第2讲 4 渐开线与摆线学案
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文档简介
四 渐开线与摆线
学习目标 1.了解圆的渐开线的参数方程.2.了解摆线的生成过程及它的参数方程.3.学习并体会用向量知识推导运动轨迹曲线的方法和步骤．
知识点一 渐开线
思考 把绕在圆盘上的细绳展开，细绳外端点的轨迹是一条曲线，看看曲线的形状．若要建立曲线的参数方程，请试着确定一下参数．
答案 根据动点满足的几何条件，我们以基圆圆心O为原点，直线OA为x轴，建立平面直角坐标系，如图所示．设基圆的半径为r，绳子外端M的坐标为(x，y)．显然，点M由角φ惟一确定．
梳理 圆的渐开线及其参数方程
(1)定义
把线绕在圆周上，假设线的粗细可以忽略，拉着线头的外端点，保持线与圆相切，外端点的轨迹就叫做圆的渐开线，相应的定圆叫做渐开线的基圆．
(2)参数方程
设基圆的半径为r，圆的渐开线的参数方程是
(φ是参数)．
知识点二 摆线
思考 当一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时，圆周上一个定点的轨迹是什么？
答案 摆线．
梳理 摆线及其参数方程
(1)定义
当一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时，圆周上的一个定点的轨迹叫做平摆线，简称摆线，又叫做旋轮线．
(2)参数方程
设圆的半径为r，圆滚动的角为φ，那么摆线的参数方程是(φ是参数)．
类型一 圆的渐开线
例1 求半径为4的圆的渐开线的参数方程．
解 以圆心为原点O，绳端点的初始位置为M0，向量的方向为x轴正方向，建立坐标系，设渐开线上的任意点M(x，y)，绳拉直时和圆的切点为A，故OA⊥AM，按渐开线定义，弧的长和线段AM的长相等，记和x轴正向所夹的角为θ(以弧度为单位)，则|AM|＝＝4θ.
作AB垂直于x轴，过M点作AB的垂线，由三角函数和向量知识，得＝(4cos θ，4sin θ)．
由几何知识知，∠MAB＝θ，＝(4θsin θ，－4θcos θ)，
得＝＋＝(4cos θ＋4θsin θ，4sin θ－4θcos θ)
＝(4(cosθ＋θsinθ)，4(sin θ－θcosθ))．
又＝(x，y)，
因此所求的参数方程为
反思与感悟 圆的渐开线的参数方程中，字母r表示基圆的半径，字母φ是指绳子外端运动时绳子上的定点M相对于圆心的张角．
跟踪训练1 已知圆的渐开线方程为(φ为参数)，则该基圆半径为________，当圆心角φ＝π时，曲线上点A的直角坐标为________．
答案
解析
即(φ为参数)．
∴基圆半径r＝.
当φ＝π时，x＝－，y＝，
∴A的直角坐标为.
类型二 平摆线
例2 已知一个圆的参数方程为(φ为参数)，那么圆的摆线方程中与参数φ＝对应的点A与点B之间的距离为________．
答案
解析 由圆的参数方程知，
圆的方程为x2＋y2＝9，
∴圆的圆心为(0,0)，半径r＝3，
∴圆上定点M的摆线的参数方程为(φ为参数)．
当φ＝时，x＝3×＝－3，y＝3×(1－0)＝3，
∴A，∴|AB|＝＝.
反思与感悟 (1)摆线的参数方程
摆线的参数方程为(φ为参数)，其中r：生成圆的半径，φ：圆在直线上滚动时，点M绕圆心作圆周运动转过的角度∠ABM.
(2)将参数φ的值代入渐开线或摆线的参数方程可以确定对应点的坐标，进而可求渐开线或摆线上两点间的距离．
跟踪训练2 已知一个圆的摆线的参数方程是(φ为参数)，则该摆线一个拱的高度是________；一个拱的跨度为________．
答案 6 6π
解析 当φ＝π时，y＝3－3cos π＝6为拱高；当φ＝2π时，x＝3×2π－3sin 2π＝6π为跨度.
