第1讲 坐标系复习课 学案
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复习课
学习目标 1.复习回顾坐标系的重要知识点.2.进一步熟练极坐标方程的求法，能熟练进行极坐标方程与直角坐标方程的互化.3.能应用极坐标解决相关问题，并体会极坐标在解决有关问题时的优越性．
1．平面直角坐标系中的伸缩变换
设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：的作用下，点P(x，y)对应到点P′(x′，y′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．
2．极坐标系
(1)在平面上取一个定点O，由O点出发的一条射线Ox，一个长度单位及计算角度的正方向(通常取逆时针方向)，合称为一个极坐标系．O点称为极点，Ox称为极轴．平面上任一点M的位置可以由线段OM的长度ρ和从Ox到OM的角度θ来刻画(如图所示)．这两个数组成的有序数对(ρ，θ)称为点M的极坐标．ρ称为极径，θ称为极角．
(2)极坐标与直角坐标的互化
设M为平面上的一点，它的直角坐标为(x，y)，极坐标为(ρ，θ)．
由图可知下面的关系式成立：
或
顺便指出，上式对ρ<0也成立．
这就是极坐标与直角坐标的互化公式．
3．曲线极坐标方程的求法
求曲线的极坐标的方法和步骤，和求直角坐标方程类似，就是把曲线看作适合某种条件的点的集合或轨迹，将已知条件用曲线上的极坐标(ρ，θ)的关系式f(ρ，θ)＝0表示出来，就得到曲线的极坐标方程．
类型一 求曲线的极坐标方程
例1 在极坐标系中，已知圆C的圆心C，半径r＝3.
(1)求圆C的极坐标方程；
(2)若点Q在圆C上运动，点P在OQ的延长线上，且＝2，求动点P的轨迹方程．
解 (1)设M(ρ，θ)是圆C上除O(0,0)以外的任意一点，
在△OCM中，∠COM＝，
由余弦定理，得|CM|2＝|OM|2＋|OC|2－2|OM|·|OC|·cos∠COM，
∴32＝ρ2＋32－2×ρ×3cos，即ρ＝6cos.
经检验，点O(0,0)也在此方程所表示的圆上．
∴圆C的极坐标方程为ρ＝6cos.
(2)设点Q为(ρ1，θ1)，点P为(ρ0，θ0)，
由＝2，得＝2(－)，
∴＝，∴ρ1＝ρ0，θ1＝θ0，
将其代入圆ρ1＝6cos，得ρ0＝6cos，
即ρ0＝9cos.
所以动点P的轨迹方程为ρ＝9cos.
反思与感悟 求轨迹方程的方法有直接法、定义法、相关点代入法，在极坐标中仍然适用，注意求谁设谁，找出所设点的坐标ρ，θ的关系．
跟踪训练1 在极坐标系中，过点作圆ρ＝4sinθ的切线，求切线的极坐标方程．
解 把代入圆的极坐标方程ρ＝4sinθ，易知点满足方程，所以点M在圆ρ＝4sinθ上．
如图所示，在极坐标系中，过点M的圆ρ＝4sinθ的切线与极轴垂直，设切线与极轴的交点为N，
则在Rt△OMN中，|ON|＝|OM|cos＝2.设P(ρ，θ)是切线上除点N以外的任意一点，则在Rt△OPN中，cos∠PON＝，即cosθ＝，又N(2,0)满足上式，故所求切线的极坐标方程为ρcosθ＝2.
类型二 极坐标与直角坐标的互化
例2 (2018·全国Ⅰ)在直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为y＝k|x|＋2.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2＋2ρcosθ－3＝0.
(1)求C2的直角坐标方程；
(2)若C1与C2有且仅有三个公共点，求C1的方程．
解 (1)由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ得C2的直角坐标方程为(x＋1)2＋y2＝4.
(2)由(1)知C2是圆心为A(－1,0)，半径为2的圆．
由题设知，C1是过点B(0,2)且关于y轴对称的两条射线．记y轴右边的射线为l1，y轴左边的射线为l2.
