课件41张PPT。第21练
函数的概念、图象与性质第三篇 [小题提速练]明晰考情 以基本初等函数为载体，考查函数的定义域、最值、奇偶性、单调性、周期性，分段函数求值或分段函数中参数的求解，以及函数图象的判断.难度为中档.题组对点练栏目索引易错易混练押题冲刺练题组对点练题组一 函数及其表示要点重组 (1)函数定义域的求法
求函数的定义域，其实质就是以函数解析式所含运算有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集即可.
(2)分段函数问题常见类型及解题策略
①求函数值：弄清自变量所在区间，然后代入对应的解析式，求“层层套”的函数值，要从最内层逐层往外计算.
②求函数最值：分别求出每个区间上的最值，然后比较大小.
③解不等式：根据分段函数中自变量取值范围的界定，代入相应的解析式求解，但要注意取值范围的大前提.
④求参数：“分段处理”，采用代入法列出各区间上的方程.(2,3)∪(3，＋∞)所以函数的定义域为(2,3)∪(3，＋∞).2.已知f(x)＝ 且f(－2)＝5，f(－1)＝3，则f(f(－3))＝________.2解析 f(－2)＝a－2＋b＝5， ①
f(－1)＝a－1＋b＝3， ②∴f(f(－3))＝f(9)＝log39＝2.解析 当x≤2时，y＝x2－4x＋8＝(x－2)2＋4≥4，符合条件，
所以只需使y＝2＋logax≥4(x>2)恒成立，
故当a>1时，y＝2＋logax>2＋loga2，所以2＋loga2≥4，当0
2时，y＝2＋logax≥4不恒成立.因为ax>0，所以ax＋1>1，(－2 019,2)故函数f(x)的值域为(－2 019,2).题组二 函数的图象及应用要点重组 利用间接法排除(筛选)错误(正确)的选项，可以从如下几个方面入手：
①从函数的定义域，判断图象的左右位置，从函数的值域，判断图象的上下位置.
②从函数的单调性，判断图象的变化趋势.
③从函数的奇偶性，判断图象的对称性：如奇函数在关于原点对称的区间上单调性一致，偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反.
④从函数的周期性，判断图象的循环往复.
⑤从特殊点出发，排除不符合要求的选项.
灵活应用上述方法，可以很快判断出函数的图象.5.若函数y＝f(x)的图象经过点(1,2)，则y＝f(－x)＋1的图象必经过的点的坐标是________.(－1,3)解析 根据y＝f(x)的图象经过点(1,2)，
可得y＝f(－x)的图象经过点(－1,2)，
函数y＝f(－x)＋1的图象经过点(－1,3).如图，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4)，
由|log3x|＝m，得x1＝3－m，x2＝3m，当x∈(0,2]时，则x－2∈(－2,0]，
∴f(x－2)＝－|x－1|＋1，
∴f(x)＝2f(x－2)＝－2|x－1|＋2，
当x∈(2,4]时，则x－2∈(0,2]，
∴f(x－2)＝－2|x－3|＋2，
∴f(x)＝2f(x－2)＝－4|x－3|＋4，
画出f(x)的图象如图所示，再将y＝x平行移动得到直线y＝x＋2m－1，
发现当－2<2m－1<0或2m－1＝1时，
直线y＝x＋2m－1与f(x)的图象有3个交点，
即g(x)＝f(x)－x－2m＋1在区间[－2,4]内有3个零点.8解析 如图，两个函数图象都关于点(1,0)成中心对称，所以两个图象在[－2,4]上共8个交点，每两个对应交点横坐标之和为2.
