第3章 3.2.1 复数的加法和减法学案

§3.2　复数的运算
3.2.1　复数的加法和减法
学习目标　1.熟练掌握复数的代数形式的加、减法运算法则.2.理解复数加减法的几何意义，能够利用“数形结合”的思想解题．
知识点一　复数的加法和减法
思考1　类比多项式的加减法运算，想一想复数如何进行加减法运算？
答案　两个复数相加(减)就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加(减)，即(a＋bi)±(c＋di)＝(a±c)＋(b±d)i.
思考2　复数的加法满足交换律和结合律吗？
答案　满足．
梳理　复数的加法与减法
(1)运算法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，
定义z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i，
z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i.
(2)加法运算律
对任意z1，z2，z3，有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．
知识点二　复数加减法的几何意义
如图，分别与复数a＋bi，c＋di对应．
思考1　试写出，，＋，－的坐标．
答案　＝(a，b)，＝(c，d)，
＋＝(a＋c，b＋d)，－＝(a－c，b－d)．
思考2　向量＋，－对应的复数分别是什么？
答案　(a＋c)＋(b＋d)i，(a－c)＋(b－d)i.
梳理　复数加减法的几何意义
复数加法的几何意义　
复数z1＋z2是以，为邻边的平行四边形的对角线所对应的复数
复数减法的几何意义　
复数z1－z2是从向量的终点指向向量的终点的向量所对应的复数
1．两个虚数的和或差可能是实数．(　√　)
2．在进行复数的加法时，实部与实部相加得实部，虚部与虚部相加得虚部．(　√　)
3．复数的减法不满足结合律，即(z1－z2)－z3＝z1－(z2＋z3)可能不成立．(　×　)
类型一　复数的加减法运算
例1　(1)若z1＝2＋i，z2＝3＋ai(a∈R)，复数z1＋z2所对应的点在实轴上，则a＝________.
(2)已知复数z满足|z|i＋z＝1＋3i，则z＝________.
答案　(1)－1　(2)1＋i
解析　(1)z1＋z2＝(2＋i)＋(3＋ai)＝5＋(a＋1)i，由题意得a＋1＝0，则a＝－1.
(2)设z＝x＋yi(x，y∈R)，则|z|＝，
∴|z|i＋z＝i＋x＋yi＝x＋(＋y)i
＝1＋3i，
∴解得
∴z＝1＋i.
反思与感悟　(1)复数的加减法运算就是实部与实部相加减，虚部与虚部相加减．
(2)当一个等式中同时含有|z|与z时，一般用待定系数法，设z＝x＋yi(x，y∈R)．
跟踪训练1　(1)若复数z满足z＋i－3＝3－i，则z＝________.
(2)(a＋bi)－(2a－3bi)－3i＝________(a，b∈R)．
(3)已知复数z满足|z|＋z＝1＋3i，则z＝________.
答案　(1)6－2i　(2)－a＋(4b－3)i　(3)－4＋3i
解析　(1)∵z＋i－3＝3－i，
∴z＝6－2i.
(2)(a＋bi)－(2a－3bi)－3i
＝(a－2a)＋(b＋3b－3)i＝－a＋(4b－3)i.
(3)设z＝x＋yi(x，y∈R)，|z|＝，
∴|z|＋z＝(＋x)＋yi＝1＋3i，
∴
解得
∴z＝－4＋3i.
类型二　复数加、减法的几何意义
例2　如图所示，平行四边形OABC的顶点O，A，C分别对应的复数为0，3＋2i，－2＋4i.求：①表示的复数；②表示的复数；③表示的复数．
解　因为A，C对应的复数分别为3＋2i，－2＋4i，
由复数的几何意义知，与表示的复数分别为3＋2i，－2＋4i.
①因为＝－，所以表示的复数为－3－2i.
②因为＝－，
所以表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.
③＝＋，
所以表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i.
反思与感悟　(1)常用技巧
①形转化为数：利用几何意义可以把几何图形的变换转化成复数运算去处理．
②数转化为形：对于一些复数运算也可以给予几何解释，使复数作为工具运用于几何之中．
(2)常见结论：在复平面内，z1，z2对应的点分别为A，B，z1＋z2对应的点为C，O为坐标原点．
①四边形OACB为平行四边形．
②若|z1＋z2|＝|z1－z2|，则四边形OACB为矩形．
③若|z1|＝|z2|，则四边形OACB为菱形．
④若|z1|＝|z2|且|z1＋z2|＝|z1－z2|，则四边形OACB为正方形．
跟踪训练2　(1)已知复平面内的平面向量，表示的复数分别是－2＋i,3＋2i，则||＝________.