1．圆(θ为参数)的平摆线上一点的纵坐标为0，那么其横坐标可能是( )
A．π B．3π
C．6π D．10π
答案 C
2．当φ＝2π时，圆的渐开线(φ为参数)上的点是( )
A．(6,0) B．(6,6π)
C．(6，－12π) D．(－π，12π)
答案 C
3.如图所示，四边形ABCD是边长为1的正方形，曲线AEFGH…叫做“正方形的渐开线”，其中AE，EF，FG，GH…的圆心依次按B，C，D，A循环，它们依次相连接，则曲线AEFGH的长是( )
A．3π B．4π
C．5π D．6π
答案 C
解析 根据渐开线的定义可知，是半径为1的圆周长，长度为，继续旋转可得是半径为2的圆周长，长度为π；是半径为3的圆周长，长度为；是半径为4的圆周长，长度为2π.所以曲线AEFGH的长是5π.
4．已知一个圆的摆线方程是(φ为参数)，求该圆的面积和对应的圆的渐开线的参数方程．
解 首先根据摆线的参数方程可知，圆的半径为4，
所以面积为16π，该圆对应的渐开线的参数方程是
(φ为参数)．
1．圆的渐开线的参数方程中，字母r表示基圆的半径，字母φ是指绳子外端运动时绳子上的定点M相对于圆心的张角．
2．由圆的摆线的参数方程的形式可知，只要确定了摆线生成圆的半径，就能确定摆线的参数方程．
3．由于渐开线、摆线的方程复杂，所以不宜用普通方程来表示．
一、选择题
1．已知圆的渐开线的参数方程是(θ为参数)，则此渐开线对应的基圆的周长是( )
A．π B．2π
C．3π D．4π
答案 B
2．摆线(t为参数，0≤t<2π)与直线y＝2的交点的直角坐标是( )
A．(π－2,2)，(3π＋2,2) B．(π－3,2)，(3π＋3,2)
C．(π，2)，(－π，2) D．(2π－2,2)，(2π＋2,2)
答案 A
3．给出下列说法：
①圆的渐开线的参数方程不能转化为普通方程；
②圆的渐开线也可以转化为普通方程，但是转化后的普通方程比较麻烦，且不容易看出坐标之间的关系，所以常使用参数方程研究圆的渐开线问题；
③在求圆的摆线和渐开线方程时，如果建立的坐标系原点和坐标轴选取不同，可能会得到不同的参数方程；
④圆的渐开线和x轴一定有交点而且是惟一的交点．
其中正确的说法有( )
A．①③ B．②④
C．②③ D．①③④
答案 C
4．圆的渐开线(t为参数)上与t＝对应的点的直角坐标为( )
A. B.
C. D.
答案 A
5．已知圆的渐开线的参数方程为 (φ为参数)，点A是此渐开线上的一点，则渐开线对应的基圆的周长是( )
A.π B．3π
C．4π D．6π
答案 B
解析 由点A在渐开线上，
得易知φ＝0，则r＝，故基圆的周长为3π.
6．圆的渐开线方程为(φ为参数)，当φ＝π时，渐开线上的对应点的坐标为( )
A．(－2,2π) B．(－2，π)
C．(4,2π) D．(－4,2π)
答案 A
解析 将φ＝π代入
可得即
二、填空题
7．基圆直径为10，则其渐开线的参数方程为__________________．
答案 (φ为参数)
8．有一标准的齿轮，其齿廓线的基圆直径为22mm，则齿廓所在的摆线的参数方程为__________________．
答案 (φ为参数)
解析 因为基圆直径为22 mm，
所以基圆半径为11 mm，
所以摆线的参数方程为(φ为参数)．
9．已知圆的渐开线的参数方程是(t为参数)，则该渐开线的基圆的半径为________，参数t＝对应的点的直角坐标是_______________________________________．
答案 6 (－3＋2π，3＋2π)
解析 由参数方程，得基圆的半径r＝6.把t＝代入参数方程，得即参数t＝对应的点的直角坐标是(－3＋2π，3＋2π)．
10．已知圆的方程为x2＋y2＝4，点P为其渐开线上一点，对应的参数φ＝，则点P的坐标为________．
答案 (π，2)
解析 由题意知，圆的半径r＝2，其渐开线的参数方程为(φ为参数)．
当φ＝时，x＝π，y＝2，
故点P的坐标为(π，2)．
三、解答题
11．给出直径为6的圆，分别写出对应的渐开线的参数方程和摆线的参数方程．
解 以圆的圆心为原点，一条半径所在的直线为x轴，建立直角坐标系．
又圆的直径为6，所以半径为3，
所以圆的渐开线的参数方程为(φ为参数)．
以圆周上的某一定点为原点，以定直线为x轴，建立直角坐标系，
所以摆线的参数方程为(φ为参数)．
12．已知圆的参数方程是(θ为参数)，求此圆的摆线中，参数φ＝对应的点A与点B之间的距离．
解 由圆的参数方程，得圆的半径r＝3，则其摆线的参数方程为(φ为参数)．
把φ＝代入摆线的参数方程，得
故点A与点B之间的距离
|AB|＝＝.
