第2讲 1 第1课时 参数方程的概念及圆的参数方程学案

一　曲线的参数方程
第1课时　参数方程的概念及圆的参数方程
学习目标　1.理解曲线参数方程的有关概念.2.掌握圆的参数方程.3.能够根据圆的参数方程解决最值问题．
知识点一　参数方程的概念
思考　在生活中，两个陌生的人通过第三方建立联系，那么对于曲线上点的坐标(x，y)，直接描述它们之间的关系比较困难时，可以怎么办呢？
答案　可以引入参数，作为x，y联系的桥梁．
梳理　参数方程的概念
(1)参数方程的定义
在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x，y都是某个变数t(θ，φ，…)的函数①并且对于t的每一个允许值，由方程组①所确定的点M(x，y)都在这条曲线上，那么方程①就叫做这条曲线的参数方程，t叫做参数，相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫普通方程．
(2)参数的意义
参数是联系变数x，y的桥梁，可以是有物理意义或几何意义的变数，也可以是没有明显实际意义的变数．
特别提醒：普通方程和参数方程是同一曲线的两种不同表达形式，参数方程可以与普通方程进行互化．
知识点二　圆的参数方程
思考　如图，角θ的终边与单位圆交于一点P，P的坐标如何表示？
答案　P(cosθ，sinθ)，由任意角的三角函数的定义即x＝cosθ，y＝sinθ.
梳理　圆的参数方程
圆心和半径
圆的普通方程
圆的参数方程
圆心O(0,0)，半径r
x2＋y2＝r2
(θ为参数)
圆心C(a，b)，半径r
(x－a)2＋(y－b)2＝r2
(θ为参数)
类型一　参数方程及应用
例1　已知曲线C的参数方程是(t为参数)．
(1)判断点M1(0,1)，M2(5,4)与曲线C的位置关系；
(2)已知点M3(6，a)在曲线C上，求a的值．
解　(1)把点M1的坐标(0,1)代入方程组，
得解得t＝0.
∴点M1在曲线C上．
同理可知，点M2不在曲线C上．
(2)∵点M3(6，a)在曲线C上，
∴解得t＝2，a＝9.∴a＝9.
反思与感悟　参数方程是曲线方程的另一种表达形式，点与曲线位置关系的判断，与平面直角坐标普通方程下的判断方法是一致的．
跟踪训练1　在平面直角坐标系中，已知曲线C的参数方程是(θ为参数)．
(1)求曲线C上的点Q(－，－3)对应的参数θ的值；
(2)若点P(m，－1)在曲线C上，求m的值．
解　(1)把点Q的坐标(－，－3)代入参数方程，
得即
解得θ＝＋2kπ(k∈Z)，故曲线上的点Q对应的参数θ的值是＋2kπ(k∈Z)．
(2)把点P的坐标(m，－1)代入参数方程，
得
解得sinθ＝，故cosθ＝±，即m＝±，
即所求m的值是±.
类型二　求曲线的参数方程
例2　如图，△ABP是等腰直角三角形，∠B是直角，腰长为a，顶点B，A分别在x轴、y轴上滑动，求点P在第一象限的轨迹的参数方程．
解　方法一　设点P(x，y)，过P点作x轴的垂线交x轴于点Q.如图所示，则
Rt△OAB≌Rt△QBP.
取OB＝t，t为参数(0∵|OA|＝，
∴|BQ|＝.
又∵|PQ|＝|OB|＝t，
∴点P在第一象限的轨迹的参数方程为
(0方法二　设点P(x，y)，过点P作x轴的垂线交x轴于点Q，如图所示．
取∠QBP＝θ，θ为参数，
则∠ABO＝－θ，
在Rt△OAB中，|OB|＝acos＝asinθ.
在Rt△QBP中，|BQ|＝acosθ，|PQ|＝asinθ.
∴点P在第一象限的轨迹的参数方程为
(θ为参数，0<θ<)．
反思与感悟　求曲线参数方程的主要步骤
(1)画出轨迹草图，设M(x，y)是轨迹上任意一点的坐标．
(2)选择适当的参数，参数的选择要考虑以下两点
①曲线上每一点的坐标x，y与参数的关系比较明显，容易列出方程；
②x，y的值可以由参数惟一确定．
(3)根据已知条件、图形的几何性质、问题的物理意义等，建立点的坐标与参数的函数关系式，证明可以省略．
跟踪训练2　长为3的线段两端点A，B分别在x轴正半轴和y轴正半轴上滑动，＝3，点P的轨迹为曲线C.
(1)以直线AB的倾斜角α为参数，求曲线C的参数方程；
(2)求点P到点D(0，－2)距离的最大值．
解　(1)设P(x，y)，由题意，得
x＝|AB|cos(π－α)＝－2cosα，
y＝|AB|sin(π－α)＝sinα.
