第1讲 3 第2课时 直线的极坐标方程 学案

第2课时　直线的极坐标方程
学习目标　1.掌握直线的极坐标方程.2.能熟练进行曲线的极坐标方程和直角坐标方程间的互化.3.能用极坐标方程解决相关问题．
知识点　直线的极坐标方程
思考1　直线l的极坐标方程f(ρ，θ)＝0应该有什么要求？
答案　①直线l上任意一点M至少有一个极坐标适合方程f(ρ，θ)＝0；
②以f(ρ，θ)＝0的解为坐标的点都在直线l上．
思考2　过极点O且倾斜角θ＝的直线的极坐标方程是什么？
答案　θ＝(ρ∈R)．
梳理　直线的极坐标方程(ρ∈R)
直线位置
极坐标方程
图形
过极点，倾斜角为α
(1)θ＝α(ρ∈R)或θ＝π＋α(ρ∈R)
(2)θ＝α(ρ≥0)和θ＝π＋α(ρ≥0)
过点(a,0)，且与极轴垂直
ρcosθ＝a
过点，且与极轴平行
ρsinθ＝a(0<θ<π)
类型一　求直线的极坐标方程
例1　在极坐标系中，求过点(3，π)且与极轴的倾斜角为的直线的极坐标方程．
解　令A(3，π)，设直线上任意一点P(ρ，θ)，
在△OAP中，∠APO＝θ－，
由正弦定理＝，
得ρsin＝.
又因为点A(3，π)适合上式，
故所求直线的极坐标方程为ρsin＝.
引申探究
在本例条件下，若倾斜角改为，求直线的极坐标方程．
解　设P(ρ，θ)为直线上的任意一点，
在△AOP中，
ρcos(π－θ)＝3，
∴ρcosθ＝－3.
又点A(3，π)适合ρcosθ＝－3，
∴直线的方程为ρcosθ＝－3.
反思与感悟　(1)求直线的极坐标方程的一般方法
设出直线上的任意一点(ρ，θ)，利用三角形中的定理，如正弦定理、余弦定理等列出ρ，θ的关系式，即为直线的极坐标方程．
(2)求直线的极坐标方程的注意事项
①当ρ≥0时，直线上的点的极角不是常量，所以直线的极坐标方程需要转化为两条射线的极坐标方程，所以直线的极坐标方程不如直线的直角坐标方程惟一且简便；
②当规定了“负极径”的意义，即ρ∈R时，直线的极坐标方程就是惟一的了．
跟踪训练1　在极坐标系中，直线l经过点M，且该直线与极轴所成的角为，求直线l的极坐标方程．
解　方法一　设P(ρ，θ)是直线上除M点外任意一点，则在△OPM中，|OP|＝ρ，∠POM＝－θ或θ－，
∠OPM＝θ－或－θ，∠OMP＝或.
由正弦定理，有＝，即＝.
∵sin＝sin＝sin，
∴ρsin＝，又M满足该式，
∴直线l的极坐标方程为ρsin＝.
方法二　以极点为坐标原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系，
则点M的直角坐标为(0,3)．过点M且倾斜角为的直线l的直角坐标方程为y＝x＋3.
由直角坐标与极坐标的互化公式
得直线l的极坐标方程为ρsinθ＝ρcosθ＋3，
即ρ(sinθ－cosθ)＝3.
类型二　直线的直角坐标方程与极坐标方程的互化
例2　把下列方程极、直互化．
(1)θ＝；(2)y＝2x；(3)ρsin＝.
解　(1)∵θ＝，∴tanθ＝，
即tanθ＝＝(x≠0)，∴y＝x(x≠0)．
又点(0,0)适合方程y＝x，
∴θ＝的直角坐标方程为y＝x.
(2)∵y＝2x，∴ρsinθ＝2ρcosθ，
∴tanθ＝2，极点(0,0)也适合tanθ＝2，
∴y＝2x的极坐标方程为tanθ＝2.
(3)∵ρsin＝，∴ρsinθ＋ρcosθ＝1，
∴x＋y－1＝0.
反思与感悟　把极坐标方程化为直角坐标方程时，通常要进行配凑．
(1)通常要用ρ去乘方程的两边，使之出现ρ2，ρcosθ，ρsinθ的形式．
(2)常取tanθ，方程用公式tanθ＝(x≠0)．
关键要注意变形的等价性．
跟踪训练2　把下列方程进行极、直互化．
(1)2x＋y＋1＝0；(2)y＝－x；(3)θ＝α.
解　(1)由得2x＋y＋1＝0的极坐标方程为ρ(2cosθ＋sinθ)＋1＝0.
(2)由得ρsinθ＝－ρcosθ，
∴tanθ＝－，∴θ＝.