13．已知一个圆的平摆线方程是x＝2φ－2sinφ，y＝2－2cosφ(φ为参数)，求该圆的周长，并写出平摆线上最高点的坐标．
解 由平摆线方程知，圆的半径为2，
则圆的周长为4π.当φ＝π时，y有最大值4，
平摆线具有周期性，周期为4π.
∴平摆线上最高点的坐标为(2π＋4kπ，4)(k∈Z)．
四、探究与拓展
14.如图，△ABC是正三角形，曲线ABCDEF…叫做“正三角形的渐开线”，其中弧CD，弧DE，弧EF…的圆心依次按A，B，C循环，它们依次相连接，如果AB＝1，那么曲线CDEF的长是( )
A．8π B．6π
C．4π D．2π
答案 C
解析 ∵∠CAD，∠DBE，∠ECF是等边三角形的外角，
∴∠CAD＝∠DBE＝∠ECF＝120°.
又AC＝1，∴BD＝2，CE＝3，
∴弧CD的长＝×2π×1，
弧DE的长＝×2π×2，
弧EF的长＝×2π×3，
∴曲线CDEF的长＝×2π×1＋×2π×2＋×2π×3＝4π.
15．渐开线方程为(φ为参数)的基圆的圆心在原点，把基圆的横坐标伸长为原来的2倍得到曲线C，求曲线C的方程，及焦点坐标．
解 由渐开线方程可知，基圆的半径为6，则圆的方程为x2＋y2＝36.
把横坐标伸长为原来的2倍，
得到椭圆方程＋y2＝36，即＋＝1，
对应的焦点坐标为(6，0)和(－6，0)．
学习目标 1.了解圆的渐开线的参数方程.2.了解摆线的生成过程及它的参数方程.3.学习并体会用向量知识推导运动轨迹曲线的方法和步骤．
知识点一 渐开线
思考 把绕在圆盘上的细绳展开，细绳外端点的轨迹是一条曲线，看看曲线的形状．若要建立曲线的参数方程，请试着确定一下参数．
答案 根据动点满足的几何条件，我们以基圆圆心O为原点，直线OA为x轴，建立平面直角坐标系，如图所示．设基圆的半径为r，绳子外端M的坐标为(x，y)．显然，点M由角φ惟一确定．
梳理 圆的渐开线及其参数方程
(1)定义
把线绕在圆周上，假设线的粗细可以忽略，拉着线头的外端点，保持线与圆相切，外端点的轨迹就叫做圆的渐开线，相应的定圆叫做渐开线的基圆．
(2)参数方程
设基圆的半径为r，圆的渐开线的参数方程是
(φ是参数)．
知识点二 摆线
思考 当一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时，圆周上一个定点的轨迹是什么？
答案 摆线．
梳理 摆线及其参数方程
(1)定义
当一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时，圆周上的一个定点的轨迹叫做平摆线，简称摆线，又叫做旋轮线．
(2)参数方程
设圆的半径为r，圆滚动的角为φ，那么摆线的参数方程是(φ是参数)．
类型一 圆的渐开线
例1 求半径为4的圆的渐开线的参数方程．
解 以圆心为原点O，绳端点的初始位置为M0，向量的方向为x轴正方向，建立坐标系，设渐开线上的任意点M(x，y)，绳拉直时和圆的切点为A，故OA⊥AM，按渐开线定义，弧的长和线段AM的长相等，记和x轴正向所夹的角为θ(以弧度为单位)，则|AM|＝＝4θ.
