第3章 数系的扩充与复数的引入章末复习学案
文档属性
| 名称 | 第3章 数系的扩充与复数的引入章末复习学案 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 164.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标B版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-11-18 17:02:35 | ||
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文档简介
章末复习
学习目标 1.巩固复数的概念和几何意义.2.理解并能进行复数的四则运算且认识复数加减法的几何意义．
1．复数的有关概念
(1)复数的概念
形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中a，b分别是它的实部和虚部．若b＝0，则a＋bi为实数，若b≠0，则a＋bi为虚数，若a＝0且b≠0，则a＋bi为纯虚数．
(2)复数相等：a＋bi＝c＋di?a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)．
(3)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭?a＝c且b＋d＝0(a，b，c，d∈R)．
(4)复平面
建立直角坐标系来表示复数的平面，叫做复平面．在复平面内x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴．实轴上的点都表示实数；除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数；各象限内的点都表示非纯虚数．
(5)复数的模
向量的长度叫做复数z＝a＋bi的模(或绝对值)，记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝.
2．复数的几何意义
(1)复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b)(a，b∈R)．
(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)平面向量.
3．复数的运算
(1)复数的加、减、乘、除运算法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则
①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；
②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；
③乘法：z1z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；
④除法：＝＝＝＋i(c＋di≠0)．
(2)复数加法的运算定律
复数的加法满足交换律、结合律，即对任意复数z1，z2，z3，有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．
4．共轭复数的性质
(1)z·∈R.
(2)＝z.
(3)任一实数的共轭复数仍是它本身；反之，若z＝，则z是实数．
(4)共轭复数对应的点关于实轴对称．
1．复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小．( × )
2．原点是实轴与虚轴的交点．( √ )
3．方程x2＋x＋1＝0没有解．( × )
类型一 复数的概念
例1 已知复数z＝a2－a－6＋i(a∈R)，分别求出满足下列条件的实数a的值：
(1)z是实数；(2)z是虚数；(3)z是0.
解 由a2－a－6＝0，解得a＝－2或a＝3.
由a2＋2a－15＝0，解得a＝－5或a＝3.
由a2－4≠0，解得a≠±2.
(1)由a2＋2a－15＝0且a2－4≠0，
得a＝－5或a＝3，
∴当a＝－5或a＝3时，z为实数．
(2)由a2＋2a－15≠0且a2－4≠0，
得a≠－5且a≠3且a≠±2，
∴当a≠－5且a≠3且a≠±2时，z是虚数．
(3)由a2－a－6＝0，且a2＋2a－15＝0，
且a2－4≠0，得a＝3，
∴当a＝3时，z＝0.
引申探究
本例中条件不变，若z为纯虚数，是否存在这样的实数a，若存在，求出a，若不存在，说明理由．
解 由a2－a－6＝0，且a2＋2a－15≠0，且a2－4≠0，
得a无解，
∴不存在实数a，使z为纯虚数．
反思与感悟 (1)正确确定复数的实部、虚部是准确理解复数的有关概念(如实数、虚数、纯虚数、相等复数、共轭复数、复数的模)的前提．
(2)两复数相等的充要条件是复数问题转化为实数问题的依据．
跟踪训练1 复数z＝log3(x2－3x－3)＋ilog2(x－3)，当x为何实数时，(1)z∈R；(2)z为虚数．
解 (1)因为一个复数是实数的充要条件是虚部为0，
所以
解得x＝4，所以当x＝4时，z∈R.
(2)因为一个复数是虚数的充要条件是虚部不为0，
所以解得x>且x≠4.
所以当x>且x≠4时，z为虚数．
类型二 复数的四则运算
例2 (1)计算：＋2012＋；
(2)已知z＝1＋i，求的模．
解 (1)原式＝＋1006＋
＝i＋(－i)1006＋0＝－1＋i.
(2)＝＝＝1－i，
∴的模为.
反思与感悟 (1)复数的除法运算是复数运算中的难点，如果遇到(a＋bi)÷(c＋di)的形式，首先应该写成分式的形式，然后再分母实数化．
(2)虚数单位i的周期性
①i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＝1(n∈N＋)．
②in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0(n∈N＋)．
跟踪训练2 计算：(＋i)5＋4＋7.
