第1讲 2 第1课时 极坐标系的概念学案
文档属性
| 名称 | 第1讲 2 第1课时 极坐标系的概念学案 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 488.2KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-11-18 17:03:42 | ||
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文档简介
二 极坐标系
第1课时 极坐标系的概念
学习目标 1.了解极坐标系的实际背景.2.理解极坐标系的概念.3.理解极坐标的多值性．
知识点 极坐标系
思考1 某同学说他家在学校东偏北60°，且距学校1公里处，那么他说的位置能惟一确定吗？这个位置是由哪些量确定的？
答案 能惟一确定；位置是由角和距离两个量确定的．
思考2 类比平面直角坐标系，怎样建立用角与距离确定平面上点的位置的坐标系？
答案 选一个点O为基点，射线OA为参照方向．
梳理 极坐标系的概念
(1)极坐标系的定义
①取极点：平面内取一个定点O；
②作极轴：自极点O引一条射线Ox；
③定单位：选定一个长度单位，一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)．
(2)点的极坐标
①定义：有序数对(ρ，θ)叫做点M的极坐标，记为M(ρ，θ)；
②意义：ρ＝|OM|，即极点O与点M的距离(ρ≥0)．
θ＝∠xOM，即以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角．
类型一 由极坐标画出点
例1 根据下列极坐标作出各点．
(1)A，B，C；
(2)D，E，F，G.
解 如图，
反思与感悟 由极坐标作点，先由极角线找点所在角的终边，再由极径确定点的位置．通过作点可以看出“极角确定，极径变，点在一条线”，“极径不变，极角变，点在圆上转”．
跟踪训练1 根据下列极坐标，作出各点．
A(5,0)，B，C，D.
解 在极坐标系中，点A，B，C，D的位置是确定的．
类型二 求点的极坐标
例2 设点A，直线l为过极点且垂直于极轴的直线，分别求点A关于极轴，直线l，极点的对称点的极坐标(限定ρ>0，－π<θ≤π)．
解 如图所示，
关于极轴的对称点为B.
关于直线l的对称点为C.
关于极点O的对称点为D.
引申探究
1．若将极角θ限定为0≤θ<2π，求例2中的点的极坐标．
解 B，C，D.
2．若将极角θ改为θ∈R，求例2中的点的极坐标．
解 B，C，D(k∈Z)．
反思与感悟 (1)设点M的极坐标是(ρ，θ)，则M点关于极点的对称点的极坐标是(－ρ，θ)或(ρ，θ＋π)；M点关于极轴的对称点的极坐标是(ρ，－θ)；M点关于过极点且垂直于极轴的直线的对称点的极坐标是(ρ，π－θ)或(－ρ，－θ)．
(2)点的极坐标不是惟一的，但若限制ρ>0,0≤θ<2π，则除极点外，点的极坐标是惟一确定的．
(3)写点的极坐标要注意顺序，极径ρ在前，极角θ在后，不能颠倒顺序．
跟踪训练2 在极坐标系中，点A的极坐标是，求点A关于直线θ＝的对称点的极坐标(规定ρ>0，θ∈[0,2π))．
解 作出图形，可知A关于直线θ＝的对称点是.
类型三 极坐标系中两点间的距离
例3 在极坐标系中，点O为极点，已知点A，B，求|AB|的值．
解 如图∠AOB＝－＝，
∴△AOB为直角三角形，
∴|AB|＝＝6.
引申探究
在本例条件不变的情况下，求AB的中点的极坐标．
解 取AB的中点M，连接OM，
在△AOB中，∠AOB＝，OA＝OB，
∴∠AOM＝，∴∠xOM＝＋＝.
又|OM|＝6×cos＝3，
∴M的极坐标为.
反思与感悟 在极坐标系中，如果P1(ρ1，θ1)，P2(ρ2，θ2)，那么两点间的距离公式|P1P2|＝的两种特殊情形为
①当θ1＝θ2＋2kπ，k∈Z时，|P1P2|＝|ρ1－ρ2|；
②当θ1＝θ2＋π＋2kπ，k∈Z时，|P1P2|＝|ρ1＋ρ2|.