由于点B在圆C2的外面，故C1与C2有且仅有三个公共点等价于l1与C2只有一个公共点且l2与C2有两个公共点，或l2与C2只有一个公共点且l1与C2有两个公共点．
当l1与C2只有一个公共点时，点A到l1所在直线的距离为2，所以＝2，故k＝－或k＝0.
经检验，当k＝0时，l1与C2没有公共点；
当k＝－时，l1与C2只有一个公共点，l2与C2有两个公共点．
当l2与C2只有一个公共点时，点A到l2所在直线的距离为2，所以＝2，故k＝0或k＝.
经检验，当k＝0时，l1与C2没有公共点；
当k＝时，l2与C2没有公共点．
综上，所求C1的方程为y＝－|x|＋2.
反思与感悟 (1)互化的前提依旧是把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴并在两种坐标系下取相同的单位长度．
(2)极坐标方程化直角坐标方程时，要注意凑出：ρcosθ，ρsinθ，tan θ，以方便用ρcosθ＝x，ρsinθ＝y及tan θ＝代入化简．
跟踪训练2 已知点A，B的直角坐标分别为(2,0)，(3，)，求以A为圆心，过点B的圆的极坐标方程．
解 |AB|＝＝2，
故圆的标准方程为(x－2)2＋y2＝4，即x2＋y2＝4x.
将x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入x2＋y2＝4x，
化简得ρ＝4cosθ，
所以所求圆的极坐标方程为ρ＝4cosθ.
类型三 极坐标的综合应用
例3 已知椭圆＋＝1(a>b>0)，A，B分别为椭圆上的两点，且OA⊥OB.
(1)求证：＋为定值；
(2)求△AOB面积的最大值和最小值．
解 以直角坐标系的原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．
设A，B两点的极坐标分别为(ρ1，θ1)，(ρ2，θ2)
，
则A，B两点的直角坐标分别为(ρ1cosθ1，ρ1sinθ1)，(ρ2cosθ2，ρ2sinθ2)．
(1)∵A在椭圆＋＝1上，
∴＋＝1，∴ρ＝，
同理ρ＝＝
∴＋
＝＋＝
＝为定值．
(2)在△AOB中，OA⊥OB.
S＝|OA|·|BO|×＝ρ1ρ2.∴S2＝ρρ.
由(1)知ρ＝，ρ＝，
∴ρρ＝
＝
＝，
当sin22θ1＝0时，(ρ1ρ2)2的最大值为a2b2，
∴S最大＝ab，
当sin22θ1＝1时，(ρ1ρ2)2的最小值为，
∴S最小＝.
反思与感悟 (1)用极坐标解决问题的关键是建立适当的极坐标系．建系的原则是有利用极径、极角表示问题中的量．
(2)用极坐标解决问题，并不能忽视极坐标与直角坐标间的互化问题．
跟踪训练3 用极坐标法证明：过抛物线的焦点的弦被焦点分成的两部分的倒数和为常数．
证明 设F为抛物线的焦点，AB是过焦点F的弦，焦点到准线的距离为ρ.
以F为极点，Fx为极轴，建立如图所示的极坐标系．
设A的极坐标为(ρ1，θ)，
则B的极坐标为(ρ2，θ＋π)，
由抛物线的定义知，＝1，ρ1＝ρ1cosθ＋ρ，
∴ρ1＝.同理ρ2＝＝，
∴＋＝＋＝＋
＝(常数)．
1．已知曲线C1，C2的极坐标方程分别为ρcosθ＝1，ρ＝4cosθ，则曲线C1与C2交点的极坐标为________．
答案
2．在以O为极点的极坐标系中，圆ρ＝4sinθ和直线ρsinθ＝a相交于A，B两点．若△AOB是等边三角形，则a的值为________．
答案 3
解析 由于圆和直线的直角坐标方程分别为x2＋y2＝4y和y＝a，它们相交于A，B两点，△AOB为等边三角形，
所以不妨取直线OB的方程为y＝x，
联立
消去y，得x2＝x，
解得x＝或x＝0，
所以y＝x＝3，即a＝3.
