课件41张PPT。第28练
应用题(1)第三篇 [大题规范练]明晰考情 应用题是高考的必考内容，常见的应用模型有函数、不等式、三角函数、几何等，中等偏上难度.题组对点练栏目索引模板规范练题组对点练题组一 建立函数模型方法技巧 现实生活中存在的最优化问题，常常可归结为函数的最值问题，通过建立相应的目标函数，确定变量的限制条件，运用函数知识和方法去解决.1.(2019·淮安区测试)现有一张长为80 cm、宽为60 cm的长方形铁皮ABCD，准备用它做成一只无盖长方体铁皮盒，要求材料利用率为100%，不考虑焊接处损失，如图，若长方形ABCD的一个角剪下一块正方形铁皮，作为铁皮盒的底面，用余下材料剪拼后作为铁皮盒的侧面，设长方体的底面正方形边长为x(cm)，高为y(cm)，体积为V(cm3)，求：
(1)y关于x的表达式；(2)该铁皮盒体积V的最大值.令V′(x)＝0，得x＝40.
因为当x∈(0,40)时，V′(x)>0，V(x)是增函数；
当x∈(40,60)时，V′(x)<0，V(x)是减函数，也是最大值，V(x)max＝V(40)＝32 000(cm3).答 该铁皮盒体积V的最大值为32 000 cm3.(1)求函数q(x)的表达式；(2)当x为多少时，总利润(单位：元)取得最大值，并求出该最大值. 解 设总利润f(x)＝x·q(x)，所以当x＝20时，f(x)有最大值120 000.令f′(x)＝0，得x＝80.
当20＜x＜80时，f′(x)＞0，f(x)单调递增，
当80＜x<180时，f′(x)＜0，f(x)单调递减，
所以当x＝80时，f(x)有最大值240 000.
当x≥180时，f(x)＝0.答 当x＝80时，总利润取得最大值240 000元.题组二 建立不等式模型方法技巧 在实际问题中，诸如增长率、降低率、设计优化问题大多可归结为不等式问题，即通过建立相应的不等式模型来解决.3.某校学生社团心理学研究小组在对学生上课注意力集中情况调查研究中，发现其注意力指数P与听课时间t之间关系满足如图所示的曲线，当t∈(0,14]时，曲线是二次函数图象的一部分，当t∈[14,40]时，曲线是函数P＝loga(t－5)＋83(a>0且a≠1)图象的一部分.根据专家研究，注意力指数P大于80时，听课效果最佳.
(1)试求P＝f(t)的表达式；解 当t∈(0,14]时，设P＝f(t)＝c(t－12)2＋82(c<0)，(2)老师在什么时间内安排核心内容使学生听课效果最佳？说明理由.当t∈(14,40]时， (t－5)＋83>80，
解得5
(1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2 000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？整理得t2－65t＋1 000≤0，解得25≤t≤40.
所以要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元.所以a≥10.2.答 当该商品改革后的销售量a至少达到10.2万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为30元.模板规范练模板体验典例 (16分)如图，在半径为30 cm的半圆形铁皮上截取一块矩形材料ABCD(点A，B在直径上，点C，D在半圆周上)，并将其卷成一个以AD为母线的圆柱体罐子的侧面(不计剪裁和拼接损耗)，
(1)若要求圆柱体罐子的侧面积最大，应如何截取？
(2)若要求圆柱体罐子的体积最大，应如何截取？审题路线图规范解答·评分标准
解 (1)如图，设圆心为O，连结OC，设BC＝x，所以矩形ABCD的面积为S(θ)＝2×30sin θ×30cos θ＝900sin 2θ，…………………3分(2)设圆柱的底面半径为r，体积为V，构建答题模板
[第一步] 审题：阅读理解，审清题意
[第二步] 建模：引进数学符号，建立数学模型.
[第三步] 解模：利用数学的方法将得到的常规函数问题(即数学模型)予以解答，求得结果.
