第3章 3.1.1~3.1.2（1） 实数系 复数的引入(一)学案

§3.1　数系的扩充与复数的引入
3.1.1　实数系
3.1.2　复数的引入(一)
学习目标　1.了解引入虚数单位i的必要性和数集的扩充过程.2.理解在数系的扩充中由实数集扩展到复数集出现的一些基本概念.3.掌握复数代数形式的表示方法，理解复数相等的充要条件．
知识点一　复数的概念及代数表示
思考　为解决方程x2＝2在有理数范围内无根的问题，数系从有理数系扩充到实数系；那么怎样解决方程x2＋1＝0在实数系中无根的问题呢？
答案　设想引入新数i，使i是方程x2＋1＝0的根，即i·i＝－1，方程x2＋1＝0有解，同时得到一些新数．
梳理　(1)复数的概念
设a，b都是实数，形如a＋bi的数叫做复数．
(2)复数的表示
复数通常用小写字母z表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)，其中a叫做复数z的实部，b叫做复数z的虚部，i称作虚数单位．
知识点二　复数的分类与复数相等的充要条件
思考1　复数z＝a＋bi(a，b∈R)，当b＝0时，z是什么数？
答案　实数．
思考2　复数z＝a＋bi(a，b∈R)，当a＝0且b≠0时，z是什么数？
答案　纯虚数．
梳理　(1)复数的分类
①复数(a＋bi，a，b∈R)
②集合表示：
(2)复数相等的充要条件
如果a，b，c，d都是实数，那么a＋bi＝c＋di?a＝c，且b＝d；a＋bi＝0?a＝0，且b＝0.
1．若a，b为实数，则z＝a＋bi为虚数．(　×　)
2．复数z＝bi是纯虚数．(　×　)
3．若两个复数的实部的差和虚部的差都等于0，那么这两个复数相等．(　√　)
类型一　复数的概念与分类
例1　当实数m满足什么条件时，复数lg(m2－2m－7)＋(m2＋5m＋6)i：
(1)是纯虚数；
(2)是实数；
(3)是虚数．
解　(1)当时，复数lg(m2－2m－7)＋(m2＋5m＋6)i是纯虚数，解得m＝4.
(2)当时，复数lg(m2－2m－7)＋(m2＋5m＋6)i是实数，解得m＝－2或m＝－3.
(3)当时，复数lg(m2－2m－7)＋(m2＋5m＋6)i是虚数，解得m<1－2或m>1＋2且m≠－2且m≠－3.
反思与感悟　利用复数的代数形式对复数分类时，关键是根据分类标准列出实部、虚部应满足的关系式(等式或不等式(组))，求解参数时，注意参数本身的取值范围，如分母不能为0.
跟踪训练1　实数m为何值时，复数z＝＋(m2＋2m－3)i分别是(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．
解　(1)要使z是实数，m需满足m2＋2m－3＝0，且有意义，
即m－1≠0，解得m＝－3.
(2)要使z是虚数，m需满足m2＋2m－3≠0，且有意义，
即m－1≠0，解得m≠1且m≠－3.
(3)要使z是纯虚数，m需满足＝0，m－1≠0，
且m2＋2m－3≠0，
解得m＝0或m＝－2.
类型二　复数相等
例2　(1)已知x2－y2＋2xyi＝2i，求实数x，y的值；
(2)关于x的方程3x2－x－1＝(10－x－2x2)i有实根，求实数a的值．
解　(1)∵x2－y2＋2xyi＝2i，
∴
解得或
(2)设方程的实数根为x＝m，则原方程可变为
3m2－m－1＝(10－m－2m2)i，
∴
解得a＝11或a＝－.
反思与感悟　两个复数相等，首先要分清两复数的实部与虚部，然后利用两个复数相等的充要条件可得到两个方程，从而可以确定两个独立参数．
跟踪训练2　已知M＝{1，(m2－2m)＋(m2＋m－2)i}，P＝{－1,1,4i}，若M∪P＝P，求实数m的值．
解　∵M∪P＝P，∴M?P，
∴(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝－1或(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝4i.