跟踪训练3 (1)在极坐标系中，已知两点P，Q，则线段PQ的长度为________．
答案 5
解析 作出图形，如图所示，可知OP与OQ垂直，所以线段PQ的长度|PQ|＝＝5.
(2)在极坐标系中，若△ABC的三个顶点为A，B，C，判断三角形的形状．
解 因为|AB|2＝52＋82－2×5×8×cos＝49，
|AC|2＝52＋32－2×5×3×cos＝49，
|BC|2＝82＋32－2×8×3×cos＝49.
所以△ABC是等边三角形．
1．极坐标系中，下列与点(1，π)相同的点为( )
A．(1,0) B．(2，π)
C．(1,2016π) D．(1,2017π)
答案 D
2．点M的直角坐标是(－1，)，则点M的极坐标为( )
A. B.
C. D.(k∈Z)
答案 C
3．在极坐标系中，与点关于极轴所在直线对称的点的极坐标是( )
A. B.
C. D.
答案 B
解析 根据极坐标的对称关系知，点关于极轴所在直线对称的点的极坐标是.
4．在极坐标系中，已知A，B两点，则|AB|＝________.
答案
解析 |AB|＝＝.
1．极坐标系的四要素
①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位和它的正方向．四者缺一不可．
2．在极坐标系中找点的位置，应先确定极角，再确定极径，最终确定点的位置．
3．确定点的极坐标的方法
点P的极坐标的一般形式为(ρ，θ＋2kπ)，k∈Z，则
(1)ρ为点P到极点的距离，是个定值．
(2)极角为满足θ＋2kπ，k∈Z的任意角，不惟一，其中θ是始边在极轴上，终边过OP的任意一个角，一般取绝对值较小的角．
一、选择题
1．在极坐标系中，下列与点M重合的点的极坐标是( )
A. B.
C. D.
答案 D
解析 与点M重合的点的极坐标可表示为(k∈Z)，故选D.
2．极坐标系中，极坐标对应的点在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
答案 C
解析 因为极坐标对应的点的极径大于0，极角的终边在平面直角坐标系中的第三象限，所以点在第三象限．
3．在极坐标系中，已知点A(4,1)，B，则线段AB的长度是( )
A．1B.C．7D．5
答案 D
解析 设极点为O，因为点A(4,1)，B，
所以OA⊥OB，所以AB＝＝5.
4．已知极坐标系中，点A，B，若O为极点，则△OAB为( )
A．等边三角形 B．直角三角形
C．等腰锐角三角形 D．等腰直角三角形
答案 D
解析 由题意，得∠AOB＝，
|AB|＝＝，
所以|OB|2＋|AB|2＝|OA|2且|AB|＝|OB|＝，
故△OAB为等腰直角三角形．
5．在极坐标中，已知点P，Q，则线段PQ的中点M的一个极坐标为( )
A. B.
C. D.
答案 D
解析 如图所示，|OP|＝|OQ|＝2，∠POQ＝－＝，
则|PQ|＝2，
|OM|＝|PQ|＝，
∠xOM＝＋＝，
所以点M的一个极坐标为.
6．已知极坐标系中，极点为O，若等边三角形ABC(顶点A，B，C按顺时针方向排列)的顶点A，B的极坐标分别是，，则顶点C的极坐标为( )
A. B.
C. D.
答案 C
解析 如图所示，
由于点A，B，故极点O为AB中点，
故等边△ABC的边长|AB|＝4，
则CO⊥AB，|CO|＝2，
则点C的极坐标为，即.
二、填空题
7．在极坐标系中，若两点A，B的极坐标分别为，，则△AOB(其中O为极点)的面积为________．
答案 3
解析 由题意知，∠AOB＝，AO＝3，OB＝4，
所以△AOB(其中O为极点)的面积为
×3×4×sin＝3.
