课件37张PPT。第26练
数 列第三篇 [小题提速练]明晰考情 等差数列、等比数列为C级要求，等差数列，等比数列基本量的计算、数列的通项是高考的热点，常以小题形式出现，难度为中档偏下.题组对点练栏目索引易错易混练押题冲刺练题组对点练题组一 等差数列、等比数列基本量的运算要点重组 (1)在等差数列中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq.
(2)若{an}是等差数列，则 也是等差数列.
(3)在等差数列{an}中，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n也成等差数列.
(4)在等比数列中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am·an＝ap·aq.
(5)在等比数列中，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n也成等比数列(n为偶数且q＝－1除外).1.(2018·全国Ⅰ改编)记Sn为等差数列{an}的前n项和，若3S3＝S2＋S4，a1＝2，则a5＝________.－10解析 设等差数列{an}的公差为d，由3S3＝S2＋S4，将a1＝2代入上式，解得d＝－3，
故a5＝a1＋(5－1)d＝2＋4×(－3)＝－10.2.已知公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn，其中a2，a5，a14成等比数列，且log2a1＝0，则S2 020＝______.2 0202解析 设等差数列{an}的公差为d，
由log2a1＝0得a1＝1.
又因为a2，a5，a14成等比数列，即(1＋4d)2＝(1＋d)(1＋13d)，
整理得，d2＝2d.
又d≠0，所以d＝2，3.(2019·徐州模拟)在等比数列{an}中，a1＝1，a5＝8a2，Sn为数列{an}的前n项和，若Sn＝1 023，则n＝________.解析 设等比数列{an}的公比为q，10∴q＝2.即2n＝1 024，解得n＝10.解析 由题意得数列{an}是等差数列，题组二 数列的通项与求和要点重组 (1)已知数列的递推关系，求数列的通项时，通常利用累加法、累乘法、构造法求解.解析 ∵数列{an}满足a1＝0，6.(2018·全国Ⅰ)记Sn为数列{an}的前n项和.若Sn＝2an＋1，则S6＝________.－63解析 ∵Sn＝2an＋1，当n≥2时，Sn－1＝2an－1＋1，
∴an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1(n≥2)，
即an＝2an－1(n≥2).
当n＝1时，a1＝S1＝2a1＋1，得a1＝－1.
∴数列{an}是首项a1＝－1，公比q＝2的等比数列，∴S6＝1－26＝－63.16所以当n≥2时，an＝2n－1，故a5＝16.题组三 数列的综合应用要点重组 (1)以函数为背景的数列问题，可以利用函数的性质来确定数列的通项an与前n项和Sn的关系.
(2)与不等式有关的数列问题，可以利用不等式的性质、基本不等式、函数的单调性等求最值来解决.当n≥4时，k≤3n，所以k≤12，
当n＝1时，k≥3，
当n＝2时，k≥6，
以上三式同时成立，
故取交集得6≤k≤12.[6,12]解析 因为f(x)＝x2＋ax，所以f′(x)＝2x＋a，
又函数f(x)＝x2＋ax的图象在点A(0，f(0))处的切线l与直线2x－y＋2＝0平行，
所以f′(0)＝a＝2，所以f(x)＝x2＋2x，12.已知{an}是递增的等比数列，a3＋2是a2与a4的等差中项，a2＋a3＋a4＝28，{bn}是等差数列，b2＝a3，b4＋b6＝a5＋2，数列{an}和数列{bn}的公共项由小到大组成
数列{cn}，记Sn为数列 的前n项和.若Sn≤λ恒成立，则λ的最小值为________.解析 依题意得2(a3＋2)＝a2＋a4，
又a2＋a3＋a4＝28，
∴2(a3＋2)＝a2＋a4＝28－a3，
解得a3＝8，
设{an}的公比为q(q>1)，所以an＝2n.
因为b2＝a3＝8，由b4＋b6＝2b5＝a5＋2＝34，得b5＝17.
