第五章图形与变换第34节图形的相似与位似
■考点1. 图形的相似
（1）相似图形 我们把形状相同的图形称为相似形． （2）相似图形在现实生活中应用非常广泛，对于相似图形，应注意： ①相似图形的形状必须完全相同； ②相似图形的大小不一定相同； ③两个物体形状相同、大小相同时它们是全等的，全等是相似的一种特殊情况．
■考点2.相似多边的定义和性质
（1）如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，则这两个多边形是相似多边形．
（2）相似多边形对应边的比叫做相似比．
（3）全等多边形的相似比为1的相似多边形是全等形．
（4）相似多边形的性质为：
①对应角相等；
②对应边的比相等．
■考点3.图形的位似
（1）如果两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，这样的图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．21·世纪*教育网
?注意：①两个图形必须是相似形；但相似图形不一定是位似图形 ②对应点的连线都经过同一点； ③对应边平行．【出处：21教育名师】
（2）性质：①对应角相等，对应边之比等于位似比；②位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比．位似三角形的对应边的比、周长比、对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于位似比，但面积的比等于位似比的 平方．
■考点1. 图形的相似
◇典例：
（2007.舟山）如图，用放大镜将图形放大，应该属于（ ）
A．相似变换 B．平移变换 C．对称变换 D．旋转变换
【考点】相似图形
【分析】本题考查对称变换、平移变换、旋转变换、相似变换，根据概念结合图形，采用排除法选出正确答案．
解：根据相似图形的定义知，用放大镜将图形放大，属于图形的形状相同，大小不相同，所以属于相似变换．故选A．
【点评】本题考查的是相似形的识别，关键要联系图形，根据相似图形的定义得出．
◆变式训练
（2009.台湾）如图，过P点的两直线将矩形ABCD分成甲、乙、丙、丁四个矩形，其中P在AC上，且AP：PC＝AD：AB＝4：3，下列对于矩形是否相似的判断，何者正确（ ）
A．甲、乙不相似 B．甲、丁不相似
C．丙、乙相似 D．丙、丁相似
■考点2.相似多边的定义和性质
◇典例
（2016秋?宛城区校级期末）已知两个相似多边形的面积比是9：16，其中较小多边形的周长为36cm，则较大多边形的周长为（ ）
A．48?cm B．54?cm C．56?cm D．64?cm
【考点】相似多边形的性质．
【分析】设较大多边形的周长为c，再由相似多边形的性质即可得出结论．
解：设较大多边形的周长为c， ∵两个相似多边形的面积比是9：16，其中较小多边形的周长为36cm， ∴，解得c=48cm． 故选A．
【点评】题考查的是相似多边形的性质，熟知相似多边形边长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方是解答此题的关键．
◆变式训练
（2017春?垦利县期末）一个长方形按4：1放大后，得到的图形与原图形比较，下列说法中正确的是（ ）
A．周长扩大16倍 B．周长缩小16倍
C．面积扩大16倍 D．面积缩小16倍
■考点3.图形的位似
◇典例：
（2019年湖南省邵阳市）如图，以点O为位似中心，把△ABC放大为原图形的2倍得到△A′B′C′，以下说法中错误的是（ ）
A．△ABC∽△A′B′C′ B．点C、点O、点C′三点在同一直线上
C．AO：AA′＝1：2 D．AB∥A′B′
【考点】位似变换
【分析】直接利用位似图形的性质进而分别分析得出答案．
解：∵以点O为位似中心，把△ABC放大为原图形的2倍得到△A′B′C′，
∴△ABC∽△A′B′C′，点C、点O、点C′三点在同一直线上，AB∥A′B′，
AO：OA′＝1：2，故选项C错误，符合题意．
故选：C．
【点评】此题主要考查了位似变换，正确把握位似图形的性质是解题关键．
◆变式训练
（2019年辽宁省本溪市）在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是A（4，2），B（5，0），以点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，得到△A1B1O，则点A的对应点A1的坐标为 ．
1.（2019年甘肃省武威市、白银市、定西市、平凉市、酒泉市、临夏州、张掖市、陇南市、庆阳市）如图，将图形用放大镜放大，应该属于( )．
A．平移变换 B．相似变换 C．旋转变换 D．对称变换
2.（2018年重庆市（B卷）制作一块3m×2m长方形广告牌的成本是120元，在每平方米制作成本相同的情况下，若将此广告牌的四边都扩大为原来的3倍，那么扩大后长方形广告牌的成本是（ ）
A．360元 B．720元 C．1080元 D．2160元
3.（2017年内蒙绥化市 ）如图，△A′B′C′是△ABC以点O为位似中心经过位似变换得到的，若△A′B′C′的面积与△ABC的面积比是4：9，则OB′：OB为（ ）
A．2：3 B．3：2 C．4：5 D．4：9
4.（1997.河北）下列命题：
①所有的等腰三角形都相似，
②有一对锐角相等的两个直角三角形相似，
③四个角对应相等的两个梯形相似，
④所有的正方形都相似．
其中正确命题的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5.（2003.陕西）要做甲乙两个形状相同（相似）的三角形框架，已知三角形框架甲的三边分别为：50cm、60cm、80cm，三角形框架乙的一边长为20cm，那么符合条件的三角形框架一共有（ ）
A．1种 B．2种 C．3种 D．4种
6.（2004.海淀区）如图，赵师傅透过平举的放大镜从正上方看到水平桌面上的菱形图案的一角，那么∠A与放大镜中的∠C的大小关系是（ ）
A．∠A＝∠C B．∠A＞∠C C．∠A＜∠C D．无法比较
7.（2010.烟台）手工制作课上，小红利用一些花布的边角料，剪裁后装饰手工画，下面四个图案是她剪裁出的空心不等边三角形、等边三角形、正方形、矩形花边，其中，每个图案花边的宽度都相等，那么，每个图案中花边的内外边缘所围成的几何图形不一定相似的是（ ）
A． B．
C． D．
8.（2011.东莞）将下图中的箭头缩小到原来的，得到的图形是（ ）
A． B．
C． D．
9.（2012.柳州）小张用手机拍摄得到甲图，经放大后得到乙图，甲图中的线段AB在乙图中的对应线段是（ ）
A．FG B．FH C．EH D．EF
10.（2015.兰州）如图，线段CD两个端点的坐标分别为C（1，2）、D（2，0），以原点为位似中心，将线段CD放大得到线段AB，若点B坐标为（5，0），则点A的坐标为（ ）
A．（2，5） B．（2.5，5） C．（3，5） D．（3，6）