8．已知在极坐标系中，极点为O,0≤θ<2π，M，在直线OM上与点M的距离为4的点的极坐标为________．
答案 或
解析 在射线OM上符合条件的点为，
在射线OM反向延长线上符合条件的点为.
9．在极坐标系中，过点P作极轴的垂线，垂足为M，则点M的一个极坐标为__________．
答案 (1,0)
解析 如图所示，在极坐标系中，点P的极坐标为，
则|OP|＝2，∠xOP＝.由题意，过点P作极轴的垂线，垂足为M，则|OM|＝|OP|cos＝1，故点M的一个极坐标为(1,0)．
10．已知在极坐标系中，△AOB为等边三角形，A，若ρ≥0，θ∈[0,2π)，则点B的极坐标为________________________________________________________________________．
答案 或
解析 设B(ρ，θ)，由∠AOB＝，
得θ－＝±＋2kπ，k∈Z，
即θ＝±＋2kπ，k∈Z.
由|OA|＝2，得ρ＝2，
又因为θ∈[0,2π)，所以θ＝或.
所以点B的极坐标为或.
三、解答题
11．在极坐标系中，分别求下列条件下点M关于极轴的对称点M′的极坐标．
(1)ρ≥0，θ∈[0,2π)；
(2)ρ≥0，θ∈R.
解 (1)当ρ≥0，θ∈[0,2π)时，点M关于极轴的对称点M′的极坐标为.
(2)当ρ≥0，θ∈R时，点M关于极轴的对称点M′的极坐标为，k∈Z.
12．在极坐标系中，已知△ABC的三个顶点的极坐标分别为A，B，C.
(1)判断△ABC的形状；
(2)求△ABC的面积．
解 (1)如图所示，由A，B，C，
得|OA|＝|OB|＝|OC|＝2，
∠AOB＝∠BOC＝∠AOC＝.
∴△AOB≌△BOC≌△AOC，
∴AB＝BC＝CA，故△ABC为等边三角形．
(2)由上述可知，AC＝2OAsin＝2×2×＝2.
∴S△ABC＝×(2)2＝3.
13．某大学校园的部分平面示意图如图：
用点O，A，B，C，D，E，F，G分别表示校门，器材室，操场，公寓，教学楼，图书馆，车库，花园，其中|AB|＝|BC|，|OC|＝600m，建立适当的极坐标系，写出除点B外各点的极坐标(限定ρ≥0,0≤θ<2π且极点为(0,0))．
解 以点O为极点，OA所在的射线为极轴Ox(单位长度为1m)，建立极坐标系．
由|OC|＝600m，∠AOC＝，∠OAC＝，
得|AC|＝300m，|OA|＝300m，
又|AB|＝|BC|，所以|AB|＝150m.
同理，得|OE|＝2|OG|＝300m，
所以各点的极坐标分别为O(0,0)，A(300，0)，
C，D，E，F(300，π)，G.
四、探究与拓展
14．已知两点的极坐标A，B，则|AB|＝____，AB与极轴正方向所夹的角为________．
答案 3
解析 ∵|AO|＝|BO|＝3，
∠AOB＝，∴|AB|＝3.
∠ADx＝π－∠ADO＝.
15．已知定点P.
(1)将极点移至O′处，极轴方向不变，求P点的新坐标；
(2)极点不变，将极轴顺时针转动角，求P点的新坐标．
解 (1)设P点新坐标为(ρ，θ)，如图所示，
由题意可知|OO′|＝2，
|OP|＝4，∠POx＝，
∠O′Ox＝，∴∠POO′＝.
在△POO′中，ρ2＝42＋(2)2－2×4×2·cos
＝16＋12－24＝4，∴ρ＝2.
又∵＝，
∴sin∠OPO′＝·2＝，∴∠OPO′＝.
∴∠OP′P＝π－－＝，
∴∠PP′x＝.∴∠PO′x′＝.
∴P点的新坐标为.
