第2讲 2 圆锥曲线的参数方程学案

二　圆锥曲线的参数方程
学习目标　1.掌握椭圆的参数方程及应用.2.了解双曲线、抛物线的参数方程.3.能够利用圆锥曲线的参数方程解决最值、有关点的轨迹问题．
知识点一　椭圆的参数方程
思考1　圆x2＋y2＝r2的参数方程的参数θ的几何意义是什么？
答案　是点(rcosθ，rsinθ)绕点O逆时针旋转的旋转角．
思考2　对于椭圆＋＝1(a>b>0)，若令x＝acosφ(φ为参数)，那么椭圆＋＝1的参数方程是什么？
答案　(φ为参数)．
梳理　(1)椭圆的参数方程
普通方程
参数方程
＋＝1(a>b>0)
(φ为参数)
(2)φ是点M(acosφ，bsinφ)的离心角．
知识点二　双曲线的参数方程
思考1　化简2－tan2φ，它的值等于什么？
答案　2－tan2φ＝1.
思考2　令y＝btanφ(φ为参数)，写出－＝1(a>0，b>0)的参数方程．
答案　(φ为参数)．
梳理　令＝secφ.
双曲线的参数方程
普通方程
参数方程
－＝1(a>0，b>0)
(φ为参数)
知识点三　抛物线的参数方程
1．抛物线的参数方程
普通方程
参数方程
y2＝2px
(α为参数)
y2＝2px
(t为参数)
2.参数的几何意义
(1)α表示OM的倾斜角．
(2)t＝.当t＝0时，表示原点.
类型一　椭圆的参数方程
命题角度1　利用参数方程求最值
例1　已知实数x，y满足＋＝1，求目标函数z＝x－2y的最大值与最小值．
解　椭圆＋＝1的参数方程为(φ为参数)，
代入目标函数，得z＝5cosφ－8sinφ＝cos(φ＋φ0)
＝cos(φ＋φ0)(tanφ0＝)．
所以目标函数zmin＝－，zmax＝.
反思与感悟　利用椭圆的参数方程，求目标函数的最大(小)值，通常是利用辅助角公式转化为三角函数求解．
跟踪训练1　已知曲线C1的参数方程是(φ为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ＝2，正方形ABCD的顶点都在C2上，且A，B，C，D依逆时针次序排序，点A的极坐标为.
(1)求点A，B，C，D的直角坐标；
(2)求曲线C1的普通方程，判断曲线形状；
(3)设点P为C1上任意一点，求|PA|2＋|PB|2＋|PC|2＋|PD|2的取值范围．
解　(1)由曲线C2的极坐标方程ρ＝2可知，
曲线C2是圆心在极点，半径为2的圆，
正方形ABCD的顶点都在C2上，且A，B，C，D依逆时针次序排列，点A的极坐标为.故B，
由对称性，得直角坐标分别为A(1，)，B(－，1)，C(－1，－)，D(，－1)．
(2)由曲线C1的参数方程，得
两式平方相加，得＋＝1.
所以曲线是焦点在y轴上的椭圆．
(3)由点P为曲线C1：上任意一点，
得P(2cosφ，3sinφ)，
则|PA|2＋|PB|2＋|PC|2＋|PD|2
＝(2cosφ－1)2＋(3sinφ－)2＋(2cosφ＋)2＋(3sinφ－1)2＋(2cosφ＋1)2＋(3sinφ＋)2＋(2cosφ－)2＋(3sinφ＋1)2
＝16cos2φ＋36sin2φ＋16＝32＋20sin2φ，
因为32≤32＋20sin2φ≤52，
所以|PA|2＋|PB|2＋|PC|2＋|PD|2的取值范围是[32,52]．
命题角度2　利用参数方程求轨迹方程
例2　已知A，B分别是椭圆＋＝1的右顶点和上顶点，动点C在该椭圆上运动，求△ABC的重心G的轨迹方程．
解　由题意知A(6,0)，B(0,3)．由于动点C在椭圆上运动，故可设动点C的坐标为(6cosθ，3sinθ)，点G的坐标设为(x，y)，由三角形重心的坐标公式，可得
即
消去参数θ，得＋(y－1)2＝1.
