第1讲 3 第1课时 圆的极坐标方程学案

三　简单曲线的极坐标方程
第1课时　圆的极坐标方程
学习目标　1.了解极坐标方程的意义.2.掌握圆的极坐标方程.3.能根据极坐标方程研究曲线的有关性质．
知识点一　曲线的极坐标方程
(1)在极坐标系中，如果曲线C上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程f(ρ，θ)＝0，并且坐标适合方程f(ρ，θ)＝0的点都在曲线C上，那么方程f(ρ，θ)＝0叫做曲线C的极坐标方程．
(2)建立曲线的极坐标方程的方法步骤
①建立适当的极坐标系，设P(ρ，θ)是曲线上任意一点；
②列出曲线上任意一点的极径与极角之间的关系式；
③将列出的关系式整理、化简；
④证明所得方程就是曲线的极坐标方程．
知识点二　圆的极坐标方程
思考1　在极坐标系中，点M(ρ，θ)的轨迹方程中一定含有ρ或θ吗？
答案　不一定．
思考2　圆心在极点，半径为2的圆的极坐标方程是什么？
答案　ρ＝2.
梳理　圆的极坐标方程
圆心位置
极坐标方程
图形
圆心在极点(0,0)
ρ＝r(0≤θ<2π)
圆心在点(r,0)
ρ＝2rcosθ
圆心在点
ρ＝2rsinθ(0≤θ<π)
圆心在点(r，π)
ρ＝－2rcosθ
圆心在点
ρ＝－2rsinθ(－π<θ≤0)
类型一　求圆的极坐标方程
例1　求圆心在(ρ0，θ0)，半径为r的圆的方程．
解　在圆周上任取一点P(如图)，
设其极坐标为(ρ，θ)，
由余弦定理知，
CP2＝OP2＋OC2－2OP·OCcos∠COP，
故其极坐标方程为
r2＝ρ＋ρ2－2ρρ0cos(θ－θ0)．
引申探究
若圆心在(3,0)，半径r＝2，求圆的极坐标方程．
解　设P(ρ，θ)为圆上任意一点，
则|CP|2＝|OP|2＋|OC|2－2|OP|·|OC|·cos∠COP，
∴22＝ρ2＋9－6ρcosθ，
即ρ2＝6ρcosθ－5.
当O，P，C共线时此方程也成立．
反思与感悟　求圆的极坐标方程的步骤
(1)设圆上任意一点的极坐标为M(ρ，θ)．
(2)在极点、圆心与M构成的三角形中运用余弦定理或解直角三角形列出方程f(ρ，θ)＝0并化简．
(3)验证极点、圆心与M三点共线时，点M(ρ，θ)的极坐标也适合上述极坐标方程．
跟踪训练1　在极坐标系中，已知圆C的圆心为C，半径为r＝3.求圆C的极坐标方程．
解　设M(ρ，θ)为圆C上任一点，
易知极点O在圆C上，设OM的中点为N，
∴△OCM为等腰三角形，
则|ON|＝|OC|cos，
∴|OM|＝2×3cos，
则ρ＝6cos即为圆C的极坐标方程．
类型二　极坐标方程与直角坐标方程的互化
命题角度1　直角坐标方程化极坐标方程
例2　把下列直角坐标方程化为极坐标方程．
(1)x2＋y2＝1；
(2)x2＋y2－4x＋4＝0；
(3)x2＋y2－2x－2y－2＝0.
解　把代入方程化简，
(1)∵(ρcosθ)2＋(ρsinθ)2＝1，∴ρ2＝1，即ρ＝1.
(2)∵(ρcosθ)2＋(ρsinθ)2－4ρcosθ＋4＝0，
∴ρ2－4ρcosθ＋4＝0.
(3)∵(ρcosθ)2＋(ρsinθ)2－2ρcosθ－2ρsinθ－2＝0.
∴ρ2－2ρ(cosθ＋sinθ)－2＝0，
∴ρ2－2ρsin－2＝0.
反思与感悟　在进行两种坐标方程间的互化时，要注意
(1)互化公式是有三个前提条件的，即极点与直角坐标系的原点重合、极轴与直角坐标系的横轴的正半轴重合，两种坐标系的单位长度相同．
(2)由直角坐标求极坐标时，理论上不是惟一的，但这里约定只在0≤θ<2π范围内求值．
跟踪训练2　把下列直角坐标方程化为极坐标方程．
(1)y2＝4x；(2)x2＋y2－2x－1＝0.
解　(1)将x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入y2＝4x，
得(ρsinθ)2＝4ρcosθ，化简，得ρsin2θ＝4cosθ.
(2)将x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入x2＋y2－2x－1＝0，
得(ρcosθ)2＋(ρsinθ)2－2ρcosθ－1＝0，
化简，得ρ2－2ρcosθ－1＝0.
命题角度2　极坐标方程化直角坐标方程
例3　把下列极坐标方程化为直角坐标方程．
(1)ρ2cos2θ＝1；(2)ρ＝2cos；
(3)ρcos＝；(4)ρ＝.