11.（2016.郴州）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点坐标分别为O（0，0），A（2，0），B（2，1），C（0，1），以坐标原点O为位似中心，将矩形OABC放大为原图形的2倍，记所得矩形为OA1B1C1，B为对应点为B1，且B1在OB的延长线上，则B1的坐标为 ．
12.（2016.绵阳）△OAB三个顶点的坐标分别为O（0，0），A（4，6），B（3，0），以O为位似中心，将△OAB缩小为原来的，得到△OA′B′，则点A的对应点A′的坐标为 ．
选择题
1.（2013.莆田）下列四组图形中，一定相似的是（ ）
A．正方形与矩形 B．正方形与菱形
C．菱形与菱形 D．正五边形与正五边形
2.（2012.毕节地区）如图，在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心，将△ABO扩大到原来的2倍，得到△A′B′O．若点A的坐标是（1，2），则点A′的坐标是（ ）
A．（2，4） B．（﹣1，﹣2） C．（﹣2，﹣4） D．（﹣2，﹣1）
3.（2015.十堰）在平面直角坐标系中，已知点A（﹣4，2），B（﹣6，﹣4），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，则点A的对应点A′的坐标是（ ）
A．（﹣2，1） B．（﹣8，4）
C．（﹣8，4）或（8，﹣4） D．（﹣2，1）或（2，﹣1）
4.（2012.钦州）图中两个四边形是位似图形，它们的位似中心是（ ）
A．点M B．点N C．点O D．点P
5.（2013.青岛）如图，△ABO缩小后变为△A′B′O，其中A．B的对应点分别为A′、B′点A．B、A′、B′均在图中在格点上．若线段AB上有一点P（m，n），则点P在A′B′上的对应点P′的坐标为（ ）
A．（，n） B．（m，n） C．（m，） D．（）
6.（2015.朝阳）已知两点A（5，6）、B（7，2），先将线段AB向左平移一个单位，再以原点O为位似中心，在第一象限内将其缩小为原来的得到线段CD，则点A的对应点C的坐标为（ ）
A．（2，3） B．（3，1） C．（2，1） D．（3，3）
7.（2015.辽阳）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，建立平面直角坐标系，△ABO与△A′B′O′是以点P为位似中心的位似图形，它们的顶点均在格点（网格线的交点）上，则点P的坐标为（ ）
A．（0，0） B．（0，1） C．（﹣3，2） D．（3，﹣2）
8.（2016.东营）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣3，6），B（﹣9，﹣3），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，则点A的对应点A′的坐标是（ ）
A．（﹣1，2） B．（﹣9，18）
C．（﹣9，18）或（9，﹣18） D．（﹣1，2）或（1，﹣2）
9.（2012.咸宁）如图，正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，O为位似中心，相似比为1：，点A的坐标为（1，0），则E点的坐标为（ ）
A．（，0） B．（，） C．（，） D．（2，2）
10.（2015.宜宾）如图，△OAB与△OCD是以点O为位似中心的位似图形，相似比为1：2，∠OCD＝90°，CO＝CD．若B（1，0），则点C的坐标为（ ）
A．（1，2） B．（1，1） C．（，） D．（2，1）
11.如图，在平面直角坐标中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为，点A，B，E在x轴上，若正方形BEFG的边长为6，则C点坐标为（ ）
A．（3，2） B．（3，1） C．（2，2） D．（4，2）
12.（2015年辽宁省锦州市）如图，线段AB两个端点的坐标分别为A（4，4），B（6，2），以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD，则端点C和D的坐标分别为（ ）
A． （2，2），（3，2）
B． （2，4），（3，1）
C． （2，2），（3，1）
D． （3，1），（2，2）
填空题
13.（2008.西宁）如图，用放大镜将图形放大，应属于哪一种变换： （请选填：对称变换、平移变换、旋转变换、相似变换）．
14.（2019年广西百色市）如图，△ABC与△A'B'C'是以坐标原点O为位似中心的位似图形，若点A（2，2），B（3，4），C（6，1），B'（6，8），则△A'B'C'的面积为 ．
15.（2019年山东省烟台市）如图，在直角坐标系中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，△ABO的顶点坐标分别为A（﹣2，﹣1），B（﹣2，﹣3），O（0，0），△A1B1O1的顶点坐标分别为A1（1，﹣1），B1（1，﹣5），O1（5，1），△ABO与△A1B1O1是以点P为位似中心的位似图形，则P点的坐标为 ．
16.（2016.威海）如图，直线y＝x+1与x轴交于点A，与y轴交于点B，△BOC与△B′O′C′是以点A为位似中心的位似图形，且相似比为1：3，则点B的对应点B′的坐标为 ．
17.（2016年福建省三明市 ）如图，在平面直角坐标系中，已知A（1，0），D（3，0），△ABC与△DEF位似，原点O是位似中心．若AB=1.5，则DE= ．
18.（2018年辽宁省抚顺市）如图，△AOB三个顶点的坐标分别为A（8，0），O（0，0），B（8，﹣6），点M为OB的中点．以点O为位似中心，把△AOB缩小为原来的，得到△A′O′B′，点M′为O′B′的中点，则MM′的长为 ．
解答题
19.（2016.柳州）如图，以原点O为位似中心，把△OAB放大后得到△OCD，求△OAB与△OCD的相似比．
20.（2016年广西柳州市）如图，以原点O为位似中心，把△OAB放大后得到△OCD，求△OAB与△OCD的相似比．
21.（2007.常州）如图，菱形、矩形与正方形的形状有差异，我们将菱形、矩形与正方形的接近程度称为“接近度”．在研究“接近度”时，应保证相似图形的“接近度”相等．
（1）设菱形相邻两个内角的度数分别为m°和n°，将菱形的“接近度”定义为|m﹣n|，于是|m﹣n|越小，菱形越接近于正方形．
①若菱形的一个内角为70°，则该菱形的“接近度”等于 ，
②当菱形的“接近度”等于 时，菱形是正方形．
（2）设矩形相邻两条边长分别是a和b（a≤b），将矩形的“接近度”定义为|a﹣b|，于是|a﹣b|越小，矩形越接近于正方形．
你认为这种说法是否合理？若不合理，给出矩形的“接近度”一个合理定义．
22.（2004.南京）我们知道：如果两个三角形不仅是相似三角形，而且每对对应点所在的直线都经过同一个点，那么这两个三角形叫做位似三角形，它们的相似比又称为位似比，这个点叫做位似中心．利用三角形的位似可以将一个三角形缩小或放大．
