课件40张PPT。第17练
圆锥曲线的定义、方程与性质第三篇 [小题提速练]明晰考情 圆锥曲线的定义、方程与性质是每年高考必考的内容，着重考查圆锥曲线的几何性质与标准方程，难度中等偏难.题组对点练栏目索引易错易混练押题冲刺练题组对点练题组一 圆锥曲线的定义与标准方程要点重组 (1)定义：
①椭圆：PF1＋PF2＝2a(2a>F1F2)；
②双曲线：|PF1－PF2|＝2a(2a③抛物线：PF＝PM，点F不在直线l上，PM⊥l于点M.
(2)求解圆锥曲线的标准方程的方法是“先定型，后计算”.所谓“定型”，就是指确定类型，所谓“计算”，就是指利用待定系数法求出方程中的a2，b2，p的值，最后代入写出椭圆、双曲线、抛物线的标准方程.1.(2019·全国Ⅰ改编)已知椭圆C的焦点为F1(－1,0)，F2(1,0)，过F2的直线与C交于A，
B两点.若AF2＝2F2B，AB＝BF1，则C的方程为___________.连结F1A，令F2B＝m，则AF2＝2m，BF1＝3m.故|F2A|＝a＝|F1A|，则点A为椭圆C的上顶点或下顶点.得a2＝3.又c2＝1，2.(2018·天津改编)已知双曲线 ＝1(a>0，b>0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点.设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1
和d2，且d1＋d2＝6，则双曲线的方程为_____________.解析 如图，不妨设A在B的上方，其中的一条渐近线为bx－ay＝0，解析 设P点在双曲线右支上，1所以PF1⊥PF2，4.已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，准线为l，过F的直线与抛物线及其准线l依次相交于G，M，N三点(其中M在G，N之间且G在第一象限)，若GF＝4，MN＝2MF，则p＝________.2解析 如图，分别过点G，M作GH⊥l于H，MD⊥l于D，又GH＝GF＝4，∴NG＝8，∴NF＝4，
∴EF＝2，即p＝2.题组二 圆锥曲线的几何性质5.(2019·江苏)在平面直角坐标系xOy中，若双曲线x2－ ＝1(b>0)经过点(3,4)，则该双曲线的渐近线方程是___________.8解析 如图，设AF2＝m，解得m＝2a，2所以OA∥BF2，所以F1B⊥OA，所以OF1＝OB，
所以∠BF1O＝∠F1BO，所以∠BOF2＝2∠BF1O.
因为直线OA，OB为双曲线C的两条渐近线，因为tan∠BOF2＝tan(2∠BF1O)，所以c2－a2＝3a2，题组三 直线与圆锥曲线要点重组 将直线方程代入圆锥曲线方程得到一元二次方程，利用方程根的判别式和求根公式解决有关相交问题、弦长问题、中点问题等，有时也可采用设而不求的方法即点差法.1∶2当∠PFO＝45°时，kPF＝tan 135°＝－1，当∠PFO由60°变化到45°时，双曲线的张口由小变大，离心率由小变大，易错易混练(1,2)解析 设P(x，y)，由题设条件，得动点P的轨迹方程为(x－1)(x＋1)＋(y－2)(y－2)＝0，
即x2＋(y－2)2＝1，它是以(0,2)为圆心，1为半径的圆.易错提醒 范围问题要注意圆锥曲线上点的坐标的范围和几何意义，不要忽略离心率本身的限制条件.押题冲刺练1234561.若抛物线y2＝2px(p>0)上到其焦点F的距离为2的点有且仅有一个，则p的值为________.4所以抛物线y2＝2px(p>0)上到其焦点F的距离为2的点有且仅有一个，
则此点只能为原点，1234562.已知F是双曲线C：x2－my2＝4m(m>0)的一个焦点，则点F到双曲线C的一条渐近线的距离为________.21234563.已知椭圆 ＋y2＝1的上、下顶点分别为A，B，F2为其右焦点，M为椭圆在第一象限内一点，若M，F2，B三点共线，则tan∠AMB＝________.解析 由题意得A(0,1)，B(0，－1)，F2(1,0)，
