第2讲 参数方程复习课 学案
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复习课
学习目标 1.梳理知识要点，构建知识网络.2.进一步巩固对参数方程等相关概念的理解和认识.3.能综合应用极坐标、参数方程解决问题．
1．参数方程的定义
一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x，y都是某个变数t的函数①并且对于t的每一个允许值，由方程组①所确定的点M(x，y)都在这条曲线上，那么方程组①就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x，y的变数t叫做参变数，简称参数．参数方程中的参数可以是有物理意义或几何意义的变数，也可以是没有明显实际意义的变数．
2．常见曲线的参数方程
(1)直线
过定点M0(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程的标准形式为 (t为参数)．
(2)圆
①圆x2＋y2＝r2的参数方程为(θ为参数)；
②圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的参数方程为(θ为参数)．
(3)椭圆
中心在原点，对称轴为坐标轴的椭圆b2x2＋a2y2＝a2b2(a>b>0)的参数方程为(φ为参数)．
(4)双曲线
中心在原点，对称轴为坐标轴的双曲线b2x2－a2y2＝a2b2(a>0，b>0)的参数方程为(φ为参数)．
(5)抛物线
抛物线y2＝2px(p>0)的参数方程为(α为参数)或(t为参数)．
类型一 参数方程化为普通方程
例1 把下列参数方程化为普通方程：
(1)(θ为参数)；
(2)(t为参数，a，b>0)．
解 (1)关于cos θ，sin θ的方程组
变形得
∴2＋2＝cos2θ＋sin2θ＝1，
即5x2＋4xy＋17y2－81＝0.
(2)由解得
∴①2－②2，得－＝4，
∴－＝1(x>0)．
反思与感悟 参数方程化为普通方程的注意事项
(1)在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取值范围保持一致，由参数方程化为普通方程时需要考虑x的取值范围，注意参数方程与消去参数后所得的普通方程同解性的判定．
(2)消除参数的常用方法：①代入消参法；②三角消参法；③根据参数方程的特征，采用特殊的消参手段．
跟踪训练1 判断方程(θ是参数且θ∈(0，π))表示的曲线的形状．
解 ∵x2－y2＝2－2＝4，
即x2－y2＝4，∴－＝1.
又∵θ∈(0，π)，∴sin θ>0，∴x＝sin θ＋≥2，
当且仅当θ＝时等号成立，
又y＝sin θ－＝≤0，
∴曲线为等轴双曲线－＝1在右支位于x轴下方的部分．
类型二 参数方程的应用
命题角度1 直线参数方程的应用
例2 已知点P(3,2)平分抛物线y2＝4x的一条弦AB，求弦AB的长．
解 设弦AB所在的直线方程为(t为参数)，
代入方程y2＝4x整理，得
t2sin2α＋4(sin α－cos α)t－8＝0.①
∵点P(3,2)是弦AB的中点，
由参数t的几何意义可知，方程①的两个实根t1，t2满足关系t1＋t2＝0.
即sin α－cos α＝0.∵0≤α<π，∴α＝.
∴|AB|＝|t1－t2|＝＝＝8.
反思与感悟 应用直线的参数方程求弦长要注意的问题
(1)直线的参数方程应为标准形式．
(2)要注意直线倾斜角的取值范围．
(3)设直线上两点对应的参数分别为t1，t2.
(4)套公式|t1－t2|求弦长．
跟踪训练2 直线l过点P0(－4,0)，它的参数方程为(t为参数)，直线l与圆x2＋y2＝7相交于A，B两点．
(1)求弦长|AB|；
(2)过P0作圆的切线，求切线长．
解 将直线l的参数方程代入圆的方程，
得2＋2＝7，整理得t2－4t＋9＝0.
(1)设A和B两点对应的参数分别为t1和t2，由根与系数的关系，得t1＋t2＝4，t1t2＝9.
故|AB|＝|t2－t1|＝＝2.
(2)设圆过P0的切线为P0T，T在圆上，
则|P0T|2＝|P0A|·|P0B|＝|t1t2|＝9，
∴切线长|P0T|＝3.
命题角度2 曲线参数方程的应用
例3 在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(α为参数)，在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为ρsin＝2.
(1)求曲线C与直线l在该直角坐标系下的普通方程；
(2)动点A在曲线C上，动点B在直线l上，定点P(－1,1)，求|PB|＋|AB|的最小值．
解 (1)由曲线C的参数方程
可得(x－2)2＋y2＝1，
由直线l的极坐标方程为ρsin＝2，
可得ρ(sin θ＋cos θ)＝4，
即x＋y＝4.