（1）选择：如图1，点O是等边三角形PQR的中心，P′、Q′、R′分别是OP、OQ、OR的中点，则△P′Q′R′与△PQR是位似三角形．此时，△P′Q′R′与△PQR的位似比、位似中心分别为 ，
A．2、点P，（B）、点P，（ C）2、点O，（D）、点O，
（2）如图2，用下面的方法可以画△AOB的内接等边三角形．阅读后证明相应问题．
画法：
①在△AOB内画等边三角形CDE，使点C在OA上，点D在OB上，
②连接OE并延长，交AB于点E′，过点E′作E′C′∥EC，交OA于点C′，作E′D′∥ED，交OB于点D′，
③连接C′D′，则△C′D′E′是△AOB的内接三角形．
求证：△C′D′E′是等边三角形．
23.（2008年芜湖）如图，已知A（﹣4，0），B（0，4），现以A点为位似中心，相似比为9：4，将OB向右侧放大，B点的对应点为C．
（1）求C点坐标及直线BC的解析式，
（2）一抛物线经过B、C两点，且顶点落在x轴正半轴上，求该抛物线的解析式并画出函数图象，
（3）现将直线BC绕B点旋转与抛物线相交于另一点P，请找出抛物线上所有满足到直线AB距离为的点P．
24.（2012年陕西）如图，正三角形ABC的边长为3+．
（1）如图①，正方形EFPN的顶点E、F在边AB上，顶点N在边AC上，在正三角形ABC及其内部，以点A为位似中心，作正方形EFPN的位似正方形E′F′P′N′，且使正方形E′F′P′N′的面积最大（不要求写作法），
（2）求（1）中作出的正方形E′F′P′N′的边长，
（3）如图②，在正三角形ABC中放入正方形DEMN和正方形EFPH，使得DE、EF在边AB上，点P、N分别在边CB、CA上，求这两个正方形面积和的最大值和最小值，并说明理由．
第五章图形与变换第34节图形的相似与位似
■考点1. 图形的相似
（1）相似图形 我们把形状相同的图形称为相似形． （2）相似图形在现实生活中应用非常广泛，对于相似图形，应注意： ①相似图形的形状必须完全相同； ②相似图形的大小不一定相同； ③两个物体形状相同、大小相同时它们是全等的，全等是相似的一种特殊情况．
■考点2.相似多边的定义和性质
（1）如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，则这两个多边形是相似多边形．
（2）相似多边形对应边的比叫做相似比．
（3）全等多边形的相似比为1的相似多边形是全等形．
（4）相似多边形的性质为：
①对应角相等；
②对应边的比相等．
■考点3.图形的位似
（1）如果两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，这样的图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．21·世纪*教育网
?注意：①两个图形必须是相似形；但相似图形不一定是位似图形 ②对应点的连线都经过同一点； ③对应边平行．【出处：21教育名师】
（2）性质：①对应角相等，对应边之比等于位似比；②位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比．位似三角形的对应边的比、周长比、对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于位似比，但面积的比等于位似比的 平方．
■考点1. 图形的相似
◇典例：
（2007.舟山）如图，用放大镜将图形放大，应该属于（ ）
A．相似变换 B．平移变换 C．对称变换 D．旋转变换
【考点】相似图形
【分析】本题考查对称变换、平移变换、旋转变换、相似变换，根据概念结合图形，采用排除法选出正确答案．
解：根据相似图形的定义知，用放大镜将图形放大，属于图形的形状相同，大小不相同，所以属于相似变换．故选A．
【点评】本题考查的是相似形的识别，关键要联系图形，根据相似图形的定义得出．
◆变式训练
（2009.台湾）如图，过P点的两直线将矩形ABCD分成甲、乙、丙、丁四个矩形，其中P在AC上，且AP：PC＝AD：AB＝4：3，下列对于矩形是否相似的判断，何者正确（ ）
A．甲、乙不相似 B．甲、丁不相似
C．丙、乙相似 D．丙、丁相似
【考点】相似图形
【分析】根据矩形的性质以及已知条件AP：PC＝AD：AB＝4：3，求得结果，采用排除法，得出正确答案．
解：∵AP：PC＝AD：AB＝4：3，AD∥BC，
∴＝＝＝，
∴甲与丁相似，故选项B错误，
∵当＝，
AM＝EP，
∴甲与丙一定不相似，∴丙和丁不相似，故选项D错误，
∵＝，＝，DM＝PF，
∴当＝，MP＝AE，
∴甲与乙一定不相似，故选项A正确，
无法确定丙、乙是否相似，故选项C错误，
故选：A．
【点评】本题考查的是相似形的识别，关键要联系图形，根据相似图形的定义得出．
■考点2.相似多边的定义和性质
◇典例
（2016秋?宛城区校级期末）已知两个相似多边形的面积比是9：16，其中较小多边形的周长为36cm，则较大多边形的周长为（ ）
A．48?cm B．54?cm C．56?cm D．64?cm
【考点】相似多边形的性质．
【分析】设较大多边形的周长为c，再由相似多边形的性质即可得出结论．
解：设较大多边形的周长为c， ∵两个相似多边形的面积比是9：16，其中较小多边形的周长为36cm， ∴，解得c=48cm． 故选A．
【点评】题考查的是相似多边形的性质，熟知相似多边形边长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方是解答此题的关键．
◆变式训练
（2017春?垦利县期末）一个长方形按4：1放大后，得到的图形与原图形比较，下列说法中正确的是（ ）
A．周长扩大16倍 B．周长缩小16倍
C．面积扩大16倍 D．面积缩小16倍
【考点】相似多边形
【分析】长方形按4：1放大，则其长和宽分别扩大四倍，即其面积扩大4×4=16倍，据此解答即可．
解：一个长方形按4：1放大后，得到的图形与原图形比较面积扩大16倍； 故选：C．
【点评】本题考查了长方形的周长和面积的计算应用，关键是求出变大后的图形的长和宽．
■考点3.图形的位似
◇典例：
（2019年湖南省邵阳市）如图，以点O为位似中心，把△ABC放大为原图形的2倍得到△A′B′C′，以下说法中错误的是（ ）
A．△ABC∽△A′B′C′ B．点C、点O、点C′三点在同一直线上
C．AO：AA′＝1：2 D．AB∥A′B′
【考点】位似变换
【分析】直接利用位似图形的性质进而分别分析得出答案．
解：∵以点O为位似中心，把△ABC放大为原图形的2倍得到△A′B′C′，
∴△ABC∽△A′B′C′，点C、点O、点C′三点在同一直线上，AB∥A′B′，
AO：OA′＝1：2，故选项C错误，符合题意．
故选：C．
【点评】此题主要考查了位似变换，正确把握位似图形的性质是解题关键．
◆变式训练