直线BM：y＝x－1，
代入椭圆方程得3x2－4x＝0，3又∠ABM＝45°，1234564.已知抛物线y2＝4x的焦点为F，过点F的直线交抛物线于A，B两点，且FA·FB＝6，则AB＝________.6解析 设抛物线的准线为l，FA＝m，FB＝n，
分别过点A，B作AA1⊥l于点A1，BB1⊥l于点B1，所以m＋n＝6，即AB＝6.1234562123456①
②123456123456解析 由题意知a＝1，故双曲线的渐近线方程为y＝±bx，设第一象限的交点为N(x0，y0)， 本课结束 第三篇 第17练 圆锥曲线的定义、方程与性质[小题提速练]
[明晰考情] 圆锥曲线的定义、方程与性质是每年高考必考的内容，着重考查圆锥曲线的几何性质与标准方程，难度中等偏难．
题组一 圆锥曲线的定义与标准方程
要点重组 (1)定义：
①椭圆：PF1＋PF2＝2a(2a>F1F2)；
②双曲线：|PF1－PF2|＝2a(2a③抛物线：PF＝PM，点F不在直线l上，PM⊥l于点M.
(2)求解圆锥曲线的标准方程的方法是“先定型，后计算”．所谓“定型”，就是指确定类型，所谓“计算”，就是指利用待定系数法求出方程中的a2，b2，p的值，最后代入写出椭圆、双曲线、抛物线的标准方程．
1．(2019·全国Ⅰ改编)已知椭圆C的焦点为F1(－1,0)，F2(1,0)，过F2的直线与C交于A，B两点．若AF2＝2F2B，AB＝BF1，则C的方程为________．
答案 ＋＝1
解析 由题意设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)，连结F1A，令F2B＝m，则AF2＝2m，BF1＝3m.由椭圆的定义知，4m＝2a，得m＝，故|F2A|＝a＝|F1A|，则点A为椭圆C的上顶点或下顶点．令∠OAF2＝θ(O为坐标原点)，则sin θ＝＝.在等腰三角形ABF1中，cos 2θ＝＝，因为cos 2θ＝1－2sin2θ，所以＝1－22，得a2＝3.又c2＝1，所以b2＝a2－c2＝2，椭圆C的方程为＋＝1.
2．(2018·天津改编)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点．设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2，且d1＋d2＝6，则双曲线的方程为________．
答案 －＝1
解析 如图，不妨设A在B的上方，
则A，B.
其中的一条渐近线为bx－ay＝0，
则d1＋d2＝＝＝2b＝6，∴b＝3.
又由e＝＝2，知a2＋b2＝4a2，∴a＝.
∴双曲线的方程为－＝1.
3．已知双曲线－y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线上，且满足PF1＋PF2＝2，则△PF1F2的面积为________．
答案 1
解析 设P点在双曲线右支上，
则有PF1－PF2＝2a＝2，又PF1＋PF2＝2，
所以PF1＝＋，PF2＝－，
又F1F2＝2c＝4，PF＋PF＝F1F，
所以PF1⊥PF2，
所以＝PF1·PF2＝×(＋)×(－)＝1.
4．已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，准线为l，过F的直线与抛物线及其准线l依次相交于G，M，N三点(其中M在G，N之间且G在第一象限)，若GF＝4，MN＝2MF，则p＝________.
答案 2
解析 如图，分别过点G，M作GH⊥l于H，MD⊥l于D，
由MN＝2MF，
MF＝MD，
知＝.
设准线l与x轴的交点为E，则
＝＝＝，
又GH＝GF＝4，∴NG＝8，∴NF＝4，∴EF＝2，即p＝2.
题组二 圆锥曲线的几何性质
要点重组 (1)椭圆、双曲线中a，b，c之间的关系
在椭圆中：a2＝b2＋c2，离心率为e＝＝；
在双曲线中：c2＝a2＋b2，离心率为e＝＝.
