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直线与圆第三篇 [小题提速练]明晰考情 直线的方程和圆的方程都是C级要求，主要以小题形式考查，难度中等；也有时体现在应用题和圆锥曲线的综合问题上，难度稍大.题组对点练栏目索引易错易混练押题冲刺练题组对点练题组一 直线的方程(3)解决直线方程问题，要充分利用数形结合思想，养成边读题边画图分析的习惯.
(4)求直线方程时应根据条件选择合适的方程形式利用待定系数法求解，同时要考虑直线斜率不存在的情况是否符合题意.
(5)求解两条直线平行的问题时，在利用A1B2－A2B1＝0建立方程求出参数的值后，要注意代入检验，排除两条直线重合的可能性.则直线l的斜率为－2，即tan α＝－2，2.已知直线l1：(3＋m)x＋4y＝5－3m与l2：2x＋(5＋m)y＝8，则“l1∥l2”是“m<－1”的____________条件.(选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分又不必要”)充分不必要解析 若l1∥l2，则(3＋m)(5＋m)＝4×2，
得m＝－1或m＝－7，
经检验，当m＝－1时，l1与l2重合，所以m＝－7.
故“l1∥l2”是“m<－1”的充分不必要条件.3.过点P(2,3)的直线l与x轴，y轴正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，则S△OAB的最小值为________.12∵点P(2,3)在直线l上，∴ab≥24，当且仅当3a＝2b(即a＝4，b＝6)时取等号.4.在平面直角坐标系xOy中，直线l1：kx－y＋2＝0与直线l2：x＋ky－2＝0相交于点P，则当实数k变化时，点P到直线x－y－4＝0的距离的最大值为________.解析 由题意知，当k＝0时，l1⊥l2，此时点P(2,2)，当k≠0时，直线l1：kx－y＋2＝0的斜率为k，且经过点A(0,2)，题组二 圆的方程要点重组 (1)圆的标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2.(3)求圆的方程的方法：
①几何法：通过研究圆的性质、直线与圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程.
②代数法：即用待定系数法先设圆的方程，再由条件求得各系数.5.已知圆C与直线x－y＝0及x－y－4＝0都相切，圆心在直线x＋y＝0上，则圆C的标准方程为____________________.(x－1)2＋(y＋1)2＝2解析 设圆心坐标为(a，－a)，即|a|＝|a－2|，
解得a＝1，故圆的标准方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝2.6.已知圆C：(x－6)2＋(y＋8)2＝4，点O为坐标原点，则以OC为直径的圆的标准方程为___________________.(x－3)2＋(y＋4)2＝25解析 由题意可知O(0,0)，C(6，－8)，据此可得以OC为直径的圆的标准方程为(x－3)2＋(y＋4)2＝25.7.已知过点M(2,2)的直线l与坐标轴的正方向分别相交于A，B两点，O为坐标原点，若△AOB的面积为8，则△OAB外接圆的标准方程是___________________.(x－2)2＋(y－2)2＝8所以a＝4，b＝4，
不妨设A(4,0)，B(0,4)，△OAB外接圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，所以△OAB外接圆的方程为x2＋y2－4x－4y＝0，
标准方程为(x－2)2＋(y－2)2＝8.所以a＝4，b＝4，
所以△OAB是等腰直角三角形，且M是斜边AB的中点，所以△OAB外接圆的标准方程是(x－2)2＋(y－2)2＝8.8.抛物线y2＝4x与过其焦点且垂直于x轴的直线相交于A，B两点，其准线与x轴的交点为M，则过M，A，B三点的圆的标准方程为______________.(x－1)2＋y2＝4解析 由题意知A(1,2)，B(1，－2)，M(－1,0)，且AM2＋BM2＝AB2，
所以△AMB是以点M为直角顶点的等腰直角三角形，
则线段AB是所求圆的直径，圆心坐标为(1,0)，半径为2.
故所求圆的标准方程为(x－1)2＋y2＝4.题组三 直线与圆的位置关系要点重组 (1)直线(圆)与圆位置关系问题的求解思路
研究直线与圆的位置关系主要通过圆心到直线的距离和半径的比较实现，两个圆的位置关系的判断依据是两圆心距离与两半径差的绝对值与和的比较.
