第2章 2.2.1 综合法与分析法学案

§2.2　直接证明与间接证明
2.2.1　综合法与分析法
学习目标　1.理解综合法、分析法的意义，掌握综合法、分析法的思维特点.2.会用综合法、分析法解决问题．
知识点一　直接证明
直接证明是从命题的条件或结论出发，根据已知的定义、公理、定理，直接推证结论的真实性．常用的直接证明方法有综合法与分析法．
知识点二　综合法
阅读下列证明过程，已知实数x，y满足x＋y＝1，求证：2x＋2y≥2.
证明：因为x＋y＝1，所以2x＋2y≥2＝2＝2，当且仅当x＝y＝时，等号成立．
故2x＋2y≥2成立．
思考　该题的证明顺序是什么？
答案　从已知利用基本不等式到待证结论．
梳理　综合法
(1)定义：综合法是从已知条件出发，经过逐步的推理，最后达到待证结论．
(2)逻辑关系：P0(已知)?P1?P2?…?Pn?Q(结论)．
(3)特点：从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”，其逐步推理，实际上是寻找它的必要条件．
知识点三　分析法
思考　阅读证明基本不等式的过程，试分析证明过程有何特点？
已知a，b>0，求证≥.
证明：要证≥，
只需证a＋b≥2，
只需证a＋b－2≥0，
只需证(－)2≥0，
因为(－)2≥0显然成立，所以原不等式成立．
答案　从结论出发开始证明，寻找使证明结论成立的充分条件．
梳理　分析法
(1)定义：分析法是从待证结论出发，一步一步寻求结论成立的充分条件，最后达到题设的已知条件或已被证明的事实．
(2)逻辑关系：B(结论)?B1?B2?…?Bn?A(已知)．
(3)特点：从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”，其逐步推理，实际上是要寻找它的充分条件．
(4)证明格式：要证×××，只需证×××，只需证×××，…，因为×××成立，所以×××成立．
1．综合法是执果索因的逆推证法．(　×　)
2．分析法就是从结论推向已知．(　×　)
3．分析法与综合法证明同一问题时，一般思路恰好相反，过程相逆．(　√　)
类型一　综合法的应用
例1　在△ABC中，三个内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，且A，B，C成等差数列，a，b，c成等比数列，求证：△ABC为等边三角形．
证明　在△ABC中，A＋B＋C＝π，由A，B，C成等差数列，得2B＝A＋C，因此，B＝，
由a，b，c成等比数列，得b2＝ac.
又∵b2＝a2＋c2－2accosB＝a2＋c2－ac，
∴a2＋c2－ac＝ac，
即(a－c)2＝0，因此a＝c.故△ABC是等边三角形．
反思与感悟　用综合法证题是从已知条件出发，逐步推向结论．其适用范围为
(1)定义明确的问题，如证明函数的单调性、奇偶性等．
(2)已知条件明确，并且容易通过分析和应用各种条件逐步逼近结论的题型．在使用综合法证明时，易出现的错误是因果关系不明确，逻辑表达混乱．
跟踪训练1　已知a，b，c为不全相等的正实数．求证：＋＋>3.
证明　因为＋＋
＝＋＋＋＋＋－3，
又a，b，c为不全相等的正实数，
而＋≥2，＋≥2，＋≥2，
且上述三式等号不能同时成立，
所以＋＋＋＋＋－3>6－3＝3，
即＋＋>3.
类型二　分析法的应用
例2　设a，b为实数，求证：≥(a＋b)．
证明　当a＋b≤0时，因为≥0，
所以≥(a＋b)成立．
当a＋b>0时，用分析法证明如下：
要证≥(a＋b)，
只需证()2≥2，
即证a2＋b2≥(a2＋b2＋2ab)，
即证a2＋b2≥2ab.
由于a2＋b2≥2ab对一切实数恒成立，
所以≥(a＋b)．
综上，对任意实数a，b，≥(a＋b)．
反思与感悟　(1)当已知条件简单而证明的结论比较复杂时，一般采用分析法，在叙述过程中“要证”“只需证”“即证”这些词语必不可少，否则会出现错误．
(2)逆向思考是用分析法证题的主题思想，通过反推，逐步寻找使结论成立的充分条件，正确把握转化方向，使问题顺利获解．
跟踪训练2　求证：－<－(a≥3)．
证明　要证－<－，
只需证＋<＋，
只需证(＋)2<(＋)2，
只需证2a－3＋2<2a－3＋2，
只需证<，
只需证0<2，而0<2显然成立，
所以－<－(a≥3)．
类型三　综合法与分析法的综合应用
例3　已知a，b，c是不全相等的正数，且0求证：logx＋logx＋logx证明　要证logx＋logx＋logx只需证logx由已知0abc.
由公式知≥>0，≥>0，≥>0.