反思与感悟　本类题的解法体现了椭圆的参数方程对于解决求轨迹方程问题的优越性，运用参数方程显得很简单，运算更简便．
跟踪训练2　已知点A在椭圆＋＝1上运动，点B(0,9)，点M在线段AB上，且＝，试求动点M的轨迹方程．
解　由题意知B(0,9)，设A(12cosα，6sinα)，M(x，y)，
则x＝＝8cosα，
y＝＝4sinα＋3，
∴动点M的轨迹的参数方程是(α是参数)，消去参数α，得＋＝1.
类型二　双曲线的参数方程
例3　已知等轴双曲线C的实轴长为2，焦点在x轴上．
(1)求双曲线的普通方程和参数方程；
(2)已知点P(0,1)，点Q在双曲线C上，求|PQ|的最小值．
解　(1)设等轴双曲线C的普通方程为x2－y2＝a2(a>0)，
依题意，得2a＝2，所以a＝1，
所以x2－y2＝1，化为参数方程为
(φ为参数)．
(2)因为点P(0,1)，Q在双曲线C上，
设Q(secφ，tanφ)，
则|PQ|＝
＝
＝
＝≥＝.
当且仅当tanφ＝时，|PQ|min＝.
反思与感悟　双曲线的参数方程中，常用的三角函数关系式为sin2φ＋cos2φ＝1?1＋tan2φ＝＝sec2φ?sec2φ－tan2φ＝1.
跟踪训练3　设P为等轴双曲线x2－y2＝1上的一点，F1和F2为两个焦点，证明：|F1P|·|F2P|＝|OP|2.
证明　如图，
设双曲线上的动点为P(x，y)，焦点F1(－，0)，F2(，0)，双曲线的参数方程为(θ为参数)，
则(|F1P|·|F2P|)2
＝[(secθ＋)2＋tan2θ]·[(secθ－)2＋tan2θ]
＝(sec2θ＋2secθ＋2＋tan2θ)(sec2θ－2secθ＋2＋tan2θ)＝(secθ＋1)2(secθ－1)2＝(2sec2θ－1)2.
又|OP|2＝sec2θ＋tan2θ＝2sec2θ－1，
由此得|F1P|·|F2P|＝|OP|2.
类型三　抛物线的参数方程
例4　已知抛物线C的参数方程为(t为参数)．若斜率为1的直线经过抛物线C的焦点，且与圆(x－4)2＋y2＝r2(r>0)相切，则r＝________.
答案　
解析　由题意知抛物线的普通方程为y2＝8x，其焦点为(2,0)，过焦点且斜率为1的直线方程为x－y－2＝0，由题意知圆心(4,0)到直线的距离d＝＝，即半径r＝.
反思与感悟　在解决问题时，根据题目特征，合理选择使用参数方程还是普通方程，所以熟练进行参数方程和普通方程的互化，是解题的必备技能．
跟踪训练4　将方程(t为参数)化为普通方程是________．
答案　y＝x2
解析　由y＝＝＝tan2t，
将tant＝x代入上式，得y＝x2，即为所求方程．
1．参数方程(φ为参数)表示(　　)
A．直线 B．圆
C．椭圆 D．双曲线
答案　C
2．曲线(φ为参数)的焦点与原点的距离为(　　)
A．2B．3C．4D．5
答案　D
3．曲线(θ为参数)的对称中心(　　)
A．在直线y＝2x上
B．在直线y＝－2x上
C．在直线y＝x－1上
D．在直线y＝x＋1上
答案　B
解析　曲线可化为(x＋1)2＋(y－2)2＝1，其对称中心为圆心(－1,2)，该点在直线y＝－2x上，故选B.
