课件36张PPT。第18练
直线与圆的综合问题第三篇 [大题规范练]明晰考情 直线方程、圆的方程在高考中要求较高，是考查的重点.题组对点练栏目索引模板规范练题组对点练题组一 直线与圆、圆与圆的位置关系方法技巧 当直线和圆相切时，求切线方程一般要用圆心到直线的距离等于半径，求切线长一般要用切线、半径及圆外点与圆心连线构成的直角三角形；与圆相交时，弦长的计算也要用弦心距、半径及弦长的一半构成的直角三角形.(1)求圆C的方程；解 设圆C的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，解得D＝－4, E＝－8, F＝－5，
∴圆C的方程为x2＋y2－4x－8y－5＝0.
经验证，符合题意.(2)动直线l: (m＋2)x＋(2m＋1)y－7m－8＝0过定点M，斜率为1的直线m过点M，直线m和圆C相交于P, Q两点，求PQ的长度.证明 动直线l的方程为(x＋2y－7)m＋2x＋y－8＝0，∴直线m: y＝x－1，又圆C(x－2)2＋(y－4)2＝25，2.在平面直角坐标系xOy中，已知圆C经过点A(1,3)，B(4,2)，且圆心在直线l：x－y－1＝0上.
(1)求圆C的方程；∵圆C经过点A(1,3)，B(4,2)，且圆心在直线l：x－y－1＝0上，∴所求圆C的方程为x2＋y2－4x－2y＝0 .(2)设P是圆D：x2＋y2＋8x－2y＋16＝0上任意一点，过点P作圆C的两条切线PM，PN，M，N为切点，试求四边形PMCN面积S的最小值.解 由(1)知，圆C的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5.∴当PC最小时，S最小.
∵圆D：x2＋y2＋8x－2y＋16＝0，
∴D(－4,1)，半径为1.
∵C(2,1)，
∴两个圆的圆心距DC＝6.
∵点P在圆D上，且圆D 的半径为1，
∴PCmin＝6－1＝5，题组二 直线与圆的综合问题方法技巧 解决直线与圆的综合问题，往往充分利用平面几何中圆的性质使问题简化.数形结合、分类讨论、函数与方程的思想在解决圆的有关问题时经常运用.3.已知圆C：(x－4)2＋(y－1)2＝4，直线l：2mx－(3m＋1)y＋2＝0.
(1)求证：直线l过定点；证明 依题意得，m(2x－3y)＋(2－y)＝0.
令2x－3y＝0且2－y＝0，
得x＝3，y＝2，
∴直线l过定点A(3,2).(2)求直线l被圆C所截得的弦长最短时m的值；解 当AC⊥l时，直线l被圆C所截得弦长最短，
由题意知C(4,1)，r＝2，得m＝－1.整理得[(2－2t)λ2＋8] y＋(3＋t2)λ2－28＝0.∴(2－2t)λ2＋8＝0且(3＋t2)λ2－28＝0，
即得t2－7t＋10＝0，
∴t＝2，t＝5(舍去，与M重合)，λ2＝4，λ＝2.4.已知圆M：x2＋(y－2)2＝1，设点B，C是直线l：x－2y＝0上的两点，它们的横坐标分别是t，t＋4(t∈R)，点P在线段BC上，过P点作圆M的切线PA，切点为A.解 设P(2a，a)(0≤a≤2).∴P(2,1).由题意知切线PA的斜率存在，设斜率为k.
∴直线PA的方程为y－1＝k(x－2)，即kx－y－2k＋1＝0.
∵直线PA与圆M相切，∴直线PA的方程为y＝1或4x＋3y－11＝0.(2)经过A，P，M三点的圆的圆心是D，求线段DO长的最小值L(t).解 设P(2a，a)(t≤2a≤t＋4).
∵PA与圆M相切于点A，
∴PA⊥MA.
∴经过A，P，M三点的圆的圆心D是线段MP的中点.
∵M(0,2)，设DO2＝f(a)，模板规范练典例 (14分)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A(－3,4)，B(9,0)，C，D分别为线段OA，OB上的动点，且满足AC＝BD.
