
1.已知a>b>c,a+b+c=0,则必有( )
A.a≤0 B.a>0 C.b=0 D.c>0
解析由a>b>c,a+b+c=0,知3a>0,故a>0.
答案B
2.已知a>b>c,则1b-c+1c-a的值是( )
A.正数 B.负数
C.非正数 D.非负数
解析1b-c+1c-a=c-a+b-c(b-c)(c-a)=b-a(b-c)(c-a).
∵a>b>c,∴b-a<0,b-c>0,c-a<0,
∴b-a(b-c)(c-a)>0.
答案A
3.将一根长5 m的绳子截成两段,已知其中一段的长度为 x m,若两段绳子长度之差不小于1 m,则x所满足的不等关系为( )
A.2x-5≥1,0
C.2x-5≥1或5-2x≥1 D.|2x-5|≥1,0解析由题意,可知另一段绳子的长度为(5-x)m,
因为两段绳子的长度之差不小于1 m,
所以|x-(5-x)|≥1,0答案D
4.若角α,β满足-π2<α<β<3π2,则α-β的取值范围是 ( )
A.-2π<α-β<2π B.-2π<α-β<0
C.-π<α-β<0 D.-π<α-β<π
解析因为-π2<β<3π2,-3π2<-β<π2,又因为α-β=a+(-β),且α<β,所以-2π<α-β<0.
答案B
5.若a>1>b>-1,则下列不等式恒成立的是( )
A.1a<1b B.1a>1b
C.a>b2 D.a2>2b
解析取a=2,b=-12,满足a>1>b>-1,但1a>1b,排除A;取a=2,b=13,满足a>1>b>-1,但1a<1b,排除B;取a=54,b=56,满足a>1>b>-1,但a2<2b,排除D,故选C.
答案C
6.若1(m+1)2>1(m+1)3,则实数m的取值范围是( )
A.m>0 B.m<-1
C.-10或m<-1
解析由1(m+1)2>1(m+1)3知(m+1)≠0,所以(m+1)4>0,于是有(m+1)2>m+1,即m2+m>0,解得m>0或m<-1.
答案D
7.若x∈R,则x1+x2与12的大小关系为 .?
解析∵x1+x2?12=2x-1-x22(1+x2)=-(x-1)22(1+x2)≤0,
∴x1+x2≤12.
答案x1+x2≤12
8.若-2解析∵-2∴-3∴0<(c-a)(a-b)<6.
答案(0,6)
9.某钢铁厂要把长度为4 000 mm的钢管截成500 mm和600 mm两种,按照生产的要求,600 mm钢管的数量不能超过500 mm钢管的数量的3倍.写出满足上述所有不等关系的不等式.
解设截得500 mm和600 mm钢管的数量分别为x,y根.
同时满足上述不等关系,可以用下面的不等式组来表示:500x+600y≤4 000,3x≥y,x≥0,y≥0,x,y∈N.
10.已知a∈R,a≠1,试比较11-a与1+a的大小.
解由于11-a-(1+a)=a21-a.
当a=0时,a21-a=0,所以11-a=1+a;
当a<1,且a≠0时,a21-a>0,
所以11-a>1+a;
当a>1时,a21-a<0,
所以11-a<1+a.
故当a=0时,11-a=1+a;
当a<1,且a≠0时,11-a>1+a;
当a>1时,11-a<1+a.
能力提升
1.若a,b,c∈R,a>b,则下列不等式恒成立的是( )
A.1a<1b B.a2>b2
C.ac2+1>bc2+1 D.a|c|>b|c|
解析当a=1,b=-2时,满足a>b,但1a>1b,a20,a>b?ac2+1>bc2+1,故C是正确的;当c=0时,a|c|>b|c|不成立,排除D,故选C.答案C
2.已知a,b,c∈(0,+∞),若ca+b<ab+c<bc+a,则有( )
A.cC.a解析由ca+b<ab+c<bc+a可得ca+b+1<ab+c+1<bc+a+1,即a+b+ca+b<a+b+cb+c<a+b+cc+a.因为a,b,c∈(0,+∞),所以a+b>b+c>c+a.由a+b>b+c,可得a>c.由b+c>c+a,可得b>a.于是有c答案A
3.已知1≤a+b≤5,-1≤a-b≤3,则3a-2b的取值范围是( )
A.[-6,14] B.[-2,14]
C.[-6,10] D.[-2,10]
解析令3a-2b=m(a+b)+n(a-b),则m+n=3,m-n=-2,所以m=12,n=52.因为1≤a+b≤5,-1≤a-b≤3,所以12≤12(a+b)≤52,-52≤52(a-b)≤152,故-2≤3a-2b≤10.