(2)方法一 设P关于直线l的对称点为Q(a，b)，
故?
所以Q(3,5)，
由(1)知曲线C为圆，圆心C(2,0)，半径r＝1，
|PB|＋|AB|＝|QB|＋|AB|≥|QC|－1.
仅当Q，B，A，C四点共线时，且A在B，C之间时等号成立，故(|PB|＋|AB|)min＝－1.
方法二 如图，圆心C关于直线l的对称点为D(4,2)，连接PD，交直线l于点B，此时|PB|＋|AB|有最小值，且|PB|＋|AB|＝|PB|＋|BC|－1＝|PB|＋|BD|－1＝|PD|－1＝－1.
反思与感悟 (1)关于折线段的长度和或长度差的最大值或最小值的求法，常常利用对称性以及两点之间线段最短解决．
(2)有关点与圆、直线与圆的最大值或最小值问题，常常转化为经过圆心的直线、圆心到直线的距离等．
跟踪训练3 已知曲线C：＋＝1，直线l：(t为参数)．
(1)写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；
(2)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值．
解 (1)曲线C的参数方程为(θ为参数)．
直线l的普通方程为2x＋y－6＝0.
(2)曲线C上任意一点P(2cos θ，3sin θ)到l的距离为
d＝|4cos θ＋3sin θ－6|，
则|PA|＝＝|5sin(θ＋α)－6|，
其中α为锐角，且tan α＝.
当sin(θ＋α)＝－1时，|PA|取得最大值，最大值为.
当sin(θ＋α)＝1时，|PA|取得最小值，最小值为.
类型三 极坐标与参数方程
例4 在直角坐标系xOy中，圆C的方程为(x＋6)2＋y2＝25.
(1)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆C的极坐标方程；
(2)直线l的参数方程是(t为参数)，l与圆C交于A，B两点，|AB|＝，求l的斜率．
解 (1)由x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，可得圆C的极坐标方程为ρ2＋12ρcos θ＋11＝0.
(2)方法一 在(1)中建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R)．
设A，B所对应的极径分别为ρ1，ρ2，将l的极坐标方程代入C的极坐标方程，得ρ2＋12ρcos α＋11＝0.
于是ρ1＋ρ2＝－12cos α，ρ1ρ2＝11.
|AB|＝|ρ1－ρ2|＝＝.
由|AB|＝，得cos2α＝，tan α＝±.
所以l的斜率为或－.
方法二 把代入(x＋6)2＋y2＝25，
得t2＋(12cos α)t＋11＝0，
设A，B对应的参数为t1，t2，
所以t1＋t2＝－12cos α，t1t2＝11.
则|AB|＝|t1－t2|＝＝＝，所以cos2α＝，所以tan α＝±.
所以l的斜率为或－.
反思与感悟 (1)极坐标与参数方程综合是高考的重点、热点．
(2)解决此类问题一般可以转化为直角坐标下求解．当然也可以转化为极坐标下求解，关键是根据题目特点合理转化．
跟踪训练4 在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为3ρcosθ＋2ρsinθ＝12.
(1)求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；
(2)若直线l与曲线C交于A，B两点，M为曲线C与y轴负半轴的交点，求四边形OMAB的面积．
解 (1)由得
所以2＋2＝(cos t)2＋(sin t)2＝1，
所以曲线C的普通方程为＋＝1.
在3ρcos θ＋2ρsin θ＝12中，由ρcos θ＝x，ρsin θ＝y，
得3x＋2y－12＝0，
所以直线l的直角坐标方程为3x＋2y－12＝0.
(2)由(1)可得M(0，－2)，联立方程易得A(4,0)，B(2,3)，
所以四边形OMAB的面积为×4×(3＋2)＝6＋4.
1．曲线(θ为参数)的焦点坐标为( )
A．(±3,0) B．(0，±3)
C．(±6,0) D．(0，±6)
答案 D
解析 曲线(θ为参数)的普通方程为＋＝1，这是焦点在y轴上的椭圆，c2＝a2－b2＝62，
所以焦点坐标为(0，±6)．
2．椭圆的参数方程为(0≤φ<2π)，则椭圆的离心率为( )
A.B.C.D.
