习题课——数学规划的简单应用
课后篇巩固提升
基础巩固
1.已知x,y满足约束条件x≥0,y≥0,x+y≥1,则(x+3)2+y2的最小值为( )
A.10 B.22
C.8 D.10
解析画出可行域(图中的阴影部分),(x+3)2+y2表示可行域中的点(x,y)与点(-3,0)之间的距离的平方.由图形可知,当点(x,y)为点(0,1)时,点(x,y)与点(-3,0)之间的距离最小,等于10,因此(x+3)2+y2的最小值为10.
答案D
2. 已知变量x,y满足约束条件y≥-1,x-y≥2,3x+y≤14,若使z=ax+y取得最大值的最优解有无穷多个,则实数a的取值集合是( )
A.{-3,0} B.{3,-1}
C.{0,1} D.{-3,0,1}
解析作出不等式组所表示的平面区域,如图中的阴影部分所示.易知直线z=ax+y与x-y=2或3x+y=14平行时取得最大值的最优解有无穷多个,即-a=1或-a=-3,所以a=-1或a=3.
答案B
3. 已知实数x,y满足不等式组x≥1,y≥0,x-y≥0,则y-1x的取值范围是( )
A.[-1,1) B.[-1,1]
C.(-1,1) D.[-1,+∞)
解析
画出可行域(图中的阴影部分),设w=y-1x,所以y=wx+1(x≠0),w表示直线y=wx+1(x≠0)的斜率.由图可知,满足条件的直线夹在直线y=-x+1与y=x+1之间,故-1≤w<1.
答案A
4. 已知变量x,y满足条件x+y≤a,x+y≥8,x≥6,若不等式x+2y≤14恒成立,则a的取值范围是( )
A.(-∞,10] B.[8,10]
C.(-∞,-6] D.(-∞,-10]
解析显然a≥8,否则可行域无意义,由图可知x+2y在点(6,a-6)处取得最大值,则有2a-6≤14,因此a≤10,所以8≤a≤10.
答案B
5. 已知变量x,y满足约束条件x-y+2≤0,x≥1,2x+y-8≤0,则yx的取值范围是 .?
解析画出可行域(图中的阴影部分),易得A(2,4),B(1,6),因为它们与原点连线的斜率分别为k1=2,k2=6,又因为yx=y-0x-0,所以k1≤yx≤k2,即2≤yx≤6.故yx的取值范围是[2,6].
答案[2,6]
6.不等式组x>0,y>0,4x+3y<12表示的平面区域内的整点(横坐标和纵坐标都是整数的点)共有 个.?
解析画出可行域,如图中的阴影部分(不含边界),由图知满足题意的整点有(1,1),(1,2),(2,1),共3个.
答案3
7.已知x,y满足约束条件 x+y≥1,x-2y≥-2,3x-2y≤3,若x2+y2≥a2恒成立,则实数a的取值范围是 .?
解析画出可行域(图中的阴影部分),
x2+y2表示可行域中的点(x,y)与原点距离的平方.由图可知,x2+y2的最小值应为原点到边界直线x+y=1的距离的平方,而原点到边界直线x+y=1的距离等于22,所以x2+y2的最小值是12,因此要使x2+y2≥a2恒成立,应有a2≤12,故-22≤a≤22.
答案-22≤a≤22
8. 已知x,y满足线性约束条件x-2y+7≥0,4x-3y-12≤0,x+2y-3≥0,求函数z=x2+y2的最大值和最小值.
解已知不等式组为x-2y+7≥0,4x-3y-12≤0,x+2y-3≥0,在同一平面直角坐标系中,画出可行域,如图阴影部分所示.
由x-2y+7=0,4x-3y-12=0,解得A(9,8).
所以zmax=(x2+y2)max=|OA|2=145.
又因为原点O到直线BC的距离为|3|5=355,
所以zmin=(x2+y2)min=95. 故函数z=x2+y2的最大值为145,最小值为95.
9. 某人有一幢楼房,室内面积共计180 m2,拟分割成两类房间作为旅游客房.大房间每间面积为18 m2,可住游客5名,每名游客每天住宿费40元;小房间每间面积为15 m2,可住游客3名,每名游客每天住宿费50元.装修大房间每间需要1 000元,装修小房间每间需要600元.如果他只能筹款8 000元用于装修,且游客能住满客房,则他应隔出大房间和小房间各多少间,才能使每天获得的住宿费最多?
解设大房间为x间,小房间为y间,每天获得的住宿费为z元.根据题意得18x+15y≤180,1 000x+600y≤8 000,x,y∈N,即6x+5y≤60,5x+3y≤40,x,y∈N,目标函数为z=200x+150y.
作出约束条件表示的平面区域,如图中阴影部分所示,把目标函数z=200x+150y化为y=-43x+z150,由图易知当直线经过点M时,z取得最大值,解方程组6x+5y=60,5x+3y=40,得M207,607.因为最优解(x,y)中,x,y必须都是整数,所以点207,607不是最优解.验证可知当直线过整点(3,8)和整点(0,12)时,z取得最大值,所以当大房间为3间,小房间为8间或大房间为0间,小房间为12间时,可使每天获得的住宿费最多,最多为1 800 元.
