课件40张PPT。第22练
基本初等函数、函数的应用第三篇 [小题提速练]明晰考情 考查二次函数、分段函数、幂函数、指数函数、对数函数的图象与性质；以基本初等函数为载体考查函数与方程的关系、函数零点存在性定理；尤其是对方程的根的个数判定较多，并且常与函数的图象和性质结合起来考查，难度较大.题组对点练栏目索引易错易混练押题冲刺练题组对点练题组一 基本初等函数的图象与性质要点重组 (1)指数函数的图象过定点(0,1)，对数函数的图象过定点(1,0).
(2)应用指数函数、对数函数的单调性，要注意底数的范围，底数不同的尽量化成相同的底数.
(3)解题时要注意把握函数的图象，利用图象研究函数的性质.2.设x，y，z为正数，且2x＝3y＝5z，则2x,3y,5z的大小关系是_________.3y<2x<5z解析 令t＝2x＝3y＝5z，
∵x，y，z为正数，∴t>1.∴2x>3y.∴2x<5z，∴3y<2x<5z.解析 作出y＝|logax|(0
∴由复合函数的性质得a>1.
由当x∈[1,2]时，6－ax>0恒成立得，6－2a>0，
解得a<3，
又∵2f(x)≤ 恒成立，即f(x)≤2恒成立.
∴f(1)≤2，∴loga(6－a)≤2，
解得2≤a<6或a≤－3(舍去).
∴实数a的取值范围为[2,3).4.若定义在[1,2]上的函数f(x)＝loga(6－ax)为减函数，且2f(x)≤ 恒成立，则实数a的取值范围是________.[2,3)题组二 判断函数零点的个数或所在区间要点重组 (1)函数零点(即方程的根)的确定问题，常见的类型有：
①函数零点值大致所在区间的确定.
②零点个数的确定.
③两函数图象有几个交点或交点的横坐标的确定.
(2)判断函数零点个数的主要方法：
①解方程f(x)＝0，直接求零点.
②利用零点存在性定理.
③数形结合法：对于给定的函数不能直接求解或画出图形，常会通过分解转化为两个能画出的函数图象交点的问题.在同一平面直角坐标系内画出y＝2|x|(x≠0)，y＝2－x2(x≠0)的图象，
由图象可知，图象有两个交点，即函数f(x)有两个零点.21解析 ∵f′(x)＝(ex－1)(x＋1)，
∴当－1当x<－1或x>0时，f′(x)>0，
∴f(x)在(－1,0)上单调递减，在(－∞，－1)，(0，＋∞)上单调递增，
∴f(x)的极小值为f(0)＝2>0，即当x>－1时，函数f(x)无零点，
又f(－4)＝－4e－4－2<0，f(－1)>0，
∴当x<－1时，函数f(x)只有一个零点.
∴函数f(x)零点的个数为1.2解析 ①当x≤0时，y＝f(f(x))－1＝f(2x)－1＝log22x－1＝x－1，令x－1＝0，则x＝1，显然与x≤0矛盾，所以当x≤0时，y＝f(f(x))－1无零点.
②当x＞0时，分两种情况：当x＞1时，log2x＞0，y＝f(f(x))－1＝f(log2x)－1＝log2(log2x)－1，
令log2(log2x)－1＝0，得log2x＝2，解得x＝4；
当0＜x≤1时，log2x≤0，y＝f(f(x))－1＝f(log2x)－1＝ －1＝x－1，
令x－1＝0，解得x＝1.
综上，函数y＝f(f(x))－1的零点个数为2.5则当x≥1时，g′(x)(2)分离参数后转化为求函数的值域(最值)问题求解.
(3)转化为两熟悉的函数图象的位置关系问题，从而构建不等式求解.解析 当x≥0时，f(x)＝f(x＋1)，f(x)呈现周期性.
