第3章 3.1.2（2） 复数的引入(二)学案

3.1.2　复数的引入(二)
学习目标　1.理解可以用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数及它们之间的一一对应关系.2.掌握实轴、虚轴、模等概念.3.掌握用向量的模来表示复数的模的方法.4.理解共轭复数的概念．
知识点一　复平面
建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，在复平面内，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴，x轴的单位是1，y轴的单位是i，实轴与虚轴的交点叫做原点，原点(0,0)对应复数0.
知识点二　复数的几何意义
思考1　复数z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面上的点Z(a，b)具有怎样的对应关系？
答案　一一对应．
思考2　复平面内的点Z与向量有怎样的对应关系？
答案　一一对应．
梳理　复数z＝a＋bi有序实数对(a，b)点Z(a，b)．
知识点三　复数的模
设＝a＋bi(a，b∈R)，则向量的长度叫做复数a＋bi的模(或绝对值)，记作|a＋bi|，且|a＋bi|＝.
知识点四　共轭复数
如果两个复数的实部相等，而虚部互为相反数，则这两个复数叫做互为共轭复数．复数z的共轭复数用表示，即当z＝a＋bi时，则＝a－bi，任一实数的共轭复数仍是它本身．
1．在复平面内，对应于实数的点都在实轴上．(　√　)
2．在复平面内，虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数．(　×　)
3．若|z1|＝|z2|，则z1＝z2.(　×　)
类型一　复数的几何意义

例1　实数x分别取什么值时，复数z＝(x2＋x－6)＋(x2－2x－15)i对应的点Z在：
(1)第三象限；
(2)直线x－y－3＝0上．
解　因为x是实数，所以x2＋x－6，x2－2x－15也是实数．
(1)当实数x满足
即当－3(2)z＝x2＋x－6＋(x2－2x－15)i对应的点Z(x2＋x－6，x2－2x－15)，
当实数x满足(x2＋x－6)－(x2－2x－15)－3＝0，
即当x＝－2时，点Z在直线x－y－3＝0上．
引申探究　
若本例中的条件不变，其对应的点在：
(1)虚轴上；(2)第四象限．
解　(1)当实数x满足x2＋x－6＝0，
即当x＝－3或x＝2时，点Z在虚轴上．
(2)当实数x满足
即当2反思与感悟　按照复数和复平面内所有点构成的集合之间的一一对应关系，每一个复数都对应着一个有序实数对，只要在复平面内找出这个有序实数对所表示的点，就可根据点的位置判断复数实部、虚部的取值．
跟踪训练1　在复平面内，复数i,1,4＋2i对应的点分别是A，B，C.求平行四边形ABCD的D点所对应的复数．
解　由已知得A(0,1)，B(1,0)，C(4,2)，则AC的中点E，由平行四边形的性质知E也是BD的中点，设D(x，y)，
则∴即D(3,3)．
∴D点所对应的复数为3＋3i.

例2　(1)向量对应的复数是5－4i，向量对应的复数是－5＋4i，则＋对应的复数是(　　)
A．－10＋8i B．10－8i
C．0 D．10＋8i
(2)设O是原点，向量，对应的复数分别为2－3i，－3＋2i，那么向量对应的复数是(　　)
A．－5＋5i B．－5－5i
C．5＋5i D．5－5i
答案　(1)C　(2)D
解析　(1)由复数的几何意义，可得
＝(5，－4)，＝(－5,4)，
所以＋＝(5，－4)＋(－5,4)＝(0,0)，
所以＋对应的复数为0.
(2)由复数的几何意义，得＝(2，－3)，＝(－3,2)，＝－＝(2，－3)－(－3,2)＝(5，－5)．
所以对应的复数是5－5i.
反思与感悟　根据复数与平面向量的对应关系可知，当平面向量的起点在原点时，向量的终点对应的复数即为向量对应的复数．反之复数对应的点确定后，从原点引出的指向该点的有向线段，即为复数对应的向量．
跟踪训练2　(1)在复平面内，O是原点，向量对应的复数为2＋i，若点A关于实轴的对称点为点B，则向量对应的复数为________．
(2)复数z＝3＋4i对应的向量所在直线的斜率为________．
答案　(1)2－i　(2)
解析　(1)复数2＋i表示的点A(2,1)关于实轴对称的点为B(2，－1)，∴对应的复数为2－i.
