第2讲 1 第2课时 参数方程和普通方程的互化 学案

第2课时　参数方程和普通方程的互化
学习目标　1.了解参数方程化为普通方程的意义.2.掌握参数方程化为普通方程的基本方法.
3.能根据参数方程与普通方程的互化灵活解决问题．
知识点　参数方程和普通方程的互化
思考1　要判断一个点是否在曲线上，你觉得用参数方程方便还是用普通方程方便？
答案　用普通方程比较方便．
思考2　把参数方程化为普通方程的关键是什么？
答案　关键是消参数．
梳理　(1)曲线的普通方程和参数方程的互相转化
①曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式．一般地，可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程；
②如果知道变数x，y中的一个与参数t的关系，例如x＝f(t)，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y＝g(t)，那么就是曲线的参数方程．
(2)参数方程化为普通方程的三种常用方法
①代入法：利用解方程的技巧求出参数t，然后代入消去参数；
②三角函数法：利用三角恒等式消去参数；
③整体消元法：根据参数方程本身的结构特征，从整体上消去．
特别提醒：化参数方程为普通方程F(x，y)＝0，在消参过程中注意变量x，y的取值范围，必须根据参数的取值范围，确定f(t)和g(t)的值域得x，y的取值范围.
类型一　参数方程化为普通方程
例1　将下列参数方程化为普通方程，并判断曲线的形状．
(1)(t为参数)；(2)(θ为参数)；(3)(t≠－1，t为参数)．
解　(1)由x＝＋1≥1，得＝x－1，代入y＝1－2，
得y＝－2x＋3(x≥1)，这是以(1,1)为端点的一条射线．
(2)由得
①2＋②2，得＋＝1，这是椭圆．
(3)方法一　x＋y＝＋＝＝1，
又x＝＝－1，故x≠－1，
y＝＝＝2－，故y≠2，
所以所求的方程为x＋y＝1(x≠－1，y≠2)．
方程表示直线(去掉一点(－1,2))．
方法二　由x＝，所以x＋xt＝1－t，
所以(x＋1)t＝1－x，即t＝，代入y中得，
y＝＝＝＝1－x，
所以x＋y＝1(x≠－1，y≠2)．
方程表示直线(去掉一点(－1,2))．
反思与感悟　消去参数方程中参数的技巧
(1)加减消参数法：如果参数方程中参数的符号相等或相反，常常利用两式相减或相加的方法消去参数．
(2)代入消参数法：利用方程思想，解出参数的值，代入另一个方程消去参数的方法，称为代入消参法，这是非常重要的消参方法．
(3)三角函数式消参数法：利用三角函数基本关系式sin2θ＋cos2θ＝1消去参数θ.
跟踪训练1　将下列参数方程化为普通方程：
(1)(t为参数)；
(2)(θ为参数)．
解　(1)∵x＝t＋，∴x2＝t2＋＋2，
把y＝t2＋代入得x2＝y＋2.
又∵当t>0时，x＝t＋≥2，当且仅当t＝1时等号成立；当t<0时，x＝t＋≤－2，当且仅当t＝－1时等号成立．∴x≥2或x≤－2，
∴普通方程为x2＝y＋2(x≥2或x≤－2)．
(2)可化为
两式平方相加得(x－2)2＋y2＝9，
即普通方程为(x－2)2＋y2＝9.
类型二　普通方程化为参数方程
例2　已知圆C的方程为x2＋y2－2x＝0，根据下列条件，求圆C的参数方程．
(1)以过原点的直线的倾斜角θ为参数；
(2)设x＝2m，m为参数．
解　(1)过原点且倾斜角为θ的直线方程为y＝xtanθ，
由方程组
消去y，得x2＋x2tan2θ－2x＝0，
解得x＝0或x＝＝＝2cos2θ.
当x＝0时，y＝0，当x＝2cos2θ时，y＝xtanθ＝2cosθ·sinθ＝sin2θ.
又适合参数方程
∴所求圆C的参数方程为(θ为参数，0≤θ<π)．
(2)把x＝2m代入圆C的普通方程，得4m2＋y2－4m＝0，
可得y2＝4m－4m2，即y＝±2，
∴所求圆C的参数方程为(m为参数)．
反思与感悟　(1)普通方程化为参数方程时，选取参数后，要特别注意参数的取值范围，它将决定参数方程是否与普通方程等价．
(2)参数的选取不同，得到的参数方程是不同的．
跟踪训练2　已知曲线的普通方程为4x2＋y2＝16.
