习题课——正弦定理和余弦定理的综合应用
课后篇巩固提升
基础巩固
1.在△ABC中,sin A∶sin B∶sin C=3∶2∶3,则cos C的值为( )
A.13 B.-23 C.14 D.-14
解析∵sin A∶sin B∶sin C=3∶2∶3,由正弦定理,得a∶b∶c=3∶2∶3,设a=3k,b=2k,c=3k(k>0),
则cos C=a2+b2-c22ab=9k2+4k2-9k212k2=13.
答案A
2.已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,设向量m=(a+b,sin C),n=(3a+c,sin B-sin A),若m∥n,则角B的大小为( )
A.30° B.60° C.120° D.150°
解析∵m∥n,∴(a+b)(sin B-sin A)-sin C(3a+c)=0.由正弦定理,得(a+b)(b-a)=c(3a+c),即a2+c2-b2=-3ac.由余弦定理,得cos B=-32.
又B为△ABC的内角,∴B=150°.故选D.
答案D
3.已知在△ABC中,sin A+sin B=(cos A+cos B)·sin C,则△ABC的形状是( )
A.锐角三角形 B.钝角三角形
C.等腰三角形 D.直角三角形
解析根据正弦定理,原式可变形为c(cos A+cos B)=a+b,所以cb2+c2-a22bc+a2+c2-b22ac=a+b,
整理得a2+b2=c2,可得C=90°.故选D.
答案D
4.已知在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且c2-b2=ab,C=π3,则sinAsinB的值为( )
A.12 B.1 C.2 D.3
解析由余弦定理得c2-b2=a2-2abcos C=a2-ab=ab,所以a=2b,所以由正弦定理得sinAsinB=ab=2.
答案C
5.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2b·cos C=2a+c,若b=3,则△ABC的外接圆面积为( )
A.π48 B.π12 C.12π D.3π
解析∵2b·cos C=2a+c,若b=3,
∴cos C=2a+c2b=a2+b2-c22ab,可得a2+c2-b2=-ac,∴cos B=a2+c2-b22ac=-12,∴由B∈(0,π),可得B=2π3,设△ABC的外接圆半径为R,由正弦定理可得2R=bsinB=332,解得R=3,可得△ABC的外接圆面积为S=πR2=3π.故选D.
答案D
6.设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若b+c=2a,且3sin A=5sin B,则角C=.
解析由3sin A=5sin B结合正弦定理,得3a=5b.因为b+c=2a,所以b=35a,c=75a.由余弦定理,得cos C=a2+35a2-75a22·a·35a=-12,故C=120°.
答案120°
7.在△ABC中,B=60°,a=1,c=2,则csinC= .?
解析∵由余弦定理得,b2=a2+c2-2accos B=3,
∴b=3,∴由正弦定理得,csinC=bsinB=332=2.
答案2
8.已知△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若acos B=5bcos A,asin A-bsin B=2sin C,则边c的值为 .?
解析∵acos B=5bcos A,
∴由余弦定理可得a·a2+c2-b22ac=5b·b2+c2-a22bc,
整理可得3(a2-b2)=2c2.
又∵asin A-bsin B=2sin C,
∴由正弦定理可得a2-b2=2c,∴6c=2c2,解得c=3.
答案3
9.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且bcosC=3acos B-ccos B.
(1)求cos B的值;
(2)若BA·BC=2,且b=22,求a和c的值.
解(1)由正弦定理,得a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C,其中R为△ABC外接圆半径,
则2Rsin Bcos C=6Rsin Acos B-2Rsin Ccos B,即sin Bcos C=3sin Acos B-sin Ccos B,可得sin Bcos C+sin Ccos B=3sin Acos B,即sin(B+C)=3sin Acos B,可得sin A=3sin Acos B.又sin A≠0,因此cos B=13.
(2)由BA·BC=2,得accos B=2.由(1)知cos B=13,故ac=6,由b2=a2+c2-2accos B,得a2+c2=12,所以(a-c)2=0,即a=c,所以a=c=6.
能力提升
1.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且ccos A+acos C=2c,若a=b,则sin B等于( )
A.154 B.14 C.34 D.32
解析∵ccos A+acos C=2c,
∴由正弦定理可得sin Ccos A+sin Acos C=2sin C,
∴sin(A+C)=2sin C,∴sin B=2sin C,∴b=2c.
又a=b,∴a=2c.