(2)弦长的求解方法③求出交点坐标，用两点间距离公式求解.9.(2018·全国Ⅲ改编)直线x＋y＋2＝0分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆(x－2)2＋y2＝2上，则△ABP面积的取值范围是________.[2,6]解析 设圆(x－2)2＋y2＝2的圆心为C，半径为r，综上，△ABP面积的取值范围是[2,6].10.已知命题p：?x∈R,4x＋2x＋t＝0，命题q：?k∈R，直线l：kx－y－k＋t＝0与圆C：x2＋y2＝10有公共点.若p∧q为真，则实数t的取值范围为________.[－3,0)故t<0；若q为真命题，则直线l所过定点(1，t)在圆C上或圆C内，
所以12＋t2≤10，解得－3≤t≤3.若p∧q为真命题，11.已知点P在圆x2＋y2＝4上，A(－2,0)，B(2,0)，M为BP中点，则sin∠BAM的最大
值为________.解析 如图，设P(2cos θ，2sin θ)，
则M(cos θ＋1，sin θ)，所以tan θ＝2，故直线l的斜率k＝2.
故直线l的方程为2x－y＋2＝0.易错易混练解析 C：(x－1)2＋(y－2)2＝10.
当l斜率不存在时，此时直线方程为x＝2，符合题意；
当l斜率存在时，设l：y＝k(x－2)＋4，综上，直线l的方程是x－2＝0或3x－4y＋10＝0.1.已知过点(2,4)的直线l被圆C：x2＋y2－2x－4y－5＝0截得的弦长为6，则直线l的方程为________________________.x－2＝0或3x－4y＋10＝0易错提醒 求直线的方程时，不要忽视直线平行于坐标轴和直线过原点的情形.B(－t，t＋m)(t≠0，t为常数)两点的距离相等，线段AB的中垂线为y＝x＋m.在同一坐标系中，再作出斜率为1的直线，在直线平移的过程中可发现，直线过(0,1)时有一个交点，此时m＝1；
平移直线过(0，－1)时开始与半圆形有2个交点，此时m＝－1，易错提醒 解决直线与半圆的关系问题一定要结合图形具体分析，确定其中参数的范围.押题冲刺练1234561.已知命题p：“m＝－1”，命题q：“直线x－y＝0与直线x＋m2y＝0互相垂直”，则命题p是命题q的_____________条件.充分不必要解析 “直线x－y＝0与直线x＋m2y＝0互相垂直”的充要条件是1×1＋(－1)·m2＝0?m＝±1.
∴命题p是命题q的充分不必要条件.1234562.已知过点P(2,2)的直线与圆(x－1)2＋y2＝5相切，且与直线ax－y＋1＝0垂直，则a＝________.解析 因为点P(2,2)在圆上，所以P为切点，
由切线与直线ax－y＋1＝0垂直，
得过点P(2,2)与圆心(1,0)的直线与直线ax－y＋1＝0平行，21234563.已知圆C：(x－1)2＋y2＝25，则过点P(2，－1)的圆C的所有弦中，以最长弦和最短弦为对角线的四边形的面积是________.解析 易知最长弦为圆的直径10，
又最短弦所在直线与最长弦垂直，1234564.已知圆C关于y轴对称，经过点(1,0)且被x轴分成的两段弧长比为1∶2，则圆C的方
程为_________________.123456设圆心坐标为(0，a)，半径为r，123456123456解析 设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
则直线PM的方程为x1x＋y1y＝4，
直线PN的方程为x2x＋y2y＝4.则直线MN的方程为ax＋(a＋4)y＝4，
即a(x＋y)＝4－4y，
则直线MN过定点Q(－1,1)，
因为OR⊥MN，所以点R在以OQ为直径的圆上(除去原点)，1234561234566.过原点且倾斜角为30°的直线被圆x2＋(y－2)2＝4所截得的弦长为________.2 本课结束 第三篇 第16练 直线与圆[小题提速练]
[明晰考情] 直线的方程和圆的方程都是C级要求，主要以小题形式考查，难度中等；也有时体现在应用题和圆锥曲线的综合问题上，难度稍大．
题组一 直线的方程
要点重组 (1)直线方程常用形式：
①点斜式：y－y0＝k(x－x0)；
②截距式：＋＝1(a≠0，b≠0)；
③一般式：Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)．
(2)点(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离公式d＝(A2＋B2≠0)．
(3)解决直线方程问题，要充分利用数形结合思想，养成边读题边画图分析的习惯．
(4)求直线方程时应根据条件选择合适的方程形式利用待定系数法求解，同时要考虑直线斜率不存在的情况是否符合题意．
(5)求解两条直线平行的问题时，在利用A1B2－A2B1＝0建立方程求出参数的值后，要注意代入检验，排除两条直线重合的可能性．
1．已知直线l的倾斜角为α，且直线l与l1：x－2y＋1＝0垂直，则＝________.