所以{bn}的公差d＝3，
所以bn＝3n＋2.当n＝3时，m＝2，公共项的首项为8，即c1＝8；
当n＝5时，m＝10，公共项为32，
即c2＝32，
假设n＝2k＋1时，k∈N*.22k＋1－2能被3整除，
则n＝2k＋3时，22k＋3－2＝4·22k＋1－8＋6＝4(22k＋1－2)＋6能被3整除，
易知n取偶数时，2n－2不能被3整除.易错易混练1.在数列{an}中，a1＝1，a2＝2，Sn＋1＋Sn－1＝2(Sn＋S1)对任意n≥2，n∈N*都成立，则S20＝________.381解析 当n≥2时，Sn＋1－Sn＝Sn－Sn－1＋2，
∴an＋1＝an＋2，n≥2，
∴an＋1－an＝2，n≥2，
∴数列{an}从第二项开始组成公差为2的等差数列，易错提醒 式子Sn＋1＋Sn－1＝2(Sn＋S1)成立的条件是n≥2，推出an＋1－an＝2成立的条件也是n≥2，数列{an}从第二项开始组成公差为2的等差数列，若忽视了
n≥2，误认为数列{an}是等差数列，则会得到错误答案：S20＝20＋ ×2＝400.解析 由题意，得a2－a1＝2，
a3－a2＝4，…，an－an－1＝2(n－1)，n≥2，
累加整理可得an＝n2－n＋33，n≥2，
当n＝1时，a1＝33也满足上式，押题冲刺练1234561.已知等差数列{an}的前5项和为15，a6＝6，则a2 020＝________.2 020解析 由已知S5＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝15，
∴5a3＝15，即a3＝3，
又a6＝6，∴公差d＝1，
∴a2 020＝a3＋(2 020－3)×1＝2 020.1234562.设等比数列{an}的前n项和为Sn，若q＝2，S100＝36，则a1＋a3＋…＋a99＝________.12解析 设a1＋a3＋…＋a99＝S，
则a2＋a4＋…＋a100＝2S.
∵S100＝36，∴3S＝36，∴S＝12，
∴a1＋a3＋a5＋…＋a99＝12.1234563.设{an}为等差数列，a1＝22，Sn为其前n项和，若S10＝S13，则公差d＝________.－2解析 由S10＝S13得S13－S10＝a11＋a12＋a13＝3a12＝0，
∴a12－a1＝11d＝0－22，
∴d＝－2.123456123456解析 ∵数列{an}满足a1a2a3…an＝ (n∈N*)，
∴当n＝1时，a1＝2；
当n≥2时，a1a2a3…an－1＝ ，
可得an＝22n－1，n≥2，
当n＝1时，a1＝2满足上式，123456123456解析 由a7＝a6＋2a5，得a1q6＝a1q5＋2a1q4，
整理得q2－q－2＝0，
解得q＝2或q＝－1(不合题意，舍去)，即有m＋n－2＝4，即n＝4，m＝2时取等号.123456121123456即cn＋1－cn＝4，故cn＝4＋4(n－1)＝4n，故使Tn>10的n的最小值为121. 本课结束 第三篇 第26练 数 列[小题提速练]
[明晰考情] 等差数列、等比数列为C级要求，等差数列，等比数列基本量的计算、数列的通项是高考的热点，常以小题形式出现，难度为中档偏下．
题组一 等差数列、等比数列基本量的运算
要点重组 (1)在等差数列中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq.
(2)若{an}是等差数列，则也是等差数列．
(3)在等差数列{an}中，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n也成等差数列．
(4)在等比数列中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am·an＝ap·aq.
(5)在等比数列中，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n也成等比数列(n为偶数且q＝－1除外)．
1．(2018·全国Ⅰ改编)记Sn为等差数列{an}的前n项和，若3S3＝S2＋S4，a1＝2，则a5＝________.
答案 －10
解析 设等差数列{an}的公差为d，由3S3＝S2＋S4，
得3＝2a1＋×d＋4a1＋×d，
将a1＝2代入上式，解得d＝－3，
故a5＝a1＋(5－1)d＝2＋4×(－3)＝－10.
2．已知公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn，其中a2，a5，a14成等比数列，且log2a1＝0，则S2 020＝______.
答案 2 0202
解析 设等差数列{an}的公差为d，
由log2a1＝0得a1＝1.
又因为a2，a5，a14成等比数列，
所以a＝a2a14.
即(1＋4d)2＝(1＋d)(1＋13d)，
整理得，d2＝2d.
又d≠0，所以d＝2，
所以S2 020＝2 020×1＋×2＝2 0202.
3．(2019·徐州模拟)在等比数列{an}中，a1＝1，a5＝8a2，Sn为数列{an}的前n项和，若Sn＝1 023，则n＝________.
答案 10
解析 设等比数列{an}的公比为q，
由a5＝8a2知＝q3＝8，
∴q＝2.
又Sn＝＝＝1 023，
即2n＝1 024，解得n＝10.
4．已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足2an＝an＋1＋an－1(n≥2，n∈N*)，若a4＋a5＋a6＋a7＝，则tan S10＝________.
答案
解析 由题意得数列{an}是等差数列，
又a4＋a5＋a6＋a7＝2(a5＋a6)＝，
∴a5＋a6＝，
∴S10＝＝5(a5＋a6)＝.
∴tan S10＝tan ＝tan ＝.
