第1讲 1 平面直角坐标系学案

一　平面直角坐标系
学习目标　1.了解平面直角坐标系的组成，领会坐标法的应用.2.理解平面直角坐标系中的伸缩变换.3.能够建立适当的平面直角坐标系，运用解析法解决数学问题.
知识点一　平面直角坐标系
思考1　在平面中，你最常用的是哪种坐标系？坐标的符号有什么特点？
答案　直角坐标系；在平面直角坐标系中，第一象限内的点的横纵坐标均为正，第二象限内的点的横坐标为负，纵坐标为正，第三象限内的点的横纵坐标均为负，第四象限内的点的横坐标为正，纵坐标为负.
思考2　坐标法解问题的关键是什么？如何建立恰当的坐标系？
答案　建立平面直角坐标系；通常选图形的特殊点为坐标原点，边所在直线为坐标轴.比如，对称中心为图形的顶点，为原点，对称轴边所在直线为坐标轴.
梳理　(1)平面直角坐标系的概念
①定义：在同一个平面上相互垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，简称直角坐标系.
②相关概念：
数轴的正方向：水平放置的数轴向右的方向、竖直放置的数轴向上的方向分别是数轴的正方向.
x轴或横轴：坐标轴水平的数轴.
y轴或纵轴：坐标轴竖直的数轴.
坐标原点：坐标轴的公共点O.
③对应关系：平面直角坐标系内的点与有序实数对(x，y)之间一一对应.
(2)坐标法解决几何问题的“三部曲”：第一步，建立适当坐标系，用坐标和方程表示问题中涉及的几何元素，将几何问题转化为代数问题；第二步，通过代数运算解决代数问题；第三步：把代数运算结果翻译成几何结论.
知识点二　平面直角坐标系中的伸缩变换
思考1　如何由y＝sinx的图象得到y＝3sin2x的图象？
答案　y＝sinxy＝sin2x
y＝3sin2x.
思考2　伸缩变换一定会改变点的坐标和位置吗？
答案　不一定，伸缩变换对原点的位置没有影响.但是会改变除原点外的点的坐标和位置，但是象限内的点伸缩变换后仍在原来的象限.
梳理　平面直角坐标系中伸缩变换的定义
(1)平面直角坐标系中方程表示图形，那么平面图形的伸缩变换就可归结为坐标的伸缩变换，这就是用代数方法研究几何变换.
(2)平面直角坐标系中的坐标伸缩变换：设点P(x，y)是平面直角坐标系中任意一点，在变换φ：的作用下，点P(x，y)对应到点P′(x′，y′)，称_φ_为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换.
类型一　坐标法的应用
命题角度1　研究几何问题
例1　已知△ABC中，AB＝AC，BD，CE分别为两腰上的高，求证：BD＝CE.
证明　如图，
以BC所在直线为x轴，BC的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系.
设B(－a,0)，C(a,0)，A(0，h).
则直线AC的方程为y＝－x＋h，
即hx＋ay－ah＝0.
直线AB的方程为y＝x＋h，
即hx－ay＋ah＝0.
由点到直线的距离公式，得
|BD|＝，|CE|＝.
∴|BD|＝|CE|，即BD＝CE.
反思与感悟　根据图形的几何特点选择适当的直角坐标系的一些规则：①如果图形有对称中心，选对称中心为原点；②如果图形有对称轴，可以选对称轴为坐标轴；③使图形上的特殊点尽可能多地在坐标轴上.
跟踪训练1　在?ABCD中，求证：|AC|2＋|BD|2＝2(|AB|2＋|AD|2).
证明　如图，以A为坐标原点，AB所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系.