(3)当α＝时，θ＝α的直角坐标方程为x＝0，
当α≠时，由θ＝α，得tanθ＝tanα，∴＝tanα，
即y＝tanα·x，原点(0,0)也适合y＝tanα·x，
∴θ＝α的直角坐标方程为y＝tanα·x.
类型三　直线的极坐标方程的应用
例3　在极坐标系中，直线l的方程是ρsin＝1，求点P到直线l的距离．
解　点P的直角坐标为(，－1)．
直线l：ρsin＝1可化为
ρsinθ·cos－ρcosθ·sin＝1，
即直线l的直角坐标方程为x－y＋2＝0.
∴点P(，－1)到直线x－y＋2＝0的距离为
d＝＝＋1.
故点P到直线ρsin＝1的距离为＋1.
反思与感悟　对于研究极坐标方程下的距离及位置关系等问题，通常是将它们化为直角坐标方程，在直角坐标系下研究．
跟踪训练3　在极坐标系中，曲线C：ρ＝2acosθ(a>0)，l：ρcos＝，C与l有且仅有一个公共点．
(1)求a的值；
(2)O为极点，A，B为曲线C上的两点，且∠AOB＝，求|OA|＋|OB|的最大值．
解　(1)由曲线C：ρ＝2acosθ(a>0)，
得ρ2＝2aρcosθ，化为直角坐标方程为(x－a)2＋y2＝a2，
直线l：ρcos＝，
即ρcosθcos＋ρsinθsin＝，
得x＋y－＝0，即x＋y－3＝0，
由于直线与圆有且只有一个公共点，
所以d＝＝a，解得a＝1，a＝－3(舍去)．
(2)不妨设A的极角为θ，B的极角为θ＋，
则|OA|＋|OB|＝2cosθ＋2cos＝3cosθ－sinθ
＝2cos.
当θ＝－时，|OA|＋|OB|取得最大值2.
1．过点且平行于极轴的直线的极坐标方程是(　　)
A．ρcosθ＝4 B．ρsinθ＝4
C．ρsinθ＝ D．ρcosθ＝
答案　C
解析　由题意可得，所求直线的直角坐标方程为
y＝2sin＝，①
再根据y＝ρsinθ，将①化为极坐标方程可得ρsinθ＝.
2．在极坐标系中，圆ρ＝2cosθ的垂直于极轴的两条切线方程分别为(　　)
A．θ＝0(ρ∈R)和ρcosθ＝2
B．θ＝(ρ∈R)和ρcosθ＝2
C．θ＝(ρ∈R)和ρcosθ＝1
D．θ＝0(ρ∈R)和ρcosθ＝1
答案　B
3．7cosθ＋2sinθ＝0表示(　　)
A．直线 B．圆
C．椭圆 D．双曲线
答案　A
解析　两边同乘以ρ，得7ρcosθ＋2ρsinθ＝0.
即7x＋2y＝0，表示直线．
4．极坐标方程cosθ＝(ρ≥0)表示的曲线是(　　)
A．余弦曲线 B．两条相交直线
C．一条射线 D．两条射线
答案　D
解析　∵cosθ＝，∴θ＝±＋2kπ(k∈Z)．
又∵ρ≥0，∴cosθ＝表示两条射线．
5．已知直线的极坐标方程为ρsin＝，则点A到这条直线的距离是．
答案　
解析　点A的直角坐标为(，－)．
直线ρsin＝，
即ρsinθ·cos＋ρcosθ·sin＝的直角坐标方程为x＋y＝，即x＋y＝1.
∴点A(，－)到直线x＋y－1＝0的距离为
d＝＝.
一、选择题
1．过点A(5,0)和直线θ＝垂直的直线的极坐标方程是(　　)
A．ρsin＝ B．ρcos＝
C．ρsin＝5 D．ρsin＝
答案　A
2．直线θ＝α和直线ρsin(θ－α)＝1的位置关系是(　　)
A．垂直 B．平行
C．相交但不垂直 D．重合
答案　B
解析　直线θ＝α与直线ρsin(θ－α)＝1的斜率相同，且无公共点，故选B.
3．在极坐标系中，曲线ρ＝4sin关于(　　)
A．直线θ＝对称 B．直线θ＝对称
C．点对称 D．极点对称
答案　B
4．在极坐标系中，过点且平行于极轴的直线的直角坐标方程是(　　)
A．x＝2B．y＝C．x＝1D．y＝
答案　D
5．在极坐标系中，点M到曲线ρcos＝2上的点的距离的最小值为(　　)
A．2B．4C．6D．8
答案　A
解析　点M的直角坐标为(2,2),
曲线ρcos＝2的直角坐标方程为x＋y－4＝0，根据点到直线的距离公式得d＝＝2.