由(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝－1，得
解得m＝1；
由(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝4i，得
解得m＝2.
综上可知m＝1或m＝2.
1．下列复数中，满足方程x2＋2＝0的是(　　)
A．±1 B．±i
C．±i D．±2i
答案　C
2．若(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数，则实数x的值是(　　)
A．1 B．－1
C．±1 D．以上都不对
答案　A
解析　因为(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数，所以x2－1＝0且x2＋3x＋2≠0，解得x＝1，故选A.
3．下列几个命题：
①两个复数相等的一个必要条件是它们的实部相等；
②两个复数不相等的一个充分条件是它们的虚部不相等；
③1－ai(a∈R)是一个复数；
④虚数的平方不小于0；
⑤－1的平方根只有一个，即为－i；
⑥i是方程x4－1＝0的一个根；
⑦i是一个无理数．
其中真命题的个数为(　　)
A．3B．4C．5D．6
答案　B
解析　命题①②③⑥正确，④⑤⑦错误．
4．复数4－3a－a2i与复数a2＋4ai相等，则实数a＝________.
答案　－4
解析　根据复数相等的充要条件，有解得a＝－4.
5．以2i－的虚部为实部，以i＋2i2的实部为虚部的新复数是________．
答案　2－2i
解析　2i－的虚部为2，i＋2i2＝－2＋i，其实部为－2.
∴新复数z＝2－2i.
1．区分实数、虚数、纯虚数与复数的关系，特别要明确：实数也是复数，要把复数与实数加以区别．对于纯虚数bi(b≠0，b∈R)不要只记形式，要注意b≠0.
2．应用两复数相等的充要条件时，首先要把等号左右两边的复数写成代数形式，即分离实部与虚部，然后列出等式求解．
3．若两个复数全是实数，则可以比较大小，反之，若两个复数能比较大小，则它们必是实数.
一、选择题
1．设a，b∈R，“a＝0”是“复数a＋bi是纯虚数”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案　B
解析　因为a，b∈R，当“a＝0”时“复数a＋bi不一定是纯虚数，也可能b＝0，即a＋bi＝0∈R”．
而当“复数a＋bi是纯虚数”，则“a＝0”一定成立．
所以a，b∈R，“a＝0”是“复数a＋bi是纯虚数”的必要不充分条件．
2．下列命题中，真命题的个数是(　　)
①若x，y∈C，则x＋yi＝1＋i的充要条件是x＝y＝1；　②若a，b∈R且a>b，则a＋i>b＋i；
③若x2＋y2＝0，则x＝y＝0.
A．0B．1C．2D．3
答案　A
解析　对于①，由于x，y∈C，所以x，y不一定是x＋yi的实部和虚部，故①是假命题；对于②，由于两个虚数不能比较大小，故②是假命题；③是假命题，如12＋i2＝0，但1≠0，i≠0.
3．已知复数z1＝1＋3i的实部与复数z2＝－1－ai的虚部相等，则实数a等于(　　)
A．－3B．3C．－1D．1
答案　C
4．若sin2θ－1＋i(cosθ＋1)是纯虚数，则θ的值为(　　)
A．2kπ－(k∈Z) B．2kπ＋(k∈Z)
C．2kπ±(k∈Z) D.π＋(k∈Z)
考点　复数的概念
题点　由复数的分类求未知数
答案　B
解析　由题意，得
解得(k∈Z)，∴θ＝2kπ＋，k∈Z.
5．若(x＋y)i＝x－1(x，y∈R)，则2x＋y的值为(　　)
A.B．2C．0D．1
答案　D
解析　由复数相等的充要条件知，
解得
∴x＋y＝0.∴2x＋y＝20＝1.
6．若复数z＝＋i是纯虚数(i为虚数单位)，则tan的值为(　　)
A．7 B．－
C．－7 D．－7或－
答案　C
解析　∵复数z＝＋i是纯虚数，∴cosθ－＝0，sinθ－≠0，∴sinθ＝－，∴tanθ＝－，则tan＝＝＝－7.