4．把椭圆的普通方程9x2＋4y2＝36化为参数方程是(　　)
A.(θ为参数) B.(θ为参数)
C.(θ为参数) D.(θ为参数)
答案　B
解析　椭圆的普通方程9x2＋4y2＝36可化为＋＝1，令x＝2cosθ，y＝3sinθ，
可得参数方程为(θ为参数)．
5．已知椭圆＋＝1，点A的坐标为(3,0)．在椭圆上找一点P，使点P与点A的距离最大．
解　椭圆的参数方程为(θ为参数)．
设P(5cosθ，4sinθ)，则
|PA|＝
＝
＝＝|3cosθ－5|≤8，
当cosθ＝－1时，|PA|最大．
此时，sinθ＝0，点P的坐标为(－5,0)．
1．利用圆锥曲线的参数方程，可以方便求解一些需要曲线上点的两个坐标独立表示的问题，如求最大值、最小值问题、轨迹问题等．
2．当需要研究圆锥曲线的形状、性质时，又通常需要将圆锥曲线的参数方程化为普通方程．
3．如果用到椭圆、双曲线的参数方程，注意三角恒等式的应用．
一、选择题
1．椭圆(θ为参数)的焦点坐标为(　　)
A．(0，)和(0，－)
B．(，0)和(－，0)
C．(0，)和(0，－)
D．(，0)和(－，0)
答案　A
解析　把参数方程(θ为参数)化为普通方程是＋＝1，它表示焦点在y轴上的椭圆，其中a＝5，b＝2，c＝＝，故焦点坐标为(0，±)．
2．方程(θ为参数，ab≠0)表示的曲线是(　　)
A．圆 B．椭圆
C．双曲线 D．双曲线的一部分
答案　D
解析　由xcosθ＝a，∴cosθ＝，代入y＝bcosθ，得xy＝ab.又由y＝bcosθ知，y∈[－|b|,0)∪(0，|b|]，∴曲线应为双曲线的一部分．
3．若点P(3，m)在以点F为焦点的抛物线(t为参数)上，则|PF|等于(　　)
A．2B．3C．4D．5
答案　C
解析　抛物线为y2＝4x，准线为x＝－1，|PF|为P(3，m)到准线x＝－1的距离，即为4.
4．当θ取一切实数时，连接A(4sinθ，6cosθ)和B(－4cosθ，6sinθ)两点的线段的中点的轨迹是(　　)
A．圆B．椭圆C．直线D．线段
答案　B
5．若曲线(θ为参数)与直线x＝m相交于不同的两点，则m的取值范围是(　　)
A．R B．(0，＋∞)
C．(0,1) D．[0,1)
答案　D
解析　将曲线化为普通方程，得(y＋1)2＝－(x－1)(0≤x≤1)，它是抛物线的一部分，如图所示，由数形结合知0≤m<1.
6．两条曲线的参数方程分别是(θ为参数)和(t为参数)，则其交点个数为(　　)
A．0 B．1
C．0或1 D．2
答案　B
解析　由
得x＋y－1＝0(－1≤x≤0,1≤y≤2)，
由得＋＝1.如图所示，可知两曲线交点有1个．
二、填空题
7．已知动圆方程x2＋y2－xsin2θ＋2·ysin＝0(θ为参数)，则圆心的轨迹方程是________．
答案　y2＝1＋2x
解析　圆心轨迹的参数方程为
即消去参数，得
y2＝1＋2x.
8．双曲线(θ为参数)的两条渐近线的倾斜角为________．
答案　30°或150°
解析　将参数方程化为y2－＝1，
此时a＝1，b＝，
设渐近线的倾斜角为α，则tanα＝±＝±.
∴α＝30°或150°.
9．在直角坐标系xOy中，已知直线l：(s为参数)与曲线C：(t为参数)相交于A，B两点，则|AB|＝________.
