3.3 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题
3.3.1 二元一次不等式(组)与平面区域
课后篇巩固提升
基础巩固
1.若不等式Ax+By+5<0表示的平面区域不包括点(2,4),且k=A+2B,则k的取值范围是( )
A.k≥-52 B.k≤-152
C.k>-52 D.k<-52
解析由于不等式Ax+By+5<0表示的平面区域不包括点(2,4),所以2A+4B+5≥0,于是A+2B≥-52,即k≥-52.
答案A
2. 图中阴影部分表示的区域对应的二元一次不等式组为 ( )
A.x+y-1≥0,x-2y+2≥0 B.x+y-1≤0,x-2y+2≤0
C.x+y-1≥0,x-2y+2≤0 D.x+y-1≤0,x-2y+2≥0
解析取原点O(0,0)检验,它满足x+y-1≤0,故异侧点应满足x+y-1≥0,排除B,D.点O的坐标满足x-2y+2≥0,排除C.故选A.
答案A
3.若点P14,a在0≤x≤12,12≤y≤1,x-y+12≥0所确定的平面区域内,则实数a的取值范围为( )
A.12,34 B.14,34
C.12,35 D.14,12
解析由题意,知12≤a≤1,14-a+12≥0,解得12≤a≤34.
答案A
4.不等式(x+2y-2)(x-y+1)≥0表示的平面区域是 ( )
解析不等式(x+2y-2)(x-y+1)≥0等价于x+2y-2≥0,x-y+1≥0或x+2y-2≤0,x-y+1≤0,由二元一次不等式表示平面区域的判断规则知A正确.
答案A
5. 在平面直角坐标系中,若不等式组x+y-1≥0,x-1≤0,ax-y+1≥0(a为常数)所表示的平面区域的面积为2,则a的值为 ( )
A.-5 B.1 C.2 D.3
解析图中的阴影部分即为满足x-1≤0与x+y-1≥0的平面区域,而直线ax-y+1=0恒过点(0,1),故可看作直线绕点(0,1)旋转.当a=-5时,满足题意的平面区域不是一个封闭区域;当a=1时,满足题意的平面区域的面积为1;当a=2时,满足题意的平面区域的面积为32;当a=3时,满足题意的平面区域的面积为2.故选D.
答案D
6.不等式组2x-y≥0,x≤3,y≥0表示的平面区域的面积为 .?
解析该不等式组表示的平面区域是一个直角三角形及其内部,其面积等于12×3×6=9.
答案9
7. 若点(1,2)与点(-3,4)在直线x+y+a=0的两侧,则实数a的取值范围是 .?
解析由题意,得(1+2+a)(-3+4+a)<0,
解得-3
答案(-3,-1)
8.若不等式组x-y≥0,2x+y≤2,y≥0,x+y≤a表示的平面区域是一个三角形及其内部,则a的取值范围是 .?
解析不等式组x-y≥0,2x+y≤2,y≥0表示的平面区域如图中的阴影部分所示,画出直线x+y=0,并将其向右上方平行移动,直至直线过点(1,0),均满足题意,此时0答案09.画出以A(3,-1),B(-1,1),C(1,3)为顶点的△ABC的区域(包括边界),并写出该区域所表示的二元一次不等式组.
解 如图所示,直线AB,BC,CA所围成的区域就是所要画的△ABC的区域,其中直线AB,BC,CA的方程分别为x+2y-1=0,x-y+2=0,2x+y-5=0.
在△ABC内取一点P(1,1),将其代入x+2y-1,得1+2×1-1=2>0;
代入x-y+2,得1-1+2>0;
代入2x+y-5,得2×1+1-5<0.
又所画区域包括边界,
所以该区域所表示的二元一次不等式组为x+2y-1≥0,x-y+2≥0,2x+y-5≤0.
10.在平面直角坐标系中,求不等式组y≥x-1,y≤-3|x|+1所表示的平面区域的面积.
解原不等式组可化为y≥x-1,y≤-3x+1,x≥0或y≥x-1,y≤3x+1,x<0.
上述不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示,则△ABC的面积即为所求.
易知点B的坐标为12,-12,点C的坐标为(-1,-2),
所以S△ABC=S△ADC+S△ADB=12×2×1+12×2×12=32.