设B(a，0)，C(b，c)，
则AC的中心E，
由对称性知D(b－a，c)，
所以|AB|2＝a2，|AD|2＝(b－a)2＋c2，
|AC|2＝b2＋c2，|BD|2＝(b－2a)2＋c2，
|AC|2＋|BD|2＝4a2＋2b2＋2c2－4ab
＝2(2a2＋b2＋c2－2ab)，
|AB|2＋|AD|2＝2a2＋b2＋c2－2ab，
所以|AC|2＋|BD|2＝2(|AB|2＋|AD|2).
命题角度2　求轨迹方程
例2　如图，圆O1与圆O2的半径都是1，|O1O2|＝4，过动点P分别作圆O1，圆O2的切线PM，PN(M，N分别为切点)，使得|PM|＝|PN|，试建立适当的坐标系，并求动点P的轨迹方程.
解　如图，以直线O1O2为x轴，线段O1O2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，则O1(－2,0)，O2(2,0).
设P(x，y)，则
|PM|2＝|O1P|2－|O1M|2＝(x＋2)2＋y2－1，
|PN|2＝|O2P|2－|O2N|2＝(x－2)2＋y2－1.
∵|PM|＝|PN|，∴|PM|2＝2|PN|2，
∴(x＋2)2＋y2－1＝2[(x－2)2＋y2－1]，
即x2－12x＋y2＋3＝0，即(x－6)2＋y2＝33.
∴动点P的轨迹方程为(x－6)2＋y2＝33.
反思与感悟　建立坐标系的几个基本原则：①尽量把点和线段放在坐标轴上；②对称中心一般放在原点；③对称轴一般作为坐标轴.
跟踪训练2　在△ABC中，B(－3,0)，C(3,0)，直线AB，AC的斜率之积为，求顶点A的轨迹方程.
解　设A(x，y)，则kAB＝，kAC＝(x≠±3).
由kAB·kAC＝·＝，化简可得－＝1，
所以顶点A的轨迹方程为－＝1(x≠±3).
类型二　伸缩变换
例3　求圆x2＋y2＝1经过φ：变换后得到的新曲线的方程，并说明新曲线的形状.
解　∵∴
把x，y代入方程x2＋y2＝1，得＋＝1.
即所求新曲线的方程为＋＝1.
∴新曲线是以长轴为8，短轴为6，焦点在y轴上的椭圆.
引申探究
1.若曲线C经过变换后得到圆x2＋y2＝1，求曲线C的方程.
解　∵曲线C经过变换后得到的圆为x2＋y2＝1.
∴(x′，y′)满足x2＋y2＝1，即x′2＋y′2＝1.
∴2＋2＝1，
∴＋＝1即为曲线C的方程.
2.若圆x2＋y2＝1经过变换φ后得到曲线C′：＋＝1，求φ的坐标变换公式.
解　设φ：∴
代入x2＋y2＝1，得＋＝1.
∴曲线C′的方程为＋＝1.
又已知曲线C′的方程为＋＝1，
∴∴
∴φ：
反思与感悟　(1)平面直角坐标系中的方程表示图形，则平面图形的伸缩变换就可归结为坐标的伸缩变换，这就是用代数的方法研究几何变换.
(2)平面直角坐标系中的坐标伸缩变换：设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：的作用下，点P(x，y)对应到点P′(x′，y′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换.
跟踪训练3　在同一直角坐标系中，将直线x－2y＝2变成直线2x′－y′＝4，求满足条件的伸缩变换.
解　设满足条件的伸缩变换为将其代入方程2x′－y′＝4，得2λx－μy＝4，与x－2y＝2比较，将其变成2x－4y＝4.比较系数得λ＝1，μ＝4.
所以直线x－2y＝2图象上所有点的横坐标不变，纵坐标扩大到原来的4倍可得到直线2x′－y′＝4.
1.在同一平面直角坐标系中，将曲线y＝3sin2x变为曲线y′＝sinx′的伸缩变换是(　　)
A. B.
C. D.
答案　B
2.在同一平面直角坐标系中，曲线y＝3sin2x经过伸缩变换后，所得曲线为(　　)
A.y＝sinx B.y＝9sin4x
C.y＝sin4x D.y＝9sinx
答案　D
解析　∵伸缩变换∴
代入y＝3sin2x，可得y′＝3sinx′，
即y′＝9sinx′.故选D.