答案　
解析　直线l：(s为参数)的普通方程为
y＝3－x，曲线C：(t为参数)的普通方程为y＝(x－3)2.
依题意，得(x－3)2＝3－x，
解得x1＝3，y1＝0；x2＝2，y2＝1.
所以坐标为A(3,0)，B(2,1)，则|AB|＝.
10．在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知射线θ＝(ρ≥0)与曲线(t为参数)相交于A，B两点，则线段AB的中点的直角坐标为__________．
答案　
解析　射线θ＝(ρ≥0)的直角坐标方程为y＝x(x≥0)，
曲线(t为参数)的普通方程为y＝(x－2)2.
联立解得或
故线段AB的中点的直角坐标为.
三、解答题
11．已知直线l：x＋2y－6＝0与抛物线y2＝2x交于A，B两点，O为原点，求∠AOB的值．
解　设抛物线y2＝2x的参数方程
为(t是参数)，
代入x＋2y－6＝0，整理得3t2＋2t－3＝0.①
因为A，B对应的参数t1，t2分别是方程①的两根，
所以t1t2＝－1.
因为t表示抛物线上除原点外任一点与原点连线的斜率的倒数，所以·＝－1，
即kOA·kOB＝－1，
所以∠AOB＝90°.
12．如图所示，已知点M是椭圆＋＝1(a>b>0)上在第一象限的点，A(a,0)和B(0，b)是椭圆的两个顶点，O为原点，求四边形MAOB的面积的最大值．
解　点M是椭圆＋＝1(a>b>0)上在第一象限的点，
由于椭圆＋＝1的参数方程为(φ为参数)，
故可设M(acosφ，bsinφ)，其中0<φ<，
因此，S四边形MAOB＝S△MAO＋S△MOB
＝|OA|·bsinφ＋|OB|·acosφ
＝ab(sinφ＋cosφ)＝absin.
所以，当φ＝时，四边形MAOB的面积有最大值，最大值为ab.
13．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的动弦BC平行于虚轴，M，N是双曲线的左、右顶点．
(1)求直线MB，CN的交点P的轨迹方程；
(2)若P(x1，y1)，B(x2，y2)，求证：a是x1，x2的比例中项．
(1)解　由题意可设点B(asecθ，btanθ)，
则点C(asecθ，－btanθ)，又M(－a,0)，N(a,0)，
∴直线CN的方程为y＝(x－a)，
直线MB的方程为y＝(x＋a)，
将以上两式相乘，得点P的轨迹方程为＋＝1(a>0，b>0)．
(2)证明　∵点P既在MB上，又在CN上，
由两直线方程消去y1，得x1＝，
而x2＝asecθ，∴有x1x2＝a2，
即a是x1，x2的比例中项．
四、探究与拓展
14．在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C1： (t为参数)与曲线C2：(θ为参数，a>0)有一个公共点在x轴上，则a＝________.
答案　
解析　曲线C1的普通方程为2x＋y＝3，曲线C2的普通方程为＋＝1，直线2x＋y＝3与x轴的交点坐标为，故曲线＋＝1也经过这个点，代入解得a＝或a＝－(舍去)．
15．椭圆＋＝1(a>b>0)与x轴正向交于点A，若这个椭圆上总存在点P，使OP⊥AP(O为原点)，求离心率e的取值范围．
解　设椭圆的参数方程是(θ为参数)(a>b>0)，则椭圆上的点为P(acosθ，bsinθ)，A(a,0)，
∵OP⊥AP，∴·＝－1，
即(a2－b2)cos2θ－a2cosθ＋b2＝0.
解得cosθ＝或cosθ＝1(舍去)．
∵a>b，－1≤cosθ≤1，∴0<≤1.
把b2＝a2－c2代入，得0<≤1.
即0<－1≤1，
解得≤e<1.
故离心率e的取值范围为.