故所有交点的横坐标之和为8.题组三 函数性质及应用要点重组 (1)比较函数值的大小，可将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决.(3)若函数f(x)在定义域(或某一区间)上是增函数，则f(x1)若对于函数f(x)定义域内的任意一个x都有：
①f(x＋a)＝－f(x)(a≠0)，则函数f(x)必为周期函数，2|a|是它的一个周期.9.已知f(x)是定义在R上的奇函数，若x>0时，f(x)＝xln x，则x<0时，f(x)＝________.xln(－x)解析 当x<0时，－x>0，所以f(－x)＝(－x)ln(－x)，
又f(－x)＝－f(x)，所以－f(x)＝(－x)ln(－x)，
所以f(x)＝xln(－x).(－∞，－1)∪(1，＋∞)解析 f(x)的定义域为R.易知f(x－1)为偶函数，且在区间(0，＋∞)内单调递增，
故f(x)的图象关于直线x＝－1对称，
且在区间(－∞，－1)内单调递减，在区间(－1，＋∞)内单调递增，
所以由f(3x－1)>f(2)，得3x－1<－4或3x－1>2，
解得x<－1或x>1.解析 ∵f(x＋2)＝－f(－x＋2)，
∴f(x)＝－f(－x＋4)，
又f(x)＝f(－x＋2)，∴－f(－x＋4)＝f(－x＋2)，
∴－f(－x＋2)＝f(－x)，∴f(－x＋4)＝f(－x)，
∴f(x)的周期为4，2解析 如图所示，作出函数f(x)的图象，
函数f(x)＝x2＋2x(x<0)的图象关于原点对称的图象如图中虚线所示，故f(x)的“和谐点对”有2个.易错易混练1.已知函数f(x)为R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)＝－ex＋1－mcos x，记a＝－2f(－2)，b＝－f(－1)，c＝3f(3)，则a，b，c的大小关系是________.(用“<”连接)c所以f(0)＝－e0＋1－mcos 0＝0，所以m＝0，
即当x≥0时，f(x)＝－ex＋1.
构造函数g(x)＝xf(x)，满足g(－x)＝g(x)，
则函数g(x)是偶函数，
则x≥0时，g′(x)＝1－ex(x＋1)，
当x≥0时，ex≥1，x＋1≥1，所以g′(x)≤0，
即函数g(x)在[0，＋∞)上单调递减，
且a＝g(－2)＝g(2)，b＝g(－1)＝g(1)，c＝g(3)，
所以g(1)>g(2)>g(3)，即c①若f(1＋2x)＝f(1－2x)，则f(x)的图象关于直线x＝1对称；
②y＝f(x－2)与y＝f(2－x)的图象关于直线x＝2对称；
③若f(x)为偶函数，且f(x＋2)＝－f(x)，则f(x)的图象关于直线x＝2对称；
④若f(x)为奇函数，且f(x)＝f(－x－2)，则f(x)的图象关于直线x＝1对称.
其中正确命题的序号为__________.①②③④对于②，令t＝x－2，则问题等价于y＝f(t)与y＝f(－t)图象的对称问题，显然这两个函数的图象关于直线t＝0对称，即函数y＝f(x－2)与y＝f(2－x)的图象关于直线x－2＝0，即x＝2对称，故②正确；
对于③，由f(x＋2)＝－f(x)，可得f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，f(x)的周期为4.又f(x)为偶函数，f(x)＝f(－x)＝f(－x＋4).所以f(x)的图象关于直线x＝2对称，故③正确；易错提醒 在应用函数性质的结论时，避免因混淆而出错，例如：函数f(x)满足等式f(1－x)＝f(1＋x)与f(x－1)＝f(x＋1)，前者是f(x)图象关于x＝1对称，后者是f(x)的周期T＝2.押题冲刺练1234561123456所以函数f(x)是以4为周期的周期函数，1234563.已知函数f(x)在R上单调递减，且为奇函数.若f(1)＝－1，则满足－1≤f(x－2)≤1的x的取值范围是________.解析 ∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x).
∵f(1)＝－1，∴f(－1)＝－f(1)＝1.
由－1≤f(x－2)≤1，得f(1)≤f(x－2)≤f(－1).
又f(x)在R上单调递减，∴－1≤x－2≤1，∴1≤x≤3.[1,3]1234564.已知函数f(x)＝ 若关于x的方程f(x)＋a＝0有两个不相等的实根，则a
的取值范围是________.0所以函数f(x)为偶函数，
故函数f(x)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上，f(x)单调递增，
在(－∞，0)上，f(x)单调递减.
要使f(2x＋1)>f(x－1)，则需|2x＋1|>|x－1|，平方化简得x2＋2x>0，解得x<－2或x>0.123456123456函数g1(x)＝ln(x＋a)的图象可由函数y＝ln x的图象向左或向右平移|a|个单位长度得到，
要使f1(x)与g1(x)的图象上存在关于y轴对称的点，123456 本课结束 第三篇 第21练 函数的概念、图象与性质[小题提速练]
[明晰考情] 以基本初等函数为载体，考查函数的定义域、最值、奇偶性、单调性、周期性，分段函数求值或分段函数中参数的求解，以及函数图象的判断．难度为中档．
题组一 函数及其表示
要点重组 (1)函数定义域的求法
求函数的定义域，其实质就是以函数解析式所含运算有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集即可．
(2)分段函数问题常见类型及解题策略
①求函数值：弄清自变量所在区间，然后代入对应的解析式，求“层层套”的函数值，要从最内层逐层往外计算．
②求函数最值：分别求出每个区间上的最值，然后比较大小．
③解不等式：根据分段函数中自变量取值范围的界定，代入相应的解析式求解，但要注意取值范围的大前提．
④求参数：“分段处理”，采用代入法列出各区间上的方程．
1．函数y＝log2(2x－4)＋的定义域是________．
答案 (2,3)∪(3，＋∞)
解析 由题意得解得x>2且x≠3，
所以函数的定义域为(2,3)∪(3，＋∞)．
2．已知f(x)＝且f(－2)＝5，f(－1)＝3，则f(f(－3))＝________.