解 (＋i)5＋4＋7
＝－i·()5·[(1＋i)2]2·(1＋i)＋2＋i7
＝16(－1＋i)－－i
＝－＋(16－1)i.
类型三 复数问题实数化思想
例3 已知复数z1＝2，＝i，并且|z|＝2，|z－z1|＝|z－z2|，求z.
解 设z＝a＋bi(a，b∈R)，
∵z1＝2，＝i，
∴z2＝2i.
∵|z|＝2，则＝2.①
∵|z－z1|＝|z－z2|，即|a－2＋bi|＝|a＋(b－2)i|，
∴＝②
由①②得或
∴z＝2＋2i或z＝－2－2i.
反思与感悟 设出复数z的代数形式，利用复数的分类及运算，列出方程，求得复数的实部和虚部，这是求解复数的常用思路．
跟踪训练3 已知z是复数，z－3i为实数，为纯虚数(i为虚数单位)．
(1)求复数z；
(2)求的模．
解 (1)设z＝a＋bi(a，b∈R)，
∴z－3i＝a＋(b－3)i为实数，可得b＝3.
又＝为纯虚数，
∴a＝－1，即z＝－1＋3i.
(2)＝＝＝＝－2＋i，
∴＝＝.
类型四 复数的几何意义
例4 设复数z满足|z|＝1，求|z－(3＋4i)|的最值．
解 由复数的几何意义知，|z|＝1表示复数z在复平面内对应的点在以原点为圆心，1为半径的圆上，因而|z－(3＋4i)|的几何意义是求此圆上的点到点C(3,4)的距离的最大值与最小值．
如图，易知|z－(3＋4i)|max＝|AC|＝|OC|＋1＝＋1＝6，
|z－(3＋4i)|min＝|BC|＝|OC|－1＝4.
反思与感悟 复数和复平面内的点，以原点为起点的向量一一对应；复数加减法符合向量运算的平行四边形法则和三角形法则：|z1－z2|表示复数z1，z2对应的两点Z1，Z2之间的距离．
跟踪训练4 已知复平面内点A，B对应的复数分别是z1＝sin2θ＋i，z2＝－cos2θ＋icos2θ，其中θ∈(0，π)，设对应的复数为z.
(1)求复数z；
(2)若复数z对应的点P在直线y＝x上，求θ的值．
解 (1)由题意得z＝z2－z1＝－cos2θ－sin2θ＋(cos2θ－1)i＝－1－2sin2θ·i.
(2)由(1)知，点P的坐标为(－1，－2sin2θ)．
由点P在直线y＝x上，得－2sin2θ＝－，
∴sin2θ＝，又θ∈(0，π)，∴sinθ>0，
因此sinθ＝，∴θ＝或θ＝.
1．复数z＝(a∈R)在复平面内对应的点在虚轴上，则a等于( )
A．2B．－1C．1D．－2
答案 D
解析 z＝＝＝在复平面内对应的点在虚轴上，所以2＋a＝0，即a＝－2.
2．已知f(x)＝x3－1，设i是虚数单位，则复数的虚部是( )
A．－1B．1C．iD．0
答案 B
解析 f(i)＝i3－1＝－i－1，＝＝＝＝－1＋i，虚部是1.
3．已知2＋ai，b＋i(a，b∈R)是实系数一元二次方程x2＋px＋q＝0的两根，则p，q的值为( )
A．p＝－4，q＝5 B．p＝4，q＝5
C．p＝4，q＝－5 D．p＝－4，q＝－5
答案 A
解析 由条件知2＋ai，b＋i是共轭复数，则a＝－1，b＝2，即实系数一元二次方程x2＋px＋q＝0的两个根是2±i，所以p＝－[(2＋i)＋(2－i)]＝－4，q＝(2＋i)(2－i)＝5.
4．若|z－1|＝2，则|z－3i－1|的最小值为________．
答案 1
解析 因为|z－1|＝2，所以复数z在复平面内对应的点在以(1,0)为圆心，2为半径的圆上．|z－3i－1|表示复数z在复平面内对应的点到点(1,3)的距离，因此，距离的最小值为1.