能力提升
1.已知a>0,x,y满足约束条件x≥1,x+y≤3,y≥a(x-3),若z=2x+y的最小值为0,则a等于( )
A.14 B.12
C.1 D.2
解析根据约束条件画出可行域,如图阴影部分所示.由z=2x+y,得y=-2x+z,可将z的最小值转化为直线在y轴上的截距最小.由图知当直线z=2x+y经过点B时,z最小.因为点B的坐标为(1,-2a),将其代入z=2x+y,得2-2a=0,得a=1.
答案C
2.已知O为坐标原点,点M的坐标为(2,1),若点N(x,y)满足不等式组x-4y+3≤0,2x+y-12≤0,x≥1,则使OM·ON取得最大值的点N的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.无数个
解析由M(2,1),N(x,y),得OM·ON=2x+y.令z=2x+y,则OM·ON的最大值即为目标函数z=2x+y的最大值.由图(图略)易知,当直线y=-2x+z与直线2x+y-12=0重合时,z取得最大值,所以使OM·ON取得最大值的点N的个数有无数个.
答案D
3.若不等式组x+2y≥0,2x-y≥0,x≤a(a>0)表示的平面区域的面积为5,且直线mx-y+m=0与该平面区域有公共点,则m的最大值是( )
A.43 B.34 C.0 D.-13
解析画出可行域(图中的阴影部分),可求得A(a,2a),Ba,-a2,三角形区域的面积为12·a·5a2,所以12·a·5a2=5,解得a=2,这时A(2,4).而直线mx-y+m=0可化为y=m(x+1),它经过定点P(-1,0),斜率为m.由图形知,当直线经过点A时,斜率m取最大值,且kAP=4-02-(-1)=43.故m的最大值是43.
答案A
4.若实数x,y满足12≤x≤1,y≥-x+1,y≤x+1,则y+1x的最大值为 .?
解析作出不等式组表示的平面区域为如图四边形ABCD对应的区域,而y+1x表示区域内的点与点(0,-1)连线的斜率,显然当直线经过点D时斜率最大,而点D的坐标为12,32,所以所求的最大值为32+112=5.
答案5
5.若x,y均为整数,且满足约束条件x+y-2≤0,x-y+2≥0,y≥0,则z=2x+y的最大值为 ,最小值为 .?
解析
作出可行域,如图阴影部分所示.由图可知在可行域内的整点有(-2,0),(-1,0),(0,0),(1,0),(2,0),(-1,1),(0,1),(1,1),(0,2),分别代入z=2x+y可知,当x=2,y=0时,z取最大值4;当x=-2,y=0时,z取最小值-4.
答案4 -4
6.若实数x,y满足不等式组2x+y≤4,x≥0,y≥0,则当y-xx+1≤2a恒成立时,实数a的取值范围是 .?
解析
画出可行域(图中的阴影部分),由于y-xx+1=y+1-1-xx+1=y+1x+1-1,其中y+1x+1表示可行域中的点(x,y)与定点(-1,-1)连线的斜率k,由图形可知k∈13,5,所以y+1x+1-1∈-23,4.因此,当y-xx+1≤2a恒成立时,应有2a≥4,解得a≥2.
答案a≥2
7.已知x,y满足约束条件x-y≥0,x+y≤1,y≥0,若目标函数z=ax+y(其中a为常数)仅在点12,12处取得最大值,求实数a的取值范围.
解由x,y满足约束条件x-y≥0,x+y≤1,y≥0,画出此约束条件表示的平面区域,如图中阴影部分所示.由目标函数z=ax+y,得y=-ax+z.
因为z仅在点12,12处取得最大值,
所以-1<-a<1,故实数a的取值范围是(-1,1).
8.已知x,y满足约束条件x-4y≤-3,3x+5y≤25,x≥1,试求解下列问题:
(1)z=x2+y2的最大值和最小值;
(2)z=yx+2的最大值和最小值;
(3)z=|3x+4y+3|的最大值和最小值.
解不等式组表示的平面区域如图中的阴影部分所示.
(1)z=x2+y2表示的几何意义是区域中的点(x,y)到原点(0,0)的距离,由图易知zmax=29,zmin=2.
(2)z=yx+2表示区域中的点(x,y)与点(-2,0)连线的斜率,由图易知zmax=2215,zmin=27.
(3)z=|3x+4y+3|=5×|3x+4y+3|5,而|3x+4y+3|5表示区域中的点(x,y)到直线3x+4y+3=0的距离,则zmax=26,zmin=10.
课件28张PPT。习题课——数学规划的简单应用非线性目标函数的最值问题
1.填空:
在数学规划问题中,除线性目标函数外,还有以下几种常见的非线性目标函数:
(1)z=x2+y2,它表示点(x,y)与原点(0,0)之间的距离的平方;
(2)z=(x-a)2+(y-b)2,它表示点(x,y)与点(a,b)之间的距离的平方;2.做一做:
(1)判断正误.