∴cos B=a2+c2-b22ac=4c2+c2-4c22×2c2=14,
∵B∈(0,π),∴sin B=1-cos2B=154.
答案A
2.如图,在△ABC中,B=45°,D是BC边上一点,AD=5,AC=7,DC=3,则AB的长为( )
A.615 B.5
C.562 D.56
解析在△ADC中,由余弦定理,得cos∠ADC=AD2+DC2-AC22AD·DC=25+9-492×5×3=-12,所以∠ADC=120°,则∠ADB=60°.在△ABD中,由正弦定理,得AB=ADsin∠ADBsinB=5×3222=562.
答案C
3.设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=(b+c)cos C,则△ABC的形状是( )
A.等腰三角形 B.等边三角形
C.直角三角形 D.锐角三角形
解析由已知及正弦定理,得sin A=(sin B+sin C)cos C,
即sin(B+C)=(sin B+sin C)cos C,
所以sin Bcos C+cos Bsin C=sin Bcos C+sin Ccos C,
所以cos Bsin C=sin Ccos C.因为sin C≠0,所以cos B=cos C,故必有B=C,从而△ABC是等腰三角形.
答案A
4.在△ABC中,A,B,C所对的边分别为a,b,c,B=π3,AB·BC=-2,且满足sin A+sin C=2sin B,则该三角形的外接圆的半径R为( )
A.433 B.233 C.3 D.23
解析因为AB·BC=accos(π-B)=-12ac=-2,
所以ac=4.
由余弦定理得b2=a2+c2-2accos B.
又因为sin A+sin C=2sin B,所以a+c=2b.
所以(a+c)24=(a+c)2-3ac,
所以3(a+c)24=12,
所以(a+c)2=16,所以a+c=4,
所以b=2,所以2R=bsinB=2sin60°=433,
所以R=233.
答案B
5.在△ABC中,B=π3,AC=3,且cos2C-cos2A-sin2B=-2sin Bsin C,则BC= .?
解析∵cos2C-cos2A-sin2B=-2sin Bsin C,
∴(1-sin2C)-(1-sin2A)-sin2B=-2sin Bsin C,
∴-sin2C+sin2A-sin2B=-2sin Bsin C,
由正弦定理可得a2-c2-b2=-2bc,
∴cos A=22,∴A=π4.
由正弦定理可得BCsinA=ACsinB=332=2,
∴BC=2×22=2.
答案2
6.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a=3,3+bc=sinC+sinAsinC+sinA-sinB,则b+2c的最大值等于 .?
解析原等式可化为a+bc=c+ac+a-b,
整理,得a2=b2+c2-bc,故cos A=b2+c2-a22bc=12,由A∈(0,π),可得A=π3.
因为bsinB=csinC=asinA=2,可得b+2c=2sin B+4sin C=2sin B+4sin2π3-B=4sin B+23cos B=27sin(B+θ),其中θ为锐角,tan θ=32.由于B∈0,2π3,故当B+θ=π2时,b+2c取得最大值为27.
答案27
7.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知sin B+sin C=msin A(m∈R),且a2-4bc=0.
(1)当a=2,m=54时,求b,c的值;
(2)若角A为锐角,求m的取值范围.
解由题意并结合正弦定理,得b+c=ma,a2-4bc=0.
(1)当a=2,m=54时,b+c=52,bc=1.
解得b=2,c=12或b=12,c=2.
(2)∵cos A=b2+c2-a22bc=(b+c)2-2bc-a22bc=m2a2-a22-a2a22=2m2-3∈(0,1),∴32
由b+c=ma,得m>0,故628.在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,且2asin A=(2b-c)sin B+(2c-b)sin C.
(1)求角A的大小;
(2)若sin B+sin C=3,试判断△ABC的形状.
解(1)∵2asin A=(2b-c)sin B+(2c-b)sin C,
∴2a2=(2b-c)b+(2c-b)c,即bc=b2+c2-a2,
∴cos A=b2+c2-a22bc=12.
∵0°(2)∵A+B+C=180°,
∴B+C=180°-60°=120°,
由sin B+sin C=3,得sin B+sin(120°-B)=3,
∴sin B+sin 120°cos B-cos 120°sin B=3,
∴32sin B+32cos B=3,
即sin(B+30°)=1.
又∵0°∴B+30°=90°,即B=60°,
∴A=B=C=60°,∴△ABC为正三角形.