能力提升
1.不等式(x-2y+1)(x+y-3)≤0在直角坐标平面内表示的区域(阴影部分)是下列图形中的( )
解析∵(x-2y+1)(x+y-3)≤0,
∴x-2y+1≥0,x+y-3≤0或x-2y+1≤0,x+y-3≥0.故选C.
答案C
2.二元一次不等式组y-2x≤0,x+2y+3>0,5x+3y-5<0表示的平面区域中的整点的个数为( )
A.3 B.4 C.5 D.6
解析不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示,易知图中阴影部分有4个整点,分别是(0,0),(0,-1),(1,-1),(2,-2),故选B.
答案B
3.若不等式组x-y+5≥0,y≥a,0≤x≤2表示的平面区域是一个梯形,及其内部,则实数a的取值范围是( )
A.(-∞,5) B.[7,+∞)
C.[5,7) D.(-∞,5)∪[7,+∞)
解析作出不等式组x-y+5≥0,0≤x≤2表示的平面区域(图略),易知当a<5时,原不等式组表示的平面区域为梯形及其内部.故选A.
答案A
4.如图,四条直线x+y-2=0,x-y-1=0,x+2y+2=0,3x-y+3=0围成一个四边形,则这个四边形的内部区域(不包括边界)可用不等式组 表示.?
解析点(0,0)在该平面区域内,点(0,0)和平面区域在直线x+y-2=0的同侧,把(0,0)代入x+y-2,得0+0-2<0,所以对应的不等式为x+y-2<0.
同理可得其他三个相应的不等式为x+2y+2>0,3x-y+3>0,x-y-1<0.
故所求不等式组为3x-y+3>0,x+y-2<0,x+2y+2>0,x-y-1<0.
答案3x-y+3>0,x+y-2<0,x+2y+2>0,x-y-1<0
5.若直线y=kx+1将不等式组x-y+2≥0,x-2≤0,x+y≥0表示的平面区域分为面积相等的两部分,则实数k的值为 .?
解析
不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示,△ABC是等腰直角三角形,且BC⊥x轴,A(-1,1).直线y=kx+1经过点(0,1),要使直线将△ABC的面积等分,则k=0.
答案0
6.画出不等式|x|+|y|≤1所表示的平面区域,并求该区域的面积.
解先考虑第一象限(及x轴、y轴正半轴),不等式等价于x≥0,y≥0,x+y≤1,
易作出其表示的平面区域.由关系式的特征知原不等式表示的平面区域如图中阴影部分所示,该区域是边长为2的正方形,故其面积为2.
7.某公司从银行贷款不足250万元,分配给下属甲、乙两个工厂用以进行技术改造,已知甲厂可以从投入的金额中获取20%的利润,乙厂可以从投入的金额中获取25%的利润.如果该公司计划从这笔贷款中至少获利60万元,请列出甲、乙两个工厂分配到的贷款金额所满足的数学关系式,并画出相应的平面区域.
解设x,y(单位:万元)分别表示甲、乙两个工厂分配到的贷款金额,根据题意,可得x≥0,y≥0,x+y<250,x·20%+y·25%≥60,
即x≥0,y≥0,x+y<250,15x+14y≥60.
不等式组表示的平面区域如图中的阴影部分所示.
课件30张PPT。3.3.1 二元一次不等式(组)与平面区域一、 二元一次不等式(组)
1.思考:我们已经学习过一元一次不等式(组)、一元二次不等式(组)等,给出下列不等式:x+y-1>0,2x+3y-5<0,-4x+2y≥0,x-5y-8≤0,它们是不是一元一次不等式、一元二次不等式?从不等式中未知数的个数以及未知数的最高次数看,它们有什么共同特点?
提示:它们既不是一元一次不等式,也不是一元二次不等式.它们的共同特点是都含有2个未知数,且未知数的最高次数是2.2.填空:
二元一次不等式(组)
(1)定义:我们把含有两个未知数,并且未知数的次数是1的不等式称为二元一次不等式;把由几个二元一次不等式组成的不等式组称为二元一次不等式组.