答案 A
3．已知直线l的参数方程为(t为参数)，圆C的极坐标方程为ρ＝2sinθ，则直线l与圆C的位置关系为( )
A．相离 B．相切
C．相交 D．由参数确定
答案 C
4．点P(1,0)到曲线(t为参数)上的点的最短距离为________．
答案 1
解析 设点P(1,0)到曲线上的点的距离为d，则d＝＝＝＝t2＋1≥1.所以点P到曲线上的点的距离的最小值为1.
5．在平面直角坐标系xOy中，设P(x，y)是椭圆＋y2＝1上的一个动点，求S＝x＋y的最大值和最小值．
解 椭圆＋y2＝1的参数方程为(φ为参数)，故设动点P(cos φ，sin φ)，其中φ∈[0,2π)．
因此S＝x＋y＝cos φ＋sin φ
＝2＝2sin.
∴当φ＝时，S取得最大值2；当φ＝时，S取得最小值－2.
1．参数方程是以参变量为中介来表示曲线上点的坐标的方程，是曲线在同一坐标系下的又一种表示形式．某些曲线上点的坐标，用普通方程描述它们之间的关系比较困难，甚至不可能，列出的方程既复杂又不易理解，而用参数方程来描述曲线上点的坐标的间接关系比较方便，学习参数方程有助于进一步体会数学方法的灵活多变，提高应用意识和实践能力．
2．参数方程、极坐标方程是解析几何曲线方程的另外两种巧妙的表达形式，解题时要善于根据解题的需求将参数方程与普通方程进行互化，达到方便解题的目的，同时注意参数的范围．
一、选择题
1．在极坐标系中，直线2ρsin＝2＋与圆ρ＝2sinθ的位置关系为( )
A．相离 B．相切
C．相交 D．以上都有可能
答案 B
解析 直线2ρsin＝2＋与圆ρ＝2sin θ的直角坐标方程分别为x＋y＝＋1，x2＋(y－1)2＝1，
圆心(0,1)到直线x＋y－(＋1)＝0的距离d＝＝1，所以直线与圆相切．
2．下列各点在方程(θ为参数)所表示的曲线上的为( )
A．(2，－7) B.
C. D．(1,0)
答案 C
3．直线(t为参数)上与点P(－2,3)的距离等于的点的坐标是( )
A．(－4,5) B．(－3,4)
C．(－3,4)或(－1,2) D．(－4,5)或(0,1)
答案 C
4．下列参数方程(t为参数)与普通方程x2－y＝0表示同一曲线方程的是( )
A. B.
C. D.
答案 D
解析 注意参数的范围，可利用排除法，普通方程x2－y＝0中的x∈R，y≥0.A中x＝|t|≥0，B中x＝cos t∈[－1,1]，故排除A和B；而C中y＝＝＝，即x2y＝1，故排除C.
5．抛物线(t为参数)的准线方程是( )
A．x＝1 B．x＝－1
C．y＝1 D．y＝－1
答案 D
解析 由x＝4t，得t2＝，
∴y＝4t2＝，
即x2＝4y，
∴准线方程为y＝－1.
6．若直线y＝x－b与曲线θ∈[0,2π)有两个不同的公共点，则实数b的取值范围是( )
A．(2－，1)
B．[2－，2＋]
C．(－∞，2－)∪(2＋，＋∞)
D．(2－，2＋)
答案 D
解析 由消去θ，得(x－2)2＋y2＝1.(*)
将y＝x－b代入(*)式，
化简得2x2－(4＋2b)x＋b2＋3＝0，
依题意知，Δ＝[－(4＋2b)]2－4×2(b2＋3)>0，
解得2－二、填空题
7．点(－3,0)到直线(t为参数)的距离为________．
答案 1
解析 ∵直线的普通方程为x－2y＝0，
∴点(－3,0)到直线的距离为d＝＝1.
8．已知P为椭圆4x2＋y2＝4上的点，O为原点，则|OP|的取值范围是________．
答案 [1,2]
解析 由4x2＋y2＝4，得x2＋＝1.
令(φ为参数)，
则|OP|2＝x2＋y2＝cos2φ＋4sin2φ＝1＋3sin2φ.
∵0≤sin2φ≤1，∴1≤1＋3sin2φ≤4，
∴1≤|OP|≤2.
