第2章 2.1.2 演绎推理学案

2.1.2　演绎推理
学习目标　1.理解演绎推理的意义.2.掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理．
知识点一　演绎推理的含义
思考　分析下面几个推理，找出它们的共同点．
(1)所有的金属都能导电，铀是金属，所以铀能够导电；
(2)一切奇数都不能被2整除，(2100＋1)是奇数，所以(2100＋1)不能被2整除．
答案　都是由真命题，按照一定的逻辑规则推出正确的结论．
梳理　演绎推理的含义
(1)定义：由概念的定义或一些真命题，依照一定的逻辑规则得到正确结论的过程，通常叫做演绎推理．
(2)特征：当前提为真时，结论必然为真．
知识点二　演绎推理规则
思考　所有的金属都能导电，铜是金属，所以铜能导电，这个推理可以分为几段？每一段分别是什么？
答案　分为三段．
大前提：所有的金属都能导电；
小前提：铜是金属；
结论：铜能导电．
梳理　演绎推理的规则
一般模式
常用格式
大前提
已知的一般原理
M是P
小前提
所研究的特殊情况
S是M
结论
根据一般原理，对特殊情况做出的判断
所以，S是P
1．演绎推理的结论一定正确．(　×　)
2．在演绎推理中，大前提描述的是一般性原理，小前提描述的是大前提里的特殊情况，结论是根据一般性原理对特殊情况做出的判断．(　√　)
3．大前提和小前提都正确，推理形式也正确，则所得结论是正确的．(　√　)
类型一　三种演绎推理的形式
例1　选择合适的演绎推理规则写出下列推理过程．
(1)函数y＝sinx(x∈R)是周期函数；
(2)当k>1时，－>－；
(3)若n∈Z，求证n2－n为偶数．
解　(1)三段论推理：三角函数是周期函数，大前提
y＝sin x(x∈R)是三角函数，小前提
∴y＝sin x(x∈R)是周期函数．结论
(2)传递性关系推理：当k>1时，－
＝>>＝－.
(3)完全归纳推理：
∵n2－n＝n(n－1)，∴当n为偶数时，n2－n为偶数，
当n为奇数时，n－1为偶数，n2－n为偶数，
∴当n∈Z时，n2－n为偶数．
反思与感悟　对于某一问题的证明中选择哪一种推理规则有时是不唯一的，在证明等量关系、不等关系(放缩法)或立体几何中的平行关系时，常选用传递性关系推理；在涉及含参变量的证明题，需要分类讨论时，常选用完全归纳推理；根据定理证题，往往用三段论推理．
跟踪训练1　选择合适的推理规则写出下列推理过程．
(1)75是奇数；
(2)平面α，β，已知直线l∥α，l∥β，α∩β＝m，则l∥m.
解　(1)三段论推理：一切奇数都不能被2整除．大前提
75不能被2整除．小前提
75是奇数．结论
(2)传递性关系推理：如图，在平面α内任取一点P(P?m)，∵l∥α，
∴P?l，则l与点P确定一平面与α相交，设交线为a，则a∥l，同理，在β内任取一点Q(Q?m)，l与点Q确定一平面与β交于b，则l∥b，从而a∥b.
由P∈a，P?m，∴a?β，而b?β，∴a∥β.
又a?α，α∩β＝m，∴a∥m，∴l∥m.
类型二　三段论的应用
例2　如图，D，E，F分别是BC，CA，AB上的点，∠BFD＝∠A，DE∥BA，求证：ED＝AF，写出三段论形式的演绎推理．
证明　因为同位角相等，两直线平行，大前提
∠BFD与∠A是同位角，且∠BFD＝∠A，小前提
所以FD∥AE.结论
因为两组对边分别平行的四边形是平行四边形，大前提
DE∥BA，且FD∥AE，小前提
所以四边形AFDE为平行四边形．结论
因为平行四边形的对边相等，大前提
ED和AF为平行四边形AFDE的对边，小前提
所以ED＝AF.结论
反思与感悟　(1)用“三段论”证明命题的格式
××××××　　　　　大前提
××××××　　　　　小前提
××××××　　　　　结论
(2)用“三段论”证明命题的步骤
①理清证明命题的一般思路．
②找出每一个结论得出的原因．
③把每个结论的推出过程用“三段论”表示出来．
跟踪训练2　已知：在空间四边形ABCD中，点E，F分别是AB，AD的中点，如图所示，求证：EF∥平面BCD.