(2)双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x.注意离心率e与渐近线的斜率的关系．
5．(2019·江苏)在平面直角坐标系xOy中，若双曲线x2－＝1(b>0)经过点(3,4)，则该双曲线的渐近线方程是________．
答案 y＝±x
解析 因为双曲线x2－＝1(b>0)经过点(3,4)，所以9－＝1，得b＝，所以该双曲线的渐近线方程是y＝±bx＝±x.
6．(2019·全国Ⅱ改编)若抛物线y2＝2px(p>0)的焦点是椭圆＋＝1的一个焦点，则p＝________.
答案 8
解析 由题意知，抛物线的焦点坐标为，椭圆的焦点坐标为(±，0)，所以＝，解得p＝8.
7．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点A为双曲线右支上一点，线段AF1交左支于点B，若AF2⊥BF2，且BF1＝AF2，则该双曲线的离心率为________．
答案
解析 如图，设AF2＝m，
则BF1＝m，AB＝2a＋m，
BF2＝2a＋m.
在Rt△AF2B中，
AB2＝BF＋AF，
即2＝2＋m2，
解得m＝2a，
则AF2＝2a，AF1＝4a，AB＝a，
所以cos A＝＝＝，
在△AF1F2中，
F1F＝AF＋AF－2AF1·AF2cos A，
即(2c)2＝(4a)2＋(2a)2－2×4a×2a×，
整理得＝，所以e＝.
8．(2019·全国Ⅰ)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点．若＝，·＝0，则C的离心率为________．
答案 2
解析 如图，因为·＝0，所以F1B⊥F2B.因为＝，所以点A为F1B的中点，又点O为F1F2的中点，所以OA∥BF2，所以F1B⊥OA，所以OF1＝OB，所以∠BF1O＝∠F1BO，所以∠BOF2＝2∠BF1O.因为直线OA，OB为双曲线C的两条渐近线，
所以tan∠BOF2＝，tan∠BF1O＝.
因为tan∠BOF2＝tan(2∠BF1O)，
所以＝，所以b2＝3a2，
所以c2－a2＝3a2，
即2a＝c，所以双曲线的离心率e＝＝2.
题组三 直线与圆锥曲线
要点重组 将直线方程代入圆锥曲线方程得到一元二次方程，利用方程根的判别式和求根公式解决有关相交问题、弦长问题、中点问题等，有时也可采用设而不求的方法即点差法．
9．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)和直线l：＋＝1，若过C的左焦点F和下顶点的直线与l平行，则椭圆C的离心率为________．
答案
解析 因为直线l的斜率为－，所以＝，又b2＋c2＝a2，所以e＝＝.
10．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，过点F和抛物线上一点M(2,2)的直线l交抛物线于另一点N，则NF∶FM＝________.
答案 1∶2
解析 由题意知抛物线的焦点坐标为F(1,0)，则直线l的斜率为k＝＝2，
故直线l的方程为y＝2(x－1)，
则由解得或
即N，则NF∶FM＝＝.
11．设双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，过点F的直线与双曲线在第一象限的渐近线垂直，且交y轴于点P，当∠PFO(O为坐标原点)由60°变化到45°时，该双曲线的离心率的取值范围为________．
答案
解析 渐近线方程为y＝x，
当∠PFO＝60°时，kPF＝tan 120°＝－，
所以×(－)＝－1，即＝，
此时离心率e＝＝＝＝.
当∠PFO＝45°时，kPF＝tan 135°＝－1，
所以×(－1)＝－1，即＝1，
此时离心率e＝＝＝＝.
当∠PFO由60°变化到45°时，双曲线的张口由小变大，离心率由小变大，所以当∠PFO由60°变化到45°时，≤e≤.
12．已知O为坐标原点，F为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左焦点，过点F且与双曲线C的一条渐近线平行的直线l分别与另一条渐近线及双曲线的左支交于点A，B，若＝＋，则双曲线C的离心率为________．
答案
解析 由＝＋得3＝2＋，
所以2－2＝－，即2＝.