答案
解析 由已知得直线l1的斜率为，则直线l的斜率为－2，即tan α＝－2，所以＝＝＝.
2．已知直线l1：(3＋m)x＋4y＝5－3m与l2：2x＋(5＋m)y＝8，则“l1∥l2”是“m<－1”的________条件．(选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分又不必要”)
答案 充分不必要
解析 若l1∥l2，则(3＋m)(5＋m)＝4×2，
得m＝－1或m＝－7，
经检验，当m＝－1时，l1与l2重合，所以m＝－7.
故“l1∥l2”是“m<－1”的充分不必要条件．
3．过点P(2,3)的直线l与x轴，y轴正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，则S△OAB的最小值为________．
答案 12
解析 依题意，设直线l的方程为＋＝1(a>0，b>0)．
∵点P(2,3)在直线l上，
∴＋＝1，则ab＝3a＋2b≥2，
∴ab≥24，当且仅当3a＝2b(即a＝4，b＝6)时取等号．
∴S△AOB＝ab≥12，即S△AOB的最小值为12.
4．在平面直角坐标系xOy中，直线l1：kx－y＋2＝0与直线l2：x＋ky－2＝0相交于点P，则当实数k变化时，点P到直线x－y－4＝0的距离的最大值为________．
答案 3
解析 由题意知，当k＝0时，l1⊥l2，此时点P(2,2)，所以点P到直线x－y－4＝0的距离d＝＝2；当k≠0时，直线l1：kx－y＋2＝0的斜率为k，且经过点A(0,2)，直线l2：x＋ky－2＝0的斜率为－，且经过点B(2,0)，且直线l1⊥l2，所以点P落在以AB为直径的圆C上，其中圆心坐标为C(1,1)，半径为r＝，由圆心到直线x－y－4＝0的距离d＝＝2，所以点P到直线x－y－4＝0的最大距离为d＋r＝2＋＝3.
题组二 圆的方程
要点重组 (1)圆的标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
(2)圆的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，其中D2＋E2－4F>0，圆心，半径为.
(3)求圆的方程的方法：
①几何法：通过研究圆的性质、直线与圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程．
②代数法：即用待定系数法先设圆的方程，再由条件求得各系数．
5．已知圆C与直线x－y＝0及x－y－4＝0都相切，圆心在直线x＋y＝0上，则圆C的标准方程为________．
答案 (x－1)2＋(y＋1)2＝2
解析 设圆心坐标为(a，－a)，
则＝，
即|a|＝|a－2|，
解得a＝1，
故圆心坐标为(1，－1)，半径r＝＝，故圆的标准方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝2.
6．已知圆C：(x－6)2＋(y＋8)2＝4，点O为坐标原点，则以OC为直径的圆的标准方程为________．
答案 (x－3)2＋(y＋4)2＝25
解析 由题意可知O(0,0)，C(6，－8)，
则以OC为直径的圆的圆心坐标为(3，－4)，直径为＝10，
据此可得以OC为直径的圆的标准方程为(x－3)2＋(y＋4)2＝25.
7．已知过点M(2,2)的直线l与坐标轴的正方向分别相交于A，B两点，O为坐标原点，若△AOB的面积为8，则△OAB外接圆的标准方程是________．
答案 (x－2)2＋(y－2)2＝8
解析 方法一 设直线l的方程为＋＝1(a>0，b>0)，
由直线l过点M(2,2)，
得＋＝1，
又S△OAB＝ab＝8，
所以a＝4，b＝4，
不妨设A(4,0)，B(0,4)，△OAB外接圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
则将O，A，B的坐标分别代入得
解得
所以△OAB外接圆的方程为x2＋y2－4x－4y＝0，
标准方程为(x－2)2＋(y－2)2＝8.
方法二 设直线l的方程为＋＝1(a>0，b>0)，
由直线l过点M(2,2)，得＋＝1.