5．设复数z和它的共轭复数满足4z＋2＝3＋i，求复数z.
解 设z＝a＋bi(a，b∈R)．因为4z＋2＝3＋i，
所以2z＋(2z＋2)＝3＋i.
又2z＋2＝2(a＋bi)＋2(a－bi)＝4a，整体代入上式，
得2z＋4a＝3＋i.
所以z＝＋i.
根据复数相等的充要条件，得
解得
所以z＝＋i.
1．对复数的概念的考查是考查复数的基础，要求准确理解虚数单位、复数、虚数、纯虚数、共轭复数、实部、虚部、复数的模等概念．
2．对复数四则运算的考查可能性较大，要加以重视，其中复数的乘法运算与多项式的乘法运算类似；对于复数的除法运算，将分子分母同时乘以分母的共轭复数．最后整理成a＋bi(a，b∈R)的结构形式．
3．对复数几何意义的考查．在高考中一般会结合复数的概念、复数的加减运算考查复数的几何意义、复数加减法的几何意义．求解复数，往往设出复数的代数形式，将复数问题实数化.
一、选择题
1．复数z对应的点在第二象限，它的模为3，实部是－，则是( )
A．－＋2i B．－－2i
C.＋2i D.－2i
答案 B
解析 设复数z的虚部为b，则z＝－＋bi，b>0，
∵3＝，∴b＝2，∴z＝－＋2i，
则z的共轭复数是－－2i，故选B.
2．复数＋的虚部是( )
A.iB.C．－iD．－
答案 B
解析 ＋＝＋＝－＋i.故选B.
3．若z＝1＋2i，则等于( )
A．1B．－1C．iD．－i
答案 C
解析 z＝1＋2i，
则＝＝＝i.
4．若复数z＝cos＋isin(i是虚数单位)，复数z2的实部、虚部分别为a，b，则下列结论正确的是( )
A．ab<0 B．a2＋b2≠1
C.＝ D.＝
答案 C
解析 ∵z＝cos＋isin，
∴z2＝2
＝cos2－sin2＋2cossini
＝cos＋isin＝＋i，
则a＝，b＝，则＝，故选C.
5．向量对应的复数是5－4i，向量对应的复数是－5＋4i，则向量对应的复数是( )
A．－10＋8i B．10－8i
C．－8＋10i D．8＋(－10i)
答案 A
解析 向量对应的复数是5－4i，可得Z1(5，－4)；
向量对应的复数是－5＋4i，可得Z2(－5,4)；
向量对应的点是(－10,8)，
即向量对应的复数是－10＋8i.故选A.
6．已知复数z的模为2，则|z－i|的最大值为( )
A．1B．2C.D．3
答案 D
解析 ∵|z|＝2，则复数z对应的点的轨迹是以圆心为原点，半径为2的圆，而|z－i|表示的是圆上一点到点(0,1)的距离，∴其最大值为圆上的点(0，－2)到点(0,1)的距离，最大的距离为3.
7．复数z满足(z－3)(2－i)＝5(i为虚数单位)，则z的共轭复数为( )
A．2＋i B．2－i
C．5＋i D．5－i
考点 共轭复数的定义与应用
题点 利用定义求共轭复数
答案 D
解析 由(z－3)(2－i)＝5，得z－3＝＝2＋i，
∴z＝5＋i，∴＝5－i.
二、填空题
8．若复数z满足(1＋i)z＝2，则z的实部为__________________________________________．
答案 1
解析 因为(1＋i)z＝2，所以z＝＝1－i，所以其实部为1.
9．若复数＋b(b∈R)所对应的点在直线x＋y＝1上，则b的值为________．
答案 0
解析 复数＋b＝＋b＝＋b＝b＋i.
∵所对应的点(b,1)在直线x＋y＝1上，
∴b＋1＝1，解得b＝0.
10．如图，在复平面内，点A对应的复数为z1，若＝i(i为虚数单位)，则z2＝________.
答案 －2－i
解析 由图可知，z1＝－1＋2i，
∴由＝i，得z2＝z1i＝(－1＋2i)i＝－2－i.
11．使z＋∈R，且|z－3|＝3成立的虚数z＝________.