所以曲线C的参数方程为
(α为参数，<α<π)
(2)由(1)得|PD|2＝(－2cosα)2＋(sinα＋2)2
＝4cos2α＋sin2α＋4sinα＋4
＝－3sin2α＋4sinα＋8
＝－32＋.
当sinα＝时，|PD|取得最大值.
类型三　圆的参数方程及应用
例3　如图，圆O的半径为2，P是圆O上的动点，Q(4,0)在x轴上．M是PQ的中点，当点P绕O作匀速圆周运动时，
(1)求点M的轨迹的参数方程，并判断轨迹所表示的图形；
(2)若(x，y)是M轨迹上的点，求x＋2y的取值范围．
解　(1)设点M(x，y)，令∠xOP＝θ，
则圆O的参数方程为(θ为参数)，
∴点P的坐标为(2cosθ，2sinθ)．又Q(4,0)，
∴x＝＝cosθ＋2，
y＝＝sinθ.
∴点M的轨迹的参数方程为(θ为参数)．
由参数方程知，点M的轨迹是以(2,0)为圆心，1为半径的圆．
(2)x＋2y＝cosθ＋2＋2sinθ＝sin(θ＋φ)＋2，tanφ＝.
∵－1≤sin(θ＋φ)≤1，
∴－＋2≤x＋2y≤＋2.
即x＋2y的取值范围是[－＋2，＋2]．
反思与感悟　(1)圆的参数方程中的参数是角，所以圆上的点的坐标是三角函数．
(2)运用圆的参数方程，可以将相关问题转化为三角函数问题，利用三角函数知识解决问题．
跟踪训练3　已知实数x，y满足(x－1)2＋(y－1)2＝9，求x2＋y2的最大值和最小值．
解　由已知，可把点(x，y)视为圆(x－1)2＋(y－1)2＝9上的点，设(θ为参数)．
则x2＋y2＝(1＋3cosθ)2＋(1＋3sinθ)2
＝11＋6(sinθ＋cosθ)＝11＋6sin.
∵－1≤sin≤1，
∴11－6≤x2＋y2≤11＋6.
∴x2＋y2的最大值为11＋6，最小值为11－6.
1．下列方程：
①(m为参数)；②(m，n为参数)；
③④x＋y＝0中，参数方程的个数为(　　)
A．1B．2C．3D．4
答案　A
2．曲线(θ为参数)围成图形的面积等于(　　)
A．πB．2πC．3πD．4π
答案　D
3．圆C：(θ为参数)的圆心坐标为________，和圆C关于直线x－y＝0对称的圆C′的普通方程是________________________________________________________．
答案　(3，－2)　(x＋2)2＋(y－3)2＝16(或x2＋y2＋4x－6y－3＝0)
解析　将参数方程化为标准方程，得
(x－3)2＋(y＋2)2＝16，
故圆心坐标为(3，－2)．
点P(3，－2)关于直线y＝x的对称点为P′(－2,3)，
则圆C关于直线y＝x对称的圆C′的普通方程为
(x＋2)2＋(y－3)2＝16(或x2＋y2＋4x－6y－3＝0)．
4．已知(t为参数)，若y＝1，则x＝________.
答案　0或2
解析　∵y＝t2＝1，
∴t＝±1.∴x＝1＋1＝2或x＝－1＋1＝0.
5．若P(2，－1)为圆O′：(0≤θ<2π)的弦的中点，则该弦所在直线l的方程为________．
答案　x－y－3＝0
解析　圆心O′(1,0)，∴kO′P＝－1，即直线l的斜率为1.
∴直线l的方程为x－y－3＝0.
1．参数方程
(1)参数的作用：参数是间接地建立横、纵坐标x，y之间的关系的中间变量，起到了桥梁的作用．
(2)参数方程是通过变数反映坐标变量x与y之间的间接联系．
2．求曲线参数方程的步骤
第一步，建系，设M(x，y)是轨迹上任意一点；
第二步，选参数，比如选参数t；
第三步，建立x，y与参数间的关系，即
一、选择题
1．若点P(4，a)在曲线(t为参数)上，则a等于(　　)
A．4B．4C．8D．1
答案　B
解析　根据题意，将点P的坐标代入曲线方程中，得?
2．下列的点在曲线(θ为参数)上的是(　　)
A. B.
C．(－2，) D．(1，)
答案　B
解析　由参数方程
得y2＝1＋x，只有B项中的点符合上式．
3．已知O为原点，参数方程(θ为参数)上的任意一点为A，则|OA|等于(　　)
A．1B．2C．3D．4
答案　A
解析　|OA|＝＝＝1，故选A.
4．参数方程(t为参数)表示的曲线是(　　)
A．两条直线 B．一条射线
C．两条射线 D．双曲线
答案　C
解析　当t＞0时，是一条射线；
当t＜0时，也是一条射线，故选C.