9．在极坐标系中，直线过点(1,0)且与直线θ＝(ρ∈R)垂直，则直线的极坐标方程为________________________________________________________________________．
答案 2ρsin＝1(或2ρcos＝1、ρcosθ＋ρsinθ＝1)
解析 由题意可知在平面直角坐标系中，直线θ＝的斜率是，所求直线过点(1,0)，且斜率是－，所以直线方程为y＝－(x－1)，化成极坐标方程为ρsin θ＝－(ρcos θ－1)，化简得2ρsin＝1.
10．已知直线l的极坐标方程为2ρsin＝，点A的极坐标为，则点A到直线l的距离为______________________________________________________________．
答案
解析 ∵2ρsin＝，
∴2ρ＝(ρsin θ－ρcos θ)＝，
即ρsin θ－ρcos θ＝1，
∴直线l的直角坐标方程为y－x＝1，即x－y＋1＝0.
∵点A的直角坐标为(2，－2)，
∴点A到直线l的距离d＝＝.
三、解答题
11．已知x，y满足(x－1)2＋(y＋2)2＝4，求S＝3x－y的最值．
解 由(x－1)2＋(y＋2)2＝4可知，曲线表示以(1，－2)为圆心，2为半径的圆．
令x＝1＋2cos θ，y＝－2＋2sin θ，
则S＝3x－y＝3(1＋2cos θ)－(－2＋2sin θ)＝5＋6cos θ－2sin θ
＝5＋2·sin(θ＋φ)(其中tan φ＝－3)，
所以，当sin(θ＋φ)＝1时，S取得最大值5＋2；
当sin(θ＋φ)＝－1时，S取得最小值5－2.
12．已知直线l的参数方程为(t为参数)，圆C的参数方程为(θ为参数)．
(1)求直线l和圆C的普通方程；
(2)若直线l与圆C有公共点，求实数a的取值范围．
解 (1)直线l的普通方程为2x－y－2a＝0，
圆C的普通方程为x2＋y2＝16.
(2)因为直线l与圆C有公共点，故圆C的圆心(0,0)到直线l的距离d＝≤4，
解得－2≤a≤2.
即实数a的取值范围为[－2，2]．
13．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(θ为参数，且0≤θ<2π)，点M是曲线C1上的动点．
(1)求线段OM的中点P的轨迹的直角坐标方程；
(2)以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，若直线l的极坐标方程为ρcosθ－ρsinθ＋1＝0(ρ>0)，求点P到直线l距离的最大值．
解 (1)曲线C1上的动点M的坐标为(4cos θ，4sin θ)，
坐标原点为O(0,0)，
设P的坐标为(x，y)，则由中点坐标公式，
得x＝(0＋4cos θ)＝2cos θ，y＝(0＋4sin θ)＝2sin θ，
所以点P的坐标为(2cos θ，2sin θ)，
因此点P的轨迹的参数方程为(θ为参数，且0≤θ<2π)，消去参数θ，得点P轨迹的直角坐标方程为x2＋y2＝4.
(2)由直角坐标与极坐标关系，得直线l的直角坐标方程为x－y＋1＝0.
又点P的轨迹为圆心在原点，半径为2的圆，因为原点(0,0)到直线x－y＋1＝0的距离为＝＝，
所以点P到直线l距离的最大值为2＋.
四、探究与拓展
14．已知直线l的参数方程为(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ－4cosθ＝0(ρ≥0,0≤θ<2π)，则直线l与曲线C的公共点的极径ρ＝________.
答案
解析 直线l的普通方程为y＝x＋1，曲线C的直角坐标方程为y2＝4x，
联立两方程解得
所以公共点为(1,2)，
所以公共点的极径为ρ＝＝.
15．设飞机以v＝150m/s的速度水平匀速飞行，若在飞行高度h＝588m处投弹(假设炸弹的初速度等于飞机的速度)．
(1)求炸弹离开飞机后的轨迹方程；
(2)试问飞机在离目标多远(水平距离)处投弹才能命中目标．
解 (1)如图所示，A为投弹点，坐标为(0,588)，B为目标，坐标为(x0,0)．记炸弹飞行的时间为t，在A点t＝0.
设M(x，y)为飞行曲线上的任一点，它对应时刻t，炸弹初速度v0＝150 m/s，用物理学知识，分别计算水平、竖直方向的路程，得(g＝9.8 m/s2)，即
所以炸弹离开飞机后的轨迹方程为(0≤t≤2)．
(2)炸弹飞行到地面目标B处的时间t0满足方程y＝0，即588－4.9t＝0，解得t0＝2 s.
将t0＝2代入x＝150t中，得x0＝300 m.
