3.3.2 简单的线性规划问题
课后篇巩固提升
基础巩固
1.已知某线性规划问题中的目标函数为z=3x-y,若将其看成直线方程,则z的几何意义是( )
A.该直线的截距
B.该直线的纵截距
C.该直线的纵截距的相反数
D.该直线的横截距
解析由z=3x-y,得y=3x-z,在该方程中-z表示直线的纵截距,因此z表示该直线的纵截距的相反数.
答案C
2. 目标函数z=x-y在2x-y+1≥0,x-2y-1≤0,x+y≤1的线性约束条件下,取得最大值的可行解为( )
A.(0,1) B.(-1,-1) C.(1,0) D.12,12
解析可以验证这四个点均是可行解,当x=0,y=1时,z=-1;当x=-1,y=-1时,z=0;当x=1,y=0时,z=1;当x=12,y=12时,z=0.排除选项A,B,D,故选C.
答案C
3.若变量x,y满足约束条件x+y≤3,x-y≥-1,y≥1,目标函数为z=4x+2y,则有( )
A.z有最大值无最小值 B.z有最小值无最大值
C.z的最小值是8 D.z的最大值是10
解析由z=4x+2y,得y=-2x+z2.
作出不等式组对应的平面区域,如图阴影部分所示.
平移直线y=-2x,
当直线y=-2x+z2经过点B(0,1)时,直线y=-2x+z2在y轴上的截距最小,此时z最小,且zmin=2.
当直线y=-2x+z2经过点C(2,1)时,直线y=-2x+z2在y轴上的截距最大,此时z最大,且zmax=4×2+2×1=10.故选D.
答案D
4.若直线y=2x上存在点(x,y)满足约束条件x+y-3≤0,x-2y-3≤0,x≥m,则实数m的最大值为( )
A.-1 B.1
C.32 D.2
解析满足约束条件的平面区域如图中的阴影部分所示,由y=2x,x+y-3=0得交点P(1,2).当直线x=m经过点P时,m取到最大值1.
答案B
5.已知实数x,y满足约束条件x-y+4≥0,x+y≥0,x≤3,则z=2x+y的最小值为 .?
解析因为z=2x+y,所以y=-2x+z.不等式组满足的平面区域如图阴影部分所示.平移直线2x+y=0,由图形可求得z=2x+y的最小值是-2.
答案-2
6.已知变量x,y满足2x-y≤0,x-3y+5≥0,则z=x+y-2的最大值为 .?
解析
作出可行域,如图阴影部分所示.
由图知,目标函数z=x+y-2在点A处取得最大值.
易知A(1,2),故zmax=1+2-2=1.
答案1
7.铁矿石A和B的含铁率a、冶炼每万吨铁矿石的CO2的排放量b及每万吨铁矿石的价格c如下表:
a
b/万吨
c/百万元
A
50%
1
3
B
70%
0.5
6
某冶炼厂至少要生产1.9万吨的铁,若要求CO2的排放量不超过2万吨,则购买铁矿石的最少费用为 百万元.?
解析设需购买铁矿石A x万吨,铁矿石B y万吨,购买费用为z,则根据题意得到的约束条件为x≥0,y≥0,0.5x+0.7y≥1.9,x+0.5y≤2,目标函数为z=3x+6y.画出约束条件表示的可行域,如图阴影部分所示.当直线3x+6y=z经过点(1,2)时,z取最小值,且z最小值=3×1+6×2=15.
答案15
8. 已知S为平面上以A(3,-1),B(-1,1),C(1,3)为顶点的三角形区域(含三角形内部及边界).若点(x,y)在区域S上移动.
(1)求z=3x-2y的最值;
(2)求z=y-x的最大值,并指出其最优解.
解(1)z=3x-2y可化为y=32x-z2=32x+b,故求z的最大值、最小值,相当于求直线y=32x+b在y轴上的截距b的最小值、最大值,即b取最大值,z取最小值;反之亦然.
①
如图①,平移直线y=32x,当y=32x+b经过点B时,bmax=52,此时zmin=-2b=-5;当y=32x+b经过点A时,bmin=-112,此时zmax=-2b=11.故z=3x-2y的最大值为11,最小值为-5.
(2)z=y-x可化为y=x+z,故求z的最大值,相当于求直线y=x+z在y轴上的截距z的最大值.如图②,平行移动直线y=x,当直线y=x+z与直线BC重合时,zmax=2,此时线段BC上任一点的坐标都是最优解.
②
9.甜柚和脐橙是赣州地区的两大水果特产,一农民有山地20亩,根据往年经验,若种脐橙,则每年每亩平均产量为1 000千克;若种甜柚,则每年每亩平均产量为1 500千克.已知脐橙成本每年每亩4 000元,甜柚成本较高,每年每亩12 000元,且脐橙每千克卖6元,甜柚每千克卖10元.现该农民有120 000元,那么两种水果的种植面积分别为多少,才能获得最大收益?