答案 2
解析 f(－2)＝a－2＋b＝5，①
f(－1)＝a－1＋b＝3，②
由①②得或(舍)．
∴f(x)＝
∴f(－3)＝－3＋1＝9，
∴f(f(－3))＝f(9)＝log39＝2.
3．若函数f(x)＝(a>0且a≠1)的值域是[4，＋∞)，则实数a的取值范围是________．
答案 (1，]
解析 当x≤2时，y＝x2－4x＋8＝(x－2)2＋4≥4，符合条件，所以只需使y＝2＋logax≥4(x>2)恒成立，故当a>1时，y＝2＋logax>2＋loga2，所以2＋loga2≥4，即loga2≥2，解得12时，y＝2＋logax≥4不恒成立．综上所述，实数a的取值范围是(1，]．
4．函数f(x)＝(a>0且a≠1)的值域为________．
答案 (－2 019,2)
解析 f(x)＝＝＝2－，
因为ax>0，所以ax＋1>1，
所以0<<2 021，
所以－2 019<2－<2，
故函数f(x)的值域为(－2 019,2)．
题组二 函数的图象及应用
要点重组 利用间接法排除(筛选)错误(正确)的选项，可以从如下几个方面入手：
①从函数的定义域，判断图象的左右位置，从函数的值域，判断图象的上下位置．
②从函数的单调性，判断图象的变化趋势．
③从函数的奇偶性，判断图象的对称性：如奇函数在关于原点对称的区间上单调性一致，偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反．
④从函数的周期性，判断图象的循环往复．
⑤从特殊点出发，排除不符合要求的选项．
灵活应用上述方法，可以很快判断出函数的图象．
5．若函数y＝f(x)的图象经过点(1,2)，则y＝f(－x)＋1的图象必经过的点的坐标是________．
答案 (－1,3)
解析 根据y＝f(x)的图象经过点(1,2)，可得y＝f(－x)的图象经过点(－1,2)，函数y＝f(－x)＋1的图象经过点(－1,3)．
6．函数y＝|log3x|的图象与直线l1：y＝m从左至右分别交于点A，B，与直线l2：y＝(m>0)从左至右分别交于点C，D.记线段AC和BD在x轴上的投影长度分别为a，b，则的最小值为________．
答案 27
解析 在同一坐标系中作出y＝m，y＝(m>0)，y＝|log3x|的图象，如图，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4)，由|log3x|＝m，得x1＝3－m，x2＝3m，由|log3x|＝，得x3＝，x4＝
依照题意得a＝|3－m－|，b＝|3m－|，＝＝3m＝，又m>0，∴m＋＝(2m＋1)＋－≥，当且仅当(2m＋1)＝，即m＝时取等号，∴min＝27.
7．已知函数f(x)＝
g(x)＝f(x)－x－2m＋1在区间[－2,4]内有3个零点，则实数m的取值范围是_____________．
答案
解析 当x∈[－2,0]时，f(x)＝＋1＝－|x＋1|＋1，当x∈(0,2]时，则x－2∈(－2,0]，
∴f(x－2)＝－|x－1|＋1，
∴f(x)＝2f(x－2)＝－2|x－1|＋2，
当x∈(2,4]时，则x－2∈(0,2]，
∴f(x－2)＝－2|x－3|＋2，
∴f(x)＝2f(x－2)＝－4|x－3|＋4，
画出f(x)的图象如图所示，
再将y＝x平行移动得到直线y＝x＋2m－1，发现当－2<2m－1<0或2m－1＝1时，直线y＝x＋2m－1与f(x)的图象有3个交点，即g(x)＝f(x)－x－2m＋1在区间[－2,4]内有3个零点．
故－8．函数y＝的图象与函数y＝2sin πx(－2≤x≤4)的图象所有交点的横坐标之和等于________．
答案 8
解析 如图，两个函数图象都关于点(1,0)成中心对称，又x＝时，2sin πx<，所以两个图象在[－2,4]上共8个交点，每两个对应交点横坐标之和为2.故所有交点的横坐标之和为8.