答案D
4.已知a1≤a2,b1≥b2,则a1b1+a2b2与a1b2+a2b1的大小关系是 .?
解析因为a1≤a2,b1≥b2,所以a1-a2≤0,b1-b2≥0,于是(a1-a2)(b1-b2)≤0,即a1b1-a1b2-a2b1+a2b2≤0,故a1b1+a2b2≤a1b2+a2b1.
答案a1b1+a2b2≤a1b2+a2b1
5.已知三个不等式:①ab>0,②ca>db,③bc>ad,用其中两个作为条件,剩下的一个作为结论,则可组成 个正确命题.?
解析由不等式的性质,得ab>0ca>db?ab>0,bc-adab>0?bc>ad;ab>0bc>ad?ca>db;ca>dbbc>ad?bc-adab>0,bc>ad?ab>0.
答案3
6.已知A杯中有浓度为a的盐水x克,B杯中有浓度为b的盐水y克,其中A杯中的盐水更咸一些.若将A,B两杯盐水混合在一起,其咸淡的程度可用不等式表示为 .?
解析由题意知a>b,将A,B两杯盐水混合后,盐水的浓度变为ax+byx+y,则有ax+byx+y>bx+byx+y=b,ax+byx+y<ax+ayx+y=a,故有b<ax+byx+y答案b<ax+byx+y7.实数a,b,c,d满足下列三个条件:①d>c;②a+b=c+d;③a+d解析由a-d=c-b,a+d∵b-d=c-a>0,∴b>d.
又d>c,∴a答案a8.已知θ∈0,π4,且a=cos 2θ,b=cos θ-sin θ,试比较a与b的大小.
解因为θ∈0,π4,所以2θ∈0,π2,故a=cos 2θ>0,且cos θ>sin θ,所以b>0.而ab=cos2θcosθ-sinθ=cos2θ-sin2θcosθ-sinθ=cos θ+sin θ=2sinθ+π4.因为θ∈0,π4,所以θ+π4∈π4,π2,故sinθ+π4∈22,1,2sinθ+π4∈(1,2),即ab>1,故必有a>b.
课件28张PPT。3.1 不等关系与不等式一、 不等式与不等关系
1.填空:
不等式与不等关系
(1)不等式的定义所含的两个要点.
①不等符号>,<,≥,≤或≠.
②所表示的关系是不等关系.
(2)不等式中的文字语言与符号语言之间的转换.2.做一做:
某一路段限速40 km/h,它是指司机在该路段行驶时,应使汽车的速度v(单位:km/h)不超过40 km/h,写成不等式就是 .?
答案:v≤40二、实数的大小比较
1.思考:如果给定实数a与b,那么如何比较它们的大小呢?
提示:通常是通过判断它们的差(a-b)的符号来比较它们的大小.当a与b同号,且都不为0时,也可通过它们的商与1的大小关系来比较它们的大小.
2.填空:
比较实数a,b的大小的依据3.做一做:
若x为实数,则x2-1与2x-5的大小关系是 .?
解析:(x2-1)-(2x-5)=x2-2x+4=(x-1)2+3>0,所以x2-1>2x-5.
答案:x2-1>2x-5三、不等式的性质
1.思考:我们知道等式有一些基本性质,例如:(1)a=b?b=a;(2)a=b,b=c?a=c;(3)a=b?a+c=b+c;(4)a=b,c≠0?ac=bc.那么不等式是否也具有类似的性质呢?
提示:不等式也具有类似的性质.2.填空:
不等式的几个重要性质 3.做一做:
(1)判断正误.
①在一个不等式的两边同乘一个非零实数,不等式仍然成立. ( )
②同向不等式具有可加性和可乘性. ( )答案:①× ②× ③× ④×
(2)下列结论错误的是( )
A.若a>b,则a-3>b-3
B.若a>b,则a+2>b+1
C.若a>b,则-3a>-3b解析:∵-3<0,∴当a>b时,有-3a<-3b.故C错误.
