第2章 2.1.1 合情推理学案

§2.1　合情推理与演绎推理
2.1.1　合情推理
学习目标　1.了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理.2.了解合情推理在数学发现中的作用．
知识点一　推理
1．推理的概念与分类
(1)根据一个或几个已知事实(或假设)得出一个判断，这种思维方式就是推理．
(2)推理一般由两部分组成，一部分是已知的事实(或假设)，叫做前提；一部分是由已知推出的判断，叫做结论．
(3)推理一般分为合情推理与演绎推理．
2．合情推理
前提为真时，结论可能为真的推理，叫做合情推理．常用的合情推理有归纳推理和类比推理．
知识点二　归纳推理
思考　(1)铜、铁、铝、金、银等金属都能导电，猜想：一切金属都能导电．
(2)统计学中，从总体中抽取样本，然后用样本估计总体．
以上属于什么推理？
答案　属于归纳推理．符合归纳推理的定义特征．
梳理　归纳推理
(1)定义：根据一类事物的部分对象具有某种性质，推出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理，叫做归纳推理(简称归纳)，归纳是从特殊到一般的过程．
(2)归纳推理的一般步骤
①通过观察个别情况发现某些相同性质．
②从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想)．
知识点三　类比推理
思考　由三角形的性质：①三角形的两边之和大于第三边，②三角形面积等于高与底乘积的.
可推测出四面体具有如下性质：
(1)四面体任意三个面的面积之和大于第四个面的面积，
(2)四面体的体积等于底面积与高乘积的.
该推理属于什么推理？
答案　类比推理．
梳理　类比推理
(1)定义：根据两类不同事物之间具有某些类似(或一致)性，推测其中一类事物具有与另一类事物类似(或相同)的性质的推理，叫做类比推理(简称类比)．
(2)类比推理的一般步骤
①找出两类事物之间的相似性或一致性．
②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想)．
1．类比推理得到的结论可作为定理应用．(　×　)
2．由个别到一般的推理为归纳推理．(　√　)
3．在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适．(　×　)
类型一　归纳推理

例1　(1)观察下列等式：
1－＝，
1－＋－＝＋，
1－＋－＋－＝＋＋，
…，
据此规律，第n(n∈N＋)个等式可为_____________________________________________．
(2)已知f(x)＝，设f1(x)＝f(x)，fn(x)＝fn－1(fn－1(x))(n>1，且n∈N＋)，则f3(x)的表达式为________，猜想fn(x)(n∈N＋)的表达式为________．
答案　(1)1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋
(2)f3(x)＝　fn(x)＝
解析　(1)等式左边的特征：第1个有2项，第2个有4项，第3个有6项，且正负交错，故第n(n∈N＋)个等式左边有2n项且正负交错，应为1－＋－＋…＋－；等式右边的特征：第1个有1项，第2个有2项，第3个有3项，故第n(n∈N＋)个等式右边有n项，且由前几个等式的规律不难发现，第n(n∈N＋)个等式右边应为＋＋…＋.
(2)∵f(x)＝，∴f1(x)＝.
又∵fn(x)＝fn－1(fn－1(x))，
∴f2(x)＝f1(f1(x))＝＝，
f3(x)＝f2(f2(x))＝＝，
f4(x)＝f3(f3(x))＝＝，
f5(x)＝f4(f4(x))＝＝，
∴根据前几项可以猜想fn(x)＝(n∈N＋)．
引申探究　
在本例(2)中，若把“fn(x)＝fn－1(fn－1(x))”改为“fn(x)＝f(fn－1(x))”，其他条件不变，试猜想fn(x) (n∈N＋)的表达式．
解　∵f(x)＝，∴f1(x)＝.
又∵fn(x)＝f(fn－1(x))，
∴f2(x)＝f(f1(x))＝＝，
f3(x)＝f(f2(x))＝＝，
f4(x)＝f(f3(x))＝＝.
因此，可以猜想fn(x)＝(n∈N＋)．
反思与感悟　(1)已知等式或不等式进行归纳推理的方法
①要特别注意所给几个等式(或不等式)中项数和次数等方面的变化规律；②要特别注意所给几个等式(或不等式)中结构形成的特征；③提炼出等式(或不等式)的综合特点；④运用归纳推理得出一般结论．
(2)数列中的归纳推理：在数列问题中，常常用到归纳推理猜测数列的通项公式或前n项和．
①通过已知条件求出数列的前几项或前n项和；②根据数列中的前几项或前n项和与对应序号之间的关系求解；③运用归纳推理写出数列的通项公式或前n项和公式．
跟踪训练1　(1)已知x>1，由不等式x＋>2；x2＋>3；x3＋>4；…，可以推广为(　　)
A．xn＋>n B．xn＋>n＋1
C．xn＋>n＋1 D．xn＋>n
(2)观察下列等式：
－2＋－2＝×1×2；
－2＋－2＋－2＋－2＝×2×3；
－2＋－2＋－2＋…＋－2＝×3×4；
－2＋－2＋－2＋…＋－2＝×4×5；
…，
照此规律，－2＋－2＋－2＋…＋－2＝__________.