3.已知?ABCD中三个顶点A，B，C的坐标分别是(－1,2)，(3,0)，(5,1)，则点D的坐标是(　　)
A.(9，－1)　　　B.(－3,1)C.(1,3) D.(2,2)
答案　C
解析　由平行四边形对边互相平行，即斜率相等，可求出点D的坐标.设D(x，y)，
则即解得
故点D的坐标为(1,3).
4.在△ABC中，B(－2,0)，C(2,0)，△ABC的周长为10，则A点的轨迹方程为________________.
答案　＋＝1(y≠0)
解析　∵△ABC的周长为10，∴|AB|＋|AC|＋|BC|＝10，而|BC|＝4，∴|AB|＋|AC|＝6>4.∴A点的轨迹为除去长轴两顶点的椭圆，且2a＝6，2c＝4.∴a＝3，c＝2，∴b2＝a2－c2＝5.
∴A点的轨迹方程为＋＝1(y≠0).
5.用解析法证明：若C是以AB为直径的圆上的任意一点(异于A，B)，则AC⊥BC.
证明　设AB＝2r，线段AB的中心为O，以线段AB所在的直线为x轴，O为坐标原点建立平面直角坐标系，则圆O的方程为x2＋y2＝r2.设A(－r，0)，B(r，0)，C(x，y)，
则kAC＝，kBC＝，则kAC·kBC＝·＝，
又x2＋y2＝r2，所以y2＝r2－x2，
所以kAC·kBC＝＝－1，
所以AC⊥BC.
1.平面直角坐标系的作用与建立
平面直角坐标系是确定点的位置、刻画方程的曲线形状和位置的平台，建立平面直角坐标系，常常利用垂直直线为坐标轴，充分利用图形的对称性等特征.
2.伸缩变换的类型与特点
伸缩变换包括点的伸缩变换，以及曲线的伸缩变换，曲线经过伸缩变换对应的曲线方程就会变化，通过伸缩变换可以领会曲线与方程之间的数形转化与联系.
一、选择题
1.如图所示是永州市几个主要景点示意图的一部分，如果用(0,1)表示九嶷山的中心位置点C，用(－2,0)表示盘王殿的中心位置点A，则千家峒的中心位置点B表示为(　　)
A.(－3,1) B.(－1，－3)
C.(1，－3) D.(－3，－1)
答案　A
解析　根据题意建立平面直角坐标系，由坐标系可知，千家峒的中心位置点B表示为(－3,1).故选A.
2.在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换后，曲线C变为曲线2x′2＋8y′2＝0，则曲线C的方程为(　　)
A.25x2＋36y2＝0 B.9x2＋100y2＝0
C.10x＋24y＝0 D.x2＋y2＝0
答案　A
3.在平面直角坐标系中，方程3x－2y＋1＝0所对应的直线经过伸缩变换后的直线方程为(　　)
A.3x－4y＋1＝0 B.3x＋y－1＝0
C.9x－y＋1＝0 D.x－4y＋1＝0
答案　C
4.在直角坐标系中，点A(2，－3)关于直线x－y－1＝0对称的点是(　　)
A.(－2,1) B.(2，－1)
C.(1，－2) D.(－2，－1)
答案　A
解析　设点A关于直线x－y－1＝0对称的点为B(m，n)，则AB的中心为M，因为点M在直线x－y－1＝0上，直线AB与直线x－y－1＝0垂直，所以
解得故点A关于直线x－y－1＝0对称的点为(－2,1)，故选A.