作AB垂直于x轴，过M点作AB的垂线，由三角函数和向量知识，得＝(4cos θ，4sin θ)．
由几何知识知，∠MAB＝θ，＝(4θsin θ，－4θcos θ)，
得＝＋＝(4cos θ＋4θsin θ，4sin θ－4θcos θ)
＝(4(cosθ＋θsinθ)，4(sin θ－θcosθ))．
又＝(x，y)，
因此所求的参数方程为
反思与感悟 圆的渐开线的参数方程中，字母r表示基圆的半径，字母φ是指绳子外端运动时绳子上的定点M相对于圆心的张角．
跟踪训练1 已知圆的渐开线方程为(φ为参数)，则该基圆半径为________，当圆心角φ＝π时，曲线上点A的直角坐标为________．
答案
解析
即(φ为参数)．
∴基圆半径r＝.
当φ＝π时，x＝－，y＝，
∴A的直角坐标为.
类型二 平摆线
例2 已知一个圆的参数方程为(φ为参数)，那么圆的摆线方程中与参数φ＝对应的点A与点B之间的距离为________．
答案
解析 由圆的参数方程知，
圆的方程为x2＋y2＝9，
∴圆的圆心为(0,0)，半径r＝3，
∴圆上定点M的摆线的参数方程为(φ为参数)．
当φ＝时，x＝3×＝－3，y＝3×(1－0)＝3，
∴A，∴|AB|＝＝.
反思与感悟 (1)摆线的参数方程
摆线的参数方程为(φ为参数)，其中r：生成圆的半径，φ：圆在直线上滚动时，点M绕圆心作圆周运动转过的角度∠ABM.
(2)将参数φ的值代入渐开线或摆线的参数方程可以确定对应点的坐标，进而可求渐开线或摆线上两点间的距离．
跟踪训练2 已知一个圆的摆线的参数方程是(φ为参数)，则该摆线一个拱的高度是________；一个拱的跨度为________．
答案 6 6π
解析 当φ＝π时，y＝3－3cos π＝6为拱高；当φ＝2π时，x＝3×2π－3sin 2π＝6π为跨度.
1．圆(θ为参数)的平摆线上一点的纵坐标为0，那么其横坐标可能是( )
A．π B．3π
C．6π D．10π
答案 C
2．当φ＝2π时，圆的渐开线(φ为参数)上的点是( )
A．(6,0) B．(6,6π)
C．(6，－12π) D．(－π，12π)
答案 C
3.如图所示，四边形ABCD是边长为1的正方形，曲线AEFGH…叫做“正方形的渐开线”，其中AE，EF，FG，GH…的圆心依次按B，C，D，A循环，它们依次相连接，则曲线AEFGH的长是( )
A．3π B．4π
C．5π D．6π
答案 C
解析 根据渐开线的定义可知，是半径为1的圆周长，长度为，继续旋转可得是半径为2的圆周长，长度为π；是半径为3的圆周长，长度为；是半径为4的圆周长，长度为2π.所以曲线AEFGH的长是5π.
4．已知一个圆的摆线方程是(φ为参数)，求该圆的面积和对应的圆的渐开线的参数方程．
解 首先根据摆线的参数方程可知，圆的半径为4，
所以面积为16π，该圆对应的渐开线的参数方程是
(φ为参数)．
1．圆的渐开线的参数方程中，字母r表示基圆的半径，字母φ是指绳子外端运动时绳子上的定点M相对于圆心的张角．
2．由圆的摆线的参数方程的形式可知，只要确定了摆线生成圆的半径，就能确定摆线的参数方程．
3．由于渐开线、摆线的方程复杂，所以不宜用普通方程来表示．
一、选择题
1．已知圆的渐开线的参数方程是(θ为参数)，则此渐开线对应的基圆的周长是( )
A．π B．2π
C．3π D．4π
答案 B
2．摆线(t为参数，0≤t<2π)与直线y＝2的交点的直角坐标是( )
A．(π－2,2)，(3π＋2,2) B．(π－3,2)，(3π＋3,2)
C．(π，2)，(－π，2) D．(2π－2,2)，(2π＋2,2)
答案 A
3．给出下列说法：
①圆的渐开线的参数方程不能转化为普通方程；
②圆的渐开线也可以转化为普通方程，但是转化后的普通方程比较麻烦，且不容易看出坐标之间的关系，所以常使用参数方程研究圆的渐开线问题；
③在求圆的摆线和渐开线方程时，如果建立的坐标系原点和坐标轴选取不同，可能会得到不同的参数方程；
④圆的渐开线和x轴一定有交点而且是惟一的交点．
其中正确的说法有( )
A．①③ B．②④
C．②③ D．①③④
答案 C
4．圆的渐开线(t为参数)上与t＝对应的点的直角坐标为( )
A. B.
C. D.
答案 A
5．已知圆的渐开线的参数方程为 (φ为参数)，点A是此渐开线上的一点，则渐开线对应的基圆的周长是( )
A.π B．3π
C．4π D．6π
答案 B
解析 由点A在渐开线上，
得易知φ＝0，则r＝，故基圆的周长为3π.