解设该农民种x亩脐橙,y亩甜柚时,能获得利润z元.
则z=(1 000×6-4 000)x+(1 500×10-12 000)y=2 000x+3 000y,
其中x,y满足条件x+y≤20,4 000x+12 000y≤120 000,x≥0,y≥0,即x+y≤20,x+3y≤30,x≥0,y≥0,作出可行域,如图中阴影部分所示.
当直线y=-23x+z3 000经过点A(15,5),即种15亩脐橙,5亩甜柚时,每年收益最大,为45 000元.
能力提升
1.若变量x,y满足约束条件x+y≤8,2y-x≤4,x≥0,y≥0,且z=5y-x的最大值为a,最小值为b,则a-b的值是( )
A.48
B.30
C.24
D.16
解析画出可行域,如图阴影部分所示.
由图可知,当直线y=x5+z5经过点A时,z有最大值;经过点B时,z有最小值.联立方程组x+y=8,2y-x=4,解得x=4,y=4,即A(4,4).
对x+y=8,令y=0,则x=8,即B(8,0),
所以a=5×4-4=16,b=5×0-8=-8,
则a-b=16-(-8)=24,故选C.
答案C
2.已知正数x,y满足2x-y≤0,x-3y+5≥0,则z=22x+y的最大值为( )
A.8 B.16
C.32 D.64
解析设t=2x+y,可求得当直线t=2x+y经过2x-y=0与x-3y+5=0的交点(1,2)时,t取最大值4,故z=22x+y的最大值为16.
答案B
3.已知x,y满足约束条件x+y≥0,x-y+1≤0,x+2y-2≤0,若z=x-3y+m的最小值为4,则m=( )
A.6 B.8 C.10 D.12
解析作出满足约束条件的可行域,如图中的阴影部分所示.由z=x-3y+m,得y=13x-z3+m3,则由图可知z=x-3y+m在点A(-2,2)处取得最小值,则有z=-2-3×2+m=4,所以m=12,故选D.
答案D
4.已知变量x,y满足约束条件y≤2,x+y≥1,x-y≤1,则z=3|x|+y的取值范围为( )
A.[-1,5]
B.[1,11]
C.[5,11]
D.[-7,11]
解析画出可行域,由可行域可知,当x≥0时,z=3x+y的取值范围是[1,11];当x<0时,z=-3x+y的取值范围是(1,5].综上,z=3|x|+y的取值范围为[1,11].
答案B
5.若变量x,y满足约束条件2x-y≥0,x+2y≥0,3x+y-5≤0,则z=x+y2的取值范围为 .?
解析由题意知不等式组所表示的平面区域为如图所示的阴影部分(△OAB及其内部),其中O(0,0),A(1,2),B(2,-1),因此当直线z=x+y2经过点A时,z取得最大值,即zmax=1+22=2;当直线z=x+y2经过点O时,z取得最小值,即zmin=0. 所以z=x+y2的取值范围为[0,2].
答案[0,2]
6. 某公司生产甲、乙两种桶装产品,已知生产甲产品1桶需耗A原料1千克、B原料2千克;生产乙产品1桶需耗A原料2千克、B原料1千克.每桶甲产品的利润是300元,每桶乙产品的利润是400元.公司在生产这两种产品的计划中,要求每天消耗A,B原料都不超过12千克.通过合理安排生产计划,从每天生产的甲、乙两种产品中,公司共可获得的最大利润是 元.?
解析设生产甲产品x桶,乙产品y桶,每天利润为z元,则x+2y≤12,2x+y≤12,x≥0,y≥0,z=300x+400y.
作出可行域,如图中的阴影部分所示.作直线300x+400y=0,向右上平移,当直线经过点A时,z=300x+400y取最大值.由x+2y=12,2x+y=12得x=4,y=4,所以A(4,4),故zmax=300×4+400×4=2 800.
答案2 800
7.已知z=2y-2x+4,其中x,y满足条件0≤x≤1,0≤y≤2,2y-x≥1,求z的最大值和最小值.
解作出不等式组0≤x≤1,0≤y≤2,2y-x≥1表示的平面区域,
如图中的阴影部分所示.令2y-2x=t,则当直线2y-2x=t经过点A(0,2)时,zmax=2×2-2×0+4=8;
当直线2y-2x=t经过点B(1,1)时,zmin=2×1-2×1+4=4.
故z的最大值为8,最小值为4.
8.某公司有60万元资金,计划投资甲、乙两个项目,按要求对甲项目的投资不小于对乙项目投资的23,且对每个项目的投资不能低于5万元.对甲项目每投资1万元可获
得0.4万元的利润,对乙项目每投资1万元可获得0.6万元的利润,该公司正确规划投资后,在这两个项目上一共可获得的最大利润是多少?