题组三 函数性质及应用
要点重组 (1)比较函数值的大小，可将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决．
(2)对于x1，x2∈[a，b]，x1≠x2，若(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]>0或>0，则f(x)在闭区间[a，b]上是增函数．
(3)若函数f(x)在定义域(或某一区间)上是增函数，则f(x1)(4)利用函数性质求值的关键是利用函数的奇偶性、对称性以及函数的周期性将自变量转化到指定区间内，然后代入函数解析式求值．记住以下结论：
若对于函数f(x)定义域内的任意一个x都有：
①f(x＋a)＝－f(x)(a≠0)，则函数f(x)必为周期函数，2|a|是它的一个周期．
②f(x＋a)＝(a≠0，f(x)≠0)，则函数f(x)必为周期函数，2|a|是它的一个周期．
③f(x＋a)＝－(a≠0，f(x)≠0)，则函数f(x)必为周期函数，2|a|是它的一个周期．
9．已知f(x)是定义在R上的奇函数，若x>0时，f(x)＝xln x，则x<0时，f(x)＝________.
答案 xln(－x)
解析 当x<0时，－x>0，所以f(－x)＝(－x)ln(－x)，
又f(－x)＝－f(x)，所以－f(x)＝(－x)ln(－x)，
所以f(x)＝xln(－x)．
10．已知函数f(x)＝x2＋2x－ln ，则不等式f(3x－1)>f(2)的解集为________________．
答案 (－∞，－1)∪(1，＋∞)
解析 f(x)的定义域为R.将函数f(x)的图象向右平移1个单位长度，得到函数f(x－1)＝x2－ln －1的图象．易知f(x－1)为偶函数，且在区间(0，＋∞)内单调递增，故f(x)的图象关于直线x＝－1对称，且在区间(－∞，－1)内单调递减，在区间(－1，＋∞)内单调递增，所以由f(3x－1)>f(2)，得3x－1<－4或3x－1>2，解得x<－1或x>1.
11．已知函数f(x＋2)为奇函数，且函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，当x∈[－1,0]时，f(x)＝，则f(2 019)＝________.
答案 －
解析 ∵f(x＋2)＝－f(－x＋2)，
∴f(x)＝－f(－x＋4)，
又f(x)＝f(－x＋2)，∴－f(－x＋4)＝f(－x＋2)，
∴－f(－x＋2)＝f(－x)，∴f(－x＋4)＝f(－x)，
∴f(x)的周期为4，
故f(2 019)＝f(3)＝f(－1)＝－.
12．若平面直角坐标系内A，B两点满足：①点A，B都在f(x)的图象上；②点A，B关于原点对称．则称点对(A，B)是函数f(x)的一个“和谐点对”，(A，B)与(B，A)可看作同一个“和谐点对”．已知函数f(x)＝则f(x)的“和谐点对”的个数为________．
答案 2
解析 如图所示，作出函数f(x)的图象，函数f(x)＝x2＋2x(x<0)的图象关于原点对称的图象如图中虚线所示，其与函数y＝(x≥0)的图象的交点个数为2.故f(x)的“和谐点对”有2个．
1．已知函数f(x)为R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)＝－ex＋1－mcos x，记a＝－2f(－2)，b＝－f(－1)，c＝3f(3)，则a，b，c的大小关系是________．(用“<”连接)
答案 c解析 因为f(x)在R上是奇函数，所以f(0)＝－e0＋1－mcos 0＝0，所以m＝0，即当x≥0时，f(x)＝－ex＋1.构造函数g(x)＝xf(x)，满足g(－x)＝g(x)，则函数g(x)是偶函数，则x≥0时，g′(x)＝1－ex(x＋1)，当x≥0时，ex≥1，x＋1≥1，所以g′(x)≤0，即函数g(x)在[0，＋∞)上单调递减，且a＝g(－2)＝g(2)，b＝g(－1)＝g(1)，c＝g(3)，所以g(1)>g(2)>g(3)，即c易错提醒 若不能挖掘试题中隐藏的一些条件(如函数性质)，则很容易出错，甚至会出现不知如何下手的情况．注意本题中利用偶函数的性质来判断a，b，c的大小，可以避免分类讨论．另外，对于函数的奇偶性，除根据定义域利用函数的图象特征判断外，还可以根据性质(奇±奇＝奇，偶±偶＝偶；奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇)判断(在公共定义域内)．在平时的学习中多积累这样的解题小结论，可以简化解题步骤，快速解题，避免不必要的错误．
2．已知函数y＝f(x)，x∈R，有下列四个命题：
