课件29张PPT。第29练
应用题(2)第三篇 [大题规范练]题组对点练题组一 建立三角函数模型方法技巧 诸如航行、建桥、测量、人造卫星等涉及一定图形属性的应用问题，常常需要应用几何图形的性质，可运用三角函数知识求解.1.如图所示，游乐场中的摩天轮匀速转动，每转一圈需要12分钟，其中心O距离地面40.5米，半径为40米.如果你从最低处登上摩天轮，那么你与地面的距离将随时间的变化而变化，以你登上摩天轮的时刻开始计时，请解答下列问题：
(1)求出你与地面的距离y(米)与时间t(分钟)的函数关系式；解 由已知可设y＝40.5－40cos ωt，t≥0，
由周期为12分钟可知，当t＝6时，摩天轮第1次到达最高点，即此函数第1次取得最大值，
所以6ω＝π，(2)当你第4次距离地面60.5米时，用了多长时间？解 设转第1圈时，
第t0分钟时距离地面60.5米.解得t0＝4或t0＝8，
所以t＝8(分钟)时，
第2次距地面60.5米，
故第4次距离地面60.5米时，用了12＋8＝20(分钟).答 当你第4次距离地面60.5米时，用了20分种.解 ∵△AMN≌△A′MN，∴△AMN是等边三角形，(2)为方便小区居民的行走，设计时要求AN，A′N的长度最短，求此时绿地公共走道MN的长度.解 ∵∠BMA′＝π－2θ，AM＝A′M，
∴BM＝A′Mcos∠BMA′＝－AMcos 2θ.
∵AM＋BM＝a，
即AM(1－cos 2θ)＝a，题组二 建立几何模型方法技巧 在实际问题中，和几何图形有关的题目可以利用平面图形的性质或者解析几何的方法帮助建立应用模型.3.(2019·江苏)如图，一个湖的边界是圆心为O的圆，湖的一侧有一条直线型公路l，湖上有桥AB(AB是圆O的直径).规划在公路l上选两个点P，Q，并修建两段直线型道路PB，QA，规划要求：线段PB，QA上的所有点到点O的距离均不小于圆O的半径.已知点A，B到直线l的距离分别为AC和BD(C，D为垂足)，测得AB＝10，AC＝6，BD＝12(单位：百米).
(1)若道路PB与桥AB垂直，求道路PB的长；解 方法一 过A作AE⊥BD，垂足为E.
由已知条件得，四边形ACDE为矩形，
DE＝BE＝AC＝6，AE＝CD＝8.
因为PB⊥AB，因此道路PB的长为15百米.方法二 如图，过O作OH⊥l，垂足为H.以O为坐标原点，直线OH为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系.
因为BD＝12，AC＝6，所以OH＝9，
直线l的方程为y＝9，点A，B的纵坐标分别为3，－3.
因为AB为圆O的直径，AB＝10，
所以圆O的方程为x2＋y2＝25.所以道路PB的长为15百米.(2)在规划要求下，P和Q中能否有一个点选在D处？并说明理由；解 方法一 ①若P在D处，由(1)可得E在圆上，则线段BE上的点(除B，E)到点O的距离均小于圆O的半径，所以P选在D处不满足规划要求.所以∠BAD为锐角.
所以线段AD上存在点到点O的距离小于圆O的半径.
因此Q选在D处也不满足规划要求.
综上，P和Q均不能选在D处.方法二 ①若P在D处，取线段BD上一点E(－4,0)，则EO＝4<5，所以P选在D处不满足规划要求.
②若Q在D处，连结AD，由(1)知D(－4,9)，又A(4,3)，所以线段AD上存在点到点O的距离小于圆O的半径.
因此Q选在D处也不满足规划要求.
综上，P和Q均不能选在D处.(3)在规划要求下，若道路PB和QA的长度均为d(单位：百米)，求当d最小时，P，Q两点间的距离.解 方法一 先讨论点P的位置.