7．已知关于x的方程x2＋(m＋2i)x＋2＋2i＝0(m∈R)有实数根n，且z＝m＋ni，则复数z等于(　　)
A．3＋i B．3－i
C．－3－i D．－3＋i
考点　复数相等
题点　由复数相等求参数
答案　B
解析　由题意知n2＋(m＋2i)n＋2＋2i＝0，
即解得
∴z＝3－i，故选B.
二、填空题
8．设m∈R，m2＋m－2＋(m2－1)i是纯虚数，其中i是虚数单位，则m＝________.
答案　－2
解析　由题意可得解得m＝－2.
9．若复数z＝m2＋m－2＋(m2－m－2)i为实数，则实数m的值为________．
答案　2或－1
解析　∵复数z＝m2＋m－2＋(m2－m－2)i为实数，
∴m2－m－2＝0，解得m＝2或m＝－1.
10．复数z＝(a2－2a－3)＋(|a－2|－1)i不是纯虚数，则实数a的取值范围是________________．
答案　(－∞，－1)∪(－1，＋∞)
解析　若复数z＝(a2－2a－3)＋(|a－2|－1)i是纯虚数，则a2－2a－3＝0，|a－2|－1≠0，解得a＝－1，
∴当a≠－1时，复数z＝(a2－2a－3)＋(|a－2|－1)i不是纯虚数．
11．已知z1＝(m2＋m＋1)＋(m2＋m－4)i，m∈R，z2＝3－2i.则m＝1是z1＝z2的________条件．
考点　复数相等
题点　由复数相等求参数
答案　充分不必要
解析　当z1＝z2时，必有m2＋m＋1＝3，m2＋m－4＝－2，解得m＝－2或m＝1，显然m＝1是z1＝z2的充分不必要条件．
12．已知(m＋n)－(m2－3m)i≥－1，且m∈R，n∈N＋，则m＋n＝________.
考点　复数的概念
题点　由复数的分类求未知数
答案　1或2
解析　由题意得
由②，得m＝0或m＝3.
当m＝0时，由(m＋n)≥－1，得0∴n＝1或n＝2.
当m＝3时，由(m＋n)≥－1，得0∴－3∴m，n的值分别为m＝0，n＝1或m＝0，n＝2.
故m＋n的值为1或2.
三、解答题
13．已知复数z＝a2－1－(a2－3a＋2)i，a∈R.
(1)若z是纯虚数，求a的值；
(2)若z是虚数，且z的实部比虚部大，求a的取值范围．
解　复数z＝a2－1－(a2－3a＋2)i，a∈R.
(1)由z是纯虚数，可得a2－1＝0，a2－3a＋2≠0，
解得a＝－1.
(2)由z是虚数，且z的实部比虚部大，
可得a2－1>－a2＋3a－2≠0，
解得a>1或a<且a≠2.
所以a的取值范围为∪(1,2)∪(2，＋∞)．
四、探究与拓展
14．定义运算＝ad－bc，如果(x＋y)＋(x＋3)i＝，求实数x，y的值．
考点　复数相等
题点　由复数相等求参数
解　由定义运算＝ad－bc，
得＝3x＋2y＋yi，
故有(x＋y)＋(x＋3)i＝3x＋2y＋yi.
因为x，y为实数，所以
得得x＝－1，y＝2.
15．若m为实数，z1＝(m2＋1)＋(m3＋3m2＋2m)i，z2＝(4m＋2)＋(m3－5m2＋4m)i，那么使z1>z2的m值的集合是什么？使z1解　当z1∈R时，m3＋3m2＋2m＝0，
解得m＝0或m＝－1或m＝－2，
∴z1＝1或z1＝2或z1＝5.
当z2∈R时，m3－5m2＋4m＝0，
解得m＝0或m＝1或m＝4，
∴z2＝2或z2＝6或z2＝18.
上面m的公共值为m＝0，此时，z1与z2同时为实数，且z1＝1，z2＝2.
∴当z1>z2时，m值的集合为空集；当z1