答案　(1)B　(2)×n×(n＋1)
解析　(1)不等式左边是两项的和，第一项是x，x2，x3，…，右边的数是2,3,4，…，利用此规律观察所给不等式，都是写成xn＋>n＋1的形式，从而归纳出一般性结论：xn＋>n＋1，故选B.
(2)观察等式右边的规律：第1个数都是，第2个数对应行数n，第3个数为n＋1.

例2　如图，第n个图形是由正n＋2边形“扩展”而来(n＝1,2,3，…)，则第n个图形中顶点的个数为(　　)
A．(n＋1)(n＋2) B．(n＋2)(n＋3)
C．n2 D．n
答案　B
解析　由已知图形我们可以得到：
当n＝1时，顶点共有12＝3×4(个)，
当n＝2时，顶点共有20＝4×5(个)，
当n＝3时，顶点共有30＝5×6(个)，
当n＝4时，顶点共有42＝6×7(个)，
…，
则第n个图形共有顶点(n＋2)(n＋3)个，
故选B.
反思与感悟　图形中归纳推理的特点及思路
(1)从图形的数量规律入手，找到数值变化与数量的关系．
(2)从图形结构变化规律入手，找到图形的结构每发生一次变化后，与上一次比较，数值发生了怎样的变化．
跟踪训练2　黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案，则第n个图案中有黑色地面砖的块数是________．
答案　5n＋1
解析　观察图案知，从第一个图案起，每个图案中黑色地面砖的个数组成首项为6，公差为5的等差数列，从而第n个图案中黑色地面砖的块数为6＋(n－1)×5＝5n＋1.
类型二　类比推理
例3　如图所示，面积为S的平面凸四边形的第i条边的边长记为ai(i＝1,2,3,4)，此四边形内任一点P到第i条边的距离记为hi(i＝1,2,3,4)，若＝＝＝＝k，则h1＋2h2＋3h3＋4h4＝，
类比以上性质，体积为V的三棱锥的第i个面的面积记为Si(i＝1,2,3,4)，此三棱锥内任一点Q到第i个面的距离记为Hi(i＝1,2,3,4)，若＝＝＝＝K，则H1＋2H2＋3H3＋4H4等于多少？
解　对平面凸四边形：
S＝a1h1＋a2h2＋a3h3＋a4h4
＝(kh1＋2kh2＋3kh3＋4kh4)
＝(h1＋2h2＋3h3＋4h4)，
所以h1＋2h2＋3h3＋4h4＝；
类比在三棱锥中，
V＝S1H1＋S2H2＋S3H3＋S4H4
＝(KH1＋2KH2＋3KH3＋4KH4)
＝(H1＋2H2＋3H3＋4H4)．
故H1＋2H2＋3H3＋4H4＝.
反思与感悟　(1)类比推理的基本原则是根据当前问题的需要，选择适当的类比对象，可以从几何元素的数目、位置关系、度量等方面入手．由平面中相关结论可以类比得到空间中的相关结论．
(2)平面图形与空间图形的类比如下：
平面图形
点
线
边长
面积
线线角
三角形
空间图形
线
面
面积
体积
二面角
四面体
跟踪训练3　(1)若数列{an}(n∈N＋)是等差数列，则有数列bn＝(n∈N＋)也是等差数列；类比上述性质，相应地：若数列{cn}是等比数列，且cn>0，则有数列dn＝___(n∈N＋)也是等比数列．
答案　
解析　数列{an}(n∈N＋)是等差数列，则有数列bn＝(n∈N＋)也是等差数列．类比猜想：若数列{cn}是各项均为正数的等比数列，则当dn＝时，数列{dn}也是等比数列．
(2)如图所示，在△ABC中，射影定理可表示为a＝b·cosC＋c·cosB，其中a，b，c分别为角A，B，C的对边．类比上述定理，写出对空间四面体性质的猜想．
解　如图所示，在四面体P－ABC中，设S1，S2，S3，S分别表示△PAB，△PBC，△PCA，△ABC的面积，α，β，γ依次表示面PAB，面PBC，面PCA与底面ABC所成二面角的大小．
我们猜想射影定理类比推理到三维空间，其表现形式应为S＝S1·cosα＋S2·cosβ＋S3·cosγ.