(2)∵复数z对应点Z(3,4)，
∴向量所在的直线的斜率为.
类型二　复数的模与共轭复数的计算
例3　已知复数z满足z＋|z|＝2＋8i，求复数z及其共轭复数．
解　设z＝a＋bi(a，b∈R)，则|z|＝，代入方程得a＋bi＋＝2＋8i，
∴
解得∴z＝－15＋8i.其共轭复数为－15－8i.
反思与感悟　计算复数的模时，应先找出复数的实部和虚部，然后再利用模的公式进行计算，两个虚数不能比较大小，但它们的模可以比较大小．
跟踪训练3　(1)若复数z＝1＋ai(i是虚数单位)的模不大于2，则实数a的取值范围是__________．
答案　[－，]
解析　复数z＝1＋ai(i是虚数单位)的模不大于2，
即1＋a2≤4，即a2≤3，可得a∈[－，]．
(2)若x－2＋yi和3x－i互为共轭复数，则实数x与y的值分别是________________．
答案　－1,1
解析　由共轭复数的定义得得
1．当A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
考点　复数的几何意义
题点　复数与点的对应关系
答案　D
解析　∵∴复数z＝(3m－2)＋(m－1)i在复平面内对应的点位于第四象限．
2．若＝(0，－3)，则对应的复数为(　　)
A．0 B．－3
C．－3i D．3
答案　C
3．在复平面内表示复数z＝(m－3)＋2i的点在直线y＝x上，则实数m的值为________．
答案　9
解析　∵z＝(m－3)＋2i表示的点在直线y＝x上，
∴m－3＝2，解得m＝9.
4．已知3－4i＝x＋yi(x，y∈R)，则|1－5i|，|x－yi|，|y＋2i|的大小关系为________________．
答案　|1－5i|>|x－yi|>|y＋2i|
解析　∵3－4i＝x＋yi，
∴x＝3，y＝－4.
则|1－5i|＝，|x－yi|＝|3＋4i|＝5，
|y＋2i|＝|－4＋2i|＝2，
∴|1－5i|>|x－yi|>|y＋2i|.
5．在复平面内，O是原点，，，对应的复数分别为－2＋i,3＋2i,1＋5i，那么对应的复数为________．
答案　4－4i
解析　由复数的几何意义可知，＝(－2,1)，＝(3,2)，＝(1,5)，
＝＋＝(－2,1)＋(1,5)＝(－1,6)，
＝－＝(3,2)－(－1,6)＝(4，－4)，
∴对应的复数为4－4i.
1．复数的几何意义
(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)的对应点的坐标为(a，b)，而不是(a，bi)．
(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)的对应向量是以原点O为起点的，否则就谈不上一一对应，因为在复平面内与相等的向量有无数个．
2．复数的模
(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模|z|＝.
(2)从几何意义上理解，复数z的模表示复数z对应的点Z和原点间的距离．
3．共轭复数的性质可以用来解决一些复数问题．
一、选择题
1．复数z＝(a2－2a)＋(a2－a－2)i(a∈R)对应的点在虚轴上，则a的值为(　　)
A．a＝0或a＝2 B．a＝0
C．a≠1且a≠2 D．a≠1或a≠2
答案　A
解析　∵复数z＝(a2－2a)＋(a2－a－2)i对应的点在虚轴上，∴a2－2a＝0，∴a＝0或a＝2.
2．已知z＝(m＋3)＋(m－1)i在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是(　　)
A．(－3,1) B．(－1,3)
C．(1，＋∞) D．(－∞，－3)
答案　A
解析　由题意得
解得－33．已知a为实数，若复数z＝(a2－3a－4)＋(a－4)i为纯虚数，则复数a－ai在复平面内对应的点位于(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
答案　B
解析　若复数z＝(a2－3a－4)＋(a－4)i是纯虚数，
则得得a＝－1，
则复数a－ai＝－1＋i对应点的坐标为(－1,1)，位于第二象限，故选B.
4．已知0A．(1，) B．(1，)
C．(1,3) D．(1,10)
答案　A
解析　0则|z|＝∈(1，)．
5．在复平面内，O是原点，向量对应的复数是2＋i，点A关于虚轴的对称点为B，则向量对应的复数是(　　)
A．1＋2i B．－2＋i
C．2－i D．－2－i
答案　B
解析　向量对应的复数是2＋i，即A(2,1)，点A关于虚轴的对称点为B(－2,1)，则向量对应的复数是－2＋i.