(1)若令y＝4sinθ(θ为参数)，如何求曲线的参数方程？
(2)若令y＝t(t为参数)，如何求曲线的参数方程？若令x＝2t(t为参数)，如何求曲线的参数方程？
解　(1)把y＝4sinθ代入方程，得到4x2＋16sin2θ＝16，
于是4x2＝16－16sin2θ＝16cos2θ，
∴x＝±2cosθ(由θ的任意性可取x＝2cosθ)．
∴4x2＋y2＝16的参数方程是
(θ为参数)．
(2)将y＝t代入普通方程4x2＋y2＝16，得4x2＋t2＝16，
则x2＝，∴x＝±.
因此，椭圆4x2＋y2＝16的参数方程是
和(t为参数)
同理将x＝2t代入普通方程4x2＋y2＝16，得参数方程为和(t为参数)．
类型三　参数方程与普通方程互化的应用
例3　已知x，y满足圆C：x2＋(y－1)2＝1的方程，直线l的参数方程为(t为参数)．
(1)求3x＋4y的最大值和最小值；
(2)若P(x，y)是圆C上的点，求P到直线l的最小距离，并求此时点P的坐标．
解　圆C的参数方程为(θ为参数)，
直线l的普通方程为x＋y－5＝0.
(1)3x＋4y＝3cosθ＋4sinθ＋4＝5sin(θ＋φ)＋4，tanφ＝，
∴3x＋4y的最大值为9，最小值为－1.
(2)P到直线l的距离为
d＝＝，
当θ＋＝，即θ＝时，dmin＝1，
此时，x＝cos＝，y＝sin＋1＝，
∴点P的坐标为.
反思与感悟　(1)参普互化有利于问题的解决，根据需要，合理选择用参数方程还是普通方程．
(2)解决与圆有关的最大值，最小值问题时，通常用圆的参数方程，将问题转化为求三角函数的最大值，最小值问题．
跟踪训练3　在平面直角坐标系xOy中，直线l的方程为x－y＋4＝0.以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ2－4ρcos＋6＝0.
(1)求直线l的极坐标方程，曲线C的直角坐标方程；
(2)若点P是曲线C上任意一点，P点的直角坐标为(x，y)，求x＋2y的最大值和最小值．
解　(1)直线l的方程为x－y＋4＝0，
因为x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，
所以l的极坐标方程为ρcosθ－ρsinθ＋4＝0.
又曲线C的极坐标方程为ρ2－4ρcos＋6＝0，
所以ρ2－4ρcosθ－4ρsinθ＋6＝0，
因为ρ2＝x2＋y2，x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，
所以曲线C的直角坐标方程为(x－2)2＋(y－2)2＝2.
(2)由(1)知曲线C的参数方程为
(θ为参数)，
所以x＋2y＝(2＋cosθ)＋2(2＋sinθ)
＝6＋(cosθ＋2sinθ)＝6＋sin(θ＋φ)，tanφ＝.
当sin(θ＋φ)＝－1时，x＋2y有最小值6－，
当sin(θ＋φ)＝1时，x＋2y有最大值6＋.
1．若点P在曲线ρcosθ＋2ρsinθ＝3上，其中0≤θ≤，ρ>0，则点P的轨迹是(　　)
A．直线x＋2y＝3
B．以(3,0)为端点的射线
C．圆(x－1)2＋y2＝1
D．以(1,1)，(3,0)为端点的线段
答案　D
2．将参数方程(θ为参数)化成普通方程为(　　)
A．y＝x－2 B．y＝x＋2
C．y＝x－2(2≤x≤3) D．y＝x＋2(0≤y≤1)
答案　C
解析　由x＝2＋sin2θ，得sin2θ＝x－2，代入y＝sin2θ，
∴y＝x－2.