作函数y1＝f(x)和y2＝k(x＋2)的图象.由图可知，要使两函数图象有五个交点，10.已知函数f(x)＝x2－2x＋a(ex－1＋e－x＋1)有唯一零点，则a＝________.设g(x)＝ex－1＋e1－x，当g′(x)＝0时，x＝1，故当x<1时，g′(x)<0，
函数g(x)在(－∞，1)上单调递减，
当x>1时，g′(x)>0，函数g(x)在(1，＋∞)上单调递增，
所以当x＝1时，函数g(x)取得最小值2，
设h(x)＝x2－2x，
当x＝1时，函数h(x)取得最小值－1，
若a<0，易知不符合题意；若a>0，当h(1)＝－ag(1)时，
函数h(x)和－ag(x)有一个交点，解析 若a<0，当x0，成立；312.已知函数f(x)＝ex－1－e1－x＋4.若方程f(x)＝kx＋4－k(k>0)有三个不同的根x1，x2，x3，则x1＋x2＋x3＝________.解析 因为y＝ex－e－x为奇函数，
而f(x)的图象可由函数y＝ex－e－x的图象向右平移1个单位长度，再向上平移4个单位长度得到，
所以f(x)的图象关于点(1,4)对称，
而y＝kx＋4－k＝k(x－1)＋4所表示的直线也关于点(1,4)对称，
所以方程f(x)＝kx＋4－k的三个根x1，x2，x3中有一个为1，
且另外两个之和为2，所以x1＋x2＋x3＝3.易错易混练1.已知f(x)＝ 是区间(0，＋∞)内的增函数，则实数a的取值范
围为________.(0,1]解析 当x∈(0,1)时，f(x)＝loga＋1x为增函数，
则a＋1>1，即a>0.
当x∈(1，＋∞)时，f(x)＝(3－a)x2－2x为增函数，若f(x)是区间(0，＋∞)上的增函数，则(3－a)－2≥loga＋11，
即3－a－2≥0，解得a≤1.
综上，实数a的取值范围为(0,1].易错提醒 对于分段函数在某个区间内单调递增(或单调递减)，除了满足各段内的单调性之外，一定不要忘记分段函数在定义域内的单调性，本题中当x＝1时，3－a－2≥0，即a≤1.2.如果函数y＝a2x＋2ax－1(a>0且a≠1)在区间[－1,1]上的最大值是14，则a的值为
________.解析 令ax＝t(t>0)，则y＝a2x＋2ax－1＝t2＋2t－1
＝(t＋1)2－2.所以ymax＝(a＋1)2－2＝14，
解得a＝3(负值舍去)；
当0①x＋y>4z；②xy>4z2；③x>2z.
其中正确的个数是________.3123456解析 令2x＝3y＝6z＝k，所以x＋y>4z，故①正确；则 ＝2， ＝3， ＝6，故 · ＝ ，123456则xy>4z2，故②正确；
对于③，2x＝6z>4z＝22z，
故x>2z，故③正确.123456123456123456解析 设f(x)＝ax(a>0，且a≠1)，g(x)＝logbx(b>0，且b≠1)，h(x)＝xα(α≠0)，所以f(x)＝4x，g(x)＝ x，h(x)＝x－1，123456(0,4]解析 作出函数f(x)的图象，如图所示，观察可得实数b的取值范围是(0,4].123456[－1，＋∞)123456解析 设t＝f(x)，令f(f(x))－a＝0，则a＝f(t).在同一坐标系内作y＝a，y＝f(t)的图象(如图).当a≥－1时，y＝a与y＝f(t)的图象有两个交点.设交点的横坐标为t1，t2(不妨设t2>t1)且t1<－1，t2≥－1，则t1＝f(x)有一解；
t2＝f(x)有两解，所以函数g(x)有三个零点.