又S△OAB＝ab＝8，
所以a＝4，b＝4，
所以△OAB是等腰直角三角形，且M是斜边AB的中点，则△OAB外接圆的圆心是点M(2,2)，半径OM＝2，
所以△OAB外接圆的标准方程是(x－2)2＋(y－2)2＝8.
8．抛物线y2＝4x与过其焦点且垂直于x轴的直线相交于A，B两点，其准线与x轴的交点为M，则过M，A，B三点的圆的标准方程为________．
答案 (x－1)2＋y2＝4
解析 由题意知A(1,2)，B(1，－2)，M(－1,0)，则AM＝2，BM＝2，AB＝4，且AM2＋BM2＝AB2，所以△AMB是以点M为直角顶点的等腰直角三角形，则线段AB是所求圆的直径，圆心坐标为(1,0)，半径为2.故所求圆的标准方程为(x－1)2＋y2＝4.
题组三 直线与圆的位置关系
要点重组 (1)直线(圆)与圆位置关系问题的求解思路
研究直线与圆的位置关系主要通过圆心到直线的距离和半径的比较实现，两个圆的位置关系的判断依据是两圆心距离与两半径差的绝对值与和的比较．
(2)弦长的求解方法
①根据半径，弦心距，半弦长构成的直角三角形，构成三者间的关系r2＝d2＋(其中l为弦长，r为圆的半径，d为圆心到直线的距离)，弦长l＝2.
②根据公式：l＝|x1－x2|求解(其中l为弦长，x1，x2为直线与圆相交所得交点的横坐标，k为直线的斜率)，或根据l＝|y1－y2|求解．
③求出交点坐标，用两点间距离公式求解．
9．(2018·全国Ⅲ改编)直线x＋y＋2＝0分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆(x－2)2＋y2＝2上，则△ABP面积的取值范围是________．
答案 [2,6]
解析 设圆(x－2)2＋y2＝2的圆心为C，半径为r，点P到直线x＋y＋2＝0的距离为d，则圆心C(2,0)，r＝，所以圆心C到直线x＋y＋2＝0的距离为2，可得dmax＝2＋r＝3，dmin＝2－r＝.由已知条件可得AB＝2，所以△ABP面积的最大值为AB·dmax＝6，△ABP面积的最小值为AB·dmin＝2.
综上，△ABP面积的取值范围是[2,6]．
10．已知命题p：?x∈R,4x＋2x＋t＝0，命题q：?k∈R，直线l：kx－y－k＋t＝0与圆C：x2＋y2＝10有公共点．若p∧q为真，则实数t的取值范围为________．
答案 [－3,0)
解析 若p为真命题，则由2x>0，得－t＝2－∈(0，＋∞)，故t<0；若q为真命题，则直线l所过定点(1，t)在圆C上或圆C内，所以12＋t2≤10，解得－3≤t≤3.若p∧q为真命题，则解得－3≤t<0.
11．已知点P在圆x2＋y2＝4上，A(－2,0)，B(2,0)，M为BP中点，则sin∠BAM的最大值为________．
答案
解析 如图，设P(2cos θ，2sin θ)，
则M(cos θ＋1，sin θ)，
∴sin∠BAM＝，
∴sin2∠BAM＝
＝.
令cos θ＝x，则f(x)＝，x∈[－1,1]，
∴f′(x)＝＝，
由f′(x)＝0得x＝－或x＝－3(舍去)，
当－10，f(x)单调递增；
当－∴f(x)的极大值为＝.
又f(－1)＝f(1)＝0，∴f(x)max＝.
∴sin∠BAM的最大值为.
12．设m＝(2,1)，n＝(sin θ，cos θ)，其中θ∈，且θ为过点A(1,4)的直线l的倾斜角，当m·n最大时，直线l恰好与圆(x＋1)2＋(y－2)2＝r2(r>0)相切，则r＝________.
答案
解析 m·n＝2sin θ＋cos θ＝sin(θ＋φ)，
其中cos φ＝，sin φ＝.
当θ＋φ＝时，m·n取最大值，此时θ＝－φ，
sin θ＝sin＝cos φ＝，cos θ＝cos＝sin φ＝.
所以tan θ＝2，故直线l的斜率k＝2.
故直线l的方程为2x－y＋2＝0.
因为直线l与圆相切，所以r＝＝.