又sin2θ＝x－2∈[0,1]，∴x∈[2,3]．
3．参数方程(θ为参数)表示的曲线的普通方程是_____________________．
答案　y2＝x＋1(－1≤x≤1)
4．将参数方程(t为参数)化成普通方程为____________________．
答案　x2－y＝2(y≥2)
解析　由x＝t＋，得x2＝t2＋＋2，
又y＝t2＋，∴x2＝y＋2.∵t2＋≥2，∴y≥2.
5．参数方程(φ为参数)表示的图形是________．
答案　圆
解析　x2＋y2＝(3cosφ＋4sinφ)2＋(4cosφ－3sinφ)2＝25，表示圆．
1．参数方程和普通方程的互化
参数方程化为普通方程，可通过代入消元法和三角恒等式消参法消去参数方程中的参数，通过曲线的普通方程来判断曲线的类型，研究曲线的性质．
由普通方程化为参数方程要选定恰当的参数，寻求曲线上任一点M的坐标(x，y)和参数的关系，根据实际问题的要求，可以选择时间、角度、线段长度、直线的斜率、截距等作为参数．
2．同一问题参数的选择往往不是惟一的，适当地选择参数，可以简化解题的过程，降低计算量，提高准确率．
3．参数方程与普通方程的等价性
把参数方程化为普通方程后，很容易改变变量的取值范围，从而使得两种方程所表示的曲线不一致，因此我们要注意参数方程与普通方程的等价性．
一、选择题
1．曲线(θ为参数)的方程等价于(　　)
A．x＝ B．y＝
C．y＝± D．x2＋y2＝1
答案　A
2．已知直线l：(t为参数)与圆C：(θ为参数)，则直线l的倾斜角及圆心C的直角坐标分别为(　　)
A.，(1,0) B.，(－1,0)
C.，(1,0) D.，(－1,0)
答案　C
3．参数方程(θ为参数)化为普通方程是(　　)
A．2x－y＋4＝0
B．2x＋y－4＝0
C．2x－y＋4＝0，x∈[2,3]
D．2x＋y－4＝0，x∈[2,3]
答案　D
解析　由条件可得cos2θ＝y＋1＝1－2sin2θ＝1－2(x－2)，化简可得2x＋y－4＝0，x∈[2,3]．
4．过原点作倾斜角为θ的直线与圆(α为参数)相切，则θ等于(　　)
A. B.
C.或 D.
答案　C
解析　直线为y＝xtanθ，圆为(x－4)2＋y2＝4，直线与圆相切时，易知tanθ＝±，∴θ＝或.
5．下列参数方程中，与普通方程y2＝x表示同一曲线的是(　　)
A.(t为参数) B.(t为参数)
C.(t为参数) D.(t为参数)
答案　D
解析　由参数方程消去参数t，可得y2＝x.
又参数方程满足x≥0，y∈R，故选D.
二、填空题
6．设y＝tx(t为参数)，则圆x2＋y2－4y＝0的参数方程是____________________．
答案　(t为参数)
解析　把y＝tx代入x2＋y2－4y＝0，
得x＝或x＝0，
当x＝0时，y＝0，当x＝时，y＝，
又适合参数方程
∴参数方程为(t为参数)．
7．若曲线的参数方程为(k为参数)，则其普通方程为________________．
答案　4x2＋y2－y＝0(0解析　由(k为参数)两式相除，得k＝－，代入y＝，
得4x2＋y2－y＝0.
由于y＝∈(0,1]，
所以曲线的普通方程为4x2＋y2－y＝0(08．在平面直角坐标系中，倾斜角为的直角l与曲线C：(α为参数)交于A，B两点，且|AB|＝2，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，则直线l的极坐标方程是________________．
答案　ρ(cosθ－sinθ)＝1
解析　设倾斜角为的直线l的方程为y＝x＋b，曲线C：(α为参数)的普通方程为(x－2)2＋(y－1)2＝1，圆心C(2,1)到直线x－y＋b＝0的距离为d＝，依题意，得|AB|＝2＝2，即1－2＝1，解得b＝－1，所以直线方程为x－y－1＝0，化为极坐标方程为ρcosθ－ρsinθ＝1，
即ρ(cosθ－sinθ)＝1为所求．
9．过点M(2,1)作曲线C：(θ为参数)的弦，使M为弦的中点，则此弦所在直线的普通方程为________．
答案　2x＋y－5＝0
解析　由于曲线表示圆心在原点，半径为4的圆，所以过点M的弦与线段OM垂直，
因为kOM＝，所以弦所在直线的斜率是－2，
故所求直线方程为y－1＝－2(x－2)，
即2x＋y－5＝0为所求．
10．已知在平面直角坐标系xOy中圆C的参数方程为(θ为参数)，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为ρcos＝0，则圆C截直线所得弦长为________．
答案　4
解析　圆C的参数方程为
圆心为(，1)，半径为3，直线的普通方程为ρ＝x－y＝0，
即x－y＝0，圆心C(，1)到直线x－y＝0的距离为d＝＝1，所以圆C截直线所得弦长|AB|＝2＝2＝4.