3．已知圆的极坐标方程为ρ＝4cosθ，圆心为C，点P的极坐标为，则|CP|＝________.
答案 2
4．已知极坐标方程C1：ρ＝10，C2：ρsin＝6，
(1)化C1，C2的极坐标方程为直角坐标方程，并分别判断曲线形状；
(2)求C1，C2交点间的距离．
解 (1)由C1：ρ＝10，得ρ2＝100，所以x2＋y2＝100，
所以C1为圆心是(0,0)，半径是10的圆．
由C2：ρsin＝6，得ρ＝6.
所以y－x＝12，即x－y＋12＝0，
所以C2表示直线．
(2)由于圆心(0,0)到直线x－y＋12＝0的距离为
d＝＝6所以直线l被圆截得的弦长为2＝2＝16.
1．对于极坐标问题，重点是极坐标与直角坐标的互化公式，充分体现转化与化归的思想．
2．极坐标方程的求法，可以用直接法即直接去求极坐标方程，也可以先求曲线的直角坐标方程，再利用互化公式，将直角坐标方程化为极坐标方程．
3．要充分体会极坐标的优势，有些问题，用极坐标解决就比较方便简洁．
一、选择题
1．极坐标方程ρ＝cosθ与ρcosθ＝的图形是( )
答案 B
2．极坐标方程θ＝，θ＝(ρ>0)和ρ＝4所表示的曲线围成的图形面积是( )
A. B.
C. D.
答案 B
3．在极坐标系中，过点A(6，π)作圆ρ＝－4cosθ的切线，则切线长为( )
A．2 B．6
C．2 D．2
答案 C
4．直线l1：ρsin(θ＋α)＝a和l2：θ＝－α的位置关系是( )
A．l1∥l2 B．l1⊥l2
C．l1和l2重合 D．l1和l2斜交
答案 B
解析 由ρsin(θ＋α)＝a知，ρsinθcosα＋ρcosθsinα＝a，∴ycosα＋xsinα＝a，
即xsinα＋ycosα＝a，
∴斜率为－＝－tanα＝k1.
又k2＝tan＝，
∴k1·k2＝－1，∴两直线垂直．
5．下列极坐标方程中，对应的曲线为如图所示的图形的是( )
A．ρ＝6＋5cosθ B．ρ＝6＋5sinθ
C．ρ＝6－5cosθ D．ρ＝6－5sinθ
答案 D
解析 由图可知，当θ＝－时，ρ最大，
所以应该是ρ＝6－5sinθ.
6．下列结论中不正确的是( )
A.与关于极轴对称
B.与关于极点对称
C.与关于极轴对称
D.与关于极点对称
答案 D
解析 与是同一个点，
因此D不正确．
二、填空题
7．直线2ρcosθ＝1与圆ρ＝2cosθ相交的弦长为________．
答案
解析 直线2ρcosθ＝1可化为2x＝1，
即x＝，圆ρ＝2cosθ，
两边同乘以ρ得ρ2＝2ρcosθ，
化为直角坐标方程是x2＋y2＝2x，
即(x－1)2＋y2＝1，其圆心为(1,0)，半径为1，
∴弦长为2＝.
8．在极坐标系中，P是曲线ρ＝12sinθ上的动点，Q是曲线ρ＝12cos上的动点，则|PQ|的最大值为________．
答案 18
解析 ∵ρ＝12sinθ，∴ρ2＝12ρsinθ，∴x2＋y2－12y＝0，即x2＋(y－6)2＝36.又ρ＝12cos，∴ρ2＝12ρ，∴x2＋y2－6x－6y＝0.∴(x－3)2＋(y－3)2＝36，
∴|PQ|max＝6＋6＋＝18.
9．在极坐标系中，曲线ρ＝2sinθ与ρcosθ＝－1的交点的极坐标为________．
答案
解析 ∵∴2sinθ·cosθ＝－1，即sin2θ＝－1.