(2)若z1＝2＋i，z2＝3＋ai，复数z2－z1所对应的点在第四象限内，则实数a的取值范围是__________．
答案　(1)　(2)(－∞，1)
解析　(1)∵＝＋，
∴表示的复数为(－2＋i)＋(3＋2i)＝1＋3i，
∴||＝＝.
(2)z2－z1＝1＋(a－1)i，
由题意知a－1<0，即a<1.
1．已知实数x，y满足(1＋i)x＋(1－i)y＝2，则xy的值是(　　)
A．1B．2C．－2D．－1
答案　A
解析　∵(1＋i)x＋(1－i)y＝x＋y＋(x－y)i＝2，
∴由得x＝y＝1，则xy＝1.
2．设z1＝3－4i，z2＝－2＋3i，则z1－z2在复平面内对应的点位于(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
答案　D
解析　∵z1－z2＝5－7i，
∴z1－z2在复平面内对应的点位于第四象限．
3．设z1＝2＋bi，z2＝a＋i，当z1＋z2＝0时，复数a＋bi为(　　)
A．1＋i B．2＋i
C．3 D．－2－i
答案　D
解析　由得，∴a＋bi＝－2－i.
4．设f(z)＝|z|，z1＝3＋4i，z2＝－2－i，则f(z1－z2)等于(　　)
A. B．5
C. D．5
考点　复数的加减法运算法则
题点　复数加减法的综合应用
答案　D
解析　因为z1－z2＝5＋5i，
所以f(z1－z2)＝f(5＋5i)＝|5＋5i|＝5.
5．已知复数z1＝(a2－2)＋(a－4)i，z2＝a－(a2－2)i(a∈R)，且z1－z2为纯虚数，则a＝________.
答案　－1
解析　∵z1－z2＝(a2－a－2)＋(a－4＋a2－2)i(a∈R)为纯虚数，∴解得a＝－1.
1．复数代数形式的加减法满足交换律、结合律，复数的减法是加法的逆运算．
2．复数加法的几何意义就是向量加法的平行四边形法则，复数减法的几何意义就是向量减法的三角形法则.
一、选择题
1．已知复数z满足z＋(－3＋i)＝3－i，则z等于(　　)
A．0 B．2i
C．6 D．6－2i
答案　D
解析　z＝(3－i)－(－3＋i)＝6－2i.
2．已知复数z1＝(a2－2)－3ai，z2＝a＋(a2＋2)i，若z1＋z2是纯虚数，那么实数a的值为(　　)
A．1 B．2
C．－2 D．－2或1
答案　C
解析　z1＋z2＝(a2＋a－2)＋(a2－3a＋2)i，
由题意知　得a＝－2.
3．设复数z满足关系式z＋|z|＝2＋i，那么z等于(　　)
A．－＋i B.－i
C．－－i D.＋i
答案　D
解析　设z＝a＋bi(a，b∈R)，
则z＋|z|＝(a＋)＋bi＝2＋i，
则　解得
∴z＝＋i.
4．复数z1＝2－i，z2＝－2i，则z1＋z2等于(　　)
A．0 B.＋i
C.－i D.－i
答案　C
解析　z1＋z2＝－i＝－i.
5．在复平面内点A，B，C所对应的复数分别为1＋3i，－i，2＋i，若＝，则点D表示的复数是(　　)
A．1－3i B．－3－i
C．3＋5i D．5＋3i
答案　C
解析　∵点A，B，C对应的复数分别为1＋3i，－i,2＋i，
∴对应的复数为2＋2i.设D(x，y)，
∵＝，∴(x－1，y－3)＝(2,2)，
∴　解得
∴点D表示的复数为3＋5i.
6．已知复数z对应的向量如图所示，则复数z＋1所对应的向量正确的是(　　)
答案　A
解析　由图知z＝－2＋i，则z＋1＝－1＋i，由复数的几何意义可知，A正确．
7．复数z1＝1＋icosθ，z2＝sinθ－i，则|z1－z2|的最大值为(　　)
A．3－2 B.－1
C．3＋2 D.＋1
答案　D
解析　|z1－z2|＝|(1－sinθ)＋(cosθ＋1)i|
＝
＝
＝.
∵max＝1，
∴|z1－z2|max＝＝＋1.
二、填空题
8．已知|z|＝3，且z＋3i是纯虚数，则z＝________.