即飞机在离目标300 m(水平距离)处投弹才能命中目标．
学习目标 1.梳理知识要点，构建知识网络.2.进一步巩固对参数方程等相关概念的理解和认识.3.能综合应用极坐标、参数方程解决问题．
1．参数方程的定义
一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x，y都是某个变数t的函数①并且对于t的每一个允许值，由方程组①所确定的点M(x，y)都在这条曲线上，那么方程组①就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x，y的变数t叫做参变数，简称参数．参数方程中的参数可以是有物理意义或几何意义的变数，也可以是没有明显实际意义的变数．
2．常见曲线的参数方程
(1)直线
过定点M0(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程的标准形式为 (t为参数)．
(2)圆
①圆x2＋y2＝r2的参数方程为(θ为参数)；
②圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的参数方程为(θ为参数)．
(3)椭圆
中心在原点，对称轴为坐标轴的椭圆b2x2＋a2y2＝a2b2(a>b>0)的参数方程为(φ为参数)．
(4)双曲线
中心在原点，对称轴为坐标轴的双曲线b2x2－a2y2＝a2b2(a>0，b>0)的参数方程为(φ为参数)．
(5)抛物线
抛物线y2＝2px(p>0)的参数方程为(α为参数)或(t为参数)．
类型一 参数方程化为普通方程
例1 把下列参数方程化为普通方程：
(1)(θ为参数)；
(2)(t为参数，a，b>0)．
解 (1)关于cos θ，sin θ的方程组
变形得
∴2＋2＝cos2θ＋sin2θ＝1，
即5x2＋4xy＋17y2－81＝0.
(2)由解得
∴①2－②2，得－＝4，
∴－＝1(x>0)．
反思与感悟 参数方程化为普通方程的注意事项
(1)在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取值范围保持一致，由参数方程化为普通方程时需要考虑x的取值范围，注意参数方程与消去参数后所得的普通方程同解性的判定．
(2)消除参数的常用方法：①代入消参法；②三角消参法；③根据参数方程的特征，采用特殊的消参手段．
跟踪训练1 判断方程(θ是参数且θ∈(0，π))表示的曲线的形状．
解 ∵x2－y2＝2－2＝4，
即x2－y2＝4，∴－＝1.
又∵θ∈(0，π)，∴sin θ>0，∴x＝sin θ＋≥2，
当且仅当θ＝时等号成立，
又y＝sin θ－＝≤0，
∴曲线为等轴双曲线－＝1在右支位于x轴下方的部分．
类型二 参数方程的应用
命题角度1 直线参数方程的应用
例2 已知点P(3,2)平分抛物线y2＝4x的一条弦AB，求弦AB的长．
解 设弦AB所在的直线方程为(t为参数)，
代入方程y2＝4x整理，得
t2sin2α＋4(sin α－cos α)t－8＝0.①
∵点P(3,2)是弦AB的中点，
由参数t的几何意义可知，方程①的两个实根t1，t2满足关系t1＋t2＝0.
即sin α－cos α＝0.∵0≤α<π，∴α＝.
∴|AB|＝|t1－t2|＝＝＝8.
反思与感悟 应用直线的参数方程求弦长要注意的问题
(1)直线的参数方程应为标准形式．
(2)要注意直线倾斜角的取值范围．
(3)设直线上两点对应的参数分别为t1，t2.
(4)套公式|t1－t2|求弦长．
跟踪训练2 直线l过点P0(－4,0)，它的参数方程为(t为参数)，直线l与圆x2＋y2＝7相交于A，B两点．
(1)求弦长|AB|；
(2)过P0作圆的切线，求切线长．
解 将直线l的参数方程代入圆的方程，
得2＋2＝7，整理得t2－4t＋9＝0.
(1)设A和B两点对应的参数分别为t1和t2，由根与系数的关系，得t1＋t2＝4，t1t2＝9.
故|AB|＝|t2－t1|＝＝2.
(2)设圆过P0的切线为P0T，T在圆上，
则|P0T|2＝|P0A|·|P0B|＝|t1t2|＝9，
∴切线长|P0T|＝3.
命题角度2 曲线参数方程的应用
例3 在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(α为参数)，在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为ρsin＝2.
(1)求曲线C与直线l在该直角坐标系下的普通方程；
(2)动点A在曲线C上，动点B在直线l上，定点P(－1,1)，求|PB|＋|AB|的最小值．
解 (1)由曲线C的参数方程
可得(x－2)2＋y2＝1，
由直线l的极坐标方程为ρsin＝2，
可得ρ(sin θ＋cos θ)＝4，
即x＋y＝4.