（2019年辽宁省本溪市）在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是A（4，2），B（5，0），以点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，得到△A1B1O，则点A的对应点A1的坐标为 ．
【考点】坐标与图形性质，位似变换
【分析】根据位似变换的性质计算即可．
解：以点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，点A的坐标是A（4，2），
则点A的对应点A1的坐标为（4×，2×）或（﹣4×，﹣2×），即（2，1）或（﹣2，﹣1），
故答案为：（2，1）或（﹣2，﹣1）．
【点评】本题考查的是位似变换的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．
1.（2019年甘肃省武威市、白银市、定西市、平凉市、酒泉市、临夏州、张掖市、陇南市、庆阳市）如图，将图形用放大镜放大，应该属于( )．
A．平移变换 B．相似变换 C．旋转变换 D．对称变换
【考点】相似图形的定义
【分析】根据放大镜成像的特点，结合各变换的特点即可得出答案．
解：根据相似图形的定义知，用放大镜将图形放大，属于图形的形状相同，大小不相同，所以属于相似变换．
故选：B．
【点睛】本题考查的是相似形的识别，关键要联系图形，根据相似图形的定义得出．
2.（2018年重庆市（B卷）制作一块3m×2m长方形广告牌的成本是120元，在每平方米制作成本相同的情况下，若将此广告牌的四边都扩大为原来的3倍，那么扩大后长方形广告牌的成本是（ ）
A．360元 B．720元 C．1080元 D．2160元
【考点】相似多边形的性质
【分析】根据题意求出长方形广告牌每平方米的成本，根据相似多边形的性质求出扩大后长方形广告牌的面积，计算即可．
解：3m×2m=6m2，
∴长方形广告牌的成本是120÷6=20元/m2，
将此广告牌的四边都扩大为原来的3倍，
则面积扩大为原来的9倍，
∴扩大后长方形广告牌的面积=9×6=54m2，
∴扩大后长方形广告牌的成本是54×20=1080m2，
故选：C．
【点评】本题考查的是相似多边形的性质，掌握相似多边形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
3.（2017年内蒙绥化市 ）如图，△A′B′C′是△ABC以点O为位似中心经过位似变换得到的，若△A′B′C′的面积与△ABC的面积比是4：9，则OB′：OB为（ ）
A．2：3 B．3：2 C．4：5 D．4：9
【考点】位似变换．
【分析】先求出位似比，根据位似比等于相似比，再由相似三角形的面积比等于相似比的平方即可．
解：由位似变换的性质可知，A′B′∥AB，A′C′∥AC，
∴△A′B′C′∽△ABC．
∵△A'B'C'与△ABC的面积的比4：9，
∴△A'B'C'与△ABC的相似比为2：3，
∴=
故选：A．
【点评】本题考查的是位似变换的概念和性质，如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．
4.（1997.河北）下列命题：
①所有的等腰三角形都相似，
②有一对锐角相等的两个直角三角形相似，
③四个角对应相等的两个梯形相似，
④所有的正方形都相似．
其中正确命题的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】相似图形
【分析】根据相似图形的性质以及定义分别判断得出即可．
解：①所有的等腰三角形形状不一定相同，故不一定都相似，故此选项错误，
②有一对锐角相等的两个直角三角形相似，根据已知可得出三角形对应角相等，故此选项正确，
③四个角对应相等的两个梯形相似，在梯形内，做一腰的平行线，得一小梯形，显然不相似，故此选项错误，
④所有的正方形都相似，此选项正确．
故正确的有2个．
故选：B．
【点评】此题主要考查了相似图形的判定，根据相似图形的形状必须完全相同进而判断是解题关键．
5.（2003.陕西）要做甲乙两个形状相同（相似）的三角形框架，已知三角形框架甲的三边分别为：50cm、60cm、80cm，三角形框架乙的一边长为20cm，那么符合条件的三角形框架一共有（ ）
A．1种 B．2种 C．3种 D．4种
【考点】相似图形
【分析】根据相似图形的定义，直接判断，求得正确结果．
解：三角形相似，那么它们边长的比相同，均为5：6：8，乙那个20cm的边可以当最短边，最长边和中间大小的边．
故选：C．
【点评】本题考查的是相似形的定义，相似图形的形状相同，但大小不一定相同．
6.（2004.海淀区）如图，赵师傅透过平举的放大镜从正上方看到水平桌面上的菱形图案的一角，那么∠A与放大镜中的∠C的大小关系是（ ）
A．∠A＝∠C B．∠A＞∠C C．∠A＜∠C D．无法比较
【考点】相似图形
【分析】原来的图形和放大的图形是相似的，根据相似三角形的对应角相等，可以判定∠A＝∠C．
解：由于图形放大或缩小后，形状没有发生变化，结合相似三角形的性质，可判定∠A＝∠C．
故选：A．
【点评】本题考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等．
7.（2010.烟台）手工制作课上，小红利用一些花布的边角料，剪裁后装饰手工画，下面四个图案是她剪裁出的空心不等边三角形、等边三角形、正方形、矩形花边，其中，每个图案花边的宽度都相等，那么，每个图案中花边的内外边缘所围成的几何图形不一定相似的是（ ）
A． B．
C． D．
【考点】相似图形
【分析】根据相似图形的定义，结合图形，对选项一一分析，排除不符合要求答案．
解：A：形状相同，符合相似形的定义，对应角相等，所以三角形相似，故A选项不符合要求，
B：形状相同，符合相似形的定义，故B选项不符合要求，
C：形状相同，符合相似形的定义，故C选项不符合要求，
D：两个矩形，虽然四个角对应相等，但对应边不成比例，故D选项符合要求，
故选：D．
【点评】本题考查的是相似形的定义，联系图形，即形状相同，大小不一定相同的图形叫做相似形．全等形是相似形的一个特例．
8.（2011.东莞）将下图中的箭头缩小到原来的，得到的图形是（ ）
A． B．
C． D．
【考点】相似图形
【分析】根据相似图形的定义，结合图形，对选项一一分析，排除错误答案．
解：∵图中的箭头要缩小到原来的，
∴箭头的长、宽都要缩小到原来的，
选项B箭头大小不变，
选项C箭头扩大，选项D的长缩小、而宽没变．
故选：A．
【点评】本题主要考查了相似形的定义，联系图形，即图形的形状相同，但大小不一定相同的变换是相似变换．
9.（2012.柳州）小张用手机拍摄得到甲图，经放大后得到乙图，甲图中的线段AB在乙图中的对应线段是（ ）
A．FG B．FH C．EH D．EF
【考点】相似图形
【分析】观察图形，先找出对应顶点，再根据对应顶点的连线即为对应线段解答．
解：由图可知，点A、E是对应顶点，
点B、F是对应顶点，
点D、H是对应顶点，
所以，甲图中的线段AB在乙图中的对应线段是EF．
故选：D．