证明　因为三角形的中位线平行于底边，大前提
点E，F分别是AB，AD的中点，小前提
所以EF∥BD.结论
若平面外一条直线平行于平面内一条直线，则直线与此平面平行，大前提
EF?平面BCD，BD?平面BCD，EF∥BD，小前提
所以EF∥平面BCD.结论
例3　设函数f(x)＝，其中a为实数，若f(x)的定义域为R，求实数a的取值范围．
解　若函数的定义域为R，则函数对任意实数恒有意义，大前提
因为f(x)的定义域为R，小前提
所以x2＋ax＋a≠0恒成立，结论
所以Δ＝a2－4a<0，
所以0即当0引申探究　
若本例的条件不变，求f(x)的单调增区间．
解　∵f′(x)＝，
由f′(x)＝0，得x＝0或x＝2－a.
∵00.
∴在(－∞，0)和(2－a，＋∞)上，f′(x)>0.
∴f(x)的单调增区间为(－∞，0)，(2－a，＋∞)．
当a＝2时，f′(x)≥0恒成立，
∴f(x)的单调增区间为(－∞，＋∞)．
当2∴在(－∞，2－a)和(0，＋∞)上，f′(x)>0，
∴f(x)的单调增区间为(－∞，2－a)，(0，＋∞)．
综上所述，当0当a＝2时，f(x)的单调增区间为(－∞，＋∞)；
当2反思与感悟　(1)很多代数问题不论是解答题，还是证明题都蕴含着演绎推理．
(2)在解题过程中常省略大前提．
跟踪训练3　已知函数f(x)＝ax＋(a>1)，证明：函数f(x)在(－1，＋∞)上为增函数．
证明　f(x)＝ax＋＝ax＋1－.
所以f′(x)＝axln a＋.
因为x>－1，所以(x＋1)2>0，所以>0.
又a>1，所以ln a>0，ax>0，
所以axln a>0，所以f′(x)>0.
于是，f(x)＝ax＋在(－1，＋∞)上是增函数.
1．下面几种推理过程是演绎推理的是(　　)
A．两条直线平行，同旁内角互补，如果∠A与∠B是两条平行直线的同旁内角，则∠A＋∠B＝180°
B．某校高三1班有55人，2班有54人，3班有52人，由此得高三所有班人数超过50人
C．由平面三角形的性质，推测空间四边形的性质
D．在数列{an}中，a1＝1，an＝(n≥2)，由此归纳出{an}的通项公式
答案　A
解析　A是演绎推理，B，D是归纳推理，C是类比推理．
2．指数函数y＝ax(a>1)是R上的增函数，y＝2|x|是指数函数，所以y＝2|x|是R上的增函数．以上推理(　　)
A．大前提错误 B．小前提错误
C．推理形式错误 D．正确
考点　“三段论”及其应用
题点　小前提或推理形式错误导致结论错误
答案　B
解析　此推理形式正确，但是，函数y＝2|x|不是指数函数，所以小前提错误，故选B.
3．三段论：“①只有船准时起航，才能准时到达目的港，②这艘船是准时到达目的港的，③这艘船是准时起航的”，其中的“小前提”是(　　)
A．①B．②C．①②D．③
答案　D
4．把“函数y＝x2＋x＋1的图象是一条抛物线”恢复成三段论，则大前提：___________；
小前提：______________________________________；
结论：__________________________________________.
