高中数学 人教A版必修五课件 2.3　第2课时　等差数列前n项和的性质与应用 :24张PPT

课件24张PPT。第2课时　等差数列前n项和的性质与应用一、等差数列前n项和的性质
1.等差数列前n项和的性质:(2)设等差数列{an}的公差为d,Sn为其前n项和,则Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…仍构成等差数列,且公差为m2d.2.做 一做:
(1)判断正误.
①若等差数列{an}的前n项和为Sn,则S2n+1=(2n+1)an. (　　)③若等差数列{an}的前n项和为Sn,则S5,S10,S15也成等差数列. (　　)
答案:①×　②×　③×
(2)①已知某等差数列共有10项,其奇数项之和为15,偶数项之和为30,则其公差为(　　)
A.5 B.4
C.3 D.2
②在等差数列{an}中,其前n项和为Sn,S2=4,S4=9,则S6=　　　　　.?解析:①设等差数列的公差为d,由题意,得S偶-S奇=30-15=5d,解得d=3.
②∵S2,S4-S2,S6-S4成等差数列,
∴4+(S6-9)=2×5,
解得S6=15.
答案:①C　②15二、等差数列前n项和的最值
1.如何求等差数列前n项和的最值?
提示:(1)在等差数列{an}中,当a1>0,d>0时,前n项和Sn有最小值S1.
(2)在等差数列{an}中,当a1<0,d<0时,前n项和Sn有最大值S1.
(3)在等差数列{an}中,当a1>0,d<0时,前n项和Sn有最大值,Sn取得从二次函数的角度看,当d>0时,Sn有最小值;当d<0时,Sn有最大值;且当n取最接近对应函数图象对称轴的正整数时,Sn取得最值.
(6)对于公差不为0的等差数列{an},使得其前n项和Sn取得最值的n的值可能有1个或2个.2.做一做:
(1)判断正误.
①若无穷等差数列{an}的公差d>0,则其前n项和Sn不存在最大值. (　　)
②若数列{an}为等差数列,则数列{|an|}一定不是等差数列. (　　)
答案:①√　②×
(2)①在等差数列{an}中,an=21-3n,则当其前n项和Sn取最大值时,n的值等于　　　　.?
②已知数列{an}的前n项和Sn=n2-48n,则Sn的最小值为　　　　.?
解析:①由已知,得当n<7时,an>0,a7=0,当n>7时,an<0,所以当Sn取最大值时,n的值为6或7.
②Sn=n2-48n=(n-24)2-576.
∵n∈N*,∴当n=24时,Sn有最小值-576.
答案:①6或7　②-576探究一探究二探究三当堂检测等差数列前n项和的性质及其应用
例1(1)等差数列{an}的前m项和为30,前2m项和为100,则数列{an}的前3m项的和S3m为　　　　　.?分析:运用等差数列前n项和的性质解决问题. 探究一探究二探究三当堂检测解析:(1)方法一　在等差数列中,
∵Sm,S2m-Sm,S3m-S2m成等差数列,
∴30,70,S3m-100成等差数列.
∴2×70=30+(S3m-100),∴S3m=210.探究一探究二探究三当堂检测反思感悟利用等差数列前n项和的性质简化计算
(1)在解决等差数列问题时,先利用已知求出a1,d,再求所求,是基本解法,有时运算量大些.
(2)如果利用等差数列前n项和的性质或利用等差数列通项公式的性质,那么可简化运算,为最优解法.
(3)设而不求,整体代换也是很好的解题方法.探究一探究二探究三当堂检测变式训练1(1)已知等差数列的前12项和为354,前12项中偶数项和与奇数项和之比为32∶27,则公差d=　　　　　.?
(2)一个等差数列的前10项和为100,前100项和为10,则前110项之和为　　　　　.?探究一探究二探究三当堂检测答案:(1)5　(2)-110 探究一探究二探究三当堂检测等差数列前n项和的最值问题
例2在等差数列{an}中,Sn为前n项和,且a1=25,S17=S9,请问数列{an}前多少项和最大?
分析:解答本题可用多种方法,根据S17=S9找出a1与d的关系,转化为Sn的二次函数求最值,也可以先用通项公式找到通项的变号点,再求解.探究一探究二探究三当堂检测探究一探究二探究三当堂检测解法三∵S17=S9,
∴a10+a11+…+a17=0.
∴a10+a17=a11+a16=…=a13+a14=0.
∵a1=25>0,
∴当n≤13时,an>0;当n≥14时,an<0.
∴S13最大.探究一探究二探究三当堂检测反思感悟一般地,在等差数列{an}中,若a1>0,d<0,则其前n项和Sn有最大值;若a1<0,d>0,则其前n项和Sn有最小值,具体求解方法如下:(2)利用等差数列的性质,找出数列{an}中正、负项的分界项.当a1>0,d<0时,前n项和Sn有最大值,可由an≥0,且an+1≤0,求得n的值;当a1<0,d>0时,前n项和Sn有最小值,可由an≤0,且an+1≥0,求得n的值.探究一探究二探究三当堂检测变式训练2已知{an}为等差数列,a3=7,a1+a7=10,Sn为其前n项和,则使Sn取得最大值的n等于　　　　.?答案:6 探究一探究二探究三当堂检测求数列{|an|}的前n项和问题 分析:先求出通项an,再确定数列中项的正负,最后利用Sn求解. 探究一探究二探究三当堂检测探究一探究二探究三当堂检测反思感悟已知等差数列{an},求{|an|}的前n项和的步骤
1.确定通项公式an;
2.根据通项公式确定数列{an}中项的符号,即判断数列{an}是先负后正,还是先正后负;
3.去掉数列{|an|}中各项的绝对值,转化为{an}的前n项和求解,转化过程中有时需添加一部分项,以直接利用数列{an}的前n项和公式;
4.将{|an|}的前n项和写成分段函数的形式.探究一探究二探究三当堂检测延伸探究在本例中,若将条件改为“等差数列{an}的通项公式为an=3n-23”,求数列{|an|}的前n项和.探究一探究二探究三当堂检测1.在项数为2n+1的等差数列中,所有奇数项的和为165,所有偶数项的和为150,则n的值为(　　)
A.9 B.10 C.11 D.12
解析:∵等差数列有2n+1项,S奇-S偶=a中,
∴a中=15.
又S2n+1=(2n+1)a中,∴165+150=(2n+1)×15,
∴n=10.
答案:B
2.已知Sn是等差数列{an}的前n项和,且Sn=20,S2n=80,则S3n=(　　)
A.130 B.180 C.210 D.260
解析:因为Sn,S2n-Sn,S3n-S2n仍然构成等差数列,所以20,60,S3n-80成等差数列,所以2×60=20+S3n-80,解得S3n=180.
答案:B探究一探究二探究三当堂检测4.在数列{an}中,a1=32,an+1=an-4,则当n=　　　时,前n项和Sn取得最大值,最大值是　　　　.?
解析:由an+1=an-4,得{an}为等差数列,且公差d=an+1-an=-4,故an=-4n+36.
令an=-4n+36≥0,得n≤9,
故当n=8或n=9时,Sn最大,且S8=S9=144.
答案:8或9　144探究一探究二探究三当堂检测5.在等差数列{an}中,Sn为其前n项和.若S2=16,S4=24,求数列{|an|}的前n项和Tn.