(2)方法一 设P关于直线l的对称点为Q(a，b)，
故?
所以Q(3,5)，
由(1)知曲线C为圆，圆心C(2,0)，半径r＝1，
|PB|＋|AB|＝|QB|＋|AB|≥|QC|－1.
仅当Q，B，A，C四点共线时，且A在B，C之间时等号成立，故(|PB|＋|AB|)min＝－1.
方法二 如图，圆心C关于直线l的对称点为D(4,2)，连接PD，交直线l于点B，此时|PB|＋|AB|有最小值，且|PB|＋|AB|＝|PB|＋|BC|－1＝|PB|＋|BD|－1＝|PD|－1＝－1.
反思与感悟 (1)关于折线段的长度和或长度差的最大值或最小值的求法，常常利用对称性以及两点之间线段最短解决．
(2)有关点与圆、直线与圆的最大值或最小值问题，常常转化为经过圆心的直线、圆心到直线的距离等．
跟踪训练3 已知曲线C：＋＝1，直线l：(t为参数)．
(1)写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；
(2)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值．
解 (1)曲线C的参数方程为(θ为参数)．
直线l的普通方程为2x＋y－6＝0.
(2)曲线C上任意一点P(2cos θ，3sin θ)到l的距离为
d＝|4cos θ＋3sin θ－6|，
则|PA|＝＝|5sin(θ＋α)－6|，
其中α为锐角，且tan α＝.
当sin(θ＋α)＝－1时，|PA|取得最大值，最大值为.
当sin(θ＋α)＝1时，|PA|取得最小值，最小值为.
类型三 极坐标与参数方程
例4 在直角坐标系xOy中，圆C的方程为(x＋6)2＋y2＝25.
(1)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆C的极坐标方程；
(2)直线l的参数方程是(t为参数)，l与圆C交于A，B两点，|AB|＝，求l的斜率．
解 (1)由x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，可得圆C的极坐标方程为ρ2＋12ρcos θ＋11＝0.
(2)方法一 在(1)中建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R)．
设A，B所对应的极径分别为ρ1，ρ2，将l的极坐标方程代入C的极坐标方程，得ρ2＋12ρcos α＋11＝0.
于是ρ1＋ρ2＝－12cos α，ρ1ρ2＝11.
|AB|＝|ρ1－ρ2|＝＝.
由|AB|＝，得cos2α＝，tan α＝±.
所以l的斜率为或－.
方法二 把代入(x＋6)2＋y2＝25，
得t2＋(12cos α)t＋11＝0，
设A，B对应的参数为t1，t2，
所以t1＋t2＝－12cos α，t1t2＝11.
则|AB|＝|t1－t2|＝＝＝，所以cos2α＝，所以tan α＝±.
所以l的斜率为或－.
反思与感悟 (1)极坐标与参数方程综合是高考的重点、热点．
(2)解决此类问题一般可以转化为直角坐标下求解．当然也可以转化为极坐标下求解，关键是根据题目特点合理转化．
跟踪训练4 在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为3ρcosθ＋2ρsinθ＝12.
(1)求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；
(2)若直线l与曲线C交于A，B两点，M为曲线C与y轴负半轴的交点，求四边形OMAB的面积．
解 (1)由得
所以2＋2＝(cos t)2＋(sin t)2＝1，
所以曲线C的普通方程为＋＝1.
在3ρcos θ＋2ρsin θ＝12中，由ρcos θ＝x，ρsin θ＝y，
得3x＋2y－12＝0，
所以直线l的直角坐标方程为3x＋2y－12＝0.
(2)由(1)可得M(0，－2)，联立方程易得A(4,0)，B(2,3)，
所以四边形OMAB的面积为×4×(3＋2)＝6＋4.
1．曲线(θ为参数)的焦点坐标为( )
A．(±3,0) B．(0，±3)
C．(±6,0) D．(0，±6)
答案 D
解析 曲线(θ为参数)的普通方程为＋＝1，这是焦点在y轴上的椭圆，c2＝a2－b2＝62，
所以焦点坐标为(0，±6)．
2．椭圆的参数方程为(0≤φ<2π)，则椭圆的离心率为( )
A.B.C.D.