(1)若AC＝4，求直线CD的方程；
(2)证明：△OCD的外接圆恒过定点(异于原点O).模板体验审题路线图规范解答·评分标准由BD＝4，得D(5,0)，…………………………………………………………4分(2)证明 设C(－3m,4m)(0＜m≤1)，则OC＝5m. ……………………………………7分
所以AC＝OA－OC＝5－5m.
因为AC＝BD，所以OD＝OB－BD＝5m＋4，
所以点D的坐标为(5m＋4,0). …………………………………………………………8分
又设△OCD的外接圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，整理得x2＋y2－4x－3y－5m(x＋2y)＝0.所以△OCD的外接圆恒过定点(2，－1). …………………………………………14分解得D＝－(5m＋4)，F＝0，E＝－10m－3，
所以△OCD的外接圆的方程为
x2＋y2－(5m＋4)x－(10m＋3)y＝0，…………………………………………………12分构建答题模板
[第一步] 设直线方程：关键是求出直线斜率，通过线段长构建方程求斜率.
[第二步] 求圆的方程：根据题意设出圆的一般式，求出圆的一般方程.
[第三步] 整理圆的方程：利用等式恒成立的思想求出定点坐标.规范演练1.在平面直角坐标系中，已知圆C：x2＋(y－4)2＝4，有一动点P在直线x－2y＝0上运动，过点P作圆C的切线PA，PB，切点分别为A，B.
(1)求切线长PA的最小值；解 因为PA是圆C的一条切线，所以∠CAP＝90°，因为PC的最小值为圆心C到直线x－2y＝0的距离d，(2)试问：当点P运动时，弦AB所在的直线是否恒过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由.解 设P(2b，b)，易知经过A，P，C三点的圆E以CP为直径，
圆E的方程为x(x－2b)＋(y－4)(y－b)＝0，
即x2＋y2－2bx－(b＋4)y＋4b＝0， ①
又圆C：x2＋(y－4)2＝4，
即x2＋y2－8y＋12＝0， ②
②－①，得圆E与圆C的相交弦AB所在直线的方程为
2bx＋(b－4)y＋12－4b＝0，
即(2x＋y－4)b－4y＋12＝0.2.如图，在平面直角坐标系xOy中，圆O：x2＋y2＝4与x轴的正半轴交于点A，以点A为圆心的圆A：(x－2)2＋y2＝r2(r>0)与圆O交于B，C两点.解 取EF的中点G，连结OG，AD，OF，
则AD∥OG，由题意可知直线l的斜率存在，可设直线l的方程为y＝k(x－6) ，由点A到直线l的距离等于r，从而直线l的方程为x±3y－6＝0. 本课结束 第三篇 第18练 直线与圆的综合问题[大题规范练]
[明晰考情] 直线方程、圆的方程在高考中要求较高，是考查的重点．
题组一 直线与圆、圆与圆的位置关系
方法技巧 当直线和圆相切时，求切线方程一般要用圆心到直线的距离等于半径，求切线长一般要用切线、半径及圆外点与圆心连线构成的直角三角形；与圆相交时，弦长的计算也要用弦心距、半径及弦长的一半构成的直角三角形．
1．已知圆C经过A， B两点，且圆心C在直线y＝2x上．
(1)求圆C的方程；
(2)动直线l: (m＋2)x＋(2m＋1)y－7m－8＝0过定点M，斜率为1的直线m过点M，直线m和圆C相交于P, Q两点，求PQ的长度．
解 (1)设圆C的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
则
解得D＝－4, E＝－8, F＝－5，
∴圆C的方程为x2＋y2－4x－8y－5＝0.
经验证，符合题意．
(2)动直线l的方程为(x＋2y－7)m＋2x＋y－8＝0，
则解得
∴动直线l过定点M，
∴直线m: y＝x－1，又圆C(x－2)2＋(y－4)2＝25，
∴圆心C到m的距离为，
∴PQ的长为2＝.
2．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C经过点A(1,3)，B(4,2)，且圆心在直线l：x－y－1＝0上．
(1)求圆C的方程；
(2)设P是圆D：x2＋y2＋8x－2y＋16＝0上任意一点，过点P作圆C的两条切线PM，PN，M，N为切点，试求四边形PMCN面积S的最小值．
解 (1)设圆C的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 ，其圆心为 ，
∵圆C经过点A(1,3)，B(4,2)，且圆心在直线l：x－y－1＝0上，
∴ 解得
∴所求圆C的方程为x2＋y2－4x－2y＝0 .