解　(1)∵ρ2cos2θ＝1，∴ρ2cos2θ－ρ2sin2θ＝1，
∴化为直角坐标方程为x2－y2＝1.
(2)∵ρ＝2cosθcos＋2sinθsin＝cosθ＋sinθ，
∴ρ2＝ρcosθ＋ρsinθ，
∴化为直角坐标方程为x2＋y2－x－y＝0.
(3)∵ρcos＝，
∴ρ＝，
∴ρcosθ－ρsinθ－1＝0.
又ρcosθ＝x，ρsinθ＝y，∴x－y－1＝0.
(4)∵ρ＝，∴2ρ－ρcosθ＝1，
∴2－x＝1.化简，得3x2＋4y2－2x－1＝0.
反思与感悟　由极坐标方程化为直角坐标方程时要注意变形的等价性，通常总要用ρ去乘方程的两端，应该检查极点是否在曲线上，若在，是等价变形，否则，不是等价变形．
跟踪训练3　把下列直角坐标方程与极坐标方程进行互化．
(1)x2＋y2－2x＝0；(2)ρ＝cosθ－2sinθ；(3)ρ2＝cos2θ.
解　(1)∵x2＋y2－2x＝0，
∴ρ2－2ρcosθ＝0.∴ρ＝2cosθ.
(2)∵ρ＝cosθ－2sinθ，∴ρ2＝ρcosθ－2ρsinθ.
∴x2＋y2＝x－2y，即x2＋y2－x＋2y＝0.
(3)∵ρ2＝cos2θ，∴ρ4＝ρ2cos2θ＝(ρcosθ)2.
∴(x2＋y2)2＝x2，
即x2＋y2＝x或x2＋y2＝－x.
类型三　直角坐标与极坐标方程互化的应用
例4　若曲线C的极坐标方程为ρ＝2sinθ＋4cosθ，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系．
(1)求曲线C的直角坐标方程；
(2)若曲线ρsin＝0与曲线C相交于A，B，求|AB|的值．
解　(1)∵∴ρ2＝x2＋y2，
由ρ＝2sinθ＋4cosθ，得ρ2＝2ρsinθ＋4ρcosθ，
∴x2＋y2－4x－2y＝0，即(x－2)2＋(y－1)2＝5.
(2)由ρsin＝0，得ρ＝0，
即ρsinθ－ρcosθ＝0，∴x－y＝0.
由于圆(x－2)2＋(y－1)2＝5的半径为r＝，圆心(2,1)到直线x－y＝0的距离为d＝＝，
∴|AB|＝2＝3.
反思与感悟　在研究曲线的性质时，如交点、距离等，如果用极坐标不方便，可以转化为直角坐标方程，反之，可以转化为极坐标方程．
跟踪训练4　在极坐标系中，曲线C1和C2的方程分别为ρsin2θ＝cosθ和ρsinθ＝1，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C1和C2交点的直角坐标为．
答案　(1,1)

1．极坐标方程分别为ρ＝cosθ和ρ＝sinθ的两个圆的圆心距是(　　)
A．3B.C．1D.
答案　D
2．将极坐标方程ρ2cosθ－ρ＝0化为直角坐标方程为(　　)
A．x2＋y2＝0或y＝1 B．x＝1
C．x2＋y2＝0或x＝1 D．y＝1
答案　C
3．在极坐标系中，圆ρ＝2sinθ的圆心的极坐标是(　　)
A．(1，π) B.
C. D．(1,0)
答案　C
解析　由ρ＝2sinθ，得ρ2＝2ρsinθ，化为直角坐标方程为x2＋y2－2y＝0，即x2＋(y－1)2＝1，圆心坐标为(0,1)，化为极坐标为.
4．4ρsin2＝5表示的曲线是(　　)
A．圆 B．椭圆
C．双曲线的一支 D．抛物线
答案　D
解析　4ρsin2＝5?4ρ＝5?2ρ＝2ρcosθ＋5.
∵ρ＝，ρcosθ＝x，
代入上式得2＝2x＋5，两边平方并整理，
得y2＝5x＋，
∴它表示的曲线为抛物线．
5．在极坐标系中，已知圆C的圆心为C，半径为1，求圆C的极坐标方程．
解　在圆C上任取一点P(ρ，θ)，在△POC中，
由余弦定理可得
CP2＝OC2＋OP2－2OC·OP·cos∠POC，
即1＝4＋ρ2－2×2×ρcos，
化简可得ρ2－4ρcos＋3＝0.
当O，P，C共线时，此方程也成立，
故圆C的极坐标方程为ρ2－4ρcos＋3＝0.
1．曲线的极坐标方程与直角坐标方程的区别
由于平面上点的极坐标的表示形式不惟一，即(ρ，θ)，(ρ，2π＋θ)，(－ρ，π＋θ)，(－ρ，－π＋θ)都表示同一点的坐标，这与点的直角坐标的惟一性明显不同．所以对于曲线上的点的极坐标的多种表示形式，只要求至少有一个能满足极坐标方程即可．例如对于极坐标方程ρ＝θ，点M可以表示为或或等多种形式，其中，只有的极坐标满足方程ρ＝θ.
