第1讲 2 第2课时 极坐标和直角坐标的互化学案

第2课时　极坐标和直角坐标的互化
学习目标　1.了解极坐标和直角坐标互化的条件.2.掌握极坐标与直角坐标互化的公式，能进行极坐标和直角坐标间的互化.3.掌握极坐标系的简单应用．
知识点　极坐标和直角坐标的互化
思考1　平面内的一个点M的坐标既可以用直角坐标表示也可以用极坐标表示，那么这两个坐标之间能否转化？
答案　可以．
思考2　要进行极坐标和直角坐标的互化，两个坐标系有什么联系？
答案　①直角坐标的原点为极点；②x轴的正半轴为极轴；③单位长度相同．
梳理　互化的条件及互化公式
(1)互化的前提条件：①极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合；②极轴与x轴的正半轴重合；③两种坐标系取相同的长度单位．
(2)互化公式
①极坐标化直角坐标：
②直角坐标化极坐标：
类型一　点的极坐标化直角坐标
例1　把下列点的极坐标化为直角坐标．
(1)A；(2)B；(3)M.
解　由公式得
(1)x＝2cos＝－，y＝2sin＝－1，
∴点A的直角坐标为(－，－1)．
(2)x＝3cos＝，y＝3sin＝－，
∴点B的直角坐标为.
(3)x＝6cos＝－3，y＝6sin＝3，
∴点M的直角坐标为(－3，3)．
反思与感悟　由极坐标化直角坐标是惟一的．由公式惟一确定．
跟踪训练1　已知点的极坐标分别为A，B，C，求它们的直角坐标．
解　根据x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，
得A(－1，)，B，C(0，－4)．
类型二　点的直角坐标化极坐标
例2　分别把下列点的直角坐标化为极坐标(限定ρ≥0,0≤θ<2π)．
(1)(－2,2)；(2)(，－)；(3).
解　(1)∵ρ＝＝＝4，
tanθ＝＝－，θ∈[0,2π)．
由于点(－2,2)在第二象限，∴θ＝.
∴点的直角坐标(－2,2)化为极坐标为.
(2)∵ρ＝＝＝2，tanθ＝＝－，θ∈[0,2π)，由于点(，－)在第四象限，
∴θ＝.
∴点的直角坐标(，－)化为极坐标为.
(3)∵ρ＝＝＝，tanθ＝＝1，θ∈[0,2π)．
由于点在第一象限，所以θ＝.
∴点的直角坐标化为极坐标为.
引申探究
1．若规定θ∈R，上述点的极坐标还惟一吗？
解　(1)(k∈Z)．
(2)(k∈Z)．
(3)(k∈Z)．
极坐标不惟一．
2．若点的直角坐标为(1)(0,2)，(2)(0，－)，(3)化为极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π)．
解　结合坐标系及直角坐标的特点知，
(1).(2).(3).
反思与感悟　(1)将直角坐标(x，y)化为极坐标(ρ，θ)，主要利用公式ρ2＝x2＋y2，tan θ＝(x≠0)进行求解，先求极径，再求极角．(2)在[0,2π)范围内，由tan θ＝(x≠0)求θ时，要根据直角坐标的符号特征判断出点所在的象限．如果允许θ∈R，再根据终边相同的角的意义，表示为θ＋2kπ(k∈Z)即可．
跟踪训练2　在直角坐标系中，求与点M的距离为1且与原点距离最近的点N的极坐标．
解　把点M的直角坐标化为极坐标，
得ρ＝＝5，tanθ＝＝－.
因为点M在第四象限，所以θ＝＋2kπ，k∈Z，
则点M的极坐标为，k∈Z.
依题意知，M，N，O三点共线，
则点N的极坐标为，k∈Z.
类型三　极坐标与直角坐标互化的应用
例3　已知A，B两点的极坐标为和，求线段AB中点的直角坐标．
解　因为A点的极坐标为，
所以xA＝6×cos＝3，yA＝6×sin＝3，
所以A(3,3)，
同理可得B(－4，－4)．
设线段AB的中点为M(m，n)，由线段中点的坐标公式可得
所以线段AB中点的直角坐标为.
