第3章 3.2.2 复数的乘法和除法学案
文档属性
| 名称 | 第3章 3.2.2 复数的乘法和除法学案 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 163.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标B版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-11-18 17:02:52 | ||
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文档简介
3.2.2 复数的乘法和除法
学习目标 1.掌握复数代数形式的乘法和除法运算.2.理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律.3.掌握共轭复数的性质．
知识点一 复数的乘法
思考 怎样进行复数的乘法运算？
答案 两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要把已得结果中的i2换成－1，并且把实部与虚部分别合并即可．
梳理 (1)复数的乘法
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R，定义z1z2＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i.
(2)复数乘法的运算律
①对任意复数z1，z2，z3，有
交换律
z1·z2＝z2·z1
结合律
(z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3)
乘法对加法的分配律
z1·(z2＋z3)＝z1·z2＋z1·z3
②对复数z，z1，z2和自然数m，n有zm·zn＝zm＋n，(zm)n＝zmn，(z1·z2)n＝z·z.
(3)共轭复数的性质
设z的共轭复数为，则：
①z·＝|z|2＝||2.
②＝()2.
③＝·.
知识点二 复数的除法法则
思考 类比根式除法的分母有理化，比如＝，你能写出复数的除法法则吗？
答案 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(c＋di≠0)，
则＝＝＋i.
梳理 (1)复数的倒数
已知z＝a＋bi(a，b∈R)，如果存在一个复数z′，使z·z′＝1，则z′叫做z的倒数，记作.
(2)复数的除法法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(c＋di≠0)，则＝＝＋i(a，b，c，d∈R且c＋di≠0)．
特别提醒：复数的除法和实数的除法有所不同，实数的除法可以直接约分、化简得出结果；而复数的除法是先将两复数的商写成分式，然后分母实数化(分子、分母同乘分母的共轭复数)．
1．复数加、减、乘、除的混合运算法则是先乘除，再加减．( √ )
2．两个共轭复数的和与积是实数．( √ )
3．若z1，z2∈C，且z＋z＝0，则z1＝z2＝0.( × )
类型一 复数的乘除运算
例1 计算：
(1)(1＋i)(1－i)＋(－1＋i)；
(2)(1＋i)；
(3)(－2＋3i)÷(1＋2i)；
(4)－.
解 (1)(1＋i)(1－i)＋(－1＋i)＝1－i2＋(－1＋i)＝2－1＋i＝1＋i.
(2)(1＋i)
＝(1＋i)
＝(1＋i)
＝＋i
＝－＋i.
(3)(－2＋3i)÷(1＋2i)＝
＝
＝＝＋i.
(4)方法一 －
＝
＝＝＝2i.
方法二 －＝－
＝i＋i＝2i.
反思与感悟 (1)复数的乘法运算可以把i看作字母，类比多项式的乘法进行．
(2)复数的除法一般先写成分式形式，再把分母实数化，类比实数中的分母有理化进行．
跟踪训练1 计算：
(1)(1－i)(1＋i)；
(2)；
(3).
解 (1)原式＝(1－i)(1＋i)
＝2＝－1＋i.
(2)原式＝＝＝i.
(3)原式＝＝i－1.
类型二 共轭复数的性质及应用
例2 已知复数z满足：z·＋2iz＝8＋6i，求复数z的实部与虚部的和．
解 设z＝a＋bi(a，b∈R)，
则z·＝a2＋b2，
∴a2＋b2＋2i(a＋bi)＝8＋6i，
即a2＋b2－2b＋2ai＝8＋6i，
∴解得
∴a＋b＝4，∴复数z的实部与虚部的和是4.
反思与感悟 (1)z·＝|z|2＝||2是共轭复数的常用性质．
(2)实数的共轭复数是它本身，即z∈R?z＝，利用此性质可以证明一个复数是实数．
(3)若z≠0且z＋＝0，则z为纯虚数，利用此性质可证明一个复数是纯虚数．
跟踪训练2 已知复数z满足|z|＝1，且(3＋4i)z是纯虚数，求z的共轭复数.
解 设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi且|z|＝＝1，即a2＋b2＝1.①
因为(3＋4i)z＝(3＋4i)(a＋bi)＝(3a－4b)＋(3b＋4a)i，而(3＋4i)z是纯虚数，
所以3a－4b＝0，且3b＋4a≠0.②
由①②联立，解得或
所以＝－i或＝－＋i.