答案:C探究一探究二探究三思维辨析当堂检测用不等式(组)表示不等关系
例1已知甲、乙两种食物的维生素A,B含量如下表:设用x kg的甲种食物与y kg的乙种食物配成混合食物,并使混合食物内至少含有56 000单位的维生素A和63 000 单位的维生素B.试用不等式组表示x,y所满足的不等关系.
分析:根据维生素A和B分别至少为56 000单位和63 000 单位列不等式.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测解:由题意知x kg的甲种食物中含有维生素A 600x单位,含有维生素B 800x单位,y kg的乙种食物中含有维生素A 700y单位,含有维生素B 400y单位,则x kg的甲种食物与y kg的乙种食物配成的混合食物总共含有维生素A(600x+700y)单位,含有维生素B (800x+400y)单位,探究一探究二探究三思维辨析当堂检测反思感悟1.不等关系强调的是量与量之间的关系,可以用符号“>”“<”“≠”“≥”或“≤”表示;而不等式则是用来表示不等关系的式子,可用“a>b”“a2.用不等式(组)表示不等关系的步骤:
(1)审清题意,明确条件中的不等关系的个数;
(2)适当设未知数表示变量;
(3)用不等式表示每一个不等关系,并写成不等式组的形式.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测变式训练1将一个三边长度分别为5,12,13的三角形的各边都缩短x,构成一个钝角三角形,试用不等式(组)表示x应满足的不等关系.
解:各边都缩短x后,长度仍然为正数,只要最短边大于零即可,因此5-x>0.而要构成三角形,还要满足(5-x)+(12-x)>13-x.当三角形是钝角三角形时,应使最大角是钝角,此时只需最长边所对的角是钝角即可,因此(5-x)2+(12-x)2<(13-x)2,故x应满足的不等关系为探究一探究二探究三思维辨析当堂检测实数大小的比较
例2比较下列各组中的两个实数或代数式的大小:
(1)2x2+3与x+2,x∈R;分析:利用作差法进行比较.解第(2)小题时要注意对实数a的分类讨论.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测反思感悟作差法是比较两个实数大小的基本方法,一般步骤是:(1)作差;(2)变形,变形的常用方法有配方、因式分解、分母有理化等;(3)定号,即确定差的符号;(4)下结论,写出两个实数的大小关系.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测变式训练2若m≠n,x=m4-m3n,y=mn3-n4,则x与y的大小关系是( )
A.x>y B.x=y
C.x例3对于实数a,b,c,判断下列结论是否正确:
(1)若a>b,则ac2>bc2;
(2)若aab>b2;分析:判断这些结论是否正确,可以根据实数的基本性质、实数运算的符号法则以及不等式的基本性质,经过合理的逻辑推理即可.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测探究一探究二探究三思维辨析当堂检测反思感悟1.解决这类问题时,通常有两种方法:一是直接利用不等式的性质,进行推理,看根据条件能否推出相应的不等式;二是采用取特殊值的方法,判断所给的不等式是否成立,尤其是在选择题中经常采用这种办法.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测变式训练3已知a,b,c满足c所以3+1又因为9<3a<21,-20<-2b<-2,
所以-11<3a-2b<19.
因为9解:因为-2典例给出下列命题,其中正确的是 .(只填序号)?错解:①②③④⑤
提示:错解中对不等式的性质理解不清,盲目套用不等式的性质导致错误.答案:③⑤ 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测防范措施利用不等式的性质解决问题时,务必注意不等式的性质应用的前提条件,只有完全符合条件,才能有相应的结论.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测1.若x>1>y,则下列不等式不成立的是( )
A.x-1>1-y B.x-1>y-1
C.x-y>1-y D.1-x>y-x
解析:利用不等式的性质直接判断.
答案:A
2.完成一项装修工程,请木工需付工资每人500元,请瓦工需付工资每人400元,现有工人工资预算20 000元,设木工x(x≥0)人,瓦工y(y≥0)人,则关于工资x,y满足的不等关系是( )
A.5x+4y<200 B.5x+4y≥200
C.5x+4y=200 D.5x+4y≤200
答案:D探究一探究二探究三思维辨析当堂检测答案:A 答案:(1,+∞) 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测