答案 A
3．已知直线l的参数方程为(t为参数)，圆C的极坐标方程为ρ＝2sinθ，则直线l与圆C的位置关系为( )
A．相离 B．相切
C．相交 D．由参数确定
答案 C
4．点P(1,0)到曲线(t为参数)上的点的最短距离为________．
答案 1
解析 设点P(1,0)到曲线上的点的距离为d，则d＝＝＝＝t2＋1≥1.所以点P到曲线上的点的距离的最小值为1.
5．在平面直角坐标系xOy中，设P(x，y)是椭圆＋y2＝1上的一个动点，求S＝x＋y的最大值和最小值．
解 椭圆＋y2＝1的参数方程为(φ为参数)，故设动点P(cos φ，sin φ)，其中φ∈[0,2π)．
因此S＝x＋y＝cos φ＋sin φ
＝2＝2sin.
∴当φ＝时，S取得最大值2；当φ＝时，S取得最小值－2.
1．参数方程是以参变量为中介来表示曲线上点的坐标的方程，是曲线在同一坐标系下的又一种表示形式．某些曲线上点的坐标，用普通方程描述它们之间的关系比较困难，甚至不可能，列出的方程既复杂又不易理解，而用参数方程来描述曲线上点的坐标的间接关系比较方便，学习参数方程有助于进一步体会数学方法的灵活多变，提高应用意识和实践能力．
2．参数方程、极坐标方程是解析几何曲线方程的另外两种巧妙的表达形式，解题时要善于根据解题的需求将参数方程与普通方程进行互化，达到方便解题的目的，同时注意参数的范围．
一、选择题
1．在极坐标系中，直线2ρsin＝2＋与圆ρ＝2sinθ的位置关系为( )
A．相离 B．相切
C．相交 D．以上都有可能
答案 B
解析 直线2ρsin＝2＋与圆ρ＝2sin θ的直角坐标方程分别为x＋y＝＋1，x2＋(y－1)2＝1，
圆心(0,1)到直线x＋y－(＋1)＝0的距离d＝＝1，所以直线与圆相切．
2．下列各点在方程(θ为参数)所表示的曲线上的为( )
A．(2，－7) B.
C. D．(1,0)
答案 C
3．直线(t为参数)上与点P(－2,3)的距离等于的点的坐标是( )
A．(－4,5) B．(－3,4)
C．(－3,4)或(－1,2) D．(－4,5)或(0,1)
答案 C
4．下列参数方程(t为参数)与普通方程x2－y＝0表示同一曲线方程的是( )
A. B.
C. D.
答案 D
解析 注意参数的范围，可利用排除法，普通方程x2－y＝0中的x∈R，y≥0.A中x＝|t|≥0，B中x＝cos t∈[－1,1]，故排除A和B；而C中y＝＝＝，即x2y＝1，故排除C.
5．抛物线(t为参数)的准线方程是( )
A．x＝1 B．x＝－1
C．y＝1 D．y＝－1
答案 D
解析 由x＝4t，得t2＝，
∴y＝4t2＝，
即x2＝4y，
∴准线方程为y＝－1.
6．若直线y＝x－b与曲线θ∈[0,2π)有两个不同的公共点，则实数b的取值范围是( )
A．(2－，1)
B．[2－，2＋]
C．(－∞，2－)∪(2＋，＋∞)
D．(2－，2＋)
答案 D
解析 由消去θ，得(x－2)2＋y2＝1.(*)
将y＝x－b代入(*)式，
化简得2x2－(4＋2b)x＋b2＋3＝0，
依题意知，Δ＝[－(4＋2b)]2－4×2(b2＋3)>0，
解得2－
7．点(－3,0)到直线(t为参数)的距离为________．
答案 1
解析 ∵直线的普通方程为x－2y＝0，
∴点(－3,0)到直线的距离为d＝＝1.
8．已知P为椭圆4x2＋y2＝4上的点，O为原点，则|OP|的取值范围是________．
答案 [1,2]
解析 由4x2＋y2＝4，得x2＋＝1.
令(φ为参数)，
则|OP|2＝x2＋y2＝cos2φ＋4sin2φ＝1＋3sin2φ.
∵0≤sin2φ≤1，∴1≤1＋3sin2φ≤4，
∴1≤|OP|≤2.
9．在极坐标系中，直线过点(1,0)且与直线θ＝(ρ∈R)垂直，则直线的极坐标方程为________________________________________________________________________．
答案 2ρsin＝1(或2ρcos＝1、ρcosθ＋ρsinθ＝1)
解析 由题意可知在平面直角坐标系中，直线θ＝的斜率是，所求直线过点(1,0)，且斜率是－，所以直线方程为y＝－(x－1)，化成极坐标方程为ρsin θ＝－(ρcos θ－1)，化简得2ρsin＝1.