类型三 in的周期性
例3 计算：
(1)(4－i5)(6＋2i7)＋(7＋i11)(4－3i)；
(2)－；
(3)＋2016＋.
解 (1)原式＝2(4－i)(3－i)＋(7－i)(4－3i)
＝2(12－3i－4i＋i2)＋(28－4i－21i＋3i2)
＝47－39i.
(2)原式＝－
＝－＝3－i＝i－i＝0.
(3)原式＝＋1008＋0＝＋(－i)1008＝i＋1.
反思与感悟 (1)in的周期性
①i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＝1(n∈N＋)．
②in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0(n∈N＋)．
(2)记住以下结果，可提高运算速度
①(1＋i)2＝2i，(1－i)2＝－2i.
②＝－i，＝i.
③＝－i.
④设ω＝－＋i，则ω2＝－－i，ω3＝1,1＋ω＋ω2＝0.
跟踪训练3 计算：1＋i＋i2＋i3＋…＋i2012.
解 ∵i2＝－1，i3＝i·i2＝－i，i4＝(i2)2＝1，i5＝i4·i＝i，
∴i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＝1且i＋i2＋i3＋i4＝0，
∴1＋i＋i2＋i3＋…＋i2012＝1＋(i＋i2＋i3＋i4)×503＝1.
1．若复数z＝，其中i为虚数单位，则等于( )
A．1＋iB．1－iC．－1＋iD．－1－i
答案 B
解析 ∵z＝＝＝＝1＋i，
∴＝1－i，故选B.
2．设复数z1＝1＋i，z2＝m－i，若z1·z2为纯虚数，则实数m可以是( )
A．iB．i2C．i3D．i4
答案 B
解析 z1·z2＝(1＋i)(m－i)＝m＋1＋(m－1)i.
∵z1·z2为纯虚数，
∴ 即得m＝－1，∵i2＝－1，
∴实数m可以是i2，故选B.
3.已知i为虚数单位，图中复平面内的点A表示复数z，则表示复数的点是( )
A．M B．N
C．P D．Q
答案 D
解析 由图可知z＝3＋i.
∴复数＝＝＝＝2－i表示的点是Q(2，－1)．故选D.
4．复数z的共轭复数记作.已知(1＋2i)(－3)＝4＋3i，则z＝________.
答案 5＋i
解析 ∵(1＋2i)(－3)＝4＋3i，
∴－3＝，＝3＋，
＝3＋＝3＋＝5－i，
则z＝5＋i.
5．已知复数z的共轭复数为，且z·(－3i)＝，求z.
解 设z＝a＋bi(a，b∈R)，
则＝a－bi，
由z·(－3i)＝，得z－3zi＝1＋3i，
即a2＋b2＋3b－3ai＝1＋3i，
由复数相等的充要条件，得
解得或
所以z＝－1或z＝－1－3i.
1．复数代数形式的乘除运算
(1)复数代数形式的乘法类似于多项式乘以多项式，复数的乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律．
(2)在进行复数代数形式的除法运算时，通常先将除法写成分式的形式，再把分子、分母都乘以分母的共轭复数，化简后可得，类似于以前学习的分母有理化．
2．共轭复数的性质可以用来解决一些复数问题．
3．复数问题实数化思想
复数问题实数化是解决复数问题的基本思想方法，其桥梁是设复数z＝a＋bi(a，b∈R)，利用复数相等的充要条件转化.
一、选择题
1．设i是虚数单位，表示复数z的共轭复数．若z＝1＋i，则＋i·等于( )
A．－2B．－2iC．2D．2i
答案 C
解析 ∵z＝1＋i，∴＝1－i，
则＋i＝＋i·(1－i)＝1－i＋i＋1＝2.
2．若复数z满足(3－4i)z＝|4＋3i|，则z的虚部为( )
A．－4B．－C．4D.
答案 D
解析 ∵(3－4i)z＝|4＋3i|，
∴z＝＝
＝＝＋i，
则z的虚部是.