解设投资甲项目x万元,投资乙项目y万元,可获得利润为z万元,
则x+y≤60,x≥23y,x≥5,y≥5,目标函数为z=0.4x+0.6y.
作出满足题意的可行域如图阴影部分所示.
由z=0.4x+0.6y,得y=-23x+53z.
由3x-2y=0,x+y=60,得A(24,36).
由图知,当直线y=-23x+53z经过点A时,53z取得最大值,即z取得最大值.
故zmax=0.4×24+0.6×36=31.2(万元),
即一共可获得的最大利润为31.2万元.
课件27张PPT。3.3.2 简单的线性规划问题线性规划的有关概念及其图解法
1.填空:
(1)线性规划中的基本概念(2)用图解法解决线性规划问题
在确定约束条件和线性目标函数的前提下,用图解法求最优解的步骤为:
①在平面直角坐标系中画出可行域;③在线性目标函数所表示的一组平行线中,用平移的方法找出与可行域有公共点且纵截距最大或最小的直线.
④求出最优解并代入目标函数,从而求出目标函数的最值.2.做一做:
(1)判断正误.
①一般地,线性规划问题中的目标函数是线性目标函数. ( )
②线性目标函数的最优解可能是不唯一的. ( )
③线性目标函数取得最值的点一定在可行域的顶点或边界上. ( )
④在目标函数z=ax+by(b≠0)中,z的几何意义是直线ax+by-z=0在y轴上的截距. ( )
⑤在线性规划问题中,当直线z=ax+by(b≠0)在y轴上的截距最大时,目标函数z取得最大值. ( )
答案:①√ ②√ ③√ ④× ⑤×A.4和3 B.4和2
C.3和2 D.2和0
解析:画出可行域,如图阴影部分所示.画出直线2x+y=0,并在可行域内移动,
当直线经过点(1,0)时,z取最小值;
当直线经过点(2,0)时,z取最大值.
故zmax=2×2+0=4,zmin=2×1+0=2.
答案:B探究一探究二思维辨析当堂检测求线性目标函数的最值问题 (1)2x+3y的最大值;(2)4x+y的最大值;(3)3x-y的最小值;(4)5x-5y的最大值.
分析:画出可行域,然后按照线性规划问题的图解法步骤,进行求解.探究一探究二思维辨析当堂检测探究一探究二思维辨析当堂检测(2)画出线性约束条件表示的可行域(如图②中的阴影部分),令4x+y=z,则y=-4x+z,由图形②可知,当直线y=-4x+z经过点B(15,5)时,直线在y轴上的截距最大,z取到最大值,故zmax=4×15+5=65.
(3)画出线性约束条件表示的可行域(如图③中的阴影部分),令3x-y=z,则y=3x-z,由图形③可知,当直线y=3x-z经过点C(-15,15)时,直线在y轴上的截距最大,z取到最小值,故zmin=3×(-15)-15=-60.
(4)画出线性约束条件表示的可行域(如图④中的阴影部分),令5x-5y=z,则y=x- ,由图形④可知,当直线y=x- 与边界直线x-y=10重合时,直线在y轴上的截距最小,z取最大值,由于B(15,5),故zmax=5×15-5×5=50.探究一探究二思维辨析当堂检测反思感悟1. 解线性规划问题的关键是作出可行域,若可行域为封闭区域,则区域的顶点很可能就是目标函数取得最大值或最小值的点,因此我们在解决这些问题时,可以根据这些点快速找到目标函数取得最值时对应的x,y的值,再代入目标函数中即可求得最值.
2.求解线性规划问题时,经常需要比较相关直线的斜率的大小,以决定它们的倾斜程度,从而找出最优解,所以要熟悉直线斜率与倾斜角之间的关系.
3.线性目标函数的最优解一般在可行域的顶点或边界处取得,当表示线性目标函数表示的直线与可行域的某边重合时,其最优解可能有无数个.探究一探究二思维辨析当堂检测延伸探究本例中,若条件不变,求z=y-2x的最大值.
解:画出线性约束条件表示的可行域(如图中的阴影部分),由z=y-2x可得y=2x+z,由图可知,当直线y=2x+z经过点C(-15,15)时,直线在y轴上的截距最大,z取最大值,故zmax=15-2×(-15)=45.探究一探究二思维辨析当堂检测线性规划中的实际问题
例2某工厂有甲、乙两种产品,计划每天各产品生产量不少于15 t.已知生产1 t甲产品需煤9 t,电力4 kW·h,劳力3个;生产1 t乙产品需煤5 t,电力5 kW·h,劳力10个;甲产品每吨利润7万元,乙产品每吨利润12万元;但每天用煤不超过300 t,电力不超过200 kW·h,劳力只有300个.问每天各生产甲、乙两种产品多少时,能使利润总额达到最大?