设F(－c,0)，与l平行的渐近线方程为y＝x，
则直线l的方程为y＝(x＋c)，
由得即A.
设B(x0，y0)，由2＝得
2＝(－c－x0，－y0)，
解得x0＝－，y0＝，即B，
将点B的坐标代入双曲线方程得－＝1，
化简得c＝a，所以e＝＝.
1．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程为y＝2x，则C的离心率为________．
答案
解析 因为双曲线－＝1(a>0，b>0)的焦点落在y轴上，所以其渐近线方程为y＝±x，即＝2，所以e＝＝ ＝.
易错提醒 有些同学忽视了焦点的位置，把双曲线的渐近线方程认为y＝±x，所以＝2，e＝＝.
2．已知A(1,2)，B(－1,2)，动点P满足⊥.若双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线与动点P的轨迹没有公共点，则双曲线离心率的取值范围是________．
答案 (1,2)
解析 设P(x，y)，由题设条件，得动点P的轨迹方程为(x－1)(x＋1)＋(y－2)(y－2)＝0，
即x2＋(y－2)2＝1，它是以(0,2)为圆心，1为半径的圆．
又双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x，即bx±ay＝0，
由题意，可得>1，即>1，
所以e＝<2，又e>1，故1易错提醒 范围问题要注意圆锥曲线上点的坐标的范围和几何意义，不要忽略离心率本身的限制条件．
1．若抛物线y2＝2px(p>0)上到其焦点F的距离为2的点有且仅有一个，则p的值为________．
答案 4
解析 由抛物线的对称性可知，抛物线上除原点外的点到准线x＝－的距离都大于，且成对出现．所以抛物线y2＝2px(p>0)上到其焦点F的距离为2的点有且仅有一个，则此点只能为原点，所以＝2，p＝4.
2．已知F是双曲线C：x2－my2＝4m(m>0)的一个焦点，则点F到双曲线C的一条渐近线的距离为________．
答案 2
解析 双曲线x2－my2＝4m(m>0)的标准方程为－＝1，其中a＝，b＝2，其焦点在x轴上，则有c＝，双曲线的焦点为(±，0)，其渐近线方程为y＝± x，即y±x＝0，则双曲线的右焦点到渐近线y＋x＝0的距离为d＝＝2.
3．已知椭圆＋y2＝1的上、下顶点分别为A，B，F2为其右焦点，M为椭圆在第一象限内一点，若M，F2，B三点共线，则tan∠AMB＝________.
答案 3
解析 由题意得A(0,1)，B(0，－1)，F2(1,0)，
直线BM：y＝x－1，
代入椭圆方程得3x2－4x＝0，
所以xM＝，yM＝，故kAM＝－，故tan∠BAM＝2，
又∠ABM＝45°，
所以tan∠AMB＝－tan(∠BAM＋45°)＝－＝3.
4．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，过点F的直线交抛物线于A，B两点，且FA·FB＝6，则AB＝________.
答案 6
解析 设抛物线的准线为l，FA＝m，FB＝n，分别过点A，B作AA1⊥l于点A1，BB1⊥l于点B1，由＝得2(m＋n)＝2mn＝12，所以m＋n＝6，即AB＝6.
5．已知椭圆＋＝1(a>)的左、右焦点分别为F1，F2，过左焦点F1作斜率为－2的直线与椭圆交于A，B两点，P是AB的中点，O为坐标原点，若直线OP的斜率为，则a的值是________．
答案 2
解析 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)，
则
①－②得＝－·＝－·，
即－2＝·4，解得a＝2.
6．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的实轴长为2，若双曲线C的两条渐近线与圆Ω：x2＋y2＝2交于M，N，P，Q四个点，且矩形MNPQ的面积为b，则双曲线C的离心率为________．
答案 2
解析 由题意知a＝1，故双曲线的渐近线方程为y＝±bx，设第一象限的交点为N(x0，y0)，
则解得x＝，
又矩形MNPQ的面积为2x0·2y0＝4x0y0＝＝b，解得b＝，故c＝＝2，
所以双曲线C的离心率为2.