①若f(1＋2x)＝f(1－2x)，则f(x)的图象关于直线x＝1对称；
②y＝f(x－2)与y＝f(2－x)的图象关于直线x＝2对称；
③若f(x)为偶函数，且f(x＋2)＝－f(x)，则f(x)的图象关于直线x＝2对称；
④若f(x)为奇函数，且f(x)＝f(－x－2)，则f(x)的图象关于直线x＝1对称．
其中正确命题的序号为________．
答案 ①②③④
解析 对于①，＝1，故函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称，故①正确；对于②，令t＝x－2，则问题等价于y＝f(t)与y＝f(－t)图象的对称问题，显然这两个函数的图象关于直线t＝0对称，即函数y＝f(x－2)与y＝f(2－x)的图象关于直线x－2＝0，即x＝2对称，故②正确；对于③，由f(x＋2)＝－f(x)，可得f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，f(x)的周期为4.又f(x)为偶函数，f(x)＝f(－x)＝f(－x＋4)．所以f(x)的图象关于直线x＝2对称，故③正确；对于④，由于函数f(x)为奇函数，且f(x)＝f(－x－2)，可得f(－x)＝f(x＋2)，由于＝1，可得函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称，故④正确．
易错提醒 在应用函数性质的结论时，避免因混淆而出错，例如：函数f(x)满足等式f(1－x)＝f(1＋x)与f(x－1)＝f(x＋1)，前者是f(x)图象关于x＝1对称，后者是f(x)的周期T＝2.
1．函数f(x)是定义在R上的奇函数，f?＝1，当x<0时，f(x)＝log2(－x)＋m，则实数m＝________.
答案 1
解析 由题意知f?＝－1，
所以f?＝log2＋m＝－1，解得m＝1.
2．已知函数f(x)满足f(x＋2)＝－，当f(1)＝2，且f(4)＝时，f(2 019)＋f(2 020)＝________.
答案 －
解析 由已知得f(x＋4)＝－＝f(x)，
所以函数f(x)是以4为周期的周期函数，
则f(2 019)＝f(3)＝f(1＋2)＝－＝－，
f(2 020)＝f(4)＝，
所以f(2 019)＋f(2 020)＝－.
3．已知函数f(x)在R上单调递减，且为奇函数．若f(1)＝－1，则满足－1≤f(x－2)≤1的x的取值范围是________．
答案 [1,3]
解析 ∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)．
∵f(1)＝－1，∴f(－1)＝－f(1)＝1.
由－1≤f(x－2)≤1，得f(1)≤f(x－2)≤f(－1)．
又f(x)在R上单调递减，∴－1≤x－2≤1，∴1≤x≤3.
4．已知函数f(x)＝若关于x的方程f(x)＋a＝0有两个不相等的实根，则a的取值范围是________．
答案 0解析 画出f(x)的图象，如图所示，
由图可知－1≤－a<0，所以05．设函数f(x)＝则使得f(2x＋1)>f(x－1)成立的x的取值范围是________．
答案 (－∞，－2)∪(0，＋∞)
解析 当x>0时，－x<0，f(－x)＝＝f(x)，且f(x)在(0，＋∞)上为增函数，同理，当x<0时，f(－x)＝x2e－x＝f(x)，所以函数f(x)为偶函数，故函数f(x)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上，f(x)单调递增，在(－∞，0)上，f(x)单调递减．要使f(2x＋1)>f(x－1)，则需|2x＋1|>|x－1|，平方化简得x2＋2x>0，解得x<－2或x>0.
6．已知函数f(x)＝2x2＋ex－(x<0)与g(x)＝2x2＋ln(x＋a)的图象上存在关于y轴对称的点，则a的取值范围是________．
答案 (－∞，)
解析 由题意得，函数f(x)＝2x2＋ex－(x<0)与g(x)＝2x2＋ln(x＋a)的图象上存在关于y轴对称的点，则可转化为f1(x)＝ex－(x<0)与g1(x)＝ln(x＋a)的图象上存在关于y轴对称的点，
则函数f1(x)＝ex－(x<0)的图象可由函数y＝ex(x<0)的图象向下平移个单位长度得到，
函数g1(x)＝ln(x＋a)的图象可由函数y＝ln x的图象向左或向右平移|a|个单位长度得到，
要使f1(x)与g1(x)的图象上存在关于y轴对称的点，只需使y＝e－x－(x>0)与y＝ln(x＋a)图象有交点，在同一坐标系内作出它们的图象．
如图所示，可得若a≤0，则两函数图象必存在交点，若a>0，则需ln a<1－＝，
解得0