答案 ±i
解析 设z＝a＋bi(a，b∈R且b≠0)，则
z＋＝a＋bi＋＝＋i.
由z＋∈R，得b－＝0，
又b≠0，故a2＋b2＝9.①
又由|z－3|＝3，得＝3.②
由①②，得
即z＝＋i或z＝－i.
三、解答题
12．已知复数z1＝(1＋bi)(2＋i)，z2＝3＋(1－a)i (a，b∈R，i为虚数单位)．
(1)若z1＝z2，求实数a，b的值；
(2)若b＝1，a＝0，求.
解 (1)复数z1＝(1＋bi)(2＋i)＝2－b＋(2b＋1)i，
z2＝3＋(1－a)i，
由z1＝z2，可得解得
所以实数a＝2，b＝－1.
(2)若b＝1，a＝0，则z1＝1＋3i，z2＝3＋i.
＝＝＝2.
13．若f(z)＝2z＋－3i，f(＋i)＝6－3i，求复数z.
解 f(z)＝2z＋－3i，
∴f(＋i)＝2(＋i)＋(＋i)－3i
＝2＋2i＋z－i－3i
＝2＋z－2i.
又f(＋i)＝6－3i，
∴2＋z－2i＝6－3i，
即2＋z＝6－i.
设z＝x＋yi(x，y∈R)，则＝x－yi.
∴2(x－yi)＋x＋yi＝3x－yi＝6－i，
∴∴
∴z＝2＋i.
四、探究与拓展
14．若z＝－，则z2012＋z102＝________.
答案 －1＋i
解析 z2012＋z102＝(z4)503＋(z2)51＝(－1)503＋(－i)51＝－1－i48＋3＝－1＋i.
15．是否存在复数z，使其满足·z＋2i＝3＋ai？如果存在，求实数a的取值范围；如果不存在，请说明理由．
解 设z＝x＋yi(x，y∈R)，则原条件等式可化为x2＋y2＋2i(x－yi)＝3＋ai.
由复数相等的充要条件，得
消去x，得y2＋2y＋－3＝0.
所以当Δ＝4－4＝16－a2≥0，
即－4≤a≤4时，复数z存在．
故存在满足条件的复数z，且实数a的取值范围为
[－4,4]．
学习目标 1.巩固复数的概念和几何意义.2.理解并能进行复数的四则运算且认识复数加减法的几何意义．
1．复数的有关概念
(1)复数的概念
形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中a，b分别是它的实部和虚部．若b＝0，则a＋bi为实数，若b≠0，则a＋bi为虚数，若a＝0且b≠0，则a＋bi为纯虚数．
(2)复数相等：a＋bi＝c＋di?a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)．
(3)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭?a＝c且b＋d＝0(a，b，c，d∈R)．
(4)复平面
建立直角坐标系来表示复数的平面，叫做复平面．在复平面内x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴．实轴上的点都表示实数；除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数；各象限内的点都表示非纯虚数．
(5)复数的模
向量的长度叫做复数z＝a＋bi的模(或绝对值)，记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝.
2．复数的几何意义
(1)复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b)(a，b∈R)．
(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)平面向量.
3．复数的运算
(1)复数的加、减、乘、除运算法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则
①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；
②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；
③乘法：z1z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；
④除法：＝＝＝＋i(c＋di≠0)．
(2)复数加法的运算定律
复数的加法满足交换律、结合律，即对任意复数z1，z2，z3，有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．
4．共轭复数的性质
(1)z·∈R.
(2)＝z.
(3)任一实数的共轭复数仍是它本身；反之，若z＝，则z是实数．
(4)共轭复数对应的点关于实轴对称．
1．复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小．( × )
2．原点是实轴与虚轴的交点．( √ )
3．方程x2＋x＋1＝0没有解．( × )
类型一 复数的概念
例1 已知复数z＝a2－a－6＋i(a∈R)，分别求出满足下列条件的实数a的值：
(1)z是实数；(2)z是虚数；(3)z是0.
解 由a2－a－6＝0，解得a＝－2或a＝3.
由a2＋2a－15＝0，解得a＝－5或a＝3.
由a2－4≠0，解得a≠±2.