3．若z＋＝6，z·＝10，则z等于( )
A．1±3i B．3±i
C．3＋i D．3－i
答案 B
解析 设z＝a＋bi(a，b∈R)，由题意得
得或∴z＝3±i.
4．已知复数z＝，是z的共轭复数，则z·等于( )
A.B.C．1D．2
答案 A
解析 z＝＝
＝＝＝.
z·＝·＝.
5．已知复数z＝(b∈R)的实部为－1，则复数－b在复平面内对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
答案 C
解析 z＝＝
＝＝＋i，
又复数z＝(b∈R)的实部为－1，
则＝－1，即b＝6.
∴z＝－1＋5i，
则＝－1－5i.
复数－b＝－1－5i－6＝－7－5i，在复平面内对应的点的坐标为(－7，－5)，位于第三象限．故选C.
6．i为虚数单位，i607的共轭复数为( )
A．iB．－iC．1D．－1
答案 A
7．当z＝时，z100＋z50＋1的值等于( )
A．1B．－1C．iD．－i
答案 D
解析 z2＝＝－i，
则z100＋z50＋1＝(－i)50＋(－i)25＋1＝i12×4＋2＋(－1)25·i6×4＋1＋1＝－1－i＋1＝－i.
二、填空题
8．已知＝b＋i(a，b∈R)，其中i为虚数单位，则a＋b＝________.
答案 1
解析 ＝2－ai＝b＋i，
即 得
∴a＋b＝1.
9．设复数z1＝2－i，z2＝1－3i，则复数＋的虚部为________．
答案 1
解析 ∵＋＝＋＝＋＋i＝－＋i＋＋i＝i，∴虚部为1.
10．定义一种运算：＝ad－bc，则复数的共轭复数是________．
考点 共轭复数的定义与应用
题点 利用定义求共轭复数
答案 －1－3i
解析 ＝3i(1＋i)＋2＝－1＋3i，
∴其共轭复数为－1－3i.
11．如图，在复平面内，复数z1，z2对应的向量分别是，，则复数对应的点位于第________象限．
答案 二
解析 由复数的几何意义知，z1＝－2－i，z2＝i，
所以＝＝－1＋2i，对应的点在第二象限．
三、解答题
12．已知i是虚数单位，且复数z满足(z－3)(2－i)＝5.
(1)求z及|z－2＋3i|；
(2)若z·(a＋i)是纯虚数，求实数a的值．
解 (1)∵(z－3)(2－i)＝5，
∴z＝＋3＝＋3
＝(2＋i)＋3＝5＋i.
∴|z－2＋3i|＝|3＋4i|＝＝5.
(2)由(1)可知，z＝5＋i，
∴z·(a＋i)＝(5＋i)(a＋i)＝(5a－1)＋(a＋5)i.
又z·(a＋i)是纯虚数，
∴5a－1＝0且a＋5≠0，
解得a＝.
13．已知z是复数，z＋2i与均为实数(i为虚数单位)，且复数(z＋ai)2在复平面内对应的点在第一象限，求实数a的取值范围．
解 z是复数，z＋2i与均为实数，
可设z＝x－2i(x∈R)，
＝
＝，
可得x＝2.
因为复数(z＋ai)2＝(2－2i＋ai)2
＝－a2＋4a＋4(a－2)i，
因为复数(z＋ai)2在复平面内对应的点在第一象限，
所以
所以
即2所以实数a的取值范围为(2,4)．
四、探究与拓展
14．投掷两颗骰子，得到其向上的点数分别为m和n，则复数(m＋ni)(n－mi)为实数的概率为________．
考点 复数的乘除法运算法则
题点 乘除法的综合应用
答案
解析 易知(m＋ni)(n－mi)＝mn－m2i＋n2i＋mn＝2mn＋(n2－m2)i.
若复数(m＋ni)(n－mi)为实数，
则m2＝n2，即(m，n)共有(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)，(5,5)，(6,6)，6种情况，
所以所求概率为＝.
15．已知z，ω为复数，(1＋3i)z为纯虚数，ω＝，且|ω|＝5，求ω.
解 设z＝m＋ni(m，n∈R)，
因为(1＋3i)z＝(1＋3i)(m＋ni)＝m－3n＋(3m＋n)i为纯虚数，
所以m－3n＝0，且3m＋n≠0，①
ω＝＝＝.