2．求曲线的极坐标方程，就是在曲线上任找一点M(ρ，θ)，探求ρ，θ的关系，经常需利用三角形知识和正弦、余弦定理来求解．
一、选择题
1．在极坐标系中，方程ρ＝6cosθ表示的曲线是(　　)
A．以点(－3,0)为圆心，3为半径的圆
B．以点(3，π)为圆心，3为半径的圆
C．以点(3,0)为圆心，3为半径的圆
D．以点为圆心，3为半径的圆
答案　C
2．以极坐标系中的点(1,1)为圆心，1为半径的圆的方程是(　　)
A．ρ＝2cos B．ρ＝2sin
C．ρ＝2cos(θ－1) D．ρ＝2sin(θ－1)
答案　C
3．极坐标方程ρcosθ＝2sin2θ表示的曲线为(　　)
A．一条射线和一个圆 B．两条直线
C．一条直线和一个圆 D．一个圆
答案　C
4．极坐标系内，点到直线ρcosθ＝2的距离是(　　)
A．1B．2C．3D．4
答案　B
5．下列点不在曲线ρ＝cosθ上的是(　　)
A. B.
C. D.
答案　D
二、填空题
6．把圆的直角坐标方程x2＋(y－2)2＝4化为极坐标方程为．
答案　ρ＝4sinθ
解析　将x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入，得ρ2cos2θ＋ρ2sin2θ－4ρsinθ＝0，即ρ＝4sinθ.
7．曲线C的极坐标方程为ρ＝3sinθ，则曲线C的直角坐标方程为．
答案　x2＋y2－3y＝0
解析　由ρ＝3sinθ，得ρ2＝3ρsinθ，
故x2＋y2＝3y，即所求方程为x2＋y2－3y＝0.
8．在极坐标系中，若过点A(3,0)且与极轴垂直的直线交曲线ρ＝4cosθ于A，B两点，则|AB|＝.
答案　2
解析　由题意知，直线方程为x＝3，曲线方程为(x－2)2＋y2＝4，将x＝3代入圆的方程，得y＝±，则|AB|＝2.
9．在极坐标系中，曲线C1：ρ(cosθ＋sinθ)＝1与曲线C2：ρ＝a(a>0)的一个交点在极轴上，则a＝.
答案　
解析　曲线C1的直角坐标方程为x＋y＝1，曲线C2的直角坐标方程为x2＋y2＝a2，C1与x轴的交点坐标为，此点也在曲线C2上，代入解得a＝.
三、解答题
10．从极点O引定圆ρ＝2cosθ的弦OP，延长OP到Q使＝，求点Q的轨迹方程，并说明所求轨迹是什么图形？
解　设Q(ρ，θ)，P(ρ0，θ0)，则θ＝θ0，＝，
∴ρ0＝ρ.
∵ρ0＝2cosθ0，∴ρ＝2cosθ，
即ρ＝5cosθ，它表示一个圆．
11．以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ＝4sin，求圆C的直角坐标方程．
解　将圆C的极坐标方程ρ＝4sin变形可得
ρ2＝4ρ，
可得圆C的直角坐标方程为x2＋y2＝2y－2x，
即(x＋1)2＋(y－)2＝4.
12．把下列极坐标方程化为直角坐标方程．
(1)ρ＝4cosθ＋2sinθ；
(2)ρ2＝.
解　(1)方程ρ＝4cosθ＋2sinθ两边同时乘以ρ，并把ρ＝，ρcosθ＝x，ρsinθ＝y代入，
化简可得(x－2)2＋(y－1)2＝5.
(2)ρ2＝可化为4(ρcosθ)2＋5(ρsinθ)2＝20，把ρcosθ＝x，ρsinθ＝y代入，化简可得＋＝1.
四、探究与拓展
13．已知圆C的极坐标方程为ρ2＋2ρsin－4＝0，则圆C的半径及圆心坐标分别为．
答案　，
解析　以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点O，以极轴为x轴的正半轴，建立直角坐标系xOy，圆C的极坐标方程为ρ2＋2ρ－4＝0，
化简，得ρ2＋2ρsinθ－2ρcosθ－4＝0.
则圆C的直角坐标方程为x2＋y2－2x＋2y－4＝0，
即(x－1)2＋(y＋1)2＝6，所以圆C的半径为.
圆心C的直角坐标为(1，－1)，
∴ρ＝＝，tanθ＝－1，且C在第四象限．
∴θ＝，∴C的极坐标为.
14．判断两圆ρ＝cosθ＋sinθ和ρ＝2cosθ的位置关系．
解　圆C1：ρ＝cosθ＋sinθ的直角坐标方程为x2＋y2－x－y＝0，
即2＋2＝1.
∴C1，r1＝1.
同理，圆C2：ρ＝2cosθ的直角坐标为(x－1)2＋y2＝1，
∴C2(1,0)，r2＝1，∴|C1C2|＝1，
∴r1－r2<|C1C2|