∴2θ＝，即θ＝，∴ρ＝2sin＝.
10．在极坐标系中，直线ρcosθ－ρsinθ－1＝0与圆ρ－2cosθ＝0交于A，B两点，则|AB|＝________.
答案 2
解析 ∵x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，∴直线的直角坐标方程为x－y－1＝0，由ρ－2cosθ＝0，得ρ＝2cosθ，ρ2＝2ρcosθ，又ρ2＝x2＋y2，∴x2＋y2＝2x，∴圆的直角坐标方程为(x－1)2＋y2＝1，又圆心(1,0)在直线上，∴AB为圆的直径，∴|AB|＝2.
三、解答题
11．已知定点A(a,0)，动点P对极点O和点A的张角∠OPA＝.在OP的延长线上取点Q，使|PQ|＝|PA|.当P在极轴上方运动时，求点Q的轨迹的极坐标方程．
解 设Q，P的坐标分别是(ρ，θ)，(ρ1，θ1)，则θ＝θ1，
在△POA中，ρ1＝·sin，|PA|＝，
又|OQ|＝|OP|＋|PA|，∴ρ＝2asin.
12．从极点O作直线与另一直线l：ρcosθ＝4相交于点M，在OM上取一点P，使|OM|·|OP|＝12.
(1)求点P的轨迹方程；
(2)设R为l上的任意一点，试求|RP|的最小值．
解 (1)由题意可设动点P的坐标为(ρ，θ)，M的坐标为(ρ0，θ)，
由|OM|·|OP|＝12，得ρρ0＝12.
∵点M在直线l上，∴ρ0cosθ＝4，∴ρ＝3cosθ，
即点P的轨迹方程为ρ＝3cosθ.
(2)将ρ＝3cosθ化为直角坐标方程，得x2＋y2＝3x，
即2＋y2＝.
易知点P的轨迹是以为圆心，为半径的圆．
直线l的直角坐标方程是x＝4.
结合图形(图略)易知|RP|的最小值为1.
13．在直角坐标系xOy中，直线C1：x＝－2，圆C2：(x－1)2＋(y－2)2＝1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
(1)求C1，C2的极坐标方程；
(2)若直线C3的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)，设C2与C3的交点为M，N，求△C2MN的面积．
解 (1)由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，
得C1的极坐标方程为ρcosθ＝－2，
C2的极坐标方程为ρ2－2ρcosθ－4ρsinθ＋4＝0.
(2)将θ＝代入ρ2－2ρcosθ－4ρsinθ＋4＝0，
得ρ2－3ρ＋4＝0，解得ρ1＝2，ρ2＝，
故|ρ1－ρ2|＝，即|MN|＝.
由于C2的半径为1，所以△C2MN为等腰直角三角形，
故其面积为×1×1＝.
四、探究与拓展
14．如果直线ρ＝与直线l关于极轴对称，那么直线l的极坐标方程是________．
答案 ρ＝
解 设M(ρ，θ)是直线l上的任意一点，则M(ρ，θ)关于极轴的对称点M′(ρ，－θ)必在直线ρ＝上，
∴ρ＝，即ρ＝.
15．已知如图点O为极点，OR为圆ρ＝acosθ的弦，在直线OR上取点P和点Q，使得|RP|＝|RQ|＝a，当点R在圆上移动时，试求点P和点Q的轨迹方程．
解 设P(ρ，θ)，R(ρ0，θ0)，则θ0＝θ，ρ＝ρ0＋a，
∴∵R在圆ρ＝acosθ上，即ρ0＝acosθ0，
∴ρ－a＝acosθ，即ρ＝acosθ＋a.
设Q(ρ，θ)，R(ρ0，θ0)则θ0＝θ，ρ＝ρ0－a，∴
∴ρ＋a＝acosθ，即ρ＝acosθ－a.
∴点P的轨迹方程为ρ＝acosθ＋a，
点Q的轨迹方程为ρ＝acosθ－a.