分析:将已知数据列成表,如下表所示.设出未知量,根据资源限额建立约束条件,由利润关系建立目标函数. 探究一探究二思维辨析当堂检测作出以上不等式组满足的可行域,如图中的阴影部分所示. 探究一探究二思维辨析当堂检测得点A的坐标为(20,24),
所以zmax=7×20+12×24=428(万元).故生产甲、乙两种产品分别为20 t,24 t时,利润总额最大.探究一探究二思维辨析当堂检测反思感悟解答线性规划应用题的一般步骤
1.审题.仔细阅读,准确理解题意,明确有哪些限制条件,起关键作用的变量有哪些.由于线性规划应用题中的量较多,为了理顺题目中量与量之间的关系,有时可借助表格来处理.
2.转化.设出未知量,由条件写出约束条件和目标函数,从而将实际问题转化为数学中的线性规划问题.
3.求解.解这个数学问题,其求解过程是:(1)作图;(2)平移;(3)求最优解及最值.
4.作答.就应用题提出的问题给出回答.探究一探究二思维辨析当堂检测变式训练某企业生产甲、乙两种产品均需用A,B两种原料.已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示:生产1吨甲、乙产品可获得的利润分别为3万元、4万元,若要该企业每天获得的利润最大,则甲、乙两种产品每天应分别生产多少?探究一探究二思维辨析当堂检测探究一探究二思维辨析当堂检测故要使该企业每天获得的利润最大,该企业应每天生产甲种产品2吨、乙种产品3吨.探究一探究二思维辨析当堂检测弄错目标函数与直线的截距间的关系致误 错解:画出不等式组表示的平面区域(如图中的阴影部分).由z=2x-y可得y=2x-z,因此平移直线y=2x-z,当直线经过可行域中的点A时,直线在y轴上的截距最大,则z取得最大值,而A(-2,-1),所以zmax=2×(-2)-(-1)=-3.探究一探究二思维辨析当堂检测提示:错解中,没有弄清直线y=2x-z在y轴上的截距与z的关系,误以为在y轴上的截距最大时z取最大值,事实上,直线y=2x-z在y轴上的截距是-z,因此当直线在y轴上的截距最大时,z反而取最小值.
正解:画出不等式组表示的平面区域(如图中的阴影部分).由z=2x-y可得y=2x-z,因此平移直线y=2x-z,当直线经过可行域中的点B时,直线在y轴上的截距最小,则z取得最大值,而B(0,-1),所以zmax=0×(-2)-(-1)=1.答案:1 探究一探究二思维辨析当堂检测探究一探究二思维辨析当堂检测A.1 B.2 C.3 D.4
解析:在平面直角坐标系中,画出可行域(如图中的阴影部分).把z=y+2x变形为y=-2x+z,平移直线2x+y=0,当直线经过点(1,2)时,直线在y轴上的截距最小,z的值也最小.所以zmin=2+2×1=4,故其最小值为4.答案:D 探究一探究二思维辨析当堂检测A.12 B.11 C.3 D.-1
解析:作出如图所示的可行域(阴影部分),把z=3x+y变形为y=-3x+z,平移直线3x+y=0,当直线经过点B(3,2)时,z取得最大值,最大值为11.答案:B 探究一探究二思维辨析当堂检测答案:4 探究一探究二思维辨析当堂检测4.某企业生产甲、乙两种产品,已知生产每吨甲产品要用A原料3吨,B原料2吨;生产每吨乙产品要用A原料1吨,B原料3吨.甲产品每吨利润为5万元,乙产品每吨利润为3万元.如果该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨,B原料不超过18吨,那么该企业的最大利润为 万元.?答案:27 探究一探究二思维辨析当堂检测5.在制定投资计划时,不仅要考虑可能获得的盈利,还要考虑可能出现的亏损.某投资人打算投资甲、乙两个项目,根据预测,甲、乙两个项目可能的最大盈利率分别为100%和50%,可能的最大亏损率分别为30%和10%,投资人计划投资金额不超过10万元,要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元,问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元,才能使可能的盈利最大?探究一探究二思维辨析当堂检测解:设投资人分别用x万元、y万元投资甲、乙两个项目,盈利为z万元,由题意得上述不等式组确定的平面区域如图阴影
部分所示.令z=0,得l0:x+0.5y=0.
当l0向上平移时,z值逐渐增大,
当直线经过点M时,z取得最大值.因此,当x=4,y=6时,zmax=1×4+0.5×6=7(万元).
所以投资人用4万元投资甲项目,6万元投资乙项目,才能确保在亏损不超过1.8万元的前提下,使可能的盈利最大.