5.直角坐标系中到两坐标轴的距离之差等于1的点的轨迹方程是(　　)
A.|x|－|y|＝1 B.|x－y|＝1
C.||x|－|y||＝1 D.|x±y|＝1
答案　C
6.已知四边形ABCD的顶点分别为A(－1,0)，B(1,0)，C(1,1)，D(－1,1)，四边形ABCD在伸缩变换(a>0)的作用下变成正方形，则a的值为(　　)
A.1B.2C.D.
答案　C
解析　如图，
由矩形ABCD变为正方形A′B′C′D′，已知y′＝y，∴边长为1，
∴AB的长由2缩为原来的一半，
∴x′＝x，∴a＝.
二、填空题
7.在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换后，曲线C变为曲线x′2＋9y′2＝9，则曲线C的方程是______________.
答案　x2＋y2＝1
解析　将代入x′2＋9y′2＝9，得x2＋y2＝1.
∴曲线C的方程为x2＋y2＝1.
8.若点P(－2016,2017)经过伸缩变换后的点在曲线x′y′＝k上，则k＝________.
答案　－1
解析　∵P(－2016,2017)经过伸缩变换
得代入x′y′＝k，得k＝x′y′＝－1.
9.可以将椭圆＋＝1变为圆x2＋y2＝4的伸缩变换为________.
答案　
解析　将椭圆方程＋＝1，化为＋＝4，
∴2＋2＝4.令
得x′2＋y′2＝4，即x2＋y2＝4.
∴伸缩变换为所求.
10.已知平面内有一固定线段AB且|AB|＝4，动点P满足|PA|－|PB|＝3，O为AB中点，则|PO|的最小值为________.
答案　
解析　以AB为x轴，O为坐标原点建立平面直角坐标系，则动点P的轨迹是以AB为实轴的双曲线的一支.其中a＝，故|PO|的最小值为.
三、解答题
11.求证等腰梯形对角线相等.已知：等腰梯形ABCD，求证：AC＝BD.
证明　取B，C所在直线为x轴，线段BC的中垂线为y轴，建立如图所示的直角坐标系.
设A(－a，h)，B(－b,0)，
则D(a，h)，C(b,0).
∴|AC|＝，|BD|＝.
∴|AC|＝|BD|，即等腰梯形ABCD中，AC＝BD.
12.已知一条长为6的线段两端点A，B分别在x轴，y轴上滑动，点M在线段AB上，且AM∶MB＝1∶2，求动点M的轨迹方程.
解　设A(a,0)，B(0，b)，M(x，y)，
∵|AB|＝6，∴a2＋b2＝36.①
∵AM∶MB＝1∶2，∴2＝.
又∵＝(x－a，y)，＝(－x，b－y)，
∴?　②
将②式代入①式，化简可得＋＝1.
13.在平面直角坐标系中，求下列曲线方程所对应的图象经过伸缩变换后的图象形状.
(1)y2＝2x；
(2)x2＋y2＝1.
解　由伸缩变换可知
(1)将代入y2＝2x，
可得4y′2＝6x′，即y′2＝x′.
故经过伸缩变换后的图象还是抛物线.
(2)将代入x2＋y2＝1，
得(3x′)2＋(2y′)2＝1，即＋＝1.
故经过伸缩变换后的图象为焦点在y轴上的椭圆.
四、探究与拓展
14.已知函数f(x)＝＋，则f(x)的最小值为________.
答案　2
解析　f(x)可看作是平面直角坐标系下x轴上一点(x,0)到两定点(－1,1)和(1,1)的距离之和，结合图形可得，f(x)的最小值为2.
15.已知椭圆C：＋＝1，P，Q为椭圆C上的两点，O为原点，直线OP，OQ的斜率的乘积为－，求|OP|2＋|OQ|2的值.
解　设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，OP，OQ的斜率为k1，k2，
则k1k2＝
＝＝－，
∴x＝16－x.
又|OP|2＋|OQ|2＝x＋y＋x＋y
＝x＋＋x＋＝20，
∴|OP|2＋|OQ|2的值为20.