因为a，b，c不全相等，上面三式相乘，得
··>＝abc，
即··>abc成立．
所以logx＋logx＋logx引申探究
若本例条件不变，改为求证：(a＋b)≥(a2＋1)＋(b2＋1)(a＋b>0)．
证明　要证(a＋b)≥(a2＋1)＋(b2＋1)成立，
只需证2(a＋b)≥(a2＋1)＋(b2＋1)，
只需证(a＋b)2≥(a2＋1)(b2＋1)(a＋b>0)．
由于函数y＝x在(0，＋∞)内是减函数，
所以只需证(a＋b)2≤(a2＋1)(b2＋1)，
即证a2＋2ab＋b2≤a2b2＋a2＋b2＋1，
即证a2b2－2ab＋1≥0，
即证(ab－1)2≥0，
上式显然成立，所以原不等式成立．
反思与感悟　综合法和分析法各有优缺点，从寻求解题思路来看，综合法由因导果，分析法执果索因．就表达证明过程而论，综合法形式简洁，条理清晰；分析法叙述烦琐，文辞冗长．也就是说分析法宜于思考，综合法宜于表述．因此，在实际解题时，常常把分析法和综合法结合起来使用，先利用分析法寻求解题思路，再利用综合法有条理地表述解答过程．
跟踪训练3　设实数a，b，c成等比数列，非零实数x，y分别为a与b，b与c的等差中项，求证：＋＝2.
证明　由已知条件得
b2＝ac，①
2x＝a＋b,2y＝b＋c.②
要证＋＝2，只要证ay＋cx＝2xy，
只要证2ay＋2cx＝4xy.
由①②得2ay＋2cx＝a(b＋c)＋c(a＋b)＝ab＋2ac＋bc，
4xy＝(a＋b)(b＋c)＝ab＋b2＋ac＋bc＝ab＋2ac＋bc，
所以2ay＋2cx＝4xy.命题得证.
1．若a>b>0，则下列不等式中不正确的是(　　)
A．a2>ab B．ab>b2
C.> D．a2>b2
答案　C
解析　若a>b>0，则<.
2．要证－<－成立，只需证(　　)
A．(－)2<(－)2
B．(－)2<(－)2
C．(＋)2<(＋)2
D．(－－)2<(－)2
考点　分析法及应用
题点　寻找结论成立的充分条件
答案　C
解析　根据不等式性质，当a>b>0时，才有a2>b2，
只需证＋<＋，
即证(＋)2<(＋)2.
3．设0A．c B．b
C．a D．随x取值不同而不同
答案　A
解析　∵02>＝a，
∵－(x＋1)＝＝>0，∴c>b>a.
4．要证明＋<2，可选择的方法有很多，最合理的应为________．
答案　分析法
5．已知＝1，求证：cosα－sinα＝3(cosα＋sinα)．
证明　要证cosα－sinα＝3(cosα＋sinα)，
只需证＝3，只需证＝3，
只需证1－tanα＝3(1＋tanα)，只需证tanα＝－，
∵＝1，∴1－tanα＝2＋tanα，即2tanα＝－1.
∴tanα＝－显然成立，∴结论得证．
1．综合法证题是从条件出发，由因导果；分析法是从结论出发，执果索因．
2．分析法证题时，一定要恰当地运用“要证”、“只需证”、“即证”等词语．
3．在解题时，往往把综合法和分析法结合起来使用.
一、选择题
1．若实数x，y满足不等式xy>1，x＋y≥0，则(　　)
A．x>0，y>0 B．x<0，y<0
C．x>0，y<0 D．x<0，y>0
答案　A
解析　?
2．在非等边三角形ABC中，A为钝角，则三边a，b，c满足的条件是(　　)
A．b2＋c2≥a2 B．b2＋c2>a2
C．b2＋c2≤a2 D．b2＋c2答案　D
解析　由余弦定理的推论，得cosA＝，
∵A为钝角，∴cosA<0，
则b2＋c23．要证a2＋b2－1－a2b2≤0，只要证明(　　)
A．2ab－1－a2b2≤0
B．a2＋b2－1－≤0
C.－1－a2b2≤0
D．(a2－1)(b2－1)≥0
考点　分析法及应用
题点　利用分析法解决不等式问题
答案　D
解析　a2＋b2－1－a2b2≤0?(a2－1)(b2－1)≥0.
4．设a，b∈R，且a≠b，a＋b＝2，则必有(　　)
A．1≤ab≤ B．ab<1<
C．ab<<1 D.答案　B
解析　因为a≠b，所以(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab>4ab，ab<1.又＝＋>＋＝＝1，故B正确．
5．分析法又叫执果索因法，若使用分析法证明：设a>b>c，且a＋b＋c＝0，求证：<a索的因应是(　　)
A．a－b>0 B．a－c>0
C．(a－b)(a－c)>0 D．(a－b)(a－c)<0
答案　C
解析　要证<a，
只需证b2－ac<3a2，
只需证b2－ac－3a2<0.