题组二 数列的通项与求和
要点重组 (1)已知数列的递推关系，求数列的通项时，通常利用累加法、累乘法、构造法求解．
(2)利用an＝求通项时，要注意检验n＝1的情况．
5．数列{an}满足a1＝0，－＝1(n≥2，n∈N*)，则a2 020＝________.
答案
解析 ∵数列{an}满足a1＝0，
－＝1(n≥2，n∈N*)，＝1，
∴数列是首项为1，公差为1的等差数列，
∴＝1＋(n－1)＝n，
∴＝2 020，
解得a2 020＝.
6．(2018·全国Ⅰ)记Sn为数列{an}的前n项和．若Sn＝2an＋1，则S6＝________.
答案 －63
解析 ∵Sn＝2an＋1，当n≥2时，Sn－1＝2an－1＋1，
∴an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1(n≥2)，
即an＝2an－1(n≥2)．
当n＝1时，a1＝S1＝2a1＋1，得a1＝－1.
∴数列{an}是首项a1＝－1，公比q＝2的等比数列，
∴Sn＝＝＝1－2n，
∴S6＝1－26＝－63.
7．(2019·南京调研)已知数列{an}，若数列{3n－1an}的前n项和Tn＝×6n－，则a5的值为________．
答案 16
解析 依题意得，
a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1an＝×6n－.
所以当n≥2时，
a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－2an－1＝×6n－1－，
两式相减得3n－1an＝×6n－×6n－1＝6n－1.
所以当n≥2时，an＝2n－1，故a5＝16.
8．在已知数列{an}中，a1＝1，Sn为数列{an}的前n项和，且当n≥2时，有＝1成立，则S2 020＝________.
答案
解析 当n≥2时，由＝1，
得2(Sn－Sn－1)＝anSn－S＝－SnSn－1，
所以－＝1，又＝2，
所以是以2为首项，1为公差的等差数列，
所以＝n＋1，故Sn＝，则S2 020＝.
题组三 数列的综合应用
要点重组 (1)以函数为背景的数列问题，可以利用函数的性质来确定数列的通项an与前n项和Sn的关系．
(2)与不等式有关的数列问题，可以利用不等式的性质、基本不等式、函数的单调性等求最值来解决．
9．(2019·淮安模拟)已知数列{an}的通项公式an＝n＋，若对任意的n∈N*，都有an≥a3，则实数k的取值范围为________．
答案 [6,12]
解析 n＋≥3＋对任意的n∈N*恒成立，则k≥3－n，≥3－n，
当n≥4时，k≤3n，所以k≤12，
当n＝1时，k≥3，
当n＝2时，k≥6，
以上三式同时成立，
故取交集得6≤k≤12.
10．已知函数f(x)＝x2＋ax的图象在点A(0，f(0))处的切线l与直线2x－y＋2＝0平行，若数列的前n项和为Sn，则S20的值为________．
答案
解析 因为f(x)＝x2＋ax，所以f′(x)＝2x＋a，又函数f(x)＝x2＋ax的图象在点A(0，f(0))处的切线l与直线2x－y＋2＝0平行，所以f′(0)＝a＝2，所以f(x)＝x2＋2x，所以＝＝，
所以S20＝＝×＝.
11．已知(－1)na＜1－对任意n∈N*恒成立，则实数a的取值范围是________．
答案
解析 设f(n)＝1－，n≥1，
则f(n)单调递增．
当n为奇数时，有－a＜1－，
又f(n)min＝f(1)＝1－＝.
∴－a＜即a＞－.
当n为偶数时，a＜1－.
f(n)min＝f(2)＝1－＝.
∴a＜.综上，－＜a＜.
12．已知{an}是递增的等比数列，a3＋2是a2与a4的等差中项，a2＋a3＋a4＝28，{bn}是等差数列，b2＝a3，b4＋b6＝a5＋2，数列{an}和数列{bn}的公共项由小到大组成数列{cn}，记Sn为数列的前n项和．若Sn≤λ恒成立，则λ的最小值为________．
答案
解析 依题意得2(a3＋2)＝a2＋a4，
又a2＋a3＋a4＝28，
∴2(a3＋2)＝a2＋a4＝28－a3，
解得a3＝8，
设{an}的公比为q(q>1)，
则＋a3＋a3q＝28，
解得q＝2或q＝(舍去)，
所以an＝2n.
因为b2＝a3＝8，由b4＋b6＝2b5＝a5＋2＝34，得b5＝17.
所以{bn}的公差d＝3，
所以bn＝3n＋2.