(2)如图，设P点新坐标为(ρ，θ)，
则ρ＝4，θ＝＋＝.
∴P点的新坐标为.
第1课时 极坐标系的概念
学习目标 1.了解极坐标系的实际背景.2.理解极坐标系的概念.3.理解极坐标的多值性．
知识点 极坐标系
思考1 某同学说他家在学校东偏北60°，且距学校1公里处，那么他说的位置能惟一确定吗？这个位置是由哪些量确定的？
答案 能惟一确定；位置是由角和距离两个量确定的．
思考2 类比平面直角坐标系，怎样建立用角与距离确定平面上点的位置的坐标系？
答案 选一个点O为基点，射线OA为参照方向．
梳理 极坐标系的概念
(1)极坐标系的定义
①取极点：平面内取一个定点O；
②作极轴：自极点O引一条射线Ox；
③定单位：选定一个长度单位，一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)．
(2)点的极坐标
①定义：有序数对(ρ，θ)叫做点M的极坐标，记为M(ρ，θ)；
②意义：ρ＝|OM|，即极点O与点M的距离(ρ≥0)．
θ＝∠xOM，即以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角．
类型一 由极坐标画出点
例1 根据下列极坐标作出各点．
(1)A，B，C；
(2)D，E，F，G.
解 如图，
反思与感悟 由极坐标作点，先由极角线找点所在角的终边，再由极径确定点的位置．通过作点可以看出“极角确定，极径变，点在一条线”，“极径不变，极角变，点在圆上转”．
跟踪训练1 根据下列极坐标，作出各点．
A(5,0)，B，C，D.
解 在极坐标系中，点A，B，C，D的位置是确定的．
类型二 求点的极坐标
例2 设点A，直线l为过极点且垂直于极轴的直线，分别求点A关于极轴，直线l，极点的对称点的极坐标(限定ρ>0，－π<θ≤π)．
解 如图所示，
关于极轴的对称点为B.
关于直线l的对称点为C.
关于极点O的对称点为D.
引申探究
1．若将极角θ限定为0≤θ<2π，求例2中的点的极坐标．
解 B，C，D.
2．若将极角θ改为θ∈R，求例2中的点的极坐标．
解 B，C，D(k∈Z)．
反思与感悟 (1)设点M的极坐标是(ρ，θ)，则M点关于极点的对称点的极坐标是(－ρ，θ)或(ρ，θ＋π)；M点关于极轴的对称点的极坐标是(ρ，－θ)；M点关于过极点且垂直于极轴的直线的对称点的极坐标是(ρ，π－θ)或(－ρ，－θ)．
(2)点的极坐标不是惟一的，但若限制ρ>0,0≤θ<2π，则除极点外，点的极坐标是惟一确定的．
(3)写点的极坐标要注意顺序，极径ρ在前，极角θ在后，不能颠倒顺序．
跟踪训练2 在极坐标系中，点A的极坐标是，求点A关于直线θ＝的对称点的极坐标(规定ρ>0，θ∈[0,2π))．
解 作出图形，可知A关于直线θ＝的对称点是.
类型三 极坐标系中两点间的距离
例3 在极坐标系中，点O为极点，已知点A，B，求|AB|的值．
解 如图∠AOB＝－＝，
∴△AOB为直角三角形，
∴|AB|＝＝6.
引申探究
在本例条件不变的情况下，求AB的中点的极坐标．
解 取AB的中点M，连接OM，
在△AOB中，∠AOB＝，OA＝OB，
∴∠AOM＝，∴∠xOM＝＋＝.
又|OM|＝6×cos＝3，
∴M的极坐标为.
反思与感悟 在极坐标系中，如果P1(ρ1，θ1)，P2(ρ2，θ2)，那么两点间的距离公式|P1P2|＝的两种特殊情形为
①当θ1＝θ2＋2kπ，k∈Z时，|P1P2|＝|ρ1－ρ2|；
②当θ1＝θ2＋π＋2kπ，k∈Z时，|P1P2|＝|ρ1＋ρ2|.