(1)由a2＋2a－15＝0且a2－4≠0，
得a＝－5或a＝3，
∴当a＝－5或a＝3时，z为实数．
(2)由a2＋2a－15≠0且a2－4≠0，
得a≠－5且a≠3且a≠±2，
∴当a≠－5且a≠3且a≠±2时，z是虚数．
(3)由a2－a－6＝0，且a2＋2a－15＝0，
且a2－4≠0，得a＝3，
∴当a＝3时，z＝0.
引申探究
本例中条件不变，若z为纯虚数，是否存在这样的实数a，若存在，求出a，若不存在，说明理由．
解 由a2－a－6＝0，且a2＋2a－15≠0，且a2－4≠0，
得a无解，
∴不存在实数a，使z为纯虚数．
反思与感悟 (1)正确确定复数的实部、虚部是准确理解复数的有关概念(如实数、虚数、纯虚数、相等复数、共轭复数、复数的模)的前提．
(2)两复数相等的充要条件是复数问题转化为实数问题的依据．
跟踪训练1 复数z＝log3(x2－3x－3)＋ilog2(x－3)，当x为何实数时，(1)z∈R；(2)z为虚数．
解 (1)因为一个复数是实数的充要条件是虚部为0，
所以
解得x＝4，所以当x＝4时，z∈R.
(2)因为一个复数是虚数的充要条件是虚部不为0，
所以解得x>且x≠4.
所以当x>且x≠4时，z为虚数．
类型二 复数的四则运算
例2 (1)计算：＋2012＋；
(2)已知z＝1＋i，求的模．
解 (1)原式＝＋1006＋
＝i＋(－i)1006＋0＝－1＋i.
(2)＝＝＝1－i，
∴的模为.
反思与感悟 (1)复数的除法运算是复数运算中的难点，如果遇到(a＋bi)÷(c＋di)的形式，首先应该写成分式的形式，然后再分母实数化．
(2)虚数单位i的周期性
①i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＝1(n∈N＋)．
②in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0(n∈N＋)．
跟踪训练2 计算：(＋i)5＋4＋7.
解 (＋i)5＋4＋7
＝－i·()5·[(1＋i)2]2·(1＋i)＋2＋i7
＝16(－1＋i)－－i
＝－＋(16－1)i.
类型三 复数问题实数化思想
例3 已知复数z1＝2，＝i，并且|z|＝2，|z－z1|＝|z－z2|，求z.
解 设z＝a＋bi(a，b∈R)，
∵z1＝2，＝i，
∴z2＝2i.
∵|z|＝2，则＝2.①
∵|z－z1|＝|z－z2|，即|a－2＋bi|＝|a＋(b－2)i|，
∴＝②
由①②得或
∴z＝2＋2i或z＝－2－2i.
反思与感悟 设出复数z的代数形式，利用复数的分类及运算，列出方程，求得复数的实部和虚部，这是求解复数的常用思路．
跟踪训练3 已知z是复数，z－3i为实数，为纯虚数(i为虚数单位)．
(1)求复数z；
(2)求的模．
解 (1)设z＝a＋bi(a，b∈R)，
∴z－3i＝a＋(b－3)i为实数，可得b＝3.
又＝为纯虚数，
∴a＝－1，即z＝－1＋3i.
(2)＝＝＝＝－2＋i，
∴＝＝.
类型四 复数的几何意义
例4 设复数z满足|z|＝1，求|z－(3＋4i)|的最值．
解 由复数的几何意义知，|z|＝1表示复数z在复平面内对应的点在以原点为圆心，1为半径的圆上，因而|z－(3＋4i)|的几何意义是求此圆上的点到点C(3,4)的距离的最大值与最小值．
如图，易知|z－(3＋4i)|max＝|AC|＝|OC|＋1＝＋1＝6，
|z－(3＋4i)|min＝|BC|＝|OC|－1＝4.
反思与感悟 复数和复平面内的点，以原点为起点的向量一一对应；复数加减法符合向量运算的平行四边形法则和三角形法则：|z1－z2|表示复数z1，z2对应的两点Z1，Z2之间的距离．
跟踪训练4 已知复平面内点A，B对应的复数分别是z1＝sin2θ＋i，z2＝－cos2θ＋icos2θ，其中θ∈(0，π)，设对应的复数为z.