当∠OBP<90°时，线段PB上存在点到点O的距离小于圆O的半径，点P不符合规划要求；
当∠OBP≥90°时，对线段PB上任意一点F，OF≥OB，即线段PB上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径，点P符合规划要求.
设P1为l上一点，且P1B⊥AB，由(1)知，P1B＝15，当∠OBP>90°时，在△PP1B中，PB>P1B＝15.
由上可知，d≥15.
再讨论点Q的位置.
由(2)知，要使得QA≥15，点Q只有位于点C的右侧，才能符合规划要求.此时，线段QA上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径.
综上，当PB⊥AB，点Q位于点C右侧，方法二 先讨论点P的位置.
当∠OBP<90°时，线段PB上存在点到点O的距离
小于圆O的半径，点P不符合规划要求；
当∠OBP≥90°时，对线段PB上任意一点F，
OF≥OB，即线段PB上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径，点P符合规划要求.
设P1为l上一点，且P1B⊥AB，由(1)知，P1B＝15，此时P1(－13,9)；
当∠OBP>90°时，在△PP1B中，PB>P1B＝15.
由上可知，d≥15.
再讨论点Q的位置.
由(2)知，要使得QA≥15，点Q只有位于点C的右侧，才能符合规划要求.此时，线段QA上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径.4.(2019·南通期末)某农场灌溉水渠长为1 000 m，横截面是等腰梯形ABCD(如图)，AD∥BC，AB＝CD，其中渠底BC宽为1 m，渠口AD宽为3 m，渠深 m.根据国家对农田建设补贴的政策，该农场计划在原水渠的基础上分别沿AD方向加宽、AB方向加深，若扩建后的水渠横截面AB1C1D1仍是等腰梯形，且面积是原面积的2倍.设扩建后渠深为h m，若挖掘费为ah2元/m3，扩建后的水渠的内壁AB1，C1D1和渠底B1C1铺设混凝土费为3a元/m2.
(1)试用h表示渠底B1C1的宽，并确定h的取值范围； 故扩建后的面积为S2＝2S1＝3(m2)，(2)问：渠深h为多少时，可使总建设费最少？
(注：总建设费为挖掘费与铺设混凝土费之和)当0答 渠深h为1 m时，可使总建设费最少. 本课结束 第三篇 第29练 应用题(2)[大题规范练]
题组一 建立三角函数模型
方法技巧 诸如航行、建桥、测量、人造卫星等涉及一定图形属性的应用问题，常常需要应用几何图形的性质，可运用三角函数知识求解．
1.如图所示，游乐场中的摩天轮匀速转动，每转一圈需要12分钟，其中心O距离地面40.5米，半径为40米．如果你从最低处登上摩天轮，那么你与地面的距离将随时间的变化而变化，以你登上摩天轮的时刻开始计时，请解答下列问题：
(1)求出你与地面的距离y(米)与时间t(分钟)的函数关系式；
(2)当你第4次距离地面60.5米时，用了多长时间？
解 (1)由已知可设y＝40.5－40cos ωt，t≥0，
由周期为12分钟可知，当t＝6时，摩天轮第1次到达最高点，即此函数第1次取得最大值，
所以6ω＝π，
即ω＝，
所以y＝40.5－40cos t(t≥0)．
(2)设转第1圈时，
第t0分钟时距离地面60.5米．
由60.5＝40.5－40cos t0，
得cos t0＝－，
所以t0＝或t0＝，
解得t0＝4或t0＝8，
所以t＝8(分钟)时，
第2次距地面60.5米，
故第4次距离地面60.5米时，用了12＋8＝20(分钟)．
答 当你第4次距离地面60.5米时，用了20分种．
2.如图，某小区准备将闲置的一直角三角形地块开发成公共绿地，图中B＝，AB＝a，BC＝a，设计时要求绿地部分(如图中阴影部分所示)有公共绿地走道MN，且两边是两个关于走道MN对称的三角形(△AMN和△A′MN)，现考虑方便和绿地最大化原则，要求点M与点A，B均不重合，A′落在边BC上且不与端点B，C重合，设∠AMN＝θ.