6．在极坐标系中有如下三个结论：
①若点P在曲线C上，则点P的极坐标满足曲线C的极坐标方程；
②tanθ＝1与θ＝表示同一条曲线；
③ρ＝3与ρ＝－3表示同一条曲线．
在这三个结论中，正确的是(　　)
A．①③B．①C．②③D．③
答案　D
解析　若点P在曲线C上，则点P的极坐标中至少有一个满足C的极坐标方程，故①错；tanθ＝1能表示θ＝和θ＝π两条射线，故②错；ρ＝3和ρ＝－3都表示以极点为圆心，3为半径的圆，故③正确．
二、填空题
7．在极坐标系中，过点A引圆ρ＝4sinθ的一条切线，则切线长为．
答案　4
解析　圆的普通方程为x2＋(y－2)2＝4，点A的直角坐标为(0，－4)，点A与圆心的距离为|－4－2|＝6，所以切线长为＝4.
8．过点P且垂直于极轴的直线的极坐标方程是．
答案　ρcosθ＝1
解析　点P的直角坐标为(1，)，所以经过该点垂直于极轴的直线的直角坐标方程为x＝1，化为极坐标方程为ρcosθ＝1.
9．在极坐标系中，直线ρsin＝2被圆ρ＝4截得的弦长为．
答案　4
解析　因为ρsin＝2，所以ρsinθ＋ρcosθ＝2，
化成直角坐标方程为x＋y－2＝0，
圆ρ＝4化成直角坐标方程为x2＋y2＝16，半径R＝4，
圆心到直线的距离为d＝＝2，
所以截得的弦长为2×＝2×＝4.
10．在极坐标系中，圆ρ＝2上的点到直线ρ(cosθ＋sinθ)＝6的距离的最小值是．
答案　1
解析　ρ＝2的直角坐标方程为x2＋y2＝4，ρ(cosθ＋sinθ)＝6的直角坐标方程为x＋y－6＝0，圆心到直线的距离为d＝3，所以圆上的点到直线的距离的最小值为3－2＝1.
三、解答题
11．在极坐标系中，已知圆O：ρ＝cosθ＋sinθ和直线l：ρsin＝.(ρ≥0,0≤θ<2π)
(1)求圆O和直线l的直角坐标方程；
(2)当θ∈(0，π)时，求直线l与圆O的公共点的极坐标．
解　(1)圆O：ρ＝cosθ＋sinθ，
即ρ2＝ρcosθ＋ρsinθ，
则圆O的直角坐标方程为x2＋y2－x－y＝0，
直线l：ρsin＝，即ρsinθ－ρcosθ＝1，
则直线l的直角坐标方程为x－y＋1＝0.
(2)由(1)知，圆O与直线l的直角坐标方程，
将两方程联立得解得
即圆O与直线l在直角坐标系下的公共点为(0,1)，
将(0,1)转化为极坐标为，即为所求．
12．在极坐标系中，已知圆C经过点P，圆心为直线ρsin＝－与极轴的交点，求圆C的极坐标方程．
解　在ρsin＝－中，
令θ＝0，得ρ＝1，所以圆C的圆心坐标为(1,0)，
因为圆C经过点P，
所以圆C的半径PC＝＝1，
于是圆C过极点，所以圆C的极坐标方程为ρ＝2cosθ.
13．在极坐标系中，已知极点O到直线l的距离为3，过点O作直线l的垂线，垂足为A，由极轴到OA的角的大小为，求直线l的极坐标方程．
解　在直线l上任取一点M(ρ，θ)，如图所示．
在Rt△OAM中，|OM|＝ρ，
∠AOM＝∠AOx－∠MOx＝－θ或θ－，
则|OA|＝|OM|·cos∠AOM，即ρcos＝3，
所以所求直线l的极坐标方程为ρcos＝3.
四、探究与拓展
14．在极坐标系中，圆ρ＝2cosθ在点M(2,0)处的切线的极坐标方程为．
答案　ρcosθ＝2
解析　如图，
∵ρ＝2cosθ，∴ρ2＝2ρcosθ，
∴x2＋y2＝2x.
由图象可知圆在点M(2,0)处的切线为x＝2，即ρcosθ＝2.
15．已知双曲线的极坐标方程为ρ＝，过极点作直线与它交于A，B两点，且|AB|＝6.求直线AB的极坐标方程．
解　设直线AB的极坐标方程为θ＝θ1.
A(ρ1，θ1)，B(ρ2，θ1＋π)，
ρ1＝，
ρ2＝＝.
|AB|＝|ρ1＋ρ2|＝
＝，
∴＝±1，
∴cosθ1＝0或cosθ1＝±.
故直线AB的极坐标方程为θ＝，θ＝或θ＝.