(1)求复数z；
(2)若复数z对应的点P在直线y＝x上，求θ的值．
解 (1)由题意得z＝z2－z1＝－cos2θ－sin2θ＋(cos2θ－1)i＝－1－2sin2θ·i.
(2)由(1)知，点P的坐标为(－1，－2sin2θ)．
由点P在直线y＝x上，得－2sin2θ＝－，
∴sin2θ＝，又θ∈(0，π)，∴sinθ>0，
因此sinθ＝，∴θ＝或θ＝.
1．复数z＝(a∈R)在复平面内对应的点在虚轴上，则a等于( )
A．2B．－1C．1D．－2
答案 D
解析 z＝＝＝在复平面内对应的点在虚轴上，所以2＋a＝0，即a＝－2.
2．已知f(x)＝x3－1，设i是虚数单位，则复数的虚部是( )
A．－1B．1C．iD．0
答案 B
解析 f(i)＝i3－1＝－i－1，＝＝＝＝－1＋i，虚部是1.
3．已知2＋ai，b＋i(a，b∈R)是实系数一元二次方程x2＋px＋q＝0的两根，则p，q的值为( )
A．p＝－4，q＝5 B．p＝4，q＝5
C．p＝4，q＝－5 D．p＝－4，q＝－5
答案 A
解析 由条件知2＋ai，b＋i是共轭复数，则a＝－1，b＝2，即实系数一元二次方程x2＋px＋q＝0的两个根是2±i，所以p＝－[(2＋i)＋(2－i)]＝－4，q＝(2＋i)(2－i)＝5.
4．若|z－1|＝2，则|z－3i－1|的最小值为________．
答案 1
解析 因为|z－1|＝2，所以复数z在复平面内对应的点在以(1,0)为圆心，2为半径的圆上．|z－3i－1|表示复数z在复平面内对应的点到点(1,3)的距离，因此，距离的最小值为1.
5．设复数z和它的共轭复数满足4z＋2＝3＋i，求复数z.
解 设z＝a＋bi(a，b∈R)．因为4z＋2＝3＋i，
所以2z＋(2z＋2)＝3＋i.
又2z＋2＝2(a＋bi)＋2(a－bi)＝4a，整体代入上式，
得2z＋4a＝3＋i.
所以z＝＋i.
根据复数相等的充要条件，得
解得
所以z＝＋i.
1．对复数的概念的考查是考查复数的基础，要求准确理解虚数单位、复数、虚数、纯虚数、共轭复数、实部、虚部、复数的模等概念．
2．对复数四则运算的考查可能性较大，要加以重视，其中复数的乘法运算与多项式的乘法运算类似；对于复数的除法运算，将分子分母同时乘以分母的共轭复数．最后整理成a＋bi(a，b∈R)的结构形式．
3．对复数几何意义的考查．在高考中一般会结合复数的概念、复数的加减运算考查复数的几何意义、复数加减法的几何意义．求解复数，往往设出复数的代数形式，将复数问题实数化.
一、选择题
1．复数z对应的点在第二象限，它的模为3，实部是－，则是( )
A．－＋2i B．－－2i
C.＋2i D.－2i
答案 B
解析 设复数z的虚部为b，则z＝－＋bi，b>0，
∵3＝，∴b＝2，∴z＝－＋2i，
则z的共轭复数是－－2i，故选B.
2．复数＋的虚部是( )
A.iB.C．－iD．－
答案 B
解析 ＋＝＋＝－＋i.故选B.
3．若z＝1＋2i，则等于( )
A．1B．－1C．iD．－i
答案 C
解析 z＝1＋2i，
则＝＝＝i.
4．若复数z＝cos＋isin(i是虚数单位)，复数z2的实部、虚部分别为a，b，则下列结论正确的是( )
A．ab<0 B．a2＋b2≠1
C.＝ D.＝
答案 C
解析 ∵z＝cos＋isin，
∴z2＝2
＝cos2－sin2＋2cossini
＝cos＋isin＝＋i，
则a＝，b＝，则＝，故选C.