[第四步] 作答：将所得结果再转译成具体问题的解答.规范演练整理得x2＋34x－240<0，解得－40因为1设该商品的月销售额为g(x)，由g′(x)>0，得6≤x<8，由g′(x)>0，得8所以g(x)在[6,8)上是增函数，在(8,14)上是减函数，(2)记需求量与供给量相等时的价格为均衡价格，若该商品的均衡价格不低于每吨6百元，求实数a的取值范围.因为a>0，所以f(x)在区间(1,14)上是增函数，
若该商品的均衡价格不低于6百元，即函数f(x)在区间[6,14)上有零点，2.某市对城市路网进行改造，拟在原有a个标段(注：一个标段是指一定长度的机动车道)的基础上，新建x个标段和n个道路交叉口，其中n与x满足n＝ax＋5.已知新建一个标段的造价为m万元，新建一个道路交叉口的造价是新建一个标段的造价的k倍.
(1)写出新建道路交叉口的总造价y(万元)与x的函数关系式；解 依题意得y＝mkn＝mk(ax＋5)，x∈N*.解 方法一 依题意x＝0.2a.方法二 依题意得x＝0.2a.因为k≥3，所以Δ＝100(4－k2)＜0，所以不等式ka2－20a＋25k＜0无解，3.如图是某设计师设计的Y型饰品的平面图，其中支架OA，OB，OC两两成120°，OC＝1，AB＝OB＋OC，且OA＞OB.现设计师在支架OB上装点普通珠宝，普通珠宝的价值为M，且M与OB长成正比，比例系数为k(k为正常数)；在△AOC区域(阴影区域)内镶嵌名贵珠宝，名贵珠宝的价值为N，且N与△AOC的面积成正比，比例系数为4 k.设OA＝x，OB＝y.
(1)求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；解 在△AOB中，∠AOB＝120°，OA＝x，OB＝y，AB＝y＋1.(2)求N－M的最大值及相应的x的值.当x变化时，f(x)，f′(x)的变化情况如下： 本课结束 第三篇 第28练 应用题(1)[大题规范练]
[明晰考情] 应用题是高考的必考内容，常见的应用模型有函数、不等式、三角函数、几何等，中等偏上难度．
题组一 建立函数模型
方法技巧 现实生活中存在的最优化问题，常常可归结为函数的最值问题，通过建立相应的目标函数，确定变量的限制条件，运用函数知识和方法去解决．
1．(2019·淮安区测试)现有一张长为80 cm、宽为60 cm的长方形铁皮ABCD，准备用它做成一只无盖长方体铁皮盒，要求材料利用率为100%，不考虑焊接处损失，如图，若长方形ABCD的一个角剪下一块正方形铁皮，作为铁皮盒的底面，用余下材料剪拼后作为铁皮盒的侧面，设长方体的底面正方形边长为x(cm)，高为y(cm)，体积为V(cm3)，求：
(1)y关于x的表达式；
(2)该铁皮盒体积V的最大值．
解 (1)由题意得x2＋4xy＝4 800，即y＝，0答 y关于x的表达式为y＝，0(2)铁皮盒体积V(x)＝x2y＝x2·
＝－x3＋1 200x，
V′(x)＝－x2＋1 200.
令V′(x)＝0，得x＝40.
因为当x∈(0,40)时，V′(x)>0，V(x)是增函数；
当x∈(40,60)时，V′(x)<0，V(x)是减函数，
所以V(x)＝－x3＋1 200x在x＝40时取得极大值，也是最大值，V(x)max＝V(40)＝32 000(cm3)．
答 该铁皮盒体积V的最大值为32 000 cm3.
2．某经销商计划销售一款新型的空气净化器，经市场调研发现以下规律：当每台净化器的利润为x(单位：元，x＞0)时，销售量q(x)(单位：百台)与x的关系满足：若x不超过20，则q(x)＝；若x大于或等于180，则销售量为零；当20≤x≤180时，q(x)＝a－b(a，b为实常数)．
(1)求函数q(x)的表达式；
(2)当x为多少时，总利润(单位：元)取得最大值，并求出该最大值．
解 (1)当20≤x≤180时，由
得
故q(x)＝
(2)设总利润f(x)＝x·q(x)，
由(1)得f(x)＝
当0＜x≤20时，f(x)＝＝126 000－，f(x)在(0,20]上单调递增，
所以当x＝20时，f(x)有最大值120 000.
当20＜x＜180时，f(x)＝9 000x－300·x·，f′(x)＝9 000－450·，
令f′(x)＝0，得x＝80.
当20＜x＜80时，f′(x)＞0，f(x)单调递增，
当80＜x<180时，f′(x)＜0，f(x)单调递减，
所以当x＝80时，f(x)有最大值240 000.