学习目标 1.复习回顾坐标系的重要知识点.2.进一步熟练极坐标方程的求法，能熟练进行极坐标方程与直角坐标方程的互化.3.能应用极坐标解决相关问题，并体会极坐标在解决有关问题时的优越性．
1．平面直角坐标系中的伸缩变换
设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：的作用下，点P(x，y)对应到点P′(x′，y′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．
2．极坐标系
(1)在平面上取一个定点O，由O点出发的一条射线Ox，一个长度单位及计算角度的正方向(通常取逆时针方向)，合称为一个极坐标系．O点称为极点，Ox称为极轴．平面上任一点M的位置可以由线段OM的长度ρ和从Ox到OM的角度θ来刻画(如图所示)．这两个数组成的有序数对(ρ，θ)称为点M的极坐标．ρ称为极径，θ称为极角．
(2)极坐标与直角坐标的互化
设M为平面上的一点，它的直角坐标为(x，y)，极坐标为(ρ，θ)．
由图可知下面的关系式成立：
或
顺便指出，上式对ρ<0也成立．
这就是极坐标与直角坐标的互化公式．
3．曲线极坐标方程的求法
求曲线的极坐标的方法和步骤，和求直角坐标方程类似，就是把曲线看作适合某种条件的点的集合或轨迹，将已知条件用曲线上的极坐标(ρ，θ)的关系式f(ρ，θ)＝0表示出来，就得到曲线的极坐标方程．
类型一 求曲线的极坐标方程
例1 在极坐标系中，已知圆C的圆心C，半径r＝3.
(1)求圆C的极坐标方程；
(2)若点Q在圆C上运动，点P在OQ的延长线上，且＝2，求动点P的轨迹方程．
解 (1)设M(ρ，θ)是圆C上除O(0,0)以外的任意一点，
在△OCM中，∠COM＝，
由余弦定理，得|CM|2＝|OM|2＋|OC|2－2|OM|·|OC|·cos∠COM，
∴32＝ρ2＋32－2×ρ×3cos，即ρ＝6cos.
经检验，点O(0,0)也在此方程所表示的圆上．
∴圆C的极坐标方程为ρ＝6cos.
(2)设点Q为(ρ1，θ1)，点P为(ρ0，θ0)，
由＝2，得＝2(－)，
∴＝，∴ρ1＝ρ0，θ1＝θ0，
将其代入圆ρ1＝6cos，得ρ0＝6cos，
即ρ0＝9cos.
所以动点P的轨迹方程为ρ＝9cos.
反思与感悟 求轨迹方程的方法有直接法、定义法、相关点代入法，在极坐标中仍然适用，注意求谁设谁，找出所设点的坐标ρ，θ的关系．
跟踪训练1 在极坐标系中，过点作圆ρ＝4sinθ的切线，求切线的极坐标方程．
解 把代入圆的极坐标方程ρ＝4sinθ，易知点满足方程，所以点M在圆ρ＝4sinθ上．
如图所示，在极坐标系中，过点M的圆ρ＝4sinθ的切线与极轴垂直，设切线与极轴的交点为N，
则在Rt△OMN中，|ON|＝|OM|cos＝2.设P(ρ，θ)是切线上除点N以外的任意一点，则在Rt△OPN中，cos∠PON＝，即cosθ＝，又N(2,0)满足上式，故所求切线的极坐标方程为ρcosθ＝2.
类型二 极坐标与直角坐标的互化
例2 (2018·全国Ⅰ)在直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为y＝k|x|＋2.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2＋2ρcosθ－3＝0.
(1)求C2的直角坐标方程；
(2)若C1与C2有且仅有三个公共点，求C1的方程．
解 (1)由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ得C2的直角坐标方程为(x＋1)2＋y2＝4.
(2)由(1)知C2是圆心为A(－1,0)，半径为2的圆．
由题设知，C1是过点B(0,2)且关于y轴对称的两条射线．记y轴右边的射线为l1，y轴左边的射线为l2.