【点评】本题考查了相似图形，根据对应点确定对应线段，所以确定出对应点是解题的关键．
10.（2015.兰州）如图，线段CD两个端点的坐标分别为C（1，2）、D（2，0），以原点为位似中心，将线段CD放大得到线段AB，若点B坐标为（5，0），则点A的坐标为（ ）
A．（2，5） B．（2.5，5） C．（3，5） D．（3，6）
【考点】坐标与图形性质，位似变换
【分析】利用位似图形的性质结合对应点坐标与位似比的关系得出A点坐标．
解：∵以原点O为位似中心，在第一象限内，将线段CD放大得到线段AB，
∴B点与D点是对应点，则位似比为：5：2，
∵C（1，2），
∴点A的坐标为：（2.5，5）
故选：B．
【点评】此题主要考查了位似变换，正确把握位似比与对应点坐标的关系是解题关键．
11.（2016.郴州）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点坐标分别为O（0，0），A（2，0），B（2，1），C（0，1），以坐标原点O为位似中心，将矩形OABC放大为原图形的2倍，记所得矩形为OA1B1C1，B为对应点为B1，且B1在OB的延长线上，则B1的坐标为 ．
【考点】坐标与图形性质，矩形的性质，位似变换
【分析】利用以原点为位似中心的位似图形的坐标之间的关系求解．
解：∵B点坐标为（2，1），
而B为对应点为B1，且B1在OB的延长线上，
∴B1的坐标为（2×2，1×2），即B1（4，2）．
故答案为（4，2）．
【点评】本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．
12.（2016.绵阳）△OAB三个顶点的坐标分别为O（0，0），A（4，6），B（3，0），以O为位似中心，将△OAB缩小为原来的，得到△OA′B′，则点A的对应点A′的坐标为 ．
【考点】坐标与图形性质，位似变换
【分析】根据如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k进行解答．
解：∵以原点O为位似中心，将△OAB缩小为原来的，A（4，6），
则点A的对应点A′的坐标为（﹣2，﹣3）或（2，3），
故答案为：（﹣2，﹣3）或（2，3）．
【点评】本题考查了位似变换：位似图形与坐标，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．
选择题
13.（2013.莆田）下列四组图形中，一定相似的是（ ）
A．正方形与矩形 B．正方形与菱形
C．菱形与菱形 D．正五边形与正五边形
【考点】相似图形
【分析】根据相似图形的定义和图形的性质对每一项进行分析，即可得出一定相似的图形．
解：A．正方形与矩形，对应角相等，对应边不一定成比例，故不符合题意，
B、正方形与菱形，对应边成比例，对应角不一定相等，不符合相似的定义，故不符合题意，
C、菱形与菱形，对应边比值相等，但是对应角不一定相等，故不符合题意，
D、正五边形与正五边形，对应角相等，对应边一定成比例，符合相似的定义，故符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了相似形的定义，熟悉各种图形的性质和相似图形的定义是解题的关键．
14.（2012.毕节地区）如图，在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心，将△ABO扩大到原来的2倍，得到△A′B′O．若点A的坐标是（1，2），则点A′的坐标是（ ）
A．（2，4） B．（﹣1，﹣2） C．（﹣2，﹣4） D．（﹣2，﹣1）
【考点】坐标与图形性质，位似变换
【分析】根据以原点O为位似中心，将△ABO扩大到原来的2倍，即可得出对应点的坐标应乘以﹣2，即可得出点A′的坐标．
解：根据以原点O为位似中心，图形的坐标特点得出，对应点的坐标应乘以﹣2，
故点A的坐标是（1，2），则点A′的坐标是（﹣2，﹣4），
故选：C．
【点评】此题主要考查了关于原点对称的位似图形的性质，得出对应点的坐标乘以k或﹣k是解题关键．
15.（2015.十堰）在平面直角坐标系中，已知点A（﹣4，2），B（﹣6，﹣4），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，则点A的对应点A′的坐标是（ ）
A．（﹣2，1） B．（﹣8，4）
C．（﹣8，4）或（8，﹣4） D．（﹣2，1）或（2，﹣1）
【考点】坐标与图形性质，位似变换
【分析】根据在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k，即可求得答案．
解：∵点A（﹣4，2），B（﹣6，﹣4），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，
∴点A的对应点A′的坐标是：（﹣2，1）或（2，﹣1）．
故选：D．
【点评】此题考查了位似图形与坐标的关系．此题比较简单，注意在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标比等于±k．
16.（2012.钦州）图中两个四边形是位似图形，它们的位似中心是（ ）
A．点M B．点N C．点O D．点P
【考点】位似变换
【分析】根据位似变换的定义：对应点的连线交于一点，交点就是位似中心．即位似中心一定在对应点的连线上．
解：点P在对应点M和点N所在直线上，再利用连接另两个对应点，得出相交于P点，即可得出P为两图形位似中心，
故选：D．
【点评】此题主要考查了位似图形的概念，根据位似图形的位似中心位于对应点连线所在的直线上得出是解题关键．
17.（2013.青岛）如图，△ABO缩小后变为△A′B′O，其中A．B的对应点分别为A′、B′点A．B、A′、B′均在图中在格点上．若线段AB上有一点P（m，n），则点P在A′B′上的对应点P′的坐标为（ ）
A．（，n） B．（m，n） C．（m，） D．（）
【考点】坐标与图形性质，位似变换
【分析】根据A，B两点坐标以及对应点A′，B′点的坐标得出坐标变化规律，进而得出P′的坐标．
解：∵△ABO缩小后变为△A′B′O，其中A．B的对应点分别为A′、B′点A．B、A′、B′均在图中在格点上，
即A点坐标为：（4，6），B点坐标为：（6，2），A′点坐标为：（2，3），B′点坐标为：（3，1），
∴线段AB上有一点P（m，n），则点P在A′B′上的对应点P′的坐标为：（）．
故选：D．
【点评】此题主要考查了位似图形的性质，根据已知得出对应点坐标的变化是解题关键．
18.（2015.朝阳）已知两点A（5，6）、B（7，2），先将线段AB向左平移一个单位，再以原点O为位似中心，在第一象限内将其缩小为原来的得到线段CD，则点A的对应点C的坐标为（ ）
A．（2，3） B．（3，1） C．（2，1） D．（3，3）
【考点】坐标与图形变化﹣平移，位似变换
【分析】先根据点平移的规律得到A点平移后的对应点的坐标为（4，6），然后根据在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k求解．