答案　3i
解析　设z＝a＋bi(a，b∈R)，
则z＋3i＝a＋bi＋3i＝a＋(b＋3)i为纯虚数，
∴a＝0，b＋3≠0，又|b|＝3，
∴b＝3，z＝3i.
9．已知z1＝(3x＋y)＋(y－4x)i(x，y∈R)，z2＝(4y－2x)－(5x＋3y)i(x，y∈R)．设z＝z1－z2，且z＝13－2i，则z1＝________，z2＝________.
答案　5－9i　－8－7i
解析　∵z＝z1－z2＝(3x＋y－4y＋2x)＋(y－4x＋5x＋3y)i＝(5x－3y)＋(x＋4y)i＝13－2i，
∴
解得
∴z1＝5－9i，z2＝－8－7i.
10.如图所示，在复平面内的四个点O，A，B，C恰好构成平行四边形，其中O为原点，A，B，C所对应的复数分别是zA＝4＋ai，zB＝6＋8i，zC＝a＋bi(a，b∈R)，则zA－zC＝________.
考点　复数的加减法运算法则
题点　复数加减法与向量的对应
答案　2－4i
解析　因为＋＝，
所以4＋ai＋(a＋bi)＝6＋8i.
因为a，b∈R，
所以所以
所以zA＝4＋2i，zC＝2＋6i，
所以zA－zC＝(4＋2i)－(2＋6i)＝2－4i.
三、解答题
11．计算：
(1)(1＋2i)＋(3－4i)－(5＋6i)；
(2)5i－[(3＋4i)－(－1＋3i)]．
解　(1)(1＋2i)＋(3－4i)－(5＋6i)
＝(1＋3－5)＋(2－4－6)i＝－1－8i.
(2)5i－[(3＋4i)－(－1＋3i)]
＝5i－(4＋i)＝－4＋4i.
12．设O为坐标原点．已知向量，分别对应复数z1，z2，且z1＝＋(10－a2)i，z2＝＋(2a－5)i(其中a∈R)，若1＋z2可以与任意实数比较大小，求z1与z2的值．
解　因为1＋z2可以与任意实数比较大小，所以1＋z2∈R.
1＋z2＝－(10－a2)i＋＋(2a－5)i＝＋(2a＋a2－15)i∈R，
所以
解得a＝3，所以z1＝＋i，z2＝－1＋i.
13．已知复平面内平行四边形ABCD，A点对应的复数为2＋i，向量对应的复数为1＋2i，向量对应的复数为3－i，求：
(1)点C，D对应的复数；
(2)平行四边形ABCD的面积．
解　(1)因为向量对应的复数为1＋2i，向量对应的复数为3－i，
所以向量对应的复数为(3－i)－(1＋2i)＝2－3i.
又＝＋，
所以点C对应的复数为(2＋i)＋(2－3i)＝4－2i.
因为＝，
所以向量对应的复数为3－i，
即＝(3，－1)．
设D(x，y)，则＝(x－2，y－1)＝(3，－1)，
所以解得
所以点D对应的复数为5.
(2)因为·＝||||cosB，
所以cosB＝＝＝.
所以sinB＝.
所以S＝||||sinB＝××＝7，
所以平行四边形ABCD的面积为7.
四、探究与拓展
14．复数z＝x＋yi(x，y∈R)满足条件|z－4i|＝|z＋2|，则2x＋4y的最小值为(　　)
A．2B．4C．4D．16
答案　C
解析　∵|z－4i|＝|z＋2|，z＝x＋yi，
∴|x＋(y－4)i|＝|(x＋2)＋yi|，
∴＝，
∴x＋2y＝3.
则2x＋4y＝2x＋22y≥2＝2＝4.
15．集合M＝{z||z－1|≤1，z∈C}，N＝{z||z－1－i|＝|z－2|，z∈C}，集合P＝M∩N.
(1)指出集合P在复平面上所表示的图形；
(2)求集合P中复数模的最大值和最小值．
解　(1)由|z－1|≤1可知，集合M在复平面内所对应的点集是以点E(1,0)为圆心，以1为半径的圆的内部及边界；由|z－1－i|＝|z－2|可知，集合N在复平面内所对应的点集是以点(1,1)和(2,0)为端点的线段的垂直平分线l，因此集合P是圆面截直线l所得的一条线段AB，如图所示．
(2)圆的方程为x2＋y2－2x＝0，
直线l的方程为y＝x－1.
由
得A，B.
∴|OA|＝，|OB|＝.
∵点O到直线l的距离为，且过O向l作垂线，垂足在线段BE上，∴<.
∴集合P中复数模的最大值为，最小值为.