同理，当a<－1时，函数g(x)只有一个零点.综上可知，当a≥－1时，函数g(x)＝f(f(x))－a有三个不同的零点. 本课结束 第三篇 第22练 基本初等函数、函数的应用[小题提速练]
[明晰考情] 考查二次函数、分段函数、幂函数、指数函数、对数函数的图象与性质；以基本初等函数为载体考查函数与方程的关系、函数零点存在性定理；尤其是对方程的根的个数判定较多，并且常与函数的图象和性质结合起来考查，难度较大．
题组一 基本初等函数的图象与性质
要点重组 (1)指数函数的图象过定点(0,1)，对数函数的图象过定点(1,0)．
(2)应用指数函数、对数函数的单调性，要注意底数的范围，底数不同的尽量化成相同的底数．
(3)解题时要注意把握函数的图象，利用图象研究函数的性质．
1．已知函数f(x)＝则f(2 019)＝________.
答案
解析 f(2 019)＝f(2 018)＋1＝…＝f(0)＋2 019＝f(－1)＋2 020＝2－1＋2 020＝.
2．设x，y，z为正数，且2x＝3y＝5z，则2x,3y,5z的大小关系是________．
答案 3y<2x<5z
解析 令t＝2x＝3y＝5z，
∵x，y，z为正数，∴t>1.
则x＝log2t＝，同理，y＝，z＝.
∴2x－3y＝－＝
＝>0，
∴2x>3y.
又∵2x－5z＝－＝
＝<0，
∴2x<5z，
∴3y<2x<5z.
3．设函数f(x)＝|logax|(0答案
解析 作出y＝|logax|(0得x＝a或x＝，
又1－a－＝1－a－＝<0，
故1－a<－1，
所以n－m的最小值为1－a＝，a＝.
4．若定义在[1,2]上的函数f(x)＝loga(6－ax)为减函数，且2f(x)≤恒成立，则实数a的取值范围是________．
答案 [2,3)
解析 ∵y＝f(x)在区间[1,2]上为减函数，
∴由复合函数的性质得a>1.
由当x∈[1,2]时，6－ax>0恒成立得，6－2a>0，
解得a<3，
又∵2f(x)≤恒成立，即f(x)≤2恒成立．
∴f(1)≤2，∴loga(6－a)≤2，
解得2≤a<6或a≤－3(舍去)．
∴实数a的取值范围为[2,3)．
题组二 判断函数零点的个数或所在区间
要点重组 (1)函数零点(即方程的根)的确定问题，常见的类型有：
①函数零点值大致所在区间的确定．
②零点个数的确定．
③两函数图象有几个交点或交点的横坐标的确定．
(2)判断函数零点个数的主要方法：
①解方程f(x)＝0，直接求零点．
②利用零点存在性定理．
③数形结合法：对于给定的函数不能直接求解或画出图形，常会通过分解转化为两个能画出的函数图象交点的问题．
5．已知f(x)＝＋x－，则y＝f(x)的零点个数为________．
答案 2
解析 令＋x－＝0，得2|x|＝2－x2(x≠0)，
在同一平面直角坐标系内画出y＝2|x|(x≠0)，y＝2－x2(x≠0)的图象，
由图象可知，图象有两个交点，即函数f(x)有两个零点．
6．函数f(x)＝xex－x2－x＋2零点的个数是________．
答案 1
解析 ∵f′(x)＝(ex－1)(x＋1)，
∴当－1当x<－1或x>0时，f′(x)>0，
∴f(x)在(－1,0)上单调递减，在(－∞，－1)，(0，＋∞)上单调递增，
∴f(x)的极小值为f(0)＝2>0，即当x>－1时，函数f(x)无零点，
又f(－4)＝－4e－4－2<0，f(－1)>0，
∴当x<－1时，函数f(x)只有一个零点．
∴函数f(x)零点的个数为1.
7．设函数f(x)＝则函数y＝f(f(x))－1的零点个数为________．
答案 2
解析 ①当x≤0时，y＝f(f(x))－1＝f(2x)－1＝log22x－1＝x－1，令x－1＝0，则x＝1，显然与x≤0矛盾，所以当x≤0时，y＝f(f(x))－1无零点．
②当x＞0时，分两种情况：当x＞1时，log2x＞0，y＝f(f(x))－1＝f(log2x)－1＝log2(log2x)－1，
令log2(log2x)－1＝0，得log2x＝2，解得x＝4；
当0＜x≤1时，log2x≤0，y＝f(f(x))－1＝f(log2x)－1＝－1＝x－1，
令x－1＝0，解得x＝1.