5．圆心为点(－1,2)，半径为5的圆的参数方程为(　　)
A.(0≤θ<2π)
B.(0≤θ<2π)
C.(0≤θ<π)
D.(0≤θ<2π)
答案　D
解析　圆心为点C(a，b)，半径为r的圆的参数方程为(θ∈[0,2π))．故圆心为点(－1,2)，半径为5的圆的参数方程为(0≤θ<2π)．
6．设曲线C的参数方程为(θ为参数)，直线l的方程为x－3y＋2＝0，则曲线C上到直线l的距离为的点的个数为(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
答案　B
解析　由得(x－2)2＋(y＋1)2＝9.
曲线C表示以点(2，－1)为圆心，以3为半径的圆，
则圆心C(2，－1)到直线l的距离d＝＝<3，
所以直线与圆相交，所以过圆心(2，－1)与l平行的直线与圆的2个交点满足题意，又3－d<，故满足题意的点有2个．
二、填空题
7．若点(－3，－3)在曲线(θ为参数)上，则θ＝________________.
答案　＋2kπ，k∈Z
解析　将点(－3，－3)代入参数方程(θ为参数)，得解得θ＝＋2kπ，k∈Z.
8．已知圆C的参数方程为(α为参数)，以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsinθ＝1，则直线l与圆C的交点的直角坐标为________．
答案　(－1,1)，(1,1)
解析　由圆C的参数方程为可求得其在直角坐标系下的方程为x2＋(y－1)2＝1，由直线l的极坐标方程ρsinθ＝1，可求得其在直角坐标系下的方程为y＝1，由可解得所以直线l与圆C的交点的直角坐标为(－1,1)，(1,1)．
9．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：(θ为参数)和直线l：3x＋4y－10＝0，则直线l与圆C相交所得的弦长等于________．
答案　4
解析　由圆C的参数方程(θ为参数)，可得圆C的圆心为(－1,2)，半径为5，
又直线l的方程为3x＋4y－10＝0，
∴圆心到直线l的距离d＝＝1，
∴直线l与圆C相交所得的弦长为2＝4.
10．若x，y满足(x－1)2＋(y＋2)2＝4，则2x＋y的最小值为________．
答案　－2
解析　令x－1＝2cosθ，y＋2＝2sinθ，
则有x＝2cosθ＋1，y＝2sinθ－2，
故2x＋y＝4cosθ＋2＋2sinθ－2＝4cosθ＋2sinθ
＝2sin(θ＋φ)，tanφ＝2.
∴－2≤2x＋y≤2.
即2x＋y的最小值为－2.
三、解答题
11．已知直线y＝x与曲线(α为参数)相交于两点A和B，求弦长|AB|.
解　由得
∴(x－1)2＋(y－2)2＝4，
其圆心为(1,2)，半径r＝2，
则圆心(1,2)到直线y＝x的距离
d＝＝.
∴|AB|＝2＝2＝.
12．已知曲线C：(θ为参数)，如果曲线C与直线x＋y＋a＝0有公共点，求实数a的取值范围．
解　∵∴x2＋(y＋1)2＝1.
∵圆与直线有公共点，则d＝≤1，
解得1－≤a≤1＋.
即实数a的取值范围是[1－，1＋]．
13.如图所示，OA是圆C的直径，且|OA|＝2a，射线OB与圆交于Q点，和经过A点的切线交于B点，作PQ⊥OA，PB∥OA，试求P点的轨迹方程．
解　设点P(x，y)是轨迹上任意一点，取∠DOQ＝θ，
由PQ⊥OA，PB∥OA，得
x＝OD＝|OQ|cosθ＝|OA|cos2θ＝2acos2θ，
y＝AB＝|OA|tanθ＝2atanθ.
所以P点的轨迹的参数方程为
θ∈.
四、探究与拓展
14．设Q(x1，y1)是单位圆x2＋y2＝1上一个动点，则动点P(x－y，x1y1)的轨迹的参数方程是________．
答案　
解析　设x1＝cosθ，y1＝sinθ，P(x，y)．
则即为所求．
15．在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为ρ＝2cosθ，θ∈.
(1)求C的参数方程；
(2)设点D在曲线C上，曲线C在D处的切线与直线l：y＝x＋2垂直，根据(1)中你得到的参数方程，确定D的坐标．
解　(1)半圆C的普通方程为(x－1)2＋y2＝1(0≤y≤1)．
可得半圆C的参数方程为(t为参数，0≤t≤π)．
(2)设D(1＋cost，sint)．
由(1)知曲线C是以C(1,0)为圆心，1为半径的上半圆．
因为C在点D处的切线与l垂直，
所以直线CD与l的斜率相同，tant＝，t＝.
故D的直角坐标为，即.