(1)若θ＝，求此时公共绿地的面积；
(2)为方便小区居民的行走，设计时要求AN，A′N的长度最短，求此时绿地公共走道MN的长度．
解 (1)∵△AMN≌△A′MN，
∴∠AMN＝∠A′MN＝，
∴∠BMA′＝.
∴BM＝A′M＝AM，
∴AM＝AB＝a，
∵AB＝a，BC＝a，B＝，
∴A＝，
∴△AMN是等边三角形，
∴S＝2S△AMN＝2××＝.
答 若θ＝，则公共绿地的面积为.
(2)∵∠BMA′＝π－2θ，AM＝A′M，
∴BM＝A′Mcos∠BMA′＝－AMcos 2θ.
∵AM＋BM＝a，
即AM(1－cos 2θ)＝a，
∴AM＝.
在△AMN中，由正弦定理可得＝，
∴AN＝＝，
令f(θ)＝2sin θsin
＝2sin θ＝sin 2θ＋
＝sin＋.
∵θ∈，
∴当2θ－＝，
即θ＝时，f(θ)取最大值，
∴当θ＝时，AN最短，
此时△AMN是等边三角形，MN＝AM＝a.
答 当AN，A′N的长度最短时，绿地公共走道MN的长度为.
题组二 建立几何模型
方法技巧 在实际问题中，和几何图形有关的题目可以利用平面图形的性质或者解析几何的方法帮助建立应用模型．
3．(2019·江苏)如图，一个湖的边界是圆心为O的圆，湖的一侧有一条直线型公路l，湖上有桥AB(AB是圆O的直径)．规划在公路l上选两个点P，Q，并修建两段直线型道路PB，QA，规划要求：线段PB，QA上的所有点到点O的距离均不小于圆O的半径．已知点A，B到直线l的距离分别为AC和BD(C，D为垂足)，测得AB＝10，AC＝6，BD＝12(单位：百米)．
(1)若道路PB与桥AB垂直，求道路PB的长；
(2)在规划要求下，P和Q中能否有一个点选在D处？并说明理由；
(3)在规划要求下，若道路PB和QA的长度均为d(单位：百米)，求当d最小时，P，Q两点间的距离．
解 方法一 (1)过A作AE⊥BD，垂足为E.
由已知条件得，四边形ACDE为矩形，
DE＝BE＝AC＝6，AE＝CD＝8.
因为PB⊥AB，
所以cos∠PBD＝sin∠ABE＝＝＝.
所以PB＝＝＝15.
因此道路PB的长为15百米．
(2)①若P在D处，由(1)可得E在圆上，则线段BE上的点(除B，E)到点O的距离均小于圆O的半径，所以P选在D处不满足规划要求．
②若Q在D处，连结AD，由(1)知AD＝＝10，从而cos∠BAD＝＝>0，
所以∠BAD为锐角．
所以线段AD上存在点到点O的距离小于圆O的半径．
因此Q选在D处也不满足规划要求．
综上，P和Q均不能选在D处．
(3)先讨论点P的位置．
当∠OBP<90°时，线段PB上存在点到点O的距离小于圆O的半径，点P不符合规划要求；当∠OBP≥90°时，对线段PB上任意一点F，OF≥OB，即线段PB上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径，点P符合规划要求．
设P1为l上一点，且P1B⊥AB，由(1)知，P1B＝15，此时P1D＝P1Bsin∠P1BD＝P1Bcos∠EBA＝15×＝9；
当∠OBP>90°时，在△PP1B中，PB>P1B＝15.
由上可知，d≥15.
再讨论点Q的位置．
由(2)知，要使得QA≥15，点Q只有位于点C的右侧，才能符合规划要求．当QA＝15时，CQ＝＝＝3.此时，线段QA上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径．
综上，当PB⊥AB，点Q位于点C右侧，且CQ＝3时，d最小，此时P，Q两点间的距离PQ＝PD＋CD＋CQ＝17＋3.