1．有一串彩旗，(代表蓝色，(代表黄色．两种彩旗排成一行：
(((((((((((((((((((((((((((…，
那么在前200个彩旗中黄旗的个数为(　　)
A．111B．89C．133D．67
答案　D
解析　观察彩旗排列规律可知，颜色的交替成周期性变化，周期为9，每9个旗子中有3个黄旗．则200÷9＝22余2，则200个旗子中黄旗的个数为22×3＋1＝67.故选D.
2．下列平面图形中，与空间的平行六面体作为类比对象较合适的是(　　)
A．三角形 B．梯形
C．平行四边形 D．矩形
答案　C
解析　因为平行六面体相对的两个面互相平行，类比平面图形，则相对的两条边互相平行，故选C.
3．观察下列各式：1＝12,2＋3＋4＝32,3＋4＋5＋6＋7＝52,4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝72，…，可以得到的一般结论是(　　)
A．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝n2
B．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2
C．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－1)＝n2
D．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－1)＝(2n－1)2
答案　B
4．在平面上，若两个正三角形的边长的比为1∶2，则它们的面积比为1∶4，类似地，在空间上，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为________．
答案　1∶8
解析　设两个正四面体的体积分别为V1，V2，
则V1∶V2＝S1h1∶S2h2＝S1h1∶S2h2＝1∶8.
5.在长方形ABCD中，对角线AC与两邻边所成的角分别为α，β，cos2α＋cos2β＝1，则在立体几何中，给出类比猜想并证明．
解　在长方形ABCD中，
cos2α＋cos2β＝2＋2＝＝＝1.
于是类比到长方体中，猜想其体对角线与共顶点的三条棱所成的角分别为α，β，γ，则cos2α＋cos2β＋cos2γ＝1.
证明如下：
cos2α＋cos2β＋cos2γ＝2＋2＋2
＝＝＝1.
1．用归纳推理可从具体事例中发现一般规律，但应注意，仅根据一系列有限的特殊事例，所得出的一般结论不一定可靠，其结论的正确与否，还要经过严格的理论证明．
2．进行类比推理时，要尽量从本质上思考，不要被表面现象所迷惑，否则，只抓住一点表面的相似甚至假象就去类比，就会犯机械类比的错误．
3．多用下列技巧会提高所得结论的准确性
(1)类比对象的共同属性或相似属性尽可能的多些．
(2)这些共同属性或相似属性应是类比对象的主要属性．
(3)这些共同(相似)属性应包括类比对象的各个方面，并尽可能是多方面．
一、选择题
1．下面使用类比推理，得出的结论正确的是(　　)
A．若“a·3＝b·3，则a＝b”类比出“若a·0＝b·0，则a＝b”
B．“若(a＋b)c＝ac＋bc”类比出“(a·b)c＝ac·bc”
C．“若(a＋b)c＝ac＋bc”类比出“＝＋(c≠0)”
D．“(ab)n＝anbn”类比出“(a＋b)n＝an＋bn”
答案　C
解析　显然A，B，D不正确，只有C正确．
2.观察图形规律，在其右下角的空格内画上合适的图形为(　　)
A. B.
C. D.
考点　归纳推理的应用
题点　归纳推理在图形中的应用
答案　A
解析　观察可发现规律：①每行、每列中，方、圆、三角三种形状均各出现一次，②每行、每列有两阴影一空白，即得结果．
3．平面内平行于同一直线的两直线平行，由此类比可以得到(　　)
A．空间中平行于同一直线的两直线平行
B．空间中平行于同一平面的两直线平行
C．空间中平行于同一直线的两平面平行
D．空间中平行于同一平面的两平面平行
答案　D
解析　利用类比推理，平面中的直线和空间中的平面类比．
4．根据给出的数塔猜测123456×9＋7等于(　　)
1×9＋2＝11
12×9＋3＝111
123×9＋4＝1111
1234×9＋5＝11111
12345×9＋6＝111111
…
A．1111110 B．1111111
C．1111112 D．1111113
答案　B
解析　由数塔猜测应是各位都是1的七位数，
即1111111.
5．用火柴棒摆“金鱼”，如图所示．按照图中所示的规律，第n个“金鱼”图需要火柴棒的根数为(　　)
A．6n－2 B．8n－2
C．6n＋2 D．8n＋2
答案　C
解析　从①②③可以看出，从图②开始每个图中的火柴棒都比前一个图中的火柴棒多6根，故火柴棒数成等差数列，第一个图中火柴棒为8根，故可归纳出第n个“金鱼”图需火柴棒的根数为6n＋2.