由|ω|＝5，得
＋＝(5)2，
即m2＋n2＝250.②
由①②可得或
代入ω＝，得ω＝±(7－i)．
学习目标 1.掌握复数代数形式的乘法和除法运算.2.理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律.3.掌握共轭复数的性质．
知识点一 复数的乘法
思考 怎样进行复数的乘法运算？
答案 两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要把已得结果中的i2换成－1，并且把实部与虚部分别合并即可．
梳理 (1)复数的乘法
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R，定义z1z2＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i.
(2)复数乘法的运算律
①对任意复数z1，z2，z3，有
交换律
z1·z2＝z2·z1
结合律
(z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3)
乘法对加法的分配律
z1·(z2＋z3)＝z1·z2＋z1·z3
②对复数z，z1，z2和自然数m，n有zm·zn＝zm＋n，(zm)n＝zmn，(z1·z2)n＝z·z.
(3)共轭复数的性质
设z的共轭复数为，则：
①z·＝|z|2＝||2.
②＝()2.
③＝·.
知识点二 复数的除法法则
思考 类比根式除法的分母有理化，比如＝，你能写出复数的除法法则吗？
答案 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(c＋di≠0)，
则＝＝＋i.
梳理 (1)复数的倒数
已知z＝a＋bi(a，b∈R)，如果存在一个复数z′，使z·z′＝1，则z′叫做z的倒数，记作.
(2)复数的除法法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(c＋di≠0)，则＝＝＋i(a，b，c，d∈R且c＋di≠0)．
特别提醒：复数的除法和实数的除法有所不同，实数的除法可以直接约分、化简得出结果；而复数的除法是先将两复数的商写成分式，然后分母实数化(分子、分母同乘分母的共轭复数)．
1．复数加、减、乘、除的混合运算法则是先乘除，再加减．( √ )
2．两个共轭复数的和与积是实数．( √ )
3．若z1，z2∈C，且z＋z＝0，则z1＝z2＝0.( × )
类型一 复数的乘除运算
例1 计算：
(1)(1＋i)(1－i)＋(－1＋i)；
(2)(1＋i)；
(3)(－2＋3i)÷(1＋2i)；
(4)－.
解 (1)(1＋i)(1－i)＋(－1＋i)＝1－i2＋(－1＋i)＝2－1＋i＝1＋i.
(2)(1＋i)
＝(1＋i)
＝(1＋i)
＝＋i
＝－＋i.
(3)(－2＋3i)÷(1＋2i)＝
＝
＝＝＋i.
(4)方法一 －
＝
＝＝＝2i.
方法二 －＝－
＝i＋i＝2i.
反思与感悟 (1)复数的乘法运算可以把i看作字母，类比多项式的乘法进行．
(2)复数的除法一般先写成分式形式，再把分母实数化，类比实数中的分母有理化进行．
跟踪训练1 计算：
(1)(1－i)(1＋i)；
(2)；
(3).
解 (1)原式＝(1－i)(1＋i)
＝2＝－1＋i.
(2)原式＝＝＝i.
(3)原式＝＝i－1.
类型二 共轭复数的性质及应用
例2 已知复数z满足：z·＋2iz＝8＋6i，求复数z的实部与虚部的和．
解 设z＝a＋bi(a，b∈R)，
则z·＝a2＋b2，
∴a2＋b2＋2i(a＋bi)＝8＋6i，
即a2＋b2－2b＋2ai＝8＋6i，
∴解得
∴a＋b＝4，∴复数z的实部与虚部的和是4.
反思与感悟 (1)z·＝|z|2＝||2是共轭复数的常用性质．
(2)实数的共轭复数是它本身，即z∈R?z＝，利用此性质可以证明一个复数是实数．
(3)若z≠0且z＋＝0，则z为纯虚数，利用此性质可证明一个复数是纯虚数．
跟踪训练2 已知复数z满足|z|＝1，且(3＋4i)z是纯虚数，求z的共轭复数.
解 设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi且|z|＝＝1，即a2＋b2＝1.①
因为(3＋4i)z＝(3＋4i)(a＋bi)＝(3a－4b)＋(3b＋4a)i，而(3＋4i)z是纯虚数，
所以3a－4b＝0，且3b＋4a≠0.②
由①②联立，解得或
所以＝－i或＝－＋i.