因此，d最小时，P，Q两点间的距离为(17＋3)百米．
方法二 (1)如图，过O作OH⊥l，垂足为H.
以O为坐标原点，直线OH为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．
因为BD＝12，AC＝6，所以OH＝9，
直线l的方程为y＝9，点A，B的纵坐标分别为3，－3.
因为AB为圆O的直径，AB＝10，
所以圆O的方程为x2＋y2＝25.
从而A(4,3)，B(－4，－3)，直线AB的斜率为.
因为PB⊥AB，所以直线PB的斜率为－，
直线PB的方程为y＝－x－.
所以P(－13,9)，PB＝＝15.
所以道路PB的长为15百米．
(2)①若P在D处，取线段BD上一点E(－4,0)，则EO＝4<5，所以P选在D处不满足规划要求．
②若Q在D处，连结AD，由(1)知D(－4,9)，又A(4,3)，
所以线段AD：y＝－x＋6(－4≤x≤4)．
在线段AD上取点M，
因为OM＝<＝5，
所以线段AD上存在点到点O的距离小于圆O的半径．
因此Q选在D处也不满足规划要求．
综上，P和Q均不能选在D处．
(3)先讨论点P的位置．
当∠OBP<90°时，线段PB上存在点到点O的距离小于圆O的半径，点P不符合规划要求；
当∠OBP≥90°时，对线段PB上任意一点F，OF≥OB，即线段PB上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径，点P符合规划要求．
设P1为l上一点，且P1B⊥AB，由(1)知，P1B＝15，此时P1(－13,9)；
当∠OBP>90°时，在△PP1B中，PB>P1B＝15.
由上可知，d≥15.
再讨论点Q的位置．
由(2)知，要使得QA≥15，点Q只有位于点C的右侧，才能符合规划要求．当 QA＝15时，设Q(a,9)，由AQ＝＝15(a>4)，
得a＝4＋3，所以Q(4＋3，9)．此时，线段QA上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径．
综上，当P(－13,9)，Q(4＋3，9)时，d最小，此时P，Q两点间的距离PQ＝4＋3－
(－13)＝17＋3.
因此，d最小时，P，Q两点间的距离为(17＋3)百米．
4．(2019·南通期末)某农场灌溉水渠长为1 000 m，横截面是等腰梯形ABCD(如图)，AD∥BC，AB＝CD，其中渠底BC宽为1 m，渠口AD宽为3 m，渠深 m．根据国家对农田建设补贴的政策，该农场计划在原水渠的基础上分别沿AD方向加宽、AB方向加深，若扩建后的水渠横截面AB1C1D1仍是等腰梯形，且面积是原面积的2倍．设扩建后渠深为h m，若挖掘费为ah2元/m3，扩建后的水渠的内壁AB1，C1D1和渠底B1C1铺设混凝土费为3a元/m2.
(1)试用h表示渠底B1C1的宽，并确定h的取值范围；
(2)问：渠深h为多少时，可使总建设费最少？
(注：总建设费为挖掘费与铺设混凝土费之和)
解 (1)设B1C1＝x，由于tan A＝，sin A＝，原来的横截面面积S1＝×＝(m2)，故扩建后的面积为S2＝2S1＝3(m2)，扩建后AD1＝B1C1＋2＝x＋h，可列方程为＝3，化简整理得到x＝－h，而x>0，h>0，故0(2)由(1)可表示AB1＝＝h，故AB1＋B1C1＋C1D1＝h＋＋h＝2h＋，因此总建设费用为W＝(S2－S1)·1 000·ah2＋·1 000·3a＝1 000a，
令f(h)＝h2＋6h＋，
则f′(h)＝3h＋6－＝，
当0当10，
故f(h)在h＝1处取得极小值f(1)＝，故总建设费用最少为Wmin＝1 000af(1)．
答 渠深h为1 m时，可使总建设费最少．