课件18张PPT。习题课——正弦定理和余弦定理的综合应用一、正弦定理与余弦定理及其变形
1.填空: (2)正弦定理的变形:
①a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C(R为△ABC外接圆半径);?③a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C;? 2.做一做:
(1)判断正误.
①在△ABC中,sin2C=sin2A+sin2B-2sin Asin Bcos C.( )
②若△ABC是直角三角形,则a2+b2=c2. ( )
答案:①√ ②×
(2)在△ABC中,若acos A=bsin B,则sin Acos A+cos2B=( )解析:由acos A=bsin B,得sin Acos A=sin2B,所以sin Acos A+cos2B=sin2B+cos2B=1.
答案:D二、三角形中有关边和角的常用性质
1.填空:
(1)三角形内角和定理:在△ABC中,A+B+C=π;
(2)在△ABC中,a>b?A>B?sin A>sin B;?
(3)在△ABC中,a+b>c,b+c>a,c+a>b.
2.做一做:
(1)判断正误.①在△ABC中,若A=2B,则a=2b. ( ) 答案:①× ②√ (2)已知锐角三角形的三边长分别为2,3,x,则实数x的取值范围为 .?探究一探究二探究三当堂检测用正、余弦定理求边和角 分析:先由bsin A=3csin B及正弦定理得出边a,c的关系,从而得到边a,c的长度,再利用余弦定理求出b.
解析:由bsin A=3csin B及正弦定理,得ab=3bc,
即a=3c.因为a=3,所以c=1.答案:D 探究一探究二探究三当堂检测反思感悟应用正、余弦定理解决三角形问题,关键是根据已知条件对边和角进行相互转化,化简表达式,通过代数变形或三角恒等变换解决问题.探究一探究二探究三当堂检测变式训练1在△ABC中,sin2A≤sin2B+sin2C-sin Bsin C,则A的取值范围是( )答案:C 探究一探究二探究三当堂检测利用正、余弦定理判断三角形形状
例2在△ABC中,若(a-ccos B)sin B=(b-ccos A)sin A,判断△ABC的形状.分析: 探究一探究二探究三当堂检测解法一∵(a-ccos B)sin B=(b-ccos A)sin A,
∴由正、余弦定理,得整理,得(a2+b2-c2)b2=(a2+b2-c2)a2,即(a2-b2)(a2+b2-c2)=0,∴a2+b2-c2=0或a2=b2.∴a2+b2=c2或a=b.故△ABC为直角三角形或等腰三角形.
解法二根据正弦定理,原等式可化为(sin A-sin Ccos B)sin B=(sin B-sin Ccos A)sin A,
即sin Ccos Bsin B=sin Ccos Asin A.
∵sin C≠0,∴sin Bcos B=sin Acos A.探究一探究二探究三当堂检测反思感悟判断三角形形状的两种途径
1.利用正、余弦定理把已知条件转化为边的关系,通过因式分解、配方等得出边的相应关系,从而判断三角形的形状.
2.利用正弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系,通过三角函数恒等变形得出内角的关系,从而判断三角形的形状,此时要注意应用“A+B+C=π”这个结论.
注意:在两种解法的等式变形中,一般两边不要约去公因式,应移项提取公因式,以免漏解.探究一探究二探究三当堂检测延伸探究本例中,将条件改为“在△ABC中,若(a-acos B)·sin B=(b-ccos C)sin A”,判断△ABC的形状.
解:因为(a-acos B)sin B=(b-ccos C)sin A,所以asin B-acos Bsin B=bsin A-ccos Csin A,而由正弦定理可知asin B=bsin A,所以acos Bsin B=ccos Csin A,
即sin Acos Bsin B=sin Ccos Csin A,
所以cos Bsin B=sin Ccos C,即sin 2B=sin 2C,
所以2B=2C或2B+2C=180°,即B=C或B+C=90°,故△ABC是等腰三角形或直角三角形.探究一探究二探究三当堂检测正、余弦定理与平面向量的综合 分析:先根据平面向量的数量积公式结合已知条件求出边c,再利用余弦定理求出边b,最后根据正弦定理求角C.探究一探究二探究三当堂检测答案:B 探究一探究二探究三当堂检测答案:C 探究一探究二探究三当堂检测2.在△ABC中,内角A,B,C所对边为a,b,c,且sin2A=sin2B+sin Bsin C+sin2C,则∠A=( )
A.150° B.120° C.60° D.30°答案:B 探究一探究二探究三当堂检测A.19 B.14 C.-18 D.-19 答案:D 答案:1