设2n＝3m＋2，则m＝，
当n＝3时，m＝2，公共项的首项为8，即c1＝8；
当n＝5时，m＝10，公共项为32，
即c2＝32，
假设n＝2k＋1时，k∈N*.22k＋1－2能被3整除，
则n＝2k＋3时，22k＋3－2＝4·22k＋1－8＋6＝4(22k＋1－2)＋6能被3整除，
易知n取偶数时，2n－2不能被3整除．
所以cn＝22n＋1，故＝＝n－1，
所以Sn＝＝<，
所以λ≥，即所求λ的最小值为.
1．在数列{an}中，a1＝1，a2＝2，Sn＋1＋Sn－1＝2(Sn＋S1)对任意n≥2，n∈N*都成立，则S20＝________.
答案 381
解析 当n≥2时，Sn＋1－Sn＝Sn－Sn－1＋2，
∴an＋1＝an＋2，n≥2，
∴an＋1－an＝2，n≥2，
∴数列{an}从第二项开始组成公差为2的等差数列，
∴a20＝38，S20＝a1＋(a2＋…＋a20)＝1＋×19＝381.
易错提醒 式子Sn＋1＋Sn－1＝2(Sn＋S1)成立的条件是n≥2，推出an＋1－an＝2成立的条件也是n≥2，数列{an}从第二项开始组成公差为2的等差数列，若忽视了n≥2，误认为数列{an}是等差数列，则会得到错误答案：S20＝20＋×2＝400.
2．已知数列{an}满足a1＝33，an＋1－an＝2n，则的最小值为________．
答案
解析 由题意，得a2－a1＝2，
a3－a2＝4，…，an－an－1＝2(n－1)，n≥2，
累加整理可得an＝n2－n＋33，n≥2，
当n＝1时，a1＝33也满足上式，
∴＝n＋－1(n∈N*)．
由函数f(x)＝x＋－1(x>0)的单调性可知，
的最小值为f(5)与f(6)中较小的一个．
又f(6)＝，f(5)＝，
∴min＝.
易错提醒 有的同学推出＝n＋－1后直接利用基本不等式求解，即≥2－1，忽视了利用基本不等式求最值的条件：一正、二定、三相等．
1．已知等差数列{an}的前5项和为15，a6＝6，则a2 020＝________.
答案 2 020
解析 由已知S5＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝15，
∴5a3＝15，即a3＝3，
又a6＝6，∴公差d＝1，
∴a2 020＝a3＋(2 020－3)×1＝2 020.
2．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若q＝2，S100＝36，则a1＋a3＋…＋a99＝________.
答案 12
解析 设a1＋a3＋…＋a99＝S，
则a2＋a4＋…＋a100＝2S.
∵S100＝36，∴3S＝36，∴S＝12，
∴a1＋a3＋a5＋…＋a99＝12.
3．设{an}为等差数列，a1＝22，Sn为其前n项和，若S10＝S13，则公差d＝________.
答案 －2
解析 由S10＝S13得S13－S10＝a11＋a12＋a13＝3a12＝0，∴a12－a1＝11d＝0－22，∴d＝－2.
4．已知数列{an}满足a1a2a3…an＝(n∈N*)，且对任意n∈N*都有＋＋…＋答案
解析 ∵数列{an}满足a1a2a3…an＝(n∈N*)，
∴当n＝1时，a1＝2；
当n≥2时，a1a2a3…an－1＝，
可得an＝22n－1，n≥2，
当n＝1时，a1＝2满足上式，
∴＝，数列为等比数列，首项为，公比为.
∴＋＋…＋＝＝<.
∵对任意n∈N*都有＋＋…＋∴t的取值范围是.
5．已知各项都为正数的等比数列{an}满足a7＝a6＋2a5，存在两项am，an使得 ＝4a1，则＋的最小值为________．
答案
解析 由a7＝a6＋2a5，得a1q6＝a1q5＋2a1q4，
整理得q2－q－2＝0，
解得q＝2或q＝－1(不合题意，舍去)，
又由＝4a1，得aman＝16a，
即a2m＋n－2＝16a，
即有m＋n－2＝4，
即m＋n＝6，那么＋＝(m＋n)
＝≥＝，
当且仅当＝，
即n＝4，m＝2时取等号．
6．已知各项均为正数的数列{an}满足a1＝8，an＋1＝2an＋2n＋3，cn＝，bn＝，且数列{bn}的前n项和为Tn，则使Tn>10的n的最小值为________．
答案 121
解析 由an＋1＝2an＋2n＋3得＝＋4，
即－＝4，
即cn＋1－cn＝4，
∴数列{cn}是首项为c1＝＝4，公差为4的等差数列．
故cn＝4＋4(n－1)＝4n，
∴bn＝＝－.
于是Tn＝b1＋b2＋…＋bn
＝(－1)＋(－)＋…＋(－)
＝－1.
由－1>10，得n>120，
故使Tn>10的n的最小值为121.