①(x-a)2+(y-b)2表示点(x,y)与点(a,b)之间的距离. ( )③若某一线性规划问题中,目标函数是z=ax-y,则直线y=ax-z的斜率一定大于0. ( )答案:①× ②× ③× ④× (2)若以A(2,0),B(2,2),C(0,2)为顶点的三角形及其内部构成区域D,点P(x,y)在区域D内,则答案:①8 ②[0,2] 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测非线性目标函数的最值问题 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测解:(1)画出可行域如图阴影部分所示.
z=x2+y2-10y+25=x2+(y-5)2,它表示可
行域内任一点(x,y)到定点M(0,5)的距
离的平方,过点M作直线AC的垂线,
易知垂足N在线段AC上,探究一探究二探究三思维辨析当堂检测反思感悟利用数学规划求最值,关键是准确理解非线性目标函数的几何意义,从本题的求解过程可以看出,最优解一般在可行域的边界上,并且通常在可行域的顶点处取得,所以作图时要力求准确.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测解:画出满足条件的可行域如图阴影部分所示.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测(1)x2+y2=u表示一组同心圆(圆心为原点O),且对同一圆上的点,x2+y2的值都相等,由图可知,当(x,y)在可行域内取值时,当且仅当圆O过点C时,u最大,过点(0,0)时,u最小.
因为点C的坐标为(3,8),所以umax=73,umin=0.故u的最大值为73,最小值为0.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测线性规划中的参数问题 A.1 B.2 C.3 D.4
分析:首先可从选项给出的值进行判断,确定a>0,然后在可行域中针对目标函数进行分析,找出最优解,从而确定实数a的值.
解析:画出可行域,如图阴影部分所示.由各选项知a取正值,设ax+y=z,结合图形易得当直线y=-ax+z经过点(1,0)时,ax+y取得最小值,此时a=3.故选C.答案:C 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测反思感悟线性规划中的参数问题就是已知目标函数的最值,求约束条件或目标函数中所含参数的取值范围问题.解决这类问题时,首先要注意对参数取值的讨论,将各种情况下的可行域或目标函数表示的直线画出来,分析并确定是否符合题意,然后寻求最优解,从而确定参数的值.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测答案:-6 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测线性规划中的整数解问题
例3某旅行社租用A,B两种型号的客车安排900名客人旅行,A,B两种车的载客量分别为36人和60人,租金分别为1 600元/辆和2 400元/辆,旅行社要求租用车辆总数不超过21,且B型车至多比A型车多7辆,求最少租金.
分析:设出未知数,建立约束条件,注意到车辆数应该为自然数,因此应该求目标函数的最优整数解.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测探究一探究二探究三思维辨析当堂检测反思感悟对于线性规划中的最优整数解问题,当解方程组得到的解不是整数解时,通常可用平移直线法得到最优整数解,即通过平移直线,观察和分析最先经过或最后经过的整数点,就是相应的最优整数解;如果可行域中的整数点较少,也可以将整点的坐标逐一代入目标函数求值,经比较后得出最优整数解.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测解析:作出可行域,结合图形(如图)知当a=-1时,可行域内的整点恰有9个,所以a=-1.答案:-1 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测忽视对参数的分类讨论致误
典例已知x,y满足约束条件|x|+2|y|≤2,且z=y-mx(m≠0)的最小值等于-2,则实数m等于 .?错解:本题常见错解是没有对参数m的取值范围进行分类讨论,导致丢解.画出可行域(下图中的阴影部分).
由z=y-mx,得y=mx+z.
由图可知,目标函数在点A(2,0)或D(0,-1)处取得最小值,因此,-2=0-2m或-2=-1-m×0,解得m=1.故填1.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测探究一探究二探究三思维辨析当堂检测探究一探究二探究三思维辨析当堂检测防范措施当目标函数中含有参数时,参数的不同取值将影响最优解的位置,因此要根据可行域边界直线的斜率与目标函数对应直线斜率的大小关系,对参数的取值情况进行分类讨论,在运动变化中寻找问题成立的条件,从而得到参数的取值.如果在约束条件中含有参数,那么随着参数的变化,可行域的形状可能就要发生变化,因此在求解时也要根据参数的取值对可行域的各种情况进行分类讨论,以免出现漏解.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测解析:画出不等式组对应的可行域如图阴影部分所示. 答案:D 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测解析: 答案:B 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测解析:画出可行域(图中的阴影部分),当直线y=-2x+z经过点M(a,a)答案:C 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测4.已知点P(x,y)在如图阴影所示的可行域内,若目标函数z=ax+y仅在点A处取得最小值,则实数a的取值范围为 .?答案:(-∞,-1) 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测探究一探究二探究三思维辨析当堂检测探究一探究二探究三思维辨析当堂检测