6．已知复数z＝a＋i(a∈R)在复平面内对应的点位于第二象限，且|z|＝2，则复数z等于(　　)
A．－1＋i
B．1＋i
C．－1＋i或1＋i
D．－2＋i
答案　A
解析　因为z在复平面内对应的点位于第二象限，
所以a<0，由|z|＝2知，＝2，解得a＝±1，
故a＝－1，所以z＝－1＋i.
7．在复平面内，O为原点，向量对应的复数为－1＋2i，若点A关于直线y＝－x的对称点为B，则向量对应的复数为(　　)
A．－2－i B．－2＋i
C．1＋2i D．－1＋2i
答案　B
解析　∵A(－1,2)关于直线y＝－x的对称点B(－2,1)，∴向量对应的复数为－2＋i.
二、填空题
8．若复数z1＝3＋ai，z2＝b＋4i(a，b∈R)，且z1与z2互为共轭复数，则z＝a＋bi的模为________．
答案　5
解析　由共轭复数的定义得
∴|z|＝|－4＋3i|＝＝5.
9．若a，b∈R，则复数(a2－4a＋5)＋(－b2＋2b－6)i所对应的点一定落在第________象限．
答案　四
解析　复数对应点的坐标为(a2－4a＋5，－b2＋2b－6)，∵a2－4a＋5＝(a－2)2＋1>0，－b2＋2b－6＝－(b－1)2－5<0，∴复数对应点的坐标在第四象限．
10．在复平面内，O为坐标原点，向量对应的复数为3－4i，若点B关于原点的对称点为A，点A关于虚轴的对称点为C，则向量对应的复数为________．
考点　复数的几何意义
题点　复数与向量的对应关系
答案　3＋4i
解析　因为点B的坐标为(3，－4)，
所以点A的坐标为(－3,4)，
所以点C的坐标为(3,4)，
所以向量对应的复数为3＋4i.
11．复数z＝(a－2)＋(a＋1)i，a∈R对应的点位于第二象限，则|z|的取值范围是____________．
答案　
解析　复数z＝(a－2)＋(a＋1)i对应的点的坐标为(a－2，a＋1)，因为该点位于第二象限，
所以解得－1由条件得|z|＝
＝
＝
＝，
因为－1三、解答题
12．已知m，n∈R，若log2(m2－3m－3)＋ilog2(m－2)为纯虚数，复数z＝m＋ni的对应点在直线x＋y－2＝0上，求|z|.
解　由纯虚数的定义知，
解得m＝4，所以z＝4＋ni.
因为z的对应点在直线x＋y－2＝0上，
所以4＋n－2＝0，所以n＝－2.
所以z＝4－2i，
所以|z|＝＝2.
13．当实数m为何值时，复数z＝(m2－8m＋15)＋(m2＋3m－28)i在复平面内的对应点：
(1)位于第四象限；
(2)位于x轴负半轴上；
(3)在上半平面(含实轴)．
解　(1)要使点位于第四象限，
需，∴，
∴－7(2)要使点位于x轴负半轴上，
需∴∴m＝4.
(3)要使点位于上半平面(含实轴)，
需m2＋3m－28≥0，
解得m≥4或m≤－7.
四、探究与拓展
14．设A，B为锐角三角形的两个内角，则复数z＝(cosB－tanA)＋itanB对应的点位于复平面的(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
考点　复数的几何意义
题点　复数与点的对应关系
答案　B
解析　因为A，B为锐角三角形的两个内角，所以A＋B>，即A>－B，sinA>cosB，cosB－tanA＝cosB－0，所以点(cosB－tanA，tanB)在第二象限，故选B.
15．设z＝x＋yi(x，y∈R)，若1≤|z|≤，判断复数w＝x＋y＋(x－y)i的对应点的集合表示什么图形，并求其面积．
解　|w|＝＝＝|z|，而1≤|z|≤，故≤|w|≤2.所以w对应点的集合是以原点为圆心，半径为和2的圆所夹圆环内点的集合(含内外圆周)，其面积S＝π[22－()2]＝2π.