跟踪训练3 (1)在极坐标系中，已知两点P，Q，则线段PQ的长度为________．
答案 5
解析 作出图形，如图所示，可知OP与OQ垂直，所以线段PQ的长度|PQ|＝＝5.
(2)在极坐标系中，若△ABC的三个顶点为A，B，C，判断三角形的形状．
解 因为|AB|2＝52＋82－2×5×8×cos＝49，
|AC|2＝52＋32－2×5×3×cos＝49，
|BC|2＝82＋32－2×8×3×cos＝49.
所以△ABC是等边三角形．
1．极坐标系中，下列与点(1，π)相同的点为( )
A．(1,0) B．(2，π)
C．(1,2016π) D．(1,2017π)
答案 D
2．点M的直角坐标是(－1，)，则点M的极坐标为( )
A. B.
C. D.(k∈Z)
答案 C
3．在极坐标系中，与点关于极轴所在直线对称的点的极坐标是( )
A. B.
C. D.
答案 B
解析 根据极坐标的对称关系知，点关于极轴所在直线对称的点的极坐标是.
4．在极坐标系中，已知A，B两点，则|AB|＝________.
答案
解析 |AB|＝＝.
1．极坐标系的四要素
①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位和它的正方向．四者缺一不可．
2．在极坐标系中找点的位置，应先确定极角，再确定极径，最终确定点的位置．
3．确定点的极坐标的方法
点P的极坐标的一般形式为(ρ，θ＋2kπ)，k∈Z，则
(1)ρ为点P到极点的距离，是个定值．
(2)极角为满足θ＋2kπ，k∈Z的任意角，不惟一，其中θ是始边在极轴上，终边过OP的任意一个角，一般取绝对值较小的角．
一、选择题
1．在极坐标系中，下列与点M重合的点的极坐标是( )
A. B.
C. D.
答案 D
解析 与点M重合的点的极坐标可表示为(k∈Z)，故选D.
2．极坐标系中，极坐标对应的点在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
答案 C
解析 因为极坐标对应的点的极径大于0，极角的终边在平面直角坐标系中的第三象限，所以点在第三象限．
3．在极坐标系中，已知点A(4,1)，B，则线段AB的长度是( )
A．1B.C．7D．5
答案 D
解析 设极点为O，因为点A(4,1)，B，
所以OA⊥OB，所以AB＝＝5.
4．已知极坐标系中，点A，B，若O为极点，则△OAB为( )
A．等边三角形 B．直角三角形
C．等腰锐角三角形 D．等腰直角三角形
答案 D
解析 由题意，得∠AOB＝，
|AB|＝＝，
所以|OB|2＋|AB|2＝|OA|2且|AB|＝|OB|＝，
故△OAB为等腰直角三角形．
5．在极坐标中，已知点P，Q，则线段PQ的中点M的一个极坐标为( )
A. B.
C. D.
答案 D
解析 如图所示，|OP|＝|OQ|＝2，∠POQ＝－＝，
则|PQ|＝2，
|OM|＝|PQ|＝，
∠xOM＝＋＝，
所以点M的一个极坐标为.
6．已知极坐标系中，极点为O，若等边三角形ABC(顶点A，B，C按顺时针方向排列)的顶点A，B的极坐标分别是，，则顶点C的极坐标为( )
A. B.
C. D.
答案 C
解析 如图所示，
由于点A，B，故极点O为AB中点，
故等边△ABC的边长|AB|＝4，
则CO⊥AB，|CO|＝2，
则点C的极坐标为，即.
二、填空题
7．在极坐标系中，若两点A，B的极坐标分别为，，则△AOB(其中O为极点)的面积为________．
答案 3
解析 由题意知，∠AOB＝，AO＝3，OB＝4，
所以△AOB(其中O为极点)的面积为
×3×4×sin＝3.