5．向量对应的复数是5－4i，向量对应的复数是－5＋4i，则向量对应的复数是( )
A．－10＋8i B．10－8i
C．－8＋10i D．8＋(－10i)
答案 A
解析 向量对应的复数是5－4i，可得Z1(5，－4)；
向量对应的复数是－5＋4i，可得Z2(－5,4)；
向量对应的点是(－10,8)，
即向量对应的复数是－10＋8i.故选A.
6．已知复数z的模为2，则|z－i|的最大值为( )
A．1B．2C.D．3
答案 D
解析 ∵|z|＝2，则复数z对应的点的轨迹是以圆心为原点，半径为2的圆，而|z－i|表示的是圆上一点到点(0,1)的距离，∴其最大值为圆上的点(0，－2)到点(0,1)的距离，最大的距离为3.
7．复数z满足(z－3)(2－i)＝5(i为虚数单位)，则z的共轭复数为( )
A．2＋i B．2－i
C．5＋i D．5－i
考点 共轭复数的定义与应用
题点 利用定义求共轭复数
答案 D
解析 由(z－3)(2－i)＝5，得z－3＝＝2＋i，
∴z＝5＋i，∴＝5－i.
二、填空题
8．若复数z满足(1＋i)z＝2，则z的实部为__________________________________________．
答案 1
解析 因为(1＋i)z＝2，所以z＝＝1－i，所以其实部为1.
9．若复数＋b(b∈R)所对应的点在直线x＋y＝1上，则b的值为________．
答案 0
解析 复数＋b＝＋b＝＋b＝b＋i.
∵所对应的点(b,1)在直线x＋y＝1上，
∴b＋1＝1，解得b＝0.
10．如图，在复平面内，点A对应的复数为z1，若＝i(i为虚数单位)，则z2＝________.
答案 －2－i
解析 由图可知，z1＝－1＋2i，
∴由＝i，得z2＝z1i＝(－1＋2i)i＝－2－i.
11．使z＋∈R，且|z－3|＝3成立的虚数z＝________.
答案 ±i
解析 设z＝a＋bi(a，b∈R且b≠0)，则
z＋＝a＋bi＋＝＋i.
由z＋∈R，得b－＝0，
又b≠0，故a2＋b2＝9.①
又由|z－3|＝3，得＝3.②
由①②，得
即z＝＋i或z＝－i.
三、解答题
12．已知复数z1＝(1＋bi)(2＋i)，z2＝3＋(1－a)i (a，b∈R，i为虚数单位)．
(1)若z1＝z2，求实数a，b的值；
(2)若b＝1，a＝0，求.
解 (1)复数z1＝(1＋bi)(2＋i)＝2－b＋(2b＋1)i，
z2＝3＋(1－a)i，
由z1＝z2，可得解得
所以实数a＝2，b＝－1.
(2)若b＝1，a＝0，则z1＝1＋3i，z2＝3＋i.
＝＝＝2.
13．若f(z)＝2z＋－3i，f(＋i)＝6－3i，求复数z.
解 f(z)＝2z＋－3i，
∴f(＋i)＝2(＋i)＋(＋i)－3i
＝2＋2i＋z－i－3i
＝2＋z－2i.
又f(＋i)＝6－3i，
∴2＋z－2i＝6－3i，
即2＋z＝6－i.
设z＝x＋yi(x，y∈R)，则＝x－yi.
∴2(x－yi)＋x＋yi＝3x－yi＝6－i，
∴∴
∴z＝2＋i.
四、探究与拓展
14．若z＝－，则z2012＋z102＝________.
答案 －1＋i
解析 z2012＋z102＝(z4)503＋(z2)51＝(－1)503＋(－i)51＝－1－i48＋3＝－1＋i.
15．是否存在复数z，使其满足·z＋2i＝3＋ai？如果存在，求实数a的取值范围；如果不存在，请说明理由．
解 设z＝x＋yi(x，y∈R)，则原条件等式可化为x2＋y2＋2i(x－yi)＝3＋ai.
由复数相等的充要条件，得
消去x，得y2＋2y＋－3＝0.
所以当Δ＝4－4＝16－a2≥0，
即－4≤a≤4时，复数z存在．
故存在满足条件的复数z，且实数a的取值范围为
[－4,4]．