综上，函数y＝f(f(x))－1的零点个数为2.
8．已知函数f(x)满足：①定义域为R；②?x∈R，都有f(x＋2)＝f(x)；③当x∈[－1,1]时，f(x)＝－|x|＋1，则方程f(x)＝log2|x|在区间[－3,5]内解的个数是________．
答案 5
解析 令g(x)＝log2|x|，则g(x)为偶函数，当x>0时，g(x)＝log2x，g′(x)＝，则当x≥1时，g′(x)由图可知，两函数图象在区间[－3,5]上共有5个交点，故方程f(x)＝log2|x|在区间[－3,5]内解的个数为5.
题组三 根据函数的零点求参数的范围
要点重组 (1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解．
(2)分离参数后转化为求函数的值域(最值)问题求解．
(3)转化为两熟悉的函数图象的位置关系问题，从而构建不等式求解．
9．已知函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－kx－2k有五个不同的零点，则实数k的取值范围为________．
答案
解析 当x≥0时，f(x)＝f(x＋1)，f(x)呈现周期性．
作函数y1＝f(x)和y2＝k(x＋2)的图象．
直线l：y＝k(x＋2)过定点A(－2,0)，点A与点B(5,1)连线的斜率kAB＝＝，点A与点C(6,1)连线的斜率kAC＝＝.由图可知，要使两函数图象有五个交点，则kAC≤k＜kAB，所以≤k＜.
10．已知函数f(x)＝x2－2x＋a(ex－1＋e－x＋1)有唯一零点，则a＝________.
答案
解析 令f(x)＝0，则x2－2x＝－a，
设g(x)＝ex－1＋e1－x，
则g′(x)＝ex－1－e1－x＝ex－1－＝，
当g′(x)＝0时，x＝1，故当x<1时，g′(x)<0，
函数g(x)在(－∞，1)上单调递减，
当x>1时，g′(x)>0，函数g(x)在(1，＋∞)上单调递增，
所以当x＝1时，函数g(x)取得最小值2，
设h(x)＝x2－2x，
当x＝1时，函数h(x)取得最小值－1，
若a<0，易知不符合题意；若a>0，当h(1)＝－ag(1)时，
函数h(x)和－ag(x)有一个交点，
即－a×2＝－1，所以a＝.
11．(2019·南通期末)已知函数f(x)＝存在唯一的负零点，则实数a的取值范围是________．
答案 {a|a＝－2或a>0}
解析 若a<0，当x故x≥a时，f(x)min＝f＝3－＝0，
解得a＝－2或a＝2(舍)；
若a＝0，f(0)＝0不成立，
若a>0，当x于是x≥a时，f(x)min＝f(a)＝3>0，成立；综上所述，实数a的取值范围是{a|a＝－2或a>0}．
12．已知函数f(x)＝ex－1－e1－x＋4.若方程f(x)＝kx＋4－k(k>0)有三个不同的根x1，x2，x3，则x1＋x2＋x3＝________.
答案 3
解析 因为y＝ex－e－x为奇函数，而f(x)的图象可由函数y＝ex－e－x的图象向右平移1个单位长度，再向上平移4个单位长度得到，所以f(x)的图象关于点(1,4)对称，而y＝kx＋4－k＝k(x－1)＋4所表示的直线也关于点(1,4)对称，所以方程f(x)＝kx＋4－k的三个根x1，x2，x3中有一个为1，且另外两个之和为2，所以x1＋x2＋x3＝3.
1．已知f(x)＝是区间(0，＋∞)内的增函数，则实数a的取值范围为________．
答案 (0,1]
解析 当x∈(0,1)时，f(x)＝loga＋1x为增函数，
则a＋1>1，即a>0.
当x∈(1，＋∞)时，f(x)＝(3－a)x2－2x为增函数，
则解得a≤2.
若f(x)是区间(0，＋∞)上的增函数，则(3－a)－2≥loga＋11，
即3－a－2≥0，解得a≤1.