当x≥180时，f(x)＝0.
答 当x＝80时，总利润取得最大值240 000元．
题组二 建立不等式模型
方法技巧 在实际问题中，诸如增长率、降低率、设计优化问题大多可归结为不等式问题，即通过建立相应的不等式模型来解决．
3.某校学生社团心理学研究小组在对学生上课注意力集中情况调查研究中，发现其注意力指数P与听课时间t之间关系满足如图所示的曲线，当t∈(0,14]时，曲线是二次函数图象的一部分，当t∈[14,40]时，曲线是函数P＝loga(t－5)＋83(a>0且a≠1)图象的一部分．根据专家研究，注意力指数P大于80时，听课效果最佳．
(1)试求P＝f(t)的表达式；
(2)老师在什么时间内安排核心内容使学生听课效果最佳？说明理由．
解 (1)当t∈(0,14]时，设P＝f(t)＝c(t－12)2＋82(c<0)，
将(14,81)代入得c＝－，所以P＝－(t－12)2＋82.
当t∈[14,40]时，将(14,81)代入P＝loga(t－5)＋83，得a＝.
所以P＝
(2)当t∈(0,14]时，令－(t－12)2＋82>80，
解得12－2当t∈(14,40]时，(t－5)＋83>80，
解得5综上，t∈(12－2，32)．
答 老师在t∈(12－2，32)时间段内安排核心内容能使得学生听课效果最佳．
4．北京、张家口2022年冬奥会申办委员会在俄罗斯索契举办了发布会，某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估．该商品原来每件售价为25元，年销售8万件．
(1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2 000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？
(2)为了抓住申奥契机，扩大该商品的影响力，提高年销售量．公司决定立即对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到x元．公司拟投入(x2－600)万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入万元作为浮动宣传费用．试问：当该商品改革后的销售量a 至少应达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价．
解 (1)设每件定价为t元，依题意得t≥25×8，
整理得t2－65t＋1 000≤0，解得25≤t≤40.
所以要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元．
(2)依题意知，当x＞25时，不等式ax≥25×8＋50＋(x2－600)＋x有解，
等价于当x＞25时，a≥＋x＋有解，
由于＋x≥2＝10，当且仅当＝，即x＝30时等号成立，所以a≥10.2.
答 当该商品改革后的销售量a至少达到10.2万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为30元．
典例 (16分)如图，在半径为30 cm的半圆形铁皮上截取一块矩形材料ABCD(点A，B在直径上，点C，D在半圆周上)，并将其卷成一个以AD为母线的圆柱体罐子的侧面(不计剪裁和拼接损耗)，
(1)若要求圆柱体罐子的侧面积最大，应如何截取？
(2)若要求圆柱体罐子的体积最大，应如何截取？
审题路线图
(1)―→
―→―→
(2)―→―→
规范解答·评分标准
解 (1)如图，设圆心为O，连结OC，设BC＝x，
方法一 易得AB＝2，x∈(0,30)，故所求矩形ABCD的面积为S(x)＝2x
……………………………………………………………………………………………………3分
＝2≤x2＋(900－x2)＝900(cm2)
(当且仅当x2＝900－x2，即x＝15(cm)时等号成立)，此时BC＝15 cm. ……………6分
方法二 设∠COB＝θ，θ∈，则BC＝30sin θ，OB＝30cos θ，
所以矩形ABCD的面积为S(θ)＝2×30sin θ×30cos θ＝900sin 2θ，…………………………3分
当sin 2θ＝1，即θ＝时，S(θ)max＝900(cm2)．
此时BC＝15 cm. ……………………………………………………………………………6分
答 当截取的矩形铁皮的一边BC为15 cm时，圆柱体罐子的侧面积最大. …………7分