答案　二次函数的图象是一条抛物线　函数y＝x2＋x＋1是二次函数　函数y＝x2＋x＋1的图象是一条抛物线
5．设m为实数，利用三段论证明方程x2－2mx＋m－1＝0有两个相异实根．
证明　因为如果一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的判别式Δ＝b2－4ac>0，那么方程有两个相异实根，大前提
方程x2－2mx＋m－1＝0的判别式
Δ＝(－2m)2－4(m－1)＝4m2－4m＋4
＝(2m－1)2＋3>0，小前提
所以方程x2－2mx＋m－1＝0有两个相异实根．结论
1．应用三段论解决问题时，应当首先明确什么是大前提和小前提，但为了叙述的简洁，如果前提是显然的，则可以省略．
2．合情推理是由部分到整体，由个别到一般的推理或是由特殊到特殊的推理；演绎推理是由一般到特殊的推理．
3．合情推理与演绎推理是相辅相成的，数学结论、证明思路等的发现主要靠合情推理；数学结论、猜想的正确性必须通过演绎推理来证明.
一、选择题
1．《论语·学路》篇中说：“名不正，则言不顺；言不顺，则事不成；事不成，则礼乐不兴；礼乐不兴，则刑罚不中；刑罚不中，则民无所措手足；所以，名不正，则民无所措手足．”上述推理用的是(　　)
A．类比推理 B．归纳推理
C．演绎推理 D．一次三段论
答案　C
2．下列表述正确的是(　　)
①归纳推理是由部分到整体的推理；
②归纳推理是由一般到一般的推理；
③演绎推理是由一般到特殊的推理；
④类比推理是由特殊到一般的推理；
⑤类比推理是由特殊到特殊的推理．
A．①②③ B．②③④
C．②④⑤ D．①③⑤
答案　D
解析　根据归纳推理，演绎推理，类比推理的概念特征可以知道①③⑤正确．
3．命题“有些有理数是无限循环小数，整数是有理数，所以整数是无限循环小数”是假命题，推理错误的原因是(　　)
A．使用了归纳推理
B．使用了类比推理
C．使用了“三段论”，但推理形式错误
D．使用了“三段论”，但小前提错误
答案　C
解析　由“三段论”的推理方式可知，该推理的错误原因是推理形式错误．
4．“所有9的倍数(M)都是3的倍数(P)，某奇数(S)是9的倍数(M)，故某奇数(S)是3的倍数(P)．”上述推理是(　　)
A．小前提错 B．结论错
C．正确的 D．大前提错
答案　C
解析　由三段论推理概念知推理正确．
5．在证明f(x)＝2x＋1为增函数的过程中，有下列四个命题：
①增函数的定义是大前提；
②增函数的定义是小前提；
③函数f(x)＝2x＋1满足增函数的定义是大前提；
④函数f(x)＝2x＋1满足增函数的定义是小前提．
其中正确的命题是(　　)
A．①④ B．②④
C．①③ D．②③
考点　“三段论”及其应用
题点　三段论的结构
答案　A
解析　根据三段论特点，过程应为：大前提是增函数的定义；小前提是f(x)＝2x＋1满足增函数的定义；结论是f(x)＝2x＋1为增函数，故①④正确．
6．下面几种推理中是演绎推理的是(　　)
A．因为y＝2x是指数函数，所以函数y＝2x经过定点(0,1)
B．猜想数列，，，…的通项公式为an＝(n∈N＋)
C．由圆x2＋y2＝r2的面积为πr2，猜想出椭圆＋＝1的面积为πab
D．由平面直角坐标系中圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，推测空间直角坐标系中，球的方程为(x－a)2＋(y－b)2＋(z－c)2＝r2
答案　A
7．自主招生联盟成形于2009年清华大学等五校联考，主要包括“北约”联盟，“华约”联盟，“卓越”联盟和“京派”联盟．在调查某高中学校高三学生自主招生报考的情况时，得到如下结果：
a．报考“北约”联盟的学生都没报考“华约”联盟；
b．报考“华约”联盟的学生也报考了“京派”联盟；
c．报考“卓越”联盟的学生都没报考“京派”联盟；
d．不报考“卓越”联盟的学生就报考“华约”联盟．
根据上述调查结果，下列结论错误的是(　　)
A．没有同时报考“华约”和“卓越”联盟的学生
B．报考“华约”和“京派”联盟的学生一样多
C．报考“北约”联盟的学生也报考了“卓越”联盟
D．报考“京派”联盟的学生也报考了“北约”联盟
答案　D
解析　令集合U表示调查的全体学生．集合E表示报考“北约”联盟的学生，集合F表示报考“华约”联盟的学生，集合G表示报考“京派”联盟的学生，集合H表示报考“卓越”联盟的学生，由题意得A中，F∩H＝?，结论正确；B中，F＝G，结论正确；C中，E?H，结论正确．
8．在R上定义运算?：x?y＝x(1－y)．若不等式(x－a)?(x＋a)<1对任意实数x都成立，则(　　)
A．－1C．－答案　C
解析　由题意知，(x－a)?(x＋a)＝(x－a)[1－(x＋a)]＝－x2＋x＋a2－a，
∴－x2＋x＋a2－a<1，
即x2－x－a2＋a＋1>0对任意实数x都成立，
则Δ＝1－4(－a2＋a＋1)<0，
∴4a2－4a－3<0，解得－二、填空题
9．在求函数y＝的定义域时，第一步推理中大前提是当有意义时，a≥0；小前提是有意义；结论是________________________________________．
答案　y＝的定义域是[4，＋∞)
解析　由大前提知log2x－2≥0，解得x≥4.