6．圆的渐开线方程为(φ为参数)，当φ＝π时，渐开线上的对应点的坐标为( )
A．(－2,2π) B．(－2，π)
C．(4,2π) D．(－4,2π)
答案 A
解析 将φ＝π代入
可得即
二、填空题
7．基圆直径为10，则其渐开线的参数方程为__________________．
答案 (φ为参数)
8．有一标准的齿轮，其齿廓线的基圆直径为22mm，则齿廓所在的摆线的参数方程为__________________．
答案 (φ为参数)
解析 因为基圆直径为22 mm，
所以基圆半径为11 mm，
所以摆线的参数方程为(φ为参数)．
9．已知圆的渐开线的参数方程是(t为参数)，则该渐开线的基圆的半径为________，参数t＝对应的点的直角坐标是_______________________________________．
答案 6 (－3＋2π，3＋2π)
解析 由参数方程，得基圆的半径r＝6.把t＝代入参数方程，得即参数t＝对应的点的直角坐标是(－3＋2π，3＋2π)．
10．已知圆的方程为x2＋y2＝4，点P为其渐开线上一点，对应的参数φ＝，则点P的坐标为________．
答案 (π，2)
解析 由题意知，圆的半径r＝2，其渐开线的参数方程为(φ为参数)．
当φ＝时，x＝π，y＝2，
故点P的坐标为(π，2)．
三、解答题
11．给出直径为6的圆，分别写出对应的渐开线的参数方程和摆线的参数方程．
解 以圆的圆心为原点，一条半径所在的直线为x轴，建立直角坐标系．
又圆的直径为6，所以半径为3，
所以圆的渐开线的参数方程为(φ为参数)．
以圆周上的某一定点为原点，以定直线为x轴，建立直角坐标系，
所以摆线的参数方程为(φ为参数)．
12．已知圆的参数方程是(θ为参数)，求此圆的摆线中，参数φ＝对应的点A与点B之间的距离．
解 由圆的参数方程，得圆的半径r＝3，则其摆线的参数方程为(φ为参数)．
把φ＝代入摆线的参数方程，得
故点A与点B之间的距离
|AB|＝＝.
13．已知一个圆的平摆线方程是x＝2φ－2sinφ，y＝2－2cosφ(φ为参数)，求该圆的周长，并写出平摆线上最高点的坐标．
解 由平摆线方程知，圆的半径为2，
则圆的周长为4π.当φ＝π时，y有最大值4，
平摆线具有周期性，周期为4π.
∴平摆线上最高点的坐标为(2π＋4kπ，4)(k∈Z)．
四、探究与拓展
14.如图，△ABC是正三角形，曲线ABCDEF…叫做“正三角形的渐开线”，其中弧CD，弧DE，弧EF…的圆心依次按A，B，C循环，它们依次相连接，如果AB＝1，那么曲线CDEF的长是( )
A．8π B．6π
C．4π D．2π
答案 C
解析 ∵∠CAD，∠DBE，∠ECF是等边三角形的外角，
∴∠CAD＝∠DBE＝∠ECF＝120°.
又AC＝1，∴BD＝2，CE＝3，
∴弧CD的长＝×2π×1，
弧DE的长＝×2π×2，
弧EF的长＝×2π×3，
∴曲线CDEF的长＝×2π×1＋×2π×2＋×2π×3＝4π.
15．渐开线方程为(φ为参数)的基圆的圆心在原点，把基圆的横坐标伸长为原来的2倍得到曲线C，求曲线C的方程，及焦点坐标．
解 由渐开线方程可知，基圆的半径为6，则圆的方程为x2＋y2＝36.
把横坐标伸长为原来的2倍，
得到椭圆方程＋y2＝36，即＋＝1，
对应的焦点坐标为(6，0)和(－6，0)．