∵a＋b＋c＝0，∴a＋c＝－b，
∴只需证(a＋c)2－ac－3a2<0，即(a－c)(2a＋c)>0，
即证(a－c)(a－b)>0.
6．若A，B为△ABC的内角，则A>B是sinA>sinB的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案　C
解析　由正弦定理知＝＝2R(R为△ABC的外接圆半径)，又A，B为三角形的内角，∴sinA>0，sinB>0，∴sinA>sinB?2RsinA>2RsinB?a>b?A>B.
7．设f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)单调递减．若x1＋x2>0，则f(x1)＋f(x2)的值(　　)
A．恒为负 B．恒等于零
C．恒为正 D．无法确定正负
考点　综合法及应用
题点　利用综合法解决函数问题
答案　A
解析　由f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)单调递减，可知f(x)是R上的减函数．
由x1＋x2>0，可知x1>－x2，
所以f(x1)所以f(x1)＋f(x2)<0.
二、填空题
8．命题“函数f(x)＝x－xlnx在区间(0,1)上是增函数”的证明过程为“对函数f(x)＝x－xlnx求导得f′(x)＝－lnx，当x∈(0,1)时，f′(x)＝－lnx>0，故函数f(x)在区间(0,1)上是增函数”应用了________的证明方法．
考点　综合法及应用
题点　利用综合法解决函数问题
答案　综合法
9．设a＝－，b＝－，c＝－，则a，b，c的大小顺序是________．
答案　a>b>c
解析　∵a＝，b＝，c＝，∴a>b>c.
10.如图所示，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，过A作SB的垂线，垂足为E，过E作SC的垂线，垂足为F.
求证：AF⊥SC.
证明：要证AF⊥SC，只需证SC⊥平面AEF，只需证AE⊥SC(因为____________)，只需证____________，只需证AE⊥BC(因为____________)，只需证BC⊥平面SAB，只需证BC⊥SA(因为______________)．由SA⊥平面ABC可知，上式成立．
答案　EF⊥SC　AE⊥平面SBC　AE⊥SB　AB⊥BC
解析　要证线线垂直，可先证线面垂直，要证线面垂直，还需线线垂直，通过证明BC⊥平面SAB，可得AE⊥BC，进而AE⊥平面SBC，SC⊥平面AEF，问题得证．
11．设a>0，b>0，则下面两式的大小关系为ln(1＋)________[lg(1＋a)＋lg(1＋b)]．
答案　≤
解析　∵(1＋)2－(1＋a)(1＋b)＝2－(a＋b)≤0，
∴(1＋)2≤(1＋a)(1＋b)，
则lg(1＋)2≤lg(1＋a)(1＋b)，
即lg(1＋)≤[lg(1＋a)＋lg(1＋b)]．
三、解答题
12．如果a，b都是正数，且a≠b，求证：＋>＋.
证明　方法一　(综合法)
＋－－＝
＝＝>0，
故＋>＋.
方法二　(分析法)
要证＋>＋，
只需证＋＋2>a＋b＋2，
即证a3＋b3>a2b＋ab2，
只需证(a＋b)(a2－ab＋b2)>ab(a＋b)，
即需证a2－ab＋b2>ab，
只需证(a－b)2>0，因为a≠b，所以(a－b)2>0恒成立，
所以＋>＋成立．
13．在△ABC中，三边a，b，c成等比数列，求证：acos2＋ccos2≥b.
证明　∵左边＝＋
＝(a＋c)＋(acos C＋ccos A)
＝(a＋c)＋
＝(a＋c)＋b≥＋＝b＋＝b＝右边，
∴acos2＋ccos2≥b.
四、探究与拓展
14．如图所示，在直四棱柱A1B1C1D1－ABCD中，当底面四边形ABCD满足条件________时，有A1C⊥B1D1.(注：填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑所有可能的情形)
答案　对角线互相垂直(答案不唯一)
解析　要证A1C⊥B1D1，
只需证B1D1垂直于A1C所在的平面A1CC1，
因为该四棱柱为直四棱柱，所以B1D1⊥CC1，
故只需证B1D1⊥A1C1即可．
15．某同学在研究相邻三个正整数的算术平方根之间的关系时，发现以下三个式子均是正确的：①＋<2；②＋<2；③＋<2.
(1)已知∈(1.41,1.42)，∈(1.73,1.74)，∈(2.23，2.24)，请从以上三个式子中任选一个，结合此范围，验证其正确性(注意不能近似计算)；
(2)请将此规律推广至一般情形，并证明之．
考点　分析法及其应用
题点　分析法解决不等式问题
解　(1)验证①式成立：∵<1.74，∴＋<2.74，
∵>1.41，∴2>2.82，∴＋<2.
(2)一般结论为：若n∈N＋，则＋<2.
证明如下：
要证＋<2，
只需证(＋)2<(2)2，
即证2n＋2＋2<4n＋4，
也就是证只需证n(n＋2)即证0<1，显然成立，
故＋<2(n∈N＋)．