10．有一段演绎推理：
大前提：整数是自然数；
小前提：－3是整数；
结论：－3是自然数．
这个推理显然错误，则错误的原因是__________错误．(填“大前提”“小前提”“结论”)
答案　大前提
11．锐角三角形的面积等于底乘高的一半；直角三角形的面积等于底乘高的一半；钝角三角形的面积等于底乘高的一半，所以所有三角形的面积都等于底乘高的一半，以上推理运用的推理规则是________．
答案　完全归纳推理
解析　“钝角三角形、直角三角形、锐角三角形”这一分类方法包含了所有的三角形，若这三类三角形的面积都等于底乘高的一半，就是所有的三角形的面积都等于底乘高的一半，故其推理规则为完全归纳推理．
12．若f(a＋b)＝f(a)f(b)(a，b∈N＋)，且f(1)＝2，则＋＋…＋＝________.
答案　2018
解析　利用三段论．
∵f(a＋b)＝f(a)f(b)(a，b∈N＋)，大前提
令b＝1，则＝f(1)＝2，小前提
∴＝＝…＝＝2，结论
∴原式＝＝2018.
三、解答题
13．如图所示，在锐角三角形ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，D，E是垂足，用三段论形式证明AB的中点M到D，E的距离相等．
证明　有一个内角是直角的三角形是直角三角形，大前提
在△ABD中，AD⊥BD，即∠ADB＝90°，小前提
所以△ABD是直角三角形．结论
同理，△AEB也是直角三角形．
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，大前提
因为DM是Rt△ABD斜边上的中线，小前提
所以DM＝AB.结论
同理，EM＝AB.
等于同一个量的两个量相等，大前提
DM和EM都等于AB，小前提
所以DM＝EM，即AB的中点M到D，E的距离相等．结论
四、探究与拓展
14．对于平面上的点集Ω，如果连接Ω中任意两点的线段必定包含于Ω，则称Ω为平面上的凸集，给出平面上4个点集的图形如图(阴影区域及其边界)：
其中为凸集的是______．(写出所有凸集相应图形的序号)
答案　②③
15．设f(x)＝，g(x)＝(其中a>0且a≠1)．
(1)5＝2＋3，请你推测g(5)能否用f(2)，f(3)，g(2)，g(3)来表示；
(2)如果(1)中获得了一个结论，请你推测能否将其推广．
解　(1)由题知，f(3)g(2)＋g(3)f(2)
＝×＋×＝.
又g(5)＝，
因此，g(5)＝f(3)g(2)＋g(3)f(2)．
(2)由g(5)＝f(3)g(2)＋g(3)f(2)，
即g(2＋3)＝f(3)g(2)＋g(3)f(2)，
推测g(x＋y)＝f(x)g(y)＋g(x)f(y)．
证明：因为f(x)＝，g(x)＝，大前提
所以g(x＋y)＝，
g(y)＝，f(y)＝，小前提及结论
所以f(x)g(y)＋g(x)f(y)＝×＋×
＝＝g(x＋y)．