1．已知过点(2,4)的直线l被圆C：x2＋y2－2x－4y－5＝0截得的弦长为6，则直线l的方程为________________．
答案 x－2＝0或3x－4y＋10＝0
解析 C：(x－1)2＋(y－2)2＝10.
当l斜率不存在时，此时直线方程为x＝2，符合题意；
当l斜率存在时，设l：y＝k(x－2)＋4，
由题意可得2＋2＝10，
解得k＝，此时l：3x－4y＋10＝0.
综上，直线l的方程是x－2＝0或3x－4y＋10＝0.
易错提醒 求直线的方程时，不要忽视直线平行于坐标轴和直线过原点的情形．
2．若曲线x＝上存在唯一的点到A(t，－t＋m)，B(－t，t＋m)(t≠0，t为常数)两点的距离相等，则实数m的取值范围是________．
答案 (－1,1]∪{－}
解析 曲线x＝上存在唯一的点到A(t，－t＋m)，
B(－t，t＋m)(t≠0，t为常数)两点的距离相等，
即线段AB的中垂线与曲线x＝有唯一的公共点．
线段AB的中垂线为y＝x＋m.
曲线x＝表示圆心在原点，半径为1的圆在y轴以及y轴右方的部分．
在同一坐标系中，再作出斜率为1的直线，在直线平移的过程中可发现，直线过(0,1)时有一个交点，此时m＝1；平移直线过(0，－1)时开始与半圆形有2个交点，此时m＝－1，
继续平移至相切，此时m＝－.
所以m的取值范围是(－1,1]∪{－}．
易错提醒 解决直线与半圆的关系问题一定要结合图形具体分析，确定其中参数的范围．
1．已知命题p：“m＝－1”，命题q：“直线x－y＝0与直线x＋m2y＝0互相垂直”，则命题p是命题q的________条件．
答案 充分不必要
解析 “直线x－y＝0与直线x＋m2y＝0互相垂直”的充要条件是1×1＋(－1)·m2＝0?m＝±1.
∴命题p是命题q的充分不必要条件．
2．已知过点P(2,2)的直线与圆(x－1)2＋y2＝5相切，且与直线ax－y＋1＝0垂直，则a＝________.
答案 2
解析 因为点P(2,2)在圆上，所以P为切点，由切线与直线ax－y＋1＝0垂直，得过点P(2,2)与圆心(1,0)的直线与直线ax－y＋1＝0平行，所以＝a，解得a＝2.
3．已知圆C：(x－1)2＋y2＝25，则过点P(2，－1)的圆C的所有弦中，以最长弦和最短弦为对角线的四边形的面积是________．
答案 10
解析 易知最长弦为圆的直径10，
又最短弦所在直线与最长弦垂直，
且PC＝，
∴最短弦的长为2＝2＝2，
故所求四边形的面积S＝×10×2＝10.
4．已知圆C关于y轴对称，经过点(1,0)且被x轴分成的两段弧长比为1∶2，则圆C的方程为________．
答案 x2＋2＝
解析 由已知得圆心在y轴上，且被x轴所分劣弧所对的圆心角为.设圆心坐标为(0，a)，半径为r，则rsin ＝1，rcos ＝|a|，解得r＝，|a|＝，即r2＝，a＝±，故圆C的方程为x2＋2＝.
5．已知点A(－4,0)，P(a，a＋4)，圆O：x2＋y2＝4，直线PM，PN分别与圆O相切，切点为M，N.若＝，则AR的最大值为________．
答案 3
解析 设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
则直线PM的方程为x1x＋y1y＝4，
直线PN的方程为x2x＋y2y＝4.
将点P(a，a＋4)代入，得
则直线MN的方程为ax＋(a＋4)y＝4，
即a(x＋y)＝4－4y，
则直线MN过定点Q(－1,1)，
因为OR⊥MN，所以点R在以OQ为直径的圆上(除去原点)，
又以OQ为直径的圆的方程为2＋2＝，所以AR的最大值为＋＝3.
6．过原点且倾斜角为30°的直线被圆x2＋(y－2)2＝4所截得的弦长为________．
答案 2
解析 过原点且倾斜角为30°的直线方程为y＝x，圆x2＋(y－2)2＝4的圆心坐标为(0,2)，半径为r＝2，圆心到直线的距离d＝＝，故所截得的弦长为2＝2.