6．已知{bn}为等比数列，b5＝2，则b1·b2·b3·b4·b5·b6·b7·b8·b9＝29.若{an}为等差数列，a5＝2，则{an}的类似结论为(　　)
A．a1a2a3…a9＝29
B．a1＋a2＋a3＋…＋a9＝29
C．a1a2a3…a9＝2×9
D．a1＋a2＋a3＋…＋a9＝2×9
答案　D
7．设△ABC的三边长分别为a，b，c，△ABC的面积为S，内切圆半径为r，则r＝，类比这个结论可知：四面体A－BCD的四个面的面积分别为S1，S2，S3，S4，内切球半径为R，四面体A－BCD的体积为V，则R等于(　　)
A. B.
C. D.
答案　C
解析　设四面体的内切球的球心为O，则球心O到四个面的距离都是R，所以四面体的体积等于以O为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和．
则四面体的体积为V＝(S1＋S2＋S3＋S4)R，
∴R＝.
8．已知f(1)＝1，f(2)＝3，f(3)＝4，f(4)＝7，f(5)＝11，…，则f(10)等于(　　)
A．28B．76C．123D．199
答案　C
解析　由题意可得f(3)＝f(1)＋f(2)，
f(4)＝f(2)＋f(3)，f(5)＝f(3)＋f(4)，
则f(6)＝f(4)＋f(5)＝18，f(7)＝f(5)＋f(6)＝29，
f(8)＝f(6)＋f(7)＝47，f(9)＝f(7)＋f(8)＝76，
f(10)＝f(8)＋f(9)＝123.
二、填空题
9．正整数按下表的规律排列，则上起第2017行，左起第2018列的数应为________________．
考点　归纳推理的应用
题点　归纳推理在数阵(表)中的应用
答案　2017×2018
解析　由给出的排列规律可知，第一列的每个数为所在行数的平方，而第一行的数则满足列数减1的平方再加1，根据题意，左起第2018列的第一个数为20172＋1，由连线规律可知，上起第2017行，左起第2018列的数应为20172＋2017＝2017×2018.
10．经计算发现下列不等式：＋<2，＋<2，＋<2，…，根据以上不等式的规律，试写出一个对正实数a，b都成立的条件不等式：________________________________.
答案　若a＋b＝20(a≠b)，则＋<2，a，b为正实数
11．观察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cosx)′＝－sinx，由归纳推理可得：若定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(－x)＝________.
考点　归纳推理
题点　归纳推理在数对(组)中的应用
答案　－g(x)
解析　由所给函数及其导数知，偶函数的导函数为奇函数．因此当f(x)是偶函数时，其导函数应为奇函数，
故g(－x)＝－g(x)．
12．如图(甲)是第七届国际数学教育大会(简称ICME－7)的会徽图案，会徽的主体图案是由如图(乙)的一连串直角三角形演化而成的，其中OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A7A8＝1，如果把图(乙)中的直角三角形依此规律继续作下去，记OA1，OA2，…，OAn，…的长度构成数列{an}，则此数列{an}的通项公式为an＝________.
考点　归纳推理的应用
题点　归纳推理在数对(组)中的应用
答案　
解析　根据OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A7A8＝1和图(乙)中的各直角三角形，由勾股定理，可得a1＝OA1＝1，a2＝OA2＝＝＝，a3＝OA3＝＝＝，…，故可归纳推测出an＝.
三、解答题
13．设a>0，且a≠1，f(x)＝.
(1)求值：f(0)＋f(1)，f(－1)＋f(2)；
(2)由(1)的结果归纳概括对所有实数x都成立的一个等式，并加以证明．
解　(1)f(0)＋f(1)＝＋＝＝，
f(－1)＋f(2)＝＋＝＝.
(2)由(1)归纳得对一切实数x，
有f(x)＋f(1－x)＝.
证明：f(x)＋f(1－x)＝＋
＝＋＝＝＝.
四、探究与拓展
14．对于大于1的自然数m的n次幂可用奇数进行如图所示的“分裂”，仿此，记53的“分裂”中的最小数为a,52的“分裂”中的最大数是b，则a＋b＝________.
考点　归纳推理的应用
题点　归纳推理在数对(组)中的应用
答案　30
解析　观察题图易得
∴a＝21，b＝9，∴a＋b＝30.
15．如图(1)，在平面内有面积关系＝·，写出图(2)中类似的体积关系，并证明你的结论．
解　类比＝·，
有＝··
证明如下：
如图(2)，设C′，C到平面PAB的距离分别为h′，h.
则＝，
故＝
＝＝.