综上，实数a的取值范围为(0,1]．
易错提醒 对于分段函数在某个区间内单调递增(或单调递减)，除了满足各段内的单调性之外，一定不要忘记分段函数在定义域内的单调性，本题中当x＝1时，3－a－2≥0，即a≤1.
2．如果函数y＝a2x＋2ax－1(a>0且a≠1)在区间[－1,1]上的最大值是14，则a的值为________．
答案 或3
解析 令ax＝t(t>0)，则y＝a2x＋2ax－1＝t2＋2t－1
＝(t＋1)2－2.
当a>1时，因为x∈[－1,1]，所以t∈，
又函数y＝(t＋1)2－2在上单调递增，
所以ymax＝(a＋1)2－2＝14，
解得a＝3(负值舍去)；
当0所以t∈，
又函数y＝(t＋1)2－2在上单调递增，
则ymax＝2－2＝14，
解得a＝(负值舍去)．
综上知a＝3或a＝.
易错提醒 与指数函数、对数函数有关的复合函数的性质，可使用换元法，在应用换元法解题时，一定要注意挖掘隐含条件，确定新元的取值范围．
1．已知正实数x，y，z满足2x＝3y＝6z，给出下列不等式：
①x＋y>4z；②xy>4z2；③x>2z.
其中正确的个数是________．
答案 3
解析 令2x＝3y＝6z＝k，
则＝2，＝3，＝6，
故·＝，
即＋＝，
对于①，由＝＋得，
z＝<，
所以x＋y>4z，故①正确；
对于②，＝＋>2，
则xy>4z2，故②正确；
对于③，2x＝6z>4z＝22z，
故x>2z，故③正确．
2．已知实数a>0，函数f(x)＝则满足f?＋f(a)＝2的a＝________.
答案
解析 由已知得f?＝1，因为f?＋f(a)＝2，所以f(a)＝1，所以或解得a＝或－，又因为实数a>0，故a＝.
3．已知函数f(x)＝设m>n≥－1，且f(m)＝f(n)，则m·f(m)的最小值为________．
答案 2
解析 当－1≤x<1时，f(x)为减函数，f(x)＝5·2x∈，f(0)＝5；当x≥1时，f(x)为减函数，f(x)＝1＋≤5，f(4)＝，若f(m)＝f(n)，则1≤m<4.m·f(m)＝m＋≥2，当且仅当m＝时取等号．
4．已知指数函数y＝f(x)，对数函数y＝g(x)和幂函数y＝h(x)的图象都过P，如果f(x1)＝g(x2)＝h(x3)＝4，那么x1＋x2＋x3＝__________.
答案
解析 设f(x)＝ax(a>0，且a≠1)，g(x)＝logbx(b>0，且b≠1)，h(x)＝xα(α≠0)，
代入P得＝2，logb＝2，α＝2，
解得a＝4，b＝，α＝－1，所以f(x)＝4x，g(x)＝x，h(x)＝x－1，所以x1＝1，x2＝，x3＝，和为.
5．已知函数f(x)＝若方程f(x)＝b有4个不同的实数根，则实数b的取值范围是________．
答案 (0,4]
解析 作出函数f(x)的图象，如图所示，观察可得实数b的取值范围是(0,4]．
6．已知函数f(x)＝若函数g(x)＝f(f(x))－a有三个不同的零点，则实数a的取值范围是________．
答案 [－1，＋∞)
解析 设t＝f(x)，令f(f(x))－a＝0，则a＝f(t)．在同一坐标系内作y＝a，y＝f(t)的图象(如图)．
当a≥－1时，y＝a与y＝f(t)的图象有两个交点．设交点的横坐标为t1，t2(不妨设t2>t1)且t1<－1，t2≥－1，则t1＝f(x)有一解；t2＝f(x)有两解，所以函数g(x)有三个零点．同理，当a<
－1时，函数g(x)只有一个零点．综上可知，当a≥－1时，函数g(x)＝f(f(x))－a有三个不同的零点．