(2)由(1)知，圆C的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5.
依题意，S＝2S△PMC＝PM×MC＝×，
∴当PC最小时，S最小．
∵圆D：x2＋y2＋8x－2y＋16＝0，
∴D(－4,1)，半径为1.
∵C(2,1)，
∴两个圆的圆心距DC＝6.
∵点P在圆D上，且圆D 的半径为1，
∴PCmin＝6－1＝5，
∴Smin＝×＝10.
题组二 直线与圆的综合问题
方法技巧 解决直线与圆的综合问题，往往充分利用平面几何中圆的性质使问题简化．数形结合、分类讨论、函数与方程的思想在解决圆的有关问题时经常运用．
3．已知圆C：(x－4)2＋(y－1)2＝4，直线l：2mx－(3m＋1)y＋2＝0.
(1)求证：直线l过定点；
(2)求直线l被圆C所截得的弦长最短时m的值；
(3)已知点M，在直线MC上(C为圆心)存在定点N(异于点M)满足：对于圆C上任一点P，都有为一常数，试求所有满足条件的点N的坐标及该常数．
(1)证明 依题意得， m(2x－3y)＋(2－y)＝0.
令2x－3y＝0且2－y＝0，
得x＝3，y＝2，
∴直线l过定点A(3,2)．
(2)解 当AC⊥l时，直线l被圆C所截得弦长最短，
由题意知C(4,1)，r＝2，
∴ kAC＝＝－1，得kl＝1，
∴由＝1，
得m＝－1.
(3)解 由题意知，直线MC的方程为x＝4，假设存在定点N(t≠5)满足题意，
则设P， ＝λ，得PM2＝λ2PN2 (λ>0)，且(x－4)2＝4－2，
∴ 4－2＋2＝4λ2－λ22＋λ2(y－t)2，
整理得[(2－2t)λ2＋8]y＋(3＋t2)λ2－28＝0.
∵上式对任意y∈恒成立，
∴(2－2t)λ2＋8＝0且(3＋t2)λ2－28＝0，
即得t2－7t＋10＝0，
∴t＝2，t＝5(舍去，与M重合)，λ2＝4，λ＝2.
综上可知，在直线MC上存在定点N(4,2)，使得为常数2.
4．已知圆M：x2＋(y－2)2＝1，设点B，C是直线l：x－2y＝0上的两点，它们的横坐标分别是t，t＋4(t∈R)，点P在线段BC上，过P点作圆M的切线PA，切点为A.
(1)若t＝0，MP＝，求直线PA的方程；
(2)经过A，P，M三点的圆的圆心是D，求线段DO长的最小值L(t)．
解 (1)设P(2a，a)(0≤a≤2)．
∵M(0,2)，MP＝，
∴＝.
解得a＝1或a＝－(舍去)．
∴P(2,1)．由题意知切线PA的斜率存在，设斜率为k.
∴直线PA的方程为y－1＝k(x－2)，即kx－y－2k＋1＝0.
∵直线PA与圆M相切，
∴＝1，
解得k＝0或k＝－.
∴直线PA的方程为y＝1或4x＋3y－11＝0.
(2)设P(2a，a)(t≤2a≤t＋4)．
∵PA与圆M相切于点A，
∴PA⊥MA.
∴经过A，P，M三点的圆的圆心D是线段MP的中点．
∵M(0,2)，
∴点D的坐标是.
设DO2＝f(a)，
∴f(a)＝a2＋2＝a2＋a＋1＝2＋.
①当＞－，即t＞－时，f(a)min＝f＝t2＋＋1；
②当≤－≤＋2，
即－≤t≤－时，f(a)min＝f＝；
③当＋2＜－，即t＜－时，f(a)min＝f＝2＋＋1＝t2＋3t＋8，
综上所述，L(t)＝
典例 (14分)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A(－3,4)，B(9,0)，C，D分别为线段OA，OB上的动点，且满足AC＝BD.