(2)设圆柱的底面半径为r，体积为V，
由AB＝2＝2πr，得r＝，
所以V＝πr2x＝(900x－x3)，其中x∈(0,30)．………………………………………………11分
令V′＝(900－3x2)＝0，得x＝10，所以，V＝(900x－x3)在(0,10)上单调递增，在(10，30)上单调递减，故当x＝10时，体积最大为 cm3. ……………………………15分
答 当截取的矩形铁皮的一边BC为10 cm时，圆柱体罐子的体积最大. …………16分
构建答题模板
[第一步] 审题：阅读理解，审清题意
[第二步] 建模：引进数学符号，建立数学模型．
[第三步] 解模：利用数学的方法将得到的常规函数问题(即数学模型)予以解答，求得结果．
[第四步] 作答：将所得结果再转译成具体问题的解答．
1．经市场调查，某商品每吨的价格为x(10)；月需求量为y2万吨，y2＝－x2－x＋1，当该商品的需求量大于供给量时，销售量等于供给量；当该商品的需求量不大于供给量时，销售量等于需求量，该商品的月销售额等于月销售量与价格的乘积．
(1)若a＝，问商品的价格为多少时，该商品的月销售额最大？
(2)记需求量与供给量相等时的价格为均衡价格，若该商品的均衡价格不低于每吨6百元，求实数a的取值范围．
解 (1)若a＝，由y2>y1，得－x2－x＋1>x＋2－，整理得x2＋34x－240<0，解得－40因为1设该商品的月销售额为g(x)，
则g(x)＝
当1当6≤x<14时，g(x)＝x，
则g′(x)＝－(3x2＋4x－224)＝－(x－8)·(3x＋28)，
令g′(x)＝0，得x＝8或x＝－(舍)，
由g′(x)>0，得6≤x<8，由g′(x)>0，得8所以g(x)在[6,8)上是增函数，在(8,14)上是减函数，
故当x＝8时，g(x)有最大值g(8)＝.
答 若a＝，商品的每吨价格定为8百元时，月销售额最大．
(2)设f(x)＝y1－y2＝x2＋x＋a2－1－a，
因为a>0，所以f(x)在区间(1,14)上是增函数，
若该商品的均衡价格不低于6百元，即函数f(x)在区间[6,14)上有零点，
所以即解得0答 若该商品的均衡价格不低于每吨6百元，实数a的取值范围是.
2．某市对城市路网进行改造，拟在原有a个标段(注：一个标段是指一定长度的机动车道)的基础上，新建x个标段和n个道路交叉口，其中n与x满足n＝ax＋5.已知新建一个标段的造价为m万元，新建一个道路交叉口的造价是新建一个标段的造价的k倍．
(1)写出新建道路交叉口的总造价y(万元)与x的函数关系式；
(2)设P是新建标段的总造价与新建道路交叉口的总造价之比．若新建的标段数是原有标段数的20%，且k≥3.问：P能否大于？并说明理由．
解 (1)依题意得y＝mkn＝mk(ax＋5)，x∈N*.
(2)方法一 依题意x＝0.2a.
所以P＝＝＝＝≤＝≤＝＜.
故P不可能大于.
方法二 依题意得x＝0.2a.
所以P＝＝＝＝.
假设P＞，得ka2－20a＋25k＜0.
因为k≥3，所以Δ＝100(4－k2)＜0，所以不等式ka2－20a＋25k＜0无解，与假设矛盾，故P≤.
故P不可能大于.
3．如图是某设计师设计的Y型饰品的平面图，其中支架OA，OB，OC两两成120°，OC＝1，AB＝OB＋OC，且OA＞OB.现设计师在支架OB上装点普通珠宝，普通珠宝的价值为M，且M与OB长成正比，比例系数为k(k为正常数)；在△AOC区域(阴影区域)内镶嵌名贵珠宝，名贵珠宝的价值为N，且N与△AOC的面积成正比，比例系数为4k.设OA＝x，OB＝y.
(1)求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；
(2)求N－M的最大值及相应的x的值．
解 (1)在△AOB中，∠AOB＝120°，OA＝x，OB＝y，AB＝y＋1.
由余弦定理，得(y＋1)2＝x2＋y2＋xy，即y＝.
由x＞y＞0，得x＞＞0，解得1＜x＜.
所以y关于x的函数解析式为y＝，x∈.
(2)由(1)得M＝ky＝k·，N＝4kS△AOC＝3kx，
所以N－M＝k，x∈.
记f(x)＝3x－＝4x＋2＋，x∈.
则f′(x)＝4－，令f′(x)＝0，得x＝2－.
当x变化时，f(x)，f′(x)的变化情况如下：
x
2－
f′(x)
＋
0
－
f(x)
单调递增
10－4
单调递减
由上表可知，f(x)max＝f＝10－4.
答 当x＝2－时，N－M取最大值k(10－4)．