由于点B在圆C2的外面，故C1与C2有且仅有三个公共点等价于l1与C2只有一个公共点且l2与C2有两个公共点，或l2与C2只有一个公共点且l1与C2有两个公共点．
当l1与C2只有一个公共点时，点A到l1所在直线的距离为2，所以＝2，故k＝－或k＝0.
经检验，当k＝0时，l1与C2没有公共点；
当k＝－时，l1与C2只有一个公共点，l2与C2有两个公共点．
当l2与C2只有一个公共点时，点A到l2所在直线的距离为2，所以＝2，故k＝0或k＝.
经检验，当k＝0时，l1与C2没有公共点；
当k＝时，l2与C2没有公共点．
综上，所求C1的方程为y＝－|x|＋2.
反思与感悟 (1)互化的前提依旧是把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴并在两种坐标系下取相同的单位长度．
(2)极坐标方程化直角坐标方程时，要注意凑出：ρcosθ，ρsinθ，tan θ，以方便用ρcosθ＝x，ρsinθ＝y及tan θ＝代入化简．
跟踪训练2 已知点A，B的直角坐标分别为(2,0)，(3，)，求以A为圆心，过点B的圆的极坐标方程．
解 |AB|＝＝2，
故圆的标准方程为(x－2)2＋y2＝4，即x2＋y2＝4x.
将x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入x2＋y2＝4x，
化简得ρ＝4cosθ，
所以所求圆的极坐标方程为ρ＝4cosθ.
类型三 极坐标的综合应用
例3 已知椭圆＋＝1(a>b>0)，A，B分别为椭圆上的两点，且OA⊥OB.
(1)求证：＋为定值；
(2)求△AOB面积的最大值和最小值．
解 以直角坐标系的原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．
设A，B两点的极坐标分别为(ρ1，θ1)，(ρ2，θ2)
，
则A，B两点的直角坐标分别为(ρ1cosθ1，ρ1sinθ1)，(ρ2cosθ2，ρ2sinθ2)．
(1)∵A在椭圆＋＝1上，
∴＋＝1，∴ρ＝，
同理ρ＝＝
∴＋
＝＋＝
＝为定值．
(2)在△AOB中，OA⊥OB.
S＝|OA|·|BO|×＝ρ1ρ2.∴S2＝ρρ.
由(1)知ρ＝，ρ＝，
∴ρρ＝
＝
＝，
当sin22θ1＝0时，(ρ1ρ2)2的最大值为a2b2，
∴S最大＝ab，
当sin22θ1＝1时，(ρ1ρ2)2的最小值为，
∴S最小＝.
反思与感悟 (1)用极坐标解决问题的关键是建立适当的极坐标系．建系的原则是有利用极径、极角表示问题中的量．
(2)用极坐标解决问题，并不能忽视极坐标与直角坐标间的互化问题．
跟踪训练3 用极坐标法证明：过抛物线的焦点的弦被焦点分成的两部分的倒数和为常数．
证明 设F为抛物线的焦点，AB是过焦点F的弦，焦点到准线的距离为ρ.
以F为极点，Fx为极轴，建立如图所示的极坐标系．
设A的极坐标为(ρ1，θ)，
则B的极坐标为(ρ2，θ＋π)，
由抛物线的定义知，＝1，ρ1＝ρ1cosθ＋ρ，
∴ρ1＝.同理ρ2＝＝，
∴＋＝＋＝＋
＝(常数)．
1．已知曲线C1，C2的极坐标方程分别为ρcosθ＝1，ρ＝4cosθ，则曲线C1与C2交点的极坐标为________．
答案
2．在以O为极点的极坐标系中，圆ρ＝4sinθ和直线ρsinθ＝a相交于A，B两点．若△AOB是等边三角形，则a的值为________．
答案 3
解析 由于圆和直线的直角坐标方程分别为x2＋y2＝4y和y＝a，它们相交于A，B两点，△AOB为等边三角形，
所以不妨取直线OB的方程为y＝x，
联立
消去y，得x2＝x，
解得x＝或x＝0，
所以y＝x＝3，即a＝3.