解：∵线段AB向左平移一个单位，
∴A点平移后的对应点的坐标为（4，6），
∴点C的坐标为（4×，6×），即（2，3）．
故选：A．
【点评】本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．也考查了坐标与图形变化﹣平移．
19.（2015.辽阳）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，建立平面直角坐标系，△ABO与△A′B′O′是以点P为位似中心的位似图形，它们的顶点均在格点（网格线的交点）上，则点P的坐标为（ ）
A．（0，0） B．（0，1） C．（﹣3，2） D．（3，﹣2）
【考点】坐标与图形性质，位似变换
【分析】利用位似图形的性质得出连接各对应点，进而得出位似中心的位置．
解：如图所示：P点即为所求，
故P点坐标为：（﹣3，2）．
故选：C．
【点评】此题主要考查了位似变换，根据位似图形的性质得出是解题关键．
20.（2016.东营）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣3，6），B（﹣9，﹣3），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，则点A的对应点A′的坐标是（ ）
A．（﹣1，2） B．（﹣9，18）
C．（﹣9，18）或（9，﹣18） D．（﹣1，2）或（1，﹣2）
【考点】坐标与图形性质，位似变换
【分析】利用位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k进行求解．
解：∵A（﹣3，6），B（﹣9，﹣3），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，
∴点A的对应点A′的坐标为（﹣3×，6×）或[﹣3×（﹣），6×（﹣）]，即A′点的坐标为（﹣1，2）或（1，﹣2）．
故选：D．
【点评】本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．
21.（2012.咸宁）如图，正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，O为位似中心，相似比为1：，点A的坐标为（1，0），则E点的坐标为（ ）
A．（，0） B．（，） C．（，） D．（2，2）
【考点】坐标与图形性质，位似变换
【分析】由题意可得OA：OD＝1：，又由点A的坐标为（1，0），即可求得OD的长，又由正方形的性质，即可求得E点的坐标．
解：∵正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，O为位似中心，相似比为1：，
∴OA：OD＝1：，
∵点A的坐标为（1，0），
即OA＝1，
∴OD＝，
∵四边形ODEF是正方形，
∴DE＝OD＝．
∴E点的坐标为：（，）．
故选：C．
【点评】此题考查了位似变换的性质与正方形的性质．此题比较简单，注意理解位似变换与相似比的定义是解此题的关键．
22.（2015.宜宾）如图，△OAB与△OCD是以点O为位似中心的位似图形，相似比为1：2，∠OCD＝90°，CO＝CD．若B（1，0），则点C的坐标为（ ）
A．（1，2） B．（1，1） C．（，） D．（2，1）
【考点】坐标与图形性质，位似变换
【分析】首先利用等腰直角三角形的性质得出A点坐标，再利用位似是特殊的相似，若两个图形△ABC和△A′B′C′以原点为位似中心，相似比是k，△ABC上一点的坐标是（x，y），则在△A′B′C′中，它的对应点的坐标是（kx，ky）或（﹣kx，ky），进而求出即可．
解：∵∠OAB＝∠OCD＝90°，AO＝AB，CO＝CD，等腰Rt△OAB与等腰Rt△OCD是位似图形，点B的坐标为（1，0），
∴BO＝1，则AO＝AB＝，
∴A（，），
∵等腰Rt△OAB与等腰Rt△OCD是位似图形，O为位似中心，相似比为1：2，
∴点C的坐标为：（1，1）．
故选：B．
【点评】此题主要考查了位似变换的性质，正确理解位似与相似的关系，记忆关于原点位似的两个图形对应点坐标之间的关系是解题的关键．
23.如图，在平面直角坐标中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为，点A，B，E在x轴上，若正方形BEFG的边长为6，则C点坐标为（ ）
A．（3，2） B．（3，1） C．（2，2） D．（4，2）
【考点】坐标与图形性质，正方形的性质，位似变换
【分析】直接利用位似图形的性质结合相似比得出AD的长，进而得出△OAD∽△OBG，进而得出AO的长，即可得出答案．
解：∵正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为，
∴＝，
∵BG＝6，
∴AD＝BC＝2，
∵AD∥BG，
∴△OAD∽△OBG，
∴＝，
∴＝，
解得：OA＝1，
∴OB＝3，
∴C点坐标为：（3，2），
故选：A．
【点评】此题主要考查了位似变换以及相似三角形的判定与性质，正确得出AO的长是解题关键．
24.（2015年辽宁省锦州市）如图，线段AB两个端点的坐标分别为A（4，4），B（6，2），以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD，则端点C和D的坐标分别为（ ）
A． （2，2），（3，2）
B． （2，4），（3，1）
C． （2，2），（3，1）
D． （3，1），（2，2）
【考点】位似变换；坐标与图形性质．
【分析】直接利用位似图形的性质得出对应点坐标乘以得出即可．
解：∵线段AB两个端点的坐标分别为A（4，4），B（6，2），
以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD，
∴端点的坐标为：（2，2），（3，1）．
故选：C．
【点评】此题主要考查了位似变换，正确把握位似图形的性质是解题关键．
填空题
25.（2008.西宁）如图，用放大镜将图形放大，应属于哪一种变换： （请选填：对称变换、平移变换、旋转变换、相似变换）．
【考点】相似图形
【分析】本题考查轴对称变换、平移变换、旋转变换、相似变换，根据概念结合图形，得出正确结果．
解：由一个图形到另一个图形，在改变的过程中形状不变，大小产生变化，属于相似变化．
【点评】本题主要考查相似变换的定义，即图形的形状相同，但大小不一定相同的变换是相似变换．比较容易选错的答案是位似变换．
26.（2019年广西百色市）如图，△ABC与△A'B'C'是以坐标原点O为位似中心的位似图形，若点A（2，2），B（3，4），C（6，1），B'（6，8），则△A'B'C'的面积为 ．
【考点】坐标与图形性质，位似变换
【分析】直接利用位似图形的性质得出对应点位置进而得出答案．