(2)解集:满足二元一次不等式(组)的x和y的取值构成有序数对(x,y),所有这样的有序数对(x,y)构成的集合称为二元一次不等式(组)的解集.有序数对可以看成直角坐标平面内点的坐标.于是,二元一次不等式(组)的解集就可以看成直角坐标系内的点构成的集合.二、二元一次不等式(组)表示的平面区域
1.思考:二元一次方程x+y-1=0的解有多少个?请你写出几个,这些解可以用怎样的几何图形表示?二元一次方程x+y-1=0的解集表示的几何图形是什么?对于二元一次不等式x+y-1>0,请写出该不等式的几个解,在平面直角坐标系中,这些解对应的点与直线l:x+y-1=0有什么关系?你能猜测二元一次不等式x+y-1>0的解集表示的几何图形是什么吗?2.填空:
(1)定义:一般地,在平面直角坐标系中,二元一次不等式Ax+By+C>0表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域,直线Ax+By+C=0称为这个平面区域的边界.这时,在平面直角坐标系中,把直线Ax+By+C=0画成虚线,以表示区域不包括边界;而不等式Ax+By+C≥0表示的平面区域包括边界,把边界画成实线.
(2)判断方法:只需在直线Ax+By+C=0的同一侧取某个特殊点(x0,y0)作为测试点,由Ax0+By0+C的符号就可以断定Ax+By+C>0表示的是直线Ax+By+C=0哪一侧的平面区域.
特别地,当C≠0时,常取原点(0,0)作为测试点;当C=0时,常取(0,1)或(1,0)作为测试点.3.做一做:
(1)判断正误.
①不等式Ax+By+C>0是二元一次不等式.( )
②点(1,3)在不等式2x-y-2<0所表示的平面区域内. ( )
③不等式Ax+By+C<0与Ax+By+C≤0所表示的平面区域不同. ( )
④若点(x1,y1)和(x2,y2)在直线x+2y-4=0的同一侧,则必有(x1+2y1-4)(x2+2y2-4)>0. ( )
⑤不等式Ax+By+C>0表示的平面区域一定在直线Ax+By+C=0的上方. ( )
⑥任何一个二元一次不等式组都表示平面上的一个区域. ( )
答案:①× ②√ ③√ ④√ ⑤× ⑥×(2)图中阴影部分表示的平面区域满足的不等式是 ( )A.x+y-1<0 B.x+y-1>0
C.x-y-1<0 D.x-y-1>0
解析:由题意知边界直线的方程为x+y-1=0,当x=y=0时,x+y-1=-1<0,所以平面区域满足的不等式为x+y-1>0.
答案:B探究一探究二探究三思维辨析当堂检测二元一次不等式(组)表示的平面区域
例1画出下列不等式(组)表示的平面区域:分析:(1)按照“直线定界,特殊点定域” 的步骤画出平面区域;(2)先画出不等式组中每个不等式所表示的平面区域,再取其公共部分即为不等式组表示的平面区域.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测解:(1)如图,先画出直线2x-y-6=0,
将原点O(0,0)代入2x-y-6中.
∵2×0-0-6=-6<0,
∴与点O在直线2x-y-6=0同一侧的
所有点(x,y)都满足2x-y-6<0,故直线
2x-y-6=0的右下方区域就是2x-y-6>0表示的平面区域.因此2x-y-6≥0表示的平面区域如图阴影部分所示(含边界).探究一探究二探究三思维辨析当堂检测(2)如图,先画出直线x-y+5=0(实线),将原点O(0,0)代入x-y+5中.
∵0-0+5=5>0,
∴原点在x-y+5>0表示的平面区域内,即x-y+5≥0表示直线x-y+5=0上及其右下方的点的集合.同理可得,x+y≥0表示直线x+y=0上及其右上方的点的集合,x≤3表示直线 x=3上及其左方的点的集合.故原不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示(含边界).探究一探究二探究三思维辨析当堂检测反思感悟1.不等式组表示的平面区域是不等式组中各个不等式所表示的平面区域的公共部分,找公共部分时,可以先找出其中两个不等式所表示区域的公共部分,再依次增加不等式寻找其公共部分.
2.画平面区域时,基本原则是:直线定界、特殊点定域.其中直线要注意虚实,特殊点一般选坐标原点,如果直线本身经过原点,可以另取坐标轴上的其他点.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测解:在同一平面直角坐标系中分别画出不等式2x-y+5≥0,x+y≥0,x-y≤3表示的平面区域,如下图所示,其中阴影部分(含边界)就是不等式组表示的平面区域.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测平面区域的应用 (2)图中阴影部分表示的平面区域对应的二元一次不等式组为( )探究一探究二探究三思维辨析当堂检测分析:(1)先画出不等式组表示的平面区域,然后判断形状,最后根据形状求出面积;(2)先确定出平面区域每条边界直线的方程,然后根据平面区域确定不等号,从而得出对应的二元一次不等式组.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测取原点O(0,0)检验,满足2x+y-1<0,故异侧点(含直线上的点)应满足2x+y-1≥0,排除B,D;点O满足x-2y+2≥0,排除C,故选A.