(1)若AC＝4，求直线CD的方程；
(2)证明：△OCD的外接圆恒过定点(异于原点O)．
审题路线图
(1)―→
(2)―→
规范解答·评分标准
(1)解 因为A(－3,4)，所以OA＝＝5.……………………………………………1分
又因为AC＝4，所以OC＝1，所以C.………………………………………………3分
由BD＝4，得D(5,0)，…………………………………………………………………………4分
所以直线CD的斜率k＝＝－，……………………………………………………5分
所以直线CD的方程为y＝－(x－5)，即x＋7y－5＝0. ……………………………………6分
(2)证明 设C(－3m,4m)(0＜m≤1)，则OC＝5m. ……………………………………………7分
所以AC＝OA－OC＝5－5m.
因为AC＝BD，所以OD＝OB－BD＝5m＋4，
所以点D的坐标为(5m＋4,0). …………………………………………………………………8分
又设△OCD的外接圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
则有…………………………………………………10分
解得D＝－(5m＋4)，F＝0，E＝－10m－3，
所以△OCD的外接圆的方程为
x2＋y2－(5m＋4)x－(10m＋3)y＝0，…………………………………………………………12分
整理得x2＋y2－4x－3y－5m(x＋2y)＝0.
令所以(舍去)或
所以△OCD的外接圆恒过定点(2，－1). ………………………………………………14分
构建答题模板
[第一步] 设直线方程：关键是求出直线斜率，通过线段长构建方程求斜率．
[第二步] 求圆的方程：根据题意设出圆的一般式，求出圆的一般方程．
[第三步] 整理圆的方程：利用等式恒成立的思想求出定点坐标．
1．在平面直角坐标系中，已知圆C：x2＋(y－4)2＝4，有一动点P在直线x－2y＝0上运动，过点P作圆C的切线PA，PB，切点分别为A，B.
(1)求切线长PA的最小值；
(2)试问：当点P运动时，弦AB所在的直线是否恒过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由．
解 (1)因为PA是圆C的一条切线，
所以∠CAP＝90°，
在Rt△CAP中，PA＝＝.
因为PC的最小值为圆心C到直线x－2y＝0的距离d，且d＝＝，
所以切线长PA的最小值(PA)min＝＝.
(2)设P(2b，b)，易知经过A，P，C三点的圆E以CP为直径，
圆E的方程为x(x－2b)＋(y－4)(y－b)＝0，
即x2＋y2－2bx－(b＋4)y＋4b＝0，①
又圆C：x2＋(y－4)2＝4，
即x2＋y2－8y＋12＝0，②
②－①，得圆E与圆C的相交弦AB所在直线的方程为
2bx＋(b－4)y＋12－4b＝0，
即(2x＋y－4)b－4y＋12＝0.
由
解得
所以弦AB所在的直线恒过定点.
2．如图，在平面直角坐标系xOy中，圆O：x2＋y2＝4与x轴的正半轴交于点A，以点A为圆心的圆A：(x－2)2＋y2＝r2(r>0)与圆O交于B，C两点．
(1)当r＝时，求BC的长；
(2)当r变化时，求·的最小值；
(3)过点P的直线l与圆A切于点D，与圆O分别交于点E，F，若点E是DF的中点，试求直线l的方程.
解 (1)当r＝ 时，
由 得B， C， BC＝.
(2)由对称性，设B(x0，y0)，C(x0，－y0)，则x＋y＝4，
所以·＝(x0－2)2－y＝(x0－2)2－(4－x) ＝2(x0－1)2－2.
因为－2(3)取EF的中点G，连结OG，AD，OF，
则AD∥OG，
则＝＝＝，
从而OG＝r ，不妨记DE＝2EG＝2GF＝2t，PD＝6t.
在Rt△OFG中，OF2＝OG2＋FG2，
即22＝2＋t2，①
在Rt△ADP中，AP2＝AD2＋DP2，
即42＝r2＋2，②
由①②解得r＝.
由题意可知直线l的斜率存在，可设直线l的方程为y＝k(x－6) ，由点A到直线l的距离等于r，
得＝，
所以k＝±，
从而直线l的方程为x±3y－6＝0.