类型三 in的周期性
例3 计算：
(1)(4－i5)(6＋2i7)＋(7＋i11)(4－3i)；
(2)－；
(3)＋2016＋.
解 (1)原式＝2(4－i)(3－i)＋(7－i)(4－3i)
＝2(12－3i－4i＋i2)＋(28－4i－21i＋3i2)
＝47－39i.
(2)原式＝－
＝－＝3－i＝i－i＝0.
(3)原式＝＋1008＋0＝＋(－i)1008＝i＋1.
反思与感悟 (1)in的周期性
①i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＝1(n∈N＋)．
②in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0(n∈N＋)．
(2)记住以下结果，可提高运算速度
①(1＋i)2＝2i，(1－i)2＝－2i.
②＝－i，＝i.
③＝－i.
④设ω＝－＋i，则ω2＝－－i，ω3＝1,1＋ω＋ω2＝0.
跟踪训练3 计算：1＋i＋i2＋i3＋…＋i2012.
解 ∵i2＝－1，i3＝i·i2＝－i，i4＝(i2)2＝1，i5＝i4·i＝i，
∴i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＝1且i＋i2＋i3＋i4＝0，
∴1＋i＋i2＋i3＋…＋i2012＝1＋(i＋i2＋i3＋i4)×503＝1.
1．若复数z＝，其中i为虚数单位，则等于( )
A．1＋iB．1－iC．－1＋iD．－1－i
答案 B
解析 ∵z＝＝＝＝1＋i，
∴＝1－i，故选B.
2．设复数z1＝1＋i，z2＝m－i，若z1·z2为纯虚数，则实数m可以是( )
A．iB．i2C．i3D．i4
答案 B
解析 z1·z2＝(1＋i)(m－i)＝m＋1＋(m－1)i.
∵z1·z2为纯虚数，
∴ 即得m＝－1，∵i2＝－1，
∴实数m可以是i2，故选B.
3.已知i为虚数单位，图中复平面内的点A表示复数z，则表示复数的点是( )
A．M B．N
C．P D．Q
答案 D
解析 由图可知z＝3＋i.
∴复数＝＝＝＝2－i表示的点是Q(2，－1)．故选D.
4．复数z的共轭复数记作.已知(1＋2i)(－3)＝4＋3i，则z＝________.
答案 5＋i
解析 ∵(1＋2i)(－3)＝4＋3i，
∴－3＝，＝3＋，
＝3＋＝3＋＝5－i，
则z＝5＋i.
5．已知复数z的共轭复数为，且z·(－3i)＝，求z.
解 设z＝a＋bi(a，b∈R)，
则＝a－bi，
由z·(－3i)＝，得z－3zi＝1＋3i，
即a2＋b2＋3b－3ai＝1＋3i，
由复数相等的充要条件，得
解得或
所以z＝－1或z＝－1－3i.
1．复数代数形式的乘除运算
(1)复数代数形式的乘法类似于多项式乘以多项式，复数的乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律．
(2)在进行复数代数形式的除法运算时，通常先将除法写成分式的形式，再把分子、分母都乘以分母的共轭复数，化简后可得，类似于以前学习的分母有理化．
2．共轭复数的性质可以用来解决一些复数问题．
3．复数问题实数化思想
复数问题实数化是解决复数问题的基本思想方法，其桥梁是设复数z＝a＋bi(a，b∈R)，利用复数相等的充要条件转化.
一、选择题
1．设i是虚数单位，表示复数z的共轭复数．若z＝1＋i，则＋i·等于( )
A．－2B．－2iC．2D．2i
答案 C
解析 ∵z＝1＋i，∴＝1－i，
则＋i＝＋i·(1－i)＝1－i＋i＋1＝2.
2．若复数z满足(3－4i)z＝|4＋3i|，则z的虚部为( )
A．－4B．－C．4D.
答案 D
解析 ∵(3－4i)z＝|4＋3i|，
∴z＝＝
＝＝＋i，
则z的虚部是.
3．若z＋＝6，z·＝10，则z等于( )
A．1±3i B．3±i
C．3＋i D．3－i
答案 B
解析 设z＝a＋bi(a，b∈R)，由题意得
得或∴z＝3±i.
