高中数学 人教A版必修五课件 2.1　第2课时　数列的递推公式 :27张PPT

课件27张PPT。第2课时　数列的递推公式一、数列与函数的关系 提示:一定是;一定是. 3.填空:
(1)数列可以看成以正整数集N*(或它的有限子集{1,2,…,n})为定义域的函数an=f(n),当自变量按照从小到大的顺序依次取值时,所对应的一列函数值.如图所示.(2)在数列{an}中,若an+1>an,则{an}是递增数列;若an+1(1)判断正误.
①数列可以看作是定义域为正整数集的函数的函数值. (　　)
②若数列an=f(n)是递减数列,则函数y=f(x)必为减函数. (　　)
③若数列{an}满足an+1=an,则该数列是常数列. (　　)
答案:①×　②×　③√A.递增数列 B.递减数列 C.摆动数列 D.不确定
②若数列{an}的通项公式an=kn-3,且为递减数列,则实数k的取值范围是　　　　　.?答案:①A　②k<0 提示:f(x)在区间[1,+∞)内不单调,但数列an=f(n)在区间[1,+∞)内单调.数列单调性与函数单调性的区别与联系略.6.总结:数列单调性与函数单调性的区别与联系
(1)联系:若函数f(x)在区间[1,+∞)内单调,则数列f(n)也单调.反之不正确.
(2)区别:二者定义不同,函数单调性的定义:函数f(x)的定义域为D,设D?I,对任意x1,x2∈I,当x1f(x2),则f(x)在I上单调递减,若f(x1)1.思考:(1)给出数列{an}:1,2,4,8,16,…,你能发现该数列中从第2项起,每一项与其前一项之间的关系吗?如何用公式表示呢?(2)如果对于数列{bn},令b1=1,b2=2,规定从第3项起每一项都等于其前面两项的和,那么b3,b4,b5分别等于多少?该数列后面的项能否确定?
提示:(1)从第2项起,每一项都等于其前一项的2倍,即an+1=2an(n∈N*);(2)b3=3,b4=5,b5=8,后面各项能确定.
2.填空:
递推公式
如果已知数列{an}的首项(或前几项),且任一项an与它的前一项
an-1(或前几项)间的关系可用一个公式来表示,那么这个公式叫做数列{an}的递推公式.用递推公式给出数列的方法叫做递推法.3.总结:通项公式和递推公式的区别
通项公式直接反映了an与n之间的关系,即已知n的值,即可代入通项公式求得该项的值an;递推关系则是间接反映数列的式子,它是数列任意两个(或多个)相邻项之间的推导关系,要求an,需将前面的各项依次求出.
4.数列的表示方法:数列的表示方法有通项公式法、图象法、列表法、递推公式法.5.做一做:
(1)判断正误.
①递推公式反映了该数列相邻两项或几项之间的取值关系. (　　)
②给出数列的递推公式,即可确定该数列的所有各项. (　　)
答案:①√　②×探究一探究二探究三思维辨析当堂检测由递推公式求前若干项 分析:由a1的值和递推公式,分别逐一求出a2,a3,a4,a5的值. 反思感悟根据递推公式写出数列的前几项,要弄清楚公式中各部分的关系,依次代入计算即可.另外,解答这类问题时还需注意:若已知首项,通常将所给公式整理成用前面的项表示后面的项的形式;若已知末项,通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测变式训练1已知数列{an}满足an=4an-1+3,且a1=0,则此数列的第5项是(　　)
A.15 B.255 C.16 D.63
解析:因为a1=0,所以a2=4a1+3=3,a3=4a2+3=15,a4=4a3+3=63,a5=4a4+3=255.
答案:B探究一探究二探究三思维辨析当堂检测由递推公式求数列的通项公式 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测探究一探究二探究三思维辨析当堂检测反思感悟由递推公式求通项公式时,要根据递推公式的特点,选择恰当的方法求解.常用的方法有两种:
(1)累加法:当an=an-1+f(n)时,常用an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1求通项公式.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测探究一探究二探究三思维辨析当堂检测数列的单调性及其应用 (1)当k=1时,判断数列{an}的单调性;
(2)若数列{an}是递减数列,求实数k的取值范围.
分析:对于(1),因为已知数列的通项公式,所以可以通过比较数列的相邻两项an与an+1的大小来确定数列的单调性;对于(2),可根据数列是递减数列,得出an与an+1的大小关系,从而确定k的取值范围.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测反思感悟判断数列的增减性,一般是将其转化为比较相邻两项的大小,常用的方法有作差法、作商法.作差法判断数列增减性的步骤为:(1)作差;(2)变形;(3)定号;(4)结论.作商法适用于各项都是同号的数列,且应比较比值与1的大小关系.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测A.递增数列 B.递减数列
C.常数列 D.摆动数列答案:B 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测例4(1)已知数列{an}满足an=n2-5n-6,n∈N*.
①数列中有哪些项是负数?
②当n为何值时,an取得最小值?并求出此最小值.没有最大项?若有,求最大项和最大项的项数;若没有,请说明理由.
分析:(1)①根据数列的函数的特征,以及不等式的解法,即可求出;②根据二次函数的性质即可求出.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测(1)解:①an=n2-5n-6<0,解得0∵n∈N*,∴数列中第1,2,3,4,5项为负数,
即-10,-12,-12,-10,-6.∴当n<9时,an+1-an>0,即an+1>an;
当n=9时,an+1-an=0,即an+1=an;
当n>9时,an+1-an<0,即an+1故a1a11>a12>…,
∴数列中有最大项,最大项为第9,10项,探究一探究二探究三思维辨析当堂检测解法二设ak是数列{an}的最大项, 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测反思感悟求数列的最大(小)项的两种方法
(1)由于数列是特殊的函数,所以可以用研究函数的思想方法来研究数列的相关性质,如单调性、最大值、最小值等,此时要注意数列的定义域为正整数集或其有限子集{1,2,…,n}这一条件.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测探究一探究二探究三思维辨析当堂检测忽视数列中项数的特殊性致误
典例在数列{an}中,an=3n2-14n-8,求该数列的最小项.提示:在错解中,忽视了数列中的项数n必须为正整数的限制条件,从而导致错误.防范措施解决数列问题时,可以借鉴函数的方法,但必须注意数列相对函数的特殊性,尤其是数列中的项数n只能取正整数,在求解时应引起注意,避免出错.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测答案:C 2.已知数列{an},an-1=man+1(n>1),且a2=3,a3=5,则实数m等于(　　)答案:B 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测3.若数列{an}的通项公式为an=-2n2+25n,则数列{an}各项中的最大项是(　　)
A.第4项 B.第5项 C.第6项 D.第7项答案:C 答案:递增数列 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测5.求三角形数数列1,3,6,10,…的通项公式.
解:用{an}表示该数列,则a2-a1=2,a3-a2=3,a4-a3=4,…,an-an-1=n(n≥2).
以上各式两边分别相加,得an-a1=2+3+4+…+n.