10．已知直线l的极坐标方程为2ρsin＝，点A的极坐标为，则点A到直线l的距离为______________________________________________________________．
答案
解析 ∵2ρsin＝，
∴2ρ＝(ρsin θ－ρcos θ)＝，
即ρsin θ－ρcos θ＝1，
∴直线l的直角坐标方程为y－x＝1，即x－y＋1＝0.
∵点A的直角坐标为(2，－2)，
∴点A到直线l的距离d＝＝.
三、解答题
11．已知x，y满足(x－1)2＋(y＋2)2＝4，求S＝3x－y的最值．
解 由(x－1)2＋(y＋2)2＝4可知，曲线表示以(1，－2)为圆心，2为半径的圆．
令x＝1＋2cos θ，y＝－2＋2sin θ，
则S＝3x－y＝3(1＋2cos θ)－(－2＋2sin θ)＝5＋6cos θ－2sin θ
＝5＋2·sin(θ＋φ)(其中tan φ＝－3)，
所以，当sin(θ＋φ)＝1时，S取得最大值5＋2；
当sin(θ＋φ)＝－1时，S取得最小值5－2.
12．已知直线l的参数方程为(t为参数)，圆C的参数方程为(θ为参数)．
(1)求直线l和圆C的普通方程；
(2)若直线l与圆C有公共点，求实数a的取值范围．
解 (1)直线l的普通方程为2x－y－2a＝0，
圆C的普通方程为x2＋y2＝16.
(2)因为直线l与圆C有公共点，故圆C的圆心(0,0)到直线l的距离d＝≤4，
解得－2≤a≤2.
即实数a的取值范围为[－2，2]．
13．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(θ为参数，且0≤θ<2π)，点M是曲线C1上的动点．
(1)求线段OM的中点P的轨迹的直角坐标方程；
(2)以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，若直线l的极坐标方程为ρcosθ－ρsinθ＋1＝0(ρ>0)，求点P到直线l距离的最大值．
解 (1)曲线C1上的动点M的坐标为(4cos θ，4sin θ)，
坐标原点为O(0,0)，
设P的坐标为(x，y)，则由中点坐标公式，
得x＝(0＋4cos θ)＝2cos θ，y＝(0＋4sin θ)＝2sin θ，
所以点P的坐标为(2cos θ，2sin θ)，
因此点P的轨迹的参数方程为(θ为参数，且0≤θ<2π)，消去参数θ，得点P轨迹的直角坐标方程为x2＋y2＝4.
(2)由直角坐标与极坐标关系，得直线l的直角坐标方程为x－y＋1＝0.
又点P的轨迹为圆心在原点，半径为2的圆，因为原点(0,0)到直线x－y＋1＝0的距离为＝＝，
所以点P到直线l距离的最大值为2＋.
四、探究与拓展
14．已知直线l的参数方程为(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ－4cosθ＝0(ρ≥0,0≤θ<2π)，则直线l与曲线C的公共点的极径ρ＝________.
答案
解析 直线l的普通方程为y＝x＋1，曲线C的直角坐标方程为y2＝4x，
联立两方程解得
所以公共点为(1,2)，
所以公共点的极径为ρ＝＝.
15．设飞机以v＝150m/s的速度水平匀速飞行，若在飞行高度h＝588m处投弹(假设炸弹的初速度等于飞机的速度)．
(1)求炸弹离开飞机后的轨迹方程；
(2)试问飞机在离目标多远(水平距离)处投弹才能命中目标．
解 (1)如图所示，A为投弹点，坐标为(0,588)，B为目标，坐标为(x0,0)．记炸弹飞行的时间为t，在A点t＝0.
设M(x，y)为飞行曲线上的任一点，它对应时刻t，炸弹初速度v0＝150 m/s，用物理学知识，分别计算水平、竖直方向的路程，得(g＝9.8 m/s2)，即
所以炸弹离开飞机后的轨迹方程为(0≤t≤2)．
(2)炸弹飞行到地面目标B处的时间t0满足方程y＝0，即588－4.9t＝0，解得t0＝2 s.
将t0＝2代入x＝150t中，得x0＝300 m.
即飞机在离目标300 m(水平距离)处投弹才能命中目标．