三、解答题
11．将参数方程(a，b为大于0的常数，t为参数)化为普通方程，并判断曲线的形状．
解　因为x＝，
所以t>0时，x∈[a，＋∞)，t<0时，x∈(－∞，－a]．
由x＝两边平方，可得
x2＝，①
由y＝两边平方，可得
y2＝，②
①×－②×并化简，得－＝1(a，b为大于0的常数)．
所以普通方程为－＝1(a>0，b>0)．
所以方程表示焦点在x轴上的双曲线．
12．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(α为参数，r为常数，r>0)以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcos＋2＝0.若直线l与曲线C交于A，B两点，且|AB|＝2，求r的值．
解　由ρcos＋2＝0，
得ρcosθ－ρsinθ＋2＝0，
即直线l的方程为x－y＋2＝0.
由得曲线C的普通方程为x2＋y2＝r2，圆心坐标为(0,0)，
所以，圆心到直线的距离d＝，
由|AB|＝2＝2，得r＝2.
13．已知曲线C1的参数方程为(θ为参数)，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2cosθ＋6sinθ.
(1)将曲线C1的参数方程化为普通方程，将曲线C2的极坐标方程化为直角坐标方程；
(2)曲线C1，C2是否相交？若相交，请求出公共弦的长；若不相交，请说明理由．
解　(1)由(θ为参数)，
得(x＋2)2＋y2＝10，
∴曲线C1的普通方程为(x＋2)2＋y2＝10.
∵ρ＝2cosθ＋6sinθ，
∴ρ2＝2ρcosθ＋6ρsinθ，
∴x2＋y2＝2x＋6y，即(x－1)2＋(y－3)2＝10，
∴曲线C2的直角坐标方程为(x－1)2＋(y－3)2＝10.
(2)∵圆C1的圆心为C1(－2,0)，圆C2的圆心为C2(1,3)，
∴|C1C2|＝＝3<2，
∴两圆相交．
设公共弦的长为d，
∵两圆半径相等，∴公共弦平分线段C1C2，
∴2＋2＝()2，解得d＝，
∴公共弦长为.
四、探究与拓展
14．在极坐标系中，圆C1的方程为ρ＝4cos，以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，圆C2的参数方程为(θ为参数)，若圆C1与C2相切，则实数a＝________.
答案　±或±5
解析　圆C1的直角坐标方程为x2＋y2＝4x＋4y，其标准方程为(x－2)2＋(y－2)2＝8，圆心坐标为(2,2)，半径长为2.圆C2的圆心坐标为(－1，－1)，半径长为|a|，由于圆C1与圆C2相切，则|C1C2|＝2＋|a|＝3或|C1C2|＝|a|－2＝3?a＝±或a＝±5.
15．在直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为(t为参数)．以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝2sinθ.
(1)求曲线C的直角坐标方程；
(2)若P(x，y)在直线l上，且在曲线C内，求x－y的取值范围；
(3)若Q(x，y)在曲线C上，求Q到直线l的最大距离dmax.
解　(1)因为ρ＝2sinθ，
所以ρ2＝2ρsinθ，
所以x2＋y2＝2y，
即x2＋(y－1)2＝1，
所以曲线C的直角坐标方程为x2＋(y－1)2＝1.
(2)因为x－y＝t－＝－t－1，
又－1所以－<－t<，
所以－<－t－1<－，
即x－y的取值范围是.
(3)曲线C的参数方程为(θ为参数)，
直线l的普通方程为4x－3y＋3＝0，
d＝＝|sin(θ－φ)|，tan φ＝，所以dmax＝1.