4．已知复数z＝，是z的共轭复数，则z·等于( )
A.B.C．1D．2
答案 A
解析 z＝＝
＝＝＝.
z·＝·＝.
5．已知复数z＝(b∈R)的实部为－1，则复数－b在复平面内对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
答案 C
解析 z＝＝
＝＝＋i，
又复数z＝(b∈R)的实部为－1，
则＝－1，即b＝6.
∴z＝－1＋5i，
则＝－1－5i.
复数－b＝－1－5i－6＝－7－5i，在复平面内对应的点的坐标为(－7，－5)，位于第三象限．故选C.
6．i为虚数单位，i607的共轭复数为( )
A．iB．－iC．1D．－1
答案 A
7．当z＝时，z100＋z50＋1的值等于( )
A．1B．－1C．iD．－i
答案 D
解析 z2＝＝－i，
则z100＋z50＋1＝(－i)50＋(－i)25＋1＝i12×4＋2＋(－1)25·i6×4＋1＋1＝－1－i＋1＝－i.
二、填空题
8．已知＝b＋i(a，b∈R)，其中i为虚数单位，则a＋b＝________.
答案 1
解析 ＝2－ai＝b＋i，
即 得
∴a＋b＝1.
9．设复数z1＝2－i，z2＝1－3i，则复数＋的虚部为________．
答案 1
解析 ∵＋＝＋＝＋＋i＝－＋i＋＋i＝i，∴虚部为1.
10．定义一种运算：＝ad－bc，则复数的共轭复数是________．
考点 共轭复数的定义与应用
题点 利用定义求共轭复数
答案 －1－3i
解析 ＝3i(1＋i)＋2＝－1＋3i，
∴其共轭复数为－1－3i.
11．如图，在复平面内，复数z1，z2对应的向量分别是，，则复数对应的点位于第________象限．
答案 二
解析 由复数的几何意义知，z1＝－2－i，z2＝i，
所以＝＝－1＋2i，对应的点在第二象限．
三、解答题
12．已知i是虚数单位，且复数z满足(z－3)(2－i)＝5.
(1)求z及|z－2＋3i|；
(2)若z·(a＋i)是纯虚数，求实数a的值．
解 (1)∵(z－3)(2－i)＝5，
∴z＝＋3＝＋3
＝(2＋i)＋3＝5＋i.
∴|z－2＋3i|＝|3＋4i|＝＝5.
(2)由(1)可知，z＝5＋i，
∴z·(a＋i)＝(5＋i)(a＋i)＝(5a－1)＋(a＋5)i.
又z·(a＋i)是纯虚数，
∴5a－1＝0且a＋5≠0，
解得a＝.
13．已知z是复数，z＋2i与均为实数(i为虚数单位)，且复数(z＋ai)2在复平面内对应的点在第一象限，求实数a的取值范围．
解 z是复数，z＋2i与均为实数，
可设z＝x－2i(x∈R)，
＝
＝，
可得x＝2.
因为复数(z＋ai)2＝(2－2i＋ai)2
＝－a2＋4a＋4(a－2)i，
因为复数(z＋ai)2在复平面内对应的点在第一象限，
所以
所以
即2
四、探究与拓展
14．投掷两颗骰子，得到其向上的点数分别为m和n，则复数(m＋ni)(n－mi)为实数的概率为________．
考点 复数的乘除法运算法则
题点 乘除法的综合应用
答案
解析 易知(m＋ni)(n－mi)＝mn－m2i＋n2i＋mn＝2mn＋(n2－m2)i.
若复数(m＋ni)(n－mi)为实数，
则m2＝n2，即(m，n)共有(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)，(5,5)，(6,6)，6种情况，
所以所求概率为＝.
15．已知z，ω为复数，(1＋3i)z为纯虚数，ω＝，且|ω|＝5，求ω.
解 设z＝m＋ni(m，n∈R)，
因为(1＋3i)z＝(1＋3i)(m＋ni)＝m－3n＋(3m＋n)i为纯虚数，
所以m－3n＝0，且3m＋n≠0，①
ω＝＝＝.
由|ω|＝5，得
＋＝(5)2，
即m2＋n2＝250.②
由①②可得或
代入ω＝，得ω＝±(7－i)．