引申探究
1．若本例条件不变，求线段AB中点的极坐标．
解　由例3知，AB中点的直角坐标为，
∴ρ2＝x2＋y2＝1，∴ρ＝1.
又tanθ＝＝，∴θ＝，∴极坐标为.
2．若本例条件不变，求AB的直线方程．
解　因为A点的极坐标为，
所以xA＝6×cos＝3，yA＝6×sin＝3，
所以A(3,3)．
又因为直线AB的倾斜角为，故斜率k＝，
故直线AB的方程为y－3＝(x－3)，即x－y＝0.
反思与感悟　应用点的极坐标与直角坐标互化的策略
在解决极坐标平面内较为复杂的图形问题时，若不方便利用极坐标直接解决，可先将极坐标化为直角坐标，利用直角坐标系中的公式、性质解决，再转化为极坐标系中的问题即可．
跟踪训练3　在极坐标系中，如果A，B为等边三角形ABC的两个顶点，求顶点C的极坐标(ρ>0,0≤θ<2π)．
解　对于点A有ρ＝2，θ＝，
∴x＝2cos＝，
y＝2sin＝，则A(，)．
对于B有ρ＝2，θ＝，
∴x＝2cos＝－，y＝2sin＝－.∴B(－，－)．
设点C的坐标为(x，y)，由于△ABC为等边三角形，
故|AB|＝|BC|＝|AC|＝4.
∴解得或
∴点C的坐标为(，－)或(－，)．
∴ρ＝＝2，tanθ＝＝－1或tanθ＝＝－1，
∴θ＝或θ＝.
故点C的极坐标为或.
1．将点M的极坐标化成直角坐标是(　　)
A．(5,5) B．(5，5)
C．(5,5) D．(－5，－5)
答案　A
2．点P的直角坐标为(－，)，那么它的极坐标可表示为(　　)
A.B.C. D.
答案　B
解析　设点P的极坐标为(ρ，θ)，
∵ρ2＝x2＋y2＝4，∴ρ＝2，
又tanθ＝＝－1，且点P在第二象限，∴θ＝.
3．若M点的极坐标为，则M点的直角坐标是(　　)
A．(－，1)B．(－，－1)C．(，－1) D．(，1)
答案　A
解析　由公式可知
∴M点的直角坐标为(－，1)．
4．在平面直角坐标系xOy中，点P的直角坐标为(1，－)．若以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则点P的极坐标可以是(　　 )
A. B.
C. D.
答案　C
解析　以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则由极坐标与直角坐标的互化公式，得
ρ＝＝＝2，tanθ＝＝＝－.
∵点P在第四象限，结合选项知，θ可以是－，
∴点P的极坐标可以是.
5．已知点M的直角坐标为(－3，－3)，若ρ>0,0≤θ<2π，则点M的极坐标是________．
答案　
解析　ρ＝＝6，
由6cosθ＝－3，得cosθ＝－，
又0≤θ<2π，且M(－3，－3)在第三象限，
∴θ＝，
故点M的极坐标为.
极坐标与直角坐标的互化
任意角的三角函数的定义及其基本关系式是联系点的极坐标与直角坐标的互化公式的纽带，事实上，若ρ>0，sinθ＝，cosθ＝，所以x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，ρ2＝x2＋y2，tanθ＝(x≠0)．
一、选择题
1．已知点M的极坐标为，下列所给出的四个坐标中不能表示点M的坐标的是(　　)
A.B.C. D.
答案　A
2．直角坐标为(－2,2)的点M的极坐标可以为(　　)
A. B.
C. D.
答案　C
解析　易知ρ＝＝2，tanθ＝＝－1，
因为点M在第二象限，所以可取θ＝，则点M的极坐标可以为.
3．若点M的极坐标为(5，θ)，且tanθ＝－，<θ<π，则点M的直角坐标为(　　)
A．(3,4) B．(4,3)C．(－4,3) D．(－3,4)
答案　D
4．点M的直角坐标是(3，)，则点M的极坐标可能为(　　)
A. B.
C. D.
答案　B
解析　ρ＝＝2，tanθ＝＝，
又θ的终边过点(3，)，所以θ＝＋2kπ，k∈Z，
所以M的极坐标可能为.