3．已知圆的极坐标方程为ρ＝4cosθ，圆心为C，点P的极坐标为，则|CP|＝________.
答案 2
4．已知极坐标方程C1：ρ＝10，C2：ρsin＝6，
(1)化C1，C2的极坐标方程为直角坐标方程，并分别判断曲线形状；
(2)求C1，C2交点间的距离．
解 (1)由C1：ρ＝10，得ρ2＝100，所以x2＋y2＝100，
所以C1为圆心是(0,0)，半径是10的圆．
由C2：ρsin＝6，得ρ＝6.
所以y－x＝12，即x－y＋12＝0，
所以C2表示直线．
(2)由于圆心(0,0)到直线x－y＋12＝0的距离为
d＝＝6
1．对于极坐标问题，重点是极坐标与直角坐标的互化公式，充分体现转化与化归的思想．
2．极坐标方程的求法，可以用直接法即直接去求极坐标方程，也可以先求曲线的直角坐标方程，再利用互化公式，将直角坐标方程化为极坐标方程．
3．要充分体会极坐标的优势，有些问题，用极坐标解决就比较方便简洁．
一、选择题
1．极坐标方程ρ＝cosθ与ρcosθ＝的图形是( )
答案 B
2．极坐标方程θ＝，θ＝(ρ>0)和ρ＝4所表示的曲线围成的图形面积是( )
A. B.
C. D.
答案 B
3．在极坐标系中，过点A(6，π)作圆ρ＝－4cosθ的切线，则切线长为( )
A．2 B．6
C．2 D．2
答案 C
4．直线l1：ρsin(θ＋α)＝a和l2：θ＝－α的位置关系是( )
A．l1∥l2 B．l1⊥l2
C．l1和l2重合 D．l1和l2斜交
答案 B
解析 由ρsin(θ＋α)＝a知，ρsinθcosα＋ρcosθsinα＝a，∴ycosα＋xsinα＝a，
即xsinα＋ycosα＝a，
∴斜率为－＝－tanα＝k1.
又k2＝tan＝，
∴k1·k2＝－1，∴两直线垂直．
5．下列极坐标方程中，对应的曲线为如图所示的图形的是( )
A．ρ＝6＋5cosθ B．ρ＝6＋5sinθ
C．ρ＝6－5cosθ D．ρ＝6－5sinθ
答案 D
解析 由图可知，当θ＝－时，ρ最大，
所以应该是ρ＝6－5sinθ.
6．下列结论中不正确的是( )
A.与关于极轴对称
B.与关于极点对称
C.与关于极轴对称
D.与关于极点对称
答案 D
解析 与是同一个点，
因此D不正确．
二、填空题
7．直线2ρcosθ＝1与圆ρ＝2cosθ相交的弦长为________．
答案
解析 直线2ρcosθ＝1可化为2x＝1，
即x＝，圆ρ＝2cosθ，
两边同乘以ρ得ρ2＝2ρcosθ，
化为直角坐标方程是x2＋y2＝2x，
即(x－1)2＋y2＝1，其圆心为(1,0)，半径为1，
∴弦长为2＝.
8．在极坐标系中，P是曲线ρ＝12sinθ上的动点，Q是曲线ρ＝12cos上的动点，则|PQ|的最大值为________．
答案 18
解析 ∵ρ＝12sinθ，∴ρ2＝12ρsinθ，∴x2＋y2－12y＝0，即x2＋(y－6)2＝36.又ρ＝12cos，∴ρ2＝12ρ，∴x2＋y2－6x－6y＝0.∴(x－3)2＋(y－3)2＝36，
∴|PQ|max＝6＋6＋＝18.
9．在极坐标系中，曲线ρ＝2sinθ与ρcosθ＝－1的交点的极坐标为________．
答案
解析 ∵∴2sinθ·cosθ＝－1，即sin2θ＝－1.