8．已知在极坐标系中，极点为O,0≤θ<2π，M，在直线OM上与点M的距离为4的点的极坐标为________．
答案 或
解析 在射线OM上符合条件的点为，
在射线OM反向延长线上符合条件的点为.
9．在极坐标系中，过点P作极轴的垂线，垂足为M，则点M的一个极坐标为__________．
答案 (1,0)
解析 如图所示，在极坐标系中，点P的极坐标为，
则|OP|＝2，∠xOP＝.由题意，过点P作极轴的垂线，垂足为M，则|OM|＝|OP|cos＝1，故点M的一个极坐标为(1,0)．
10．已知在极坐标系中，△AOB为等边三角形，A，若ρ≥0，θ∈[0,2π)，则点B的极坐标为________________________________________________________________________．
答案 或
解析 设B(ρ，θ)，由∠AOB＝，
得θ－＝±＋2kπ，k∈Z，
即θ＝±＋2kπ，k∈Z.
由|OA|＝2，得ρ＝2，
又因为θ∈[0,2π)，所以θ＝或.
所以点B的极坐标为或.
三、解答题
11．在极坐标系中，分别求下列条件下点M关于极轴的对称点M′的极坐标．
(1)ρ≥0，θ∈[0,2π)；
(2)ρ≥0，θ∈R.
解 (1)当ρ≥0，θ∈[0,2π)时，点M关于极轴的对称点M′的极坐标为.
(2)当ρ≥0，θ∈R时，点M关于极轴的对称点M′的极坐标为，k∈Z.
12．在极坐标系中，已知△ABC的三个顶点的极坐标分别为A，B，C.
(1)判断△ABC的形状；
(2)求△ABC的面积．
解 (1)如图所示，由A，B，C，
得|OA|＝|OB|＝|OC|＝2，
∠AOB＝∠BOC＝∠AOC＝.
∴△AOB≌△BOC≌△AOC，
∴AB＝BC＝CA，故△ABC为等边三角形．
(2)由上述可知，AC＝2OAsin＝2×2×＝2.
∴S△ABC＝×(2)2＝3.
13．某大学校园的部分平面示意图如图：
用点O，A，B，C，D，E，F，G分别表示校门，器材室，操场，公寓，教学楼，图书馆，车库，花园，其中|AB|＝|BC|，|OC|＝600m，建立适当的极坐标系，写出除点B外各点的极坐标(限定ρ≥0,0≤θ<2π且极点为(0,0))．
解 以点O为极点，OA所在的射线为极轴Ox(单位长度为1m)，建立极坐标系．
由|OC|＝600m，∠AOC＝，∠OAC＝，
得|AC|＝300m，|OA|＝300m，
又|AB|＝|BC|，所以|AB|＝150m.
同理，得|OE|＝2|OG|＝300m，
所以各点的极坐标分别为O(0,0)，A(300，0)，
C，D，E，F(300，π)，G.
四、探究与拓展
14．已知两点的极坐标A，B，则|AB|＝____，AB与极轴正方向所夹的角为________．
答案 3
解析 ∵|AO|＝|BO|＝3，
∠AOB＝，∴|AB|＝3.
∠ADx＝π－∠ADO＝.
15．已知定点P.
(1)将极点移至O′处，极轴方向不变，求P点的新坐标；
(2)极点不变，将极轴顺时针转动角，求P点的新坐标．
解 (1)设P点新坐标为(ρ，θ)，如图所示，
由题意可知|OO′|＝2，
|OP|＝4，∠POx＝，
∠O′Ox＝，∴∠POO′＝.
在△POO′中，ρ2＝42＋(2)2－2×4×2·cos
＝16＋12－24＝4，∴ρ＝2.
又∵＝，
∴sin∠OPO′＝·2＝，∴∠OPO′＝.
∴∠OP′P＝π－－＝，
∴∠PP′x＝.∴∠PO′x′＝.
∴P点的新坐标为.
(2)如图，设P点新坐标为(ρ，θ)，
则ρ＝4，θ＝＋＝.
∴P点的新坐标为.