解：∵△ABC与△A'B'C'是以坐标原点O为位似中心的位似图形，点A（2，2），B（3，4），C（6，1），B'（6，8），
∴A′（4，4），C′（12，2），
∴△A'B'C'的面积为：6×8﹣×2×4﹣×6×6﹣×2×8＝18．
故答案为：18．
【点评】此题主要考查了位似变换以及三角形面积求法，正确得出对应点位置是解题关键．
27.（2019年山东省烟台市）如图，在直角坐标系中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，△ABO的顶点坐标分别为A（﹣2，﹣1），B（﹣2，﹣3），O（0，0），△A1B1O1的顶点坐标分别为A1（1，﹣1），B1（1，﹣5），O1（5，1），△ABO与△A1B1O1是以点P为位似中心的位似图形，则P点的坐标为 ．
【考点】坐标与图形性质，位似变换
【分析】分别延长B1B、O1O、A1A，它们相交于点P，然后写出P点坐标即可．
解：如图，P点坐标为（﹣5，﹣1）．
故答案为（﹣5，﹣1）．
【点评】本题考查了位似变换：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．位似图形的性质有 两个图形必须是相似形，对应点的连线都经过同一点，对应边平行或共线．
28.（2016.威海）如图，直线y＝x+1与x轴交于点A，与y轴交于点B，△BOC与△B′O′C′是以点A为位似中心的位似图形，且相似比为1：3，则点B的对应点B′的坐标为 ．
【考点】一次函数图象上点的坐标特征，位似变换
【分析】首先解得点A和点B的坐标，再利用位似变换可得结果．
解：∵直线y＝x+1与x轴交于点A，与y轴交于点B，
令x＝0可得y＝1，
令y＝0可得x＝﹣2，
∴点A和点B的坐标分别为（﹣2，0），（0，1），
∵△BOC与△B′O′C′是以点A为位似中心的位似图形，且相似比为1：3，
∴＝＝，
∴O′B′＝3，AO′＝6，
∴B′的坐标为（﹣8，﹣3）或（4，3）．
故答案为：（﹣8，﹣3）或（4，3）．
【点评】本题主要考查了位似变换和一次函数图象上点的坐标特征，得出点A和点B的坐标是解答此题的关键．
29.（2016年福建省三明市 ）如图，在平面直角坐标系中，已知A（1，0），D（3，0），△ABC与△DEF位似，原点O是位似中心．若AB=1.5，则DE= ．
【考点】位似变换；坐标与图形性质．
【分析】根据位似图形的性质得出AO，DO的长，进而得出==，求出DE的长即可．
解：∵△ABC与DEF是位似图形，它们的位似中心恰好为原点，已知A点坐标为（1，0），D点坐标为（3，0），
∴AO=2，DO=5，
∴==，
∵AB=1.5，
∴DE=4.5．
故答案为：4.5．
【点评】此题主要考查了位似图形的性质以及坐标与图形的性质，根据已知点的坐标得出==是解题关键．
30.（2018年辽宁省抚顺市）如图，△AOB三个顶点的坐标分别为A（8，0），O（0，0），B（8，﹣6），点M为OB的中点．以点O为位似中心，把△AOB缩小为原来的，得到△A′O′B′，点M′为O′B′的中点，则MM′的长为 ．
【考点】位似变换，坐标与图形的性质
【分析】分两种情形画出图形，即可解决问题；
解：如图，在Rt△AOB中，OB==10，
①当△A′OB′在第三象限时，MM′=．
②当△A″OB″在第二象限时，MM′=，
故答案为或．
【点评】本题考查位似变换，坐标与图形的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
解答题
31.（2016.柳州）如图，以原点O为位似中心，把△OAB放大后得到△OCD，求△OAB与△OCD的相似比．
【考点】位似变换
【分析】根据点B的坐标和点D的坐标，求出OB＝4，OD＝6，得出＝，再根据△OAB与△OCD关于点O位似，从而求出△OAB与△OCD的相似比．
解：∵点B的坐标是（4，0），点D的坐标是（6，0），
∴OB＝4，OD＝6，
∴＝＝，
∵△OAB与△OCD关于点O位似，
∴△OAB与△OCD的相似比．
【点评】此题考查了位似变换，位似变换的两个图形相似．根据相似多边形对应边成比例得OB：OD＝2：3．
32.（2016年广西柳州市）如图，以原点O为位似中心，把△OAB放大后得到△OCD，求△OAB与△OCD的相似比．
【考点】位似变换．
【分析】根据点B的坐标和点D的坐标，求出OB=4，OD=6，得出=，再根据△OAB与△OCD关于点O位似，从而求出△OAB与△OCD的相似比．
解：∵点B的坐标是（4，0），点D的坐标是（6，0），
∴OB=4，OD=6，
∴==，
∵△OAB与△OCD关于点O位似，
∴△OAB与△OCD的相似比．
【点评】此题考查了位似变换，位似变换的两个图形相似．根据相似多边形对应边成比例得OB：OD=2：3．
33.（2007.常州）如图，菱形、矩形与正方形的形状有差异，我们将菱形、矩形与正方形的接近程度称为“接近度”．在研究“接近度”时，应保证相似图形的“接近度”相等．
（1）设菱形相邻两个内角的度数分别为m°和n°，将菱形的“接近度”定义为|m﹣n|，于是|m﹣n|越小，菱形越接近于正方形．
①若菱形的一个内角为70°，则该菱形的“接近度”等于 ，
②当菱形的“接近度”等于 时，菱形是正方形．
（2）设矩形相邻两条边长分别是a和b（a≤b），将矩形的“接近度”定义为|a﹣b|，于是|a﹣b|越小，矩形越接近于正方形．
你认为这种说法是否合理？若不合理，给出矩形的“接近度”一个合理定义．
【考点】菱形的性质，正方形的性质，相似图形
【分析】（1）根据相似图形的定义知，相似图形的形状相同，但大小不一定相同，相似图形的“接近度”相等．所以若菱形的一个内角为70°，则该菱形的“接近度”等于|m﹣n|，当菱形的“接近度”等于0时，菱形是正方形，
（2）不合理，举例进行说明．
解：（1）①∵内角为70°，
∴与它相邻内角的度数为110°．
∴菱形的“接近度”＝|m﹣n|＝|110﹣70|＝40．
②当菱形的“接近度”等于0时，菱形是正方形．
（2）不合理．
例如，对两个相似而不全等的矩形来说，它们接近正方形的程度是相同的，但|a﹣b|却不相等．
合理定义方法不唯一．
如定义为，
越接近1，矩形越接近于正方形，
越大，矩形与正方形的形状差异越大，
当时，矩形就变成了正方形，即只有矩形的越接近1，矩形才越接近正方形．
【点评】正确理解“接近度”的意思，矩形的“接近度”|a﹣b|越小，矩形越接近于正方形．这是解决问题的关键．
34.（2004.南京）我们知道：如果两个三角形不仅是相似三角形，而且每对对应点所在的直线都经过同一个点，那么这两个三角形叫做位似三角形，它们的相似比又称为位似比，这个点叫做位似中心．利用三角形的位似可以将一个三角形缩小或放大．
（1）选择：如图1，点O是等边三角形PQR的中心，P′、Q′、R′分别是OP、OQ、OR的中点，则△P′Q′R′与△PQR是位似三角形．此时，△P′Q′R′与△PQR的位似比、位似中心分别为 ，
A．2、点P，（B）、点P，（ C）2、点O，（D）、点O，
（2）如图2，用下面的方法可以画△AOB的内接等边三角形．阅读后证明相应问题．