∴2θ＝，即θ＝，∴ρ＝2sin＝.
10．在极坐标系中，直线ρcosθ－ρsinθ－1＝0与圆ρ－2cosθ＝0交于A，B两点，则|AB|＝________.
答案 2
解析 ∵x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，∴直线的直角坐标方程为x－y－1＝0，由ρ－2cosθ＝0，得ρ＝2cosθ，ρ2＝2ρcosθ，又ρ2＝x2＋y2，∴x2＋y2＝2x，∴圆的直角坐标方程为(x－1)2＋y2＝1，又圆心(1,0)在直线上，∴AB为圆的直径，∴|AB|＝2.
三、解答题
11．已知定点A(a,0)，动点P对极点O和点A的张角∠OPA＝.在OP的延长线上取点Q，使|PQ|＝|PA|.当P在极轴上方运动时，求点Q的轨迹的极坐标方程．
解 设Q，P的坐标分别是(ρ，θ)，(ρ1，θ1)，则θ＝θ1，
在△POA中，ρ1＝·sin，|PA|＝，
又|OQ|＝|OP|＋|PA|，∴ρ＝2asin.
12．从极点O作直线与另一直线l：ρcosθ＝4相交于点M，在OM上取一点P，使|OM|·|OP|＝12.
(1)求点P的轨迹方程；
(2)设R为l上的任意一点，试求|RP|的最小值．
解 (1)由题意可设动点P的坐标为(ρ，θ)，M的坐标为(ρ0，θ)，
由|OM|·|OP|＝12，得ρρ0＝12.
∵点M在直线l上，∴ρ0cosθ＝4，∴ρ＝3cosθ，
即点P的轨迹方程为ρ＝3cosθ.
(2)将ρ＝3cosθ化为直角坐标方程，得x2＋y2＝3x，
即2＋y2＝.
易知点P的轨迹是以为圆心，为半径的圆．
直线l的直角坐标方程是x＝4.
结合图形(图略)易知|RP|的最小值为1.
13．在直角坐标系xOy中，直线C1：x＝－2，圆C2：(x－1)2＋(y－2)2＝1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
(1)求C1，C2的极坐标方程；
(2)若直线C3的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)，设C2与C3的交点为M，N，求△C2MN的面积．
解 (1)由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，
得C1的极坐标方程为ρcosθ＝－2，
C2的极坐标方程为ρ2－2ρcosθ－4ρsinθ＋4＝0.
(2)将θ＝代入ρ2－2ρcosθ－4ρsinθ＋4＝0，
得ρ2－3ρ＋4＝0，解得ρ1＝2，ρ2＝，
故|ρ1－ρ2|＝，即|MN|＝.
由于C2的半径为1，所以△C2MN为等腰直角三角形，
故其面积为×1×1＝.
四、探究与拓展
14．如果直线ρ＝与直线l关于极轴对称，那么直线l的极坐标方程是________．
答案 ρ＝
解 设M(ρ，θ)是直线l上的任意一点，则M(ρ，θ)关于极轴的对称点M′(ρ，－θ)必在直线ρ＝上，
∴ρ＝，即ρ＝.
15．已知如图点O为极点，OR为圆ρ＝acosθ的弦，在直线OR上取点P和点Q，使得|RP|＝|RQ|＝a，当点R在圆上移动时，试求点P和点Q的轨迹方程．
解 设P(ρ，θ)，R(ρ0，θ0)，则θ0＝θ，ρ＝ρ0＋a，
∴∵R在圆ρ＝acosθ上，即ρ0＝acosθ0，
∴ρ－a＝acosθ，即ρ＝acosθ＋a.
设Q(ρ，θ)，R(ρ0，θ0)则θ0＝θ，ρ＝ρ0－a，∴
∴ρ＋a＝acosθ，即ρ＝acosθ－a.
∴点P的轨迹方程为ρ＝acosθ＋a，
点Q的轨迹方程为ρ＝acosθ－a.