5．在极坐标系中，已知△OAB的顶点A的极坐标为(，π)，AB边的中点D的极坐标为.若以极点为原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则顶点B的直角坐标为(　　)
A．(3，4) B．(－3，4)
C．(－3，－4) D．(3，－4)
答案　C
解析　设顶点B的直角坐标为(x0，y0)．把A，D两点的极坐标化为直角坐标，得A(－，0)，D(－2，－2)，则由中点坐标公式得＝－2，＝－2，解得x0＝－3，y0＝－4，故顶点B的直角坐标为(－3，－4)．
二、填空题
6．把点M的极坐标化为直角坐标为________．
答案　(－5，－5)
7．已知两点的极坐标A，B，则直线AB的倾斜角为________．
答案　
解析　点A，B的直角坐标分别为(0,3)，，
故kAB＝＝－，故直线AB的倾斜角为.
8．将向量＝(－1，)绕原点逆时针旋转120°得到向量的直角坐标为________．
答案　(－1，－)
解析　由于M(－1，)的极坐标为，绕极点(即原点)逆时针旋转120°得到的点的极坐标为，化为直角坐标为(－1，－)．
9．在极坐标系中，O是极点，点A，B，则点O到AB所在直线的距离是________．
答案　
解析　点A，B的直角坐标分别为(2，2)，，
则直线AB的方程为＝，
即(4－3)x－(4＋3)y＋24＝0，则点O到直线AB的距离为＝.
10．在极轴上与点A的距离为5的点M的坐标为________．
答案　(1,0)或(7,0)
解析　设M(r,0)，因为A，
所以＝5，即r2－8r＋7＝0，
解得r＝1或r＝7.
所以M点的坐标为(1,0)或(7,0)．
三、解答题
11．若以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系．
(1)已知点A的极坐标为，求它的直角坐标；
(2)已知点B和点C的直角坐标为(2，－2)和(0，－15)，求它们的极坐标．(ρ>0,0≤θ<2π)
解　(1)∵x＝ρcosθ＝4cos＝2，
y＝ρsinθ＝4sin＝－2，
∴A点的直角坐标为(2，－2)．
(2)∵ρ＝＝＝2，
tanθ＝＝－1，且点B位于第四象限内，
∴θ＝，∴点B的极坐标为.
又∵x＝0，y<0，∴ρ＝15，θ＝.
∴点C的极坐标为.
12．在极坐标系中，已知点A，B.
(1)求|AB|的值；
(2)求△AOB的面积(O为极点)．
解　如图所示，
(1)∠AOB＝－＝，所以|AB|2＝32＋(4)2－2×3×4cos＝93，所以|AB|＝.
(2)S△AOB＝OA·OBsin∠AOB＝×3×4×＝3.
13．在极坐标系中，已知三点M，N(2,0)，P.判断M，N，P三点是否共线？说明理由．
解　将极坐标M，N(2,0)，P分别化为直角坐标，得M(1，－)，N(2,0)，P(3，)．
方法一　因为kMN＝kPN＝，所以M，N，P三点共线．
方法二　因为＝＝(1，)，所以∥，
所以M，N，P三点共线．
四、探究与拓展
14．已知点P在第三象限的角平分线上，且到横轴的距离为2，则当ρ>0，θ∈[0,2π)时，点P的极坐标为________．
答案　
解析　∵点P(x，y)在第三象限的角平分线上，且到横轴的距离为2，
∴x＝－2，y＝－2，∴ρ＝＝2.
又tanθ＝＝1，且θ∈[0,2π)，∴θ＝π.
因此，点P的极坐标为.
15．已知点M的极坐标为，极点O′在直角坐标系xOy中的直角坐标为(2,3)，极轴平行于x轴，极轴的方向与x轴的正方向相同，两坐标系的长度单位相同，求点M的直角坐标．
解　如图所示．
设M在直角坐标系x′O′y′中的坐标为(x′，y′)，
则x′＝ρcosθ＝4cos＝2，y′＝ρsinθ＝4sin＝2，
又M在原坐标系中的坐标为(x，y)，
则x＝x′＋2＝2＋2，y＝y′＋3＝5，
∴点M的直角坐标是(2＋2,5)．