画法：
①在△AOB内画等边三角形CDE，使点C在OA上，点D在OB上，
②连接OE并延长，交AB于点E′，过点E′作E′C′∥EC，交OA于点C′，作E′D′∥ED，交OB于点D′，
③连接C′D′，则△C′D′E′是△AOB的内接三角形．
求证：△C′D′E′是等边三角形．
2019年11月18日845****9348的初中数学组卷
【考点】等边三角形的判定，三角形中位线定理，相似三角形的判定与性质，位似变换
【分析】（1）根据中位线定理可知，△P′Q′R′∽△PQR，且相似比是1：2，所以位似比是1：2，位似中心为点O，
（2）根据作法可知：E′C′∥EC，E′D′∥ED，可证得△OCE∽△OC′E′，△ODE∽△OD′E′，根据相似可证的对应边的比相等，对应角相等，即可根据对应边的比成比例且夹角相等的三角形相似，可证得△CDE∽△C′D′E′，即可得结果．
（1）解：选择D．
∵△P′Q′R′∽△PQR，且相似比是1：2，
∴位似比是1：2，位似中心为点O．
故选D，
（2）证明：∵E′C′∥EC，E′D′∥ED，
∴△OCE∽△OC′E′，△ODE∽△OD′E′
∴CE：C′E′＝OE：OE′，DE：D′E′＝OE：OE′，∠CEO＝∠C′E′O，∠DEO＝∠D′E′O
∴CE：C′E′＝DE：D′E′，∠CED＝∠C′E′D′
∴△CDE∽△C′D′E′
∵△CDE是等边三角形，
∴△C′D′E′是等边三角形．
【点评】此题考查了学生的应用能力，考查了相似三角形的判定与性质，考查了位似图形与相似图形的关系：位似是相似的特殊形式．
35.（2008年芜湖）如图，已知A（﹣4，0），B（0，4），现以A点为位似中心，相似比为9：4，将OB向右侧放大，B点的对应点为C．
（1）求C点坐标及直线BC的解析式，
（2）一抛物线经过B、C两点，且顶点落在x轴正半轴上，求该抛物线的解析式并画出函数图象，
（3）现将直线BC绕B点旋转与抛物线相交于另一点P，请找出抛物线上所有满足到直线AB距离为的点P．
【考点】一次函数图象与几何变换，待定系数法求一次函数解析式，二次函数的图象，待定系数法求二次函数解析式，位似变换
【分析】（1）利用相似及相似比，可得到C的坐标．把A，B代入一次函数解析式即可求得解析式的坐标．
（2）顶点落在x轴正半轴上说明此函数解析式与x轴有一个交点，那么△＝0，再把B，C两点即可．
（3）到直线AB的距离为的直线有两条，可求出这两条直线解析式，和二次函数解析式组成方程组，求得点P坐标．
解：（1）过C点向x轴作垂线，垂足为D，由位似图形性质可知△ABO∽△ACD，
∴．
由已知A（﹣4，0），B（0，4）可知
AO＝4，BO＝4．
∴AD＝CD＝9，
∴C点坐标为（5，9），
设直线BC的解析式为y＝kx+b，
∵A（﹣4，0），B（0，4）在一次函数解析式上，那么
﹣4k+b＝0，b＝4，
解得k＝1，
化简得y＝x+4，
（2）设抛物线解析式为y＝ax2+bx+c（a＞0），由题意得，
解得，，
∴解得抛物线解析式为y1＝x2﹣4x+4或y2＝x2+x+4，
又∵y2＝x2+x+4的顶点在x轴负半轴上，不合题意，故舍去．
∴满足条件的抛物线解析式为y＝x2﹣4x+4，
（准确画出函数y＝x2﹣4x+4图象）
（3）将直线BC绕B点旋转与抛物线相交于另一点P，设P到直线AB的距离为h，
故P点应在与直线AB平行，且相距的上下两条平行直线l1和l2上．
由平行线的性质可得
两条平行直线与y轴的交点到直线BC的距离也为．
如图，设l1与y轴交于E点，过E作EF⊥BC于F点，
在Rt△BEF中EF＝h＝，∠EBF＝∠ABO＝45°，
∴BE＝6．
∴可以求得直线l1与y轴交点坐标为（0，10），
同理可求得直线l2与y轴交点坐标为（0，﹣2），
∴两直线解析式l1：y＝x+10，l2：y＝x﹣2．
根据题意列出方程组：
（1），（2），
解得，，，，
∴满足条件的点P有四个，
它们分别是P1（6，16），P2（﹣1，9），P3（2，0），P4（3，1）．
【点评】本题用到的知识点为：可把位似比转换为相似三角形的相似比，到一条直线的距离为定值的直线是平行于已知直线的两条直线，平行直线的k的值相等．
36.（2012年陕西）如图，正三角形ABC的边长为3+．
（1）如图①，正方形EFPN的顶点E、F在边AB上，顶点N在边AC上，在正三角形ABC及其内部，以点A为位似中心，作正方形EFPN的位似正方形E′F′P′N′，且使正方形E′F′P′N′的面积最大（不要求写作法），
（2）求（1）中作出的正方形E′F′P′N′的边长，
（3）如图②，在正三角形ABC中放入正方形DEMN和正方形EFPH，使得DE、EF在边AB上，点P、N分别在边CB、CA上，求这两个正方形面积和的最大值和最小值，并说明理由．
【考点】等边三角形的性质，勾股定理，正方形的性质，位似变换
【分析】（1）利用位似图形的性质，作出正方形EFPN的位似正方形E′F′P′N′，如答图①所示，
（2）根据正三角形、正方形、直角三角形相关线段之间的关系，利用等式E′F′+AE′+BF′＝AB，列方程求得正方形E′F′P′N′的边长，
（3）设正方形DEMN、正方形EFPH的边长分别为m、n（m≥n），求得面积和的表达式为：S＝+（m﹣n）2，可见S的大小只与m、n的差有关：
①当m＝n时，S取得最小值，
②当m最大而n最小时，S取得最大值．m最大n最小的情形见第（1）（2）问．
解：（1）如图①，正方形E′F′P′N′即为所求．
（2）设正方形E′F′P′N′的边长为x，
∵△ABC为正三角形，
∴AE′＝BF′＝x．
∵E′F′+AE′+BF′＝AB，
∴x+x+x＝3+，
∴x＝，即x＝3﹣3，（x≈2.20也正确）
（3）如图②，连接NE、EP、PN，则∠NEP＝90°．
设正方形DEMN、正方形EFPH的边长分别为m、n（m≥n），
它们的面积和为S，则NE＝，PE＝n．
∴PN2＝NE2+PE2＝2m2+2n2＝2（m2+n2）．
∴S＝m2+n2＝PN2，
延长PH交ND于点G，则PG⊥ND．
在Rt△PGN中，PN2＝PG2+GN2＝（m+n）2+（m﹣n）2．
∵AD+DE+EF+BF＝AB，即m+m+n+n＝+3，化简得m+n＝3．
∴S＝[32+（m﹣n）2]＝+（m﹣n）2
①当（m﹣n）2＝0时，即m＝n时，S最小．
∴S最小＝，
②当（m﹣n）2最大时，S最大．
即当m最大且n最小时，S最大．
∵m+n＝3，
由（2）知，m最大＝3﹣3．
∴S最大＝[9+（m最大﹣n最小）2]
＝[9+（3﹣3﹣6+3）2]
＝99﹣54…．
（S最大≈5.47也正确）
综上所述，S最大＝99﹣54，S最小＝．
【点评】本题以位似变换为基础，综合考查了正三角形、正方形、勾股定理、直角三角形边角性质等重要知识点，有一定的难度．本题（1）（2）（3）问之间互相关联，逐级推进，注意发现并利用好其中的联系．第（3）问的要点是求出面积和S的表达式，然后针对此表达式进行讨论，在求S最大值的过程中，利用了第（1）（2）问的结论．