答案:(1)C (2)A
反思感悟求二元一次不等式组表示的平面区域的面积的方法
求二元一次不等式组表示的平面区域的面积,先画出二元一次不等式组表示的平面区域,再根据区域的形状求面积.若图形为规则图形,则直接利用面积公式求解;若图形为不规则图形,则可采取分割的方法,将平面区域分为几个规则图形求解.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测探究一探究二探究三思维辨析当堂检测用二元一次不等式(组)表示实际问题
例3投资生产A产品时,每生产100 吨需要资金200 万元,需场地200 平方米;投资生产B产品时,每生产100 吨需要资金300 万元,需场地100 平方米.现某单位可使用资金1 400 万元,场地900 平方米,用数学关系式和图形表示上述要求.
分析:先分别设投资A产品和B产品x百吨和y百吨,再根据题意列出关于x,y的不等式组,最后画出平面区域即可.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测探究一探究二探究三思维辨析当堂检测反思感悟用二元一次不等式组表示实际问题的步骤
1.先根据问题的需要选取起关键作用且关联较多的两个量,并用字母表示.
2.将问题中所有的量都用这两个字母表示出来.
3.由实际问题中有关的限制条件及问题中所有量的实际意义,写出所有的不等式.
4.把这些不等式所组成的不等式组用平面区域表示出来.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测变式训练2某工厂用两种不同的原料均可生产同一产品,若采用甲种原料,每吨成本1 000元,运费500元;若采用乙种原料,每吨成本1 500元,运费400元,若每日预算总成本不得超过6 000元,运费不得超过2 000元,请你列出满足生产条件的数学关系式,并在平面直角坐标系中画出相应的平面区域.
解:将已知数据列成下表:探究一探究二探究三思维辨析当堂检测探究一探究二探究三思维辨析当堂检测忽视边界的虚实与区域的选择致误 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测错解:C或A或D
提示:错解C忽视了边界的虚实,错解A和D错误地选择了区域.
正解:不等式x+3y-6≤0表示直线x+3y-6=0以及该直线左下方的区域,不等式x+y-2>0表示直线x+y-2=0的右上方区域,故选B.答案:B
防范措施不等式Ax+By+C≥0(或≤0)所表示的平面区域,应包括边界直线,而Ax+By+C>0(或<0)所表示的平面区域一定不包括边界直线,选择区域通常按照“同侧同号,异侧异号”来进行,具体选择方法是取特殊点进行验证.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测探究一探究二探究三思维辨析当堂检测解析:由3×0+0-2≤0,0-0+2>0知,原点在3x+y-2≤0表示的平面区域内,不在x-y+2<0表示的平面区域内,画出两个不等式表示的平面区域,找出公共部分得B正确.
答案:B探究一探究二探究三思维辨析当堂检测2.以下不等式所表示的平面区域中包含坐标原点的是 ( )
A.x-y+1<0 B.2x+3y-6>0
C.2x+3y-10≥0 D.4x-3y≤12
解析:将原点的坐标(0,0)逐一代入各个选项中的不等式,只有选项D中的不等式成立.
答案:D
3.若点(-3,1)和(0,-2)在直线x-y-a=0的同一侧,则实数a的取值范围是( )
A.a>2或a<-4 B.-4C.-24或a<-2
解析:依题意有(-3-1-a)(0+2-a)>0,即(a-2)(a+4)>0,解得a>2或a<-4.
答案:A探究一探究二探究三思维辨析当堂检测解析:不等式组表示的平面区域是三角形及其内部,如图,则该平面区域的面积是 ×4×2=4.答案:4 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测5.某家具厂制造甲、乙两种型号的桌子,每张桌子需木工和油漆工两道工序完成.已知木工做一张甲、乙型号的桌子分别需要1 h和2 h,油漆工油漆一张甲、乙型号的桌子分别需要3 h和1 h,木工、油漆工每天工作时间分别不得超过8 h和9 h.请列出满足生产条件的数学关系式,并画出相应的平面区域.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测分别画出不等式组中各不等式表示的平面区域,然后取交集,如图中的阴影部分所示.故满足题意的生产条件是图中阴影部分的整数点所表示的条件.