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三轮冲刺
2020版高考90天补习资料数学江苏专用 第30练 压轴小题专练(1)(39张PPT课件+学案)
文档属性
名称
2020版高考90天补习资料数学江苏专用 第30练 压轴小题专练(1)(39张PPT课件+学案)
格式
zip
文件大小
2.2MB
资源类型
教案
版本资源
科目
数学
更新时间
2019-11-19 22:03:32
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文档简介
课件39张PPT。第30练
压轴小题专练(1)第三篇 明晰考情 高考题中填空题的最后2或3个小题,往往出现逻辑思维深刻,难度高档的题目.押题冲刺练题组对点练栏目索引题组对点练题组一 与函数有关的压轴小题方法技巧 本类压轴题常以超越方程、分段函数、抽象函数等为载体,考查函数性质、函数零点、参数的范围和通过函数性质求解不等式.解决该类问题的途径往往是构造函数,进而研究函数的性质,利用函数性质去求解问题是常用方法,其间要注意导数的应用.1.偶函数f(x)满足f(x-1)=f(x+1),且当x∈[-1,0]时,f(x)=x2,若函数g(x)=f(x)-|lg x|,则g(x)在(0,10)上的零点个数为________.10∵f(x-1)=f(x+1),∴f(x)=f(x+2),故f(x)是周期函数,且T=2,
又函数f(x)是R上的偶函数,
∴f(1-x)=f(1+x),∴f(x)的图象关于x=1对称,当x>0时,在同一坐标系中作出y=f(x)和y=|lg x|的图象,如图所示.由图象知函数g(x)的零点个数为10.2.已知f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数,当x∈(-∞,0]时,f′(x)>1,则不等式f(2x-1)-f(x+2)≥x-3的解集为__________.[3,+∞)解析 令g(x)=f(x)-x,
当x∈(-∞,0]时,g′(x)=f′(x)-1>0,
∴g(x)=f(x)-x在(-∞,0]上单调递增,
∵f(x)为奇函数,y=-x为奇函数,
∴g(x)也是奇函数,且在R上单调递增,
由f(2x-1)-f(x+2)≥x-3化为
f(2x-1)-(2x-1)≥f(x+2)-(x+2)
得g(2x-1)≥g(x+2),
∴2x-1≥x+2?x≥3,
f(2x-1)-f(x+2)≥x-3的解集为[3,+∞).3.函数f(x)的定义域为D,若满足:①f(x)在D内是单调函数;②存在[a,b]?D使得
f(x)在[a,b]上的值域为 ,则称函数f(x)为“成功函数”.若函数f(x)=
logm(mx+2t)(其中m>0,且m≠1)是“成功函数”,则实数t的取值范围为________.解析 无论m>1还是0
解,则a的取值范围是______________.解析 由题意知,f′(x)=2xex+(x2-3)ex=ex(x2+2x-3),
令f′(x)=0,解得x=1或x=-3,
所以当x<-3或x>1时,f′(x)>0,当-3
所以f(x)在(-∞,-3)上单调递增,在(-3,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,当x=1时,f(x)取得极小值-2e,当x→-∞时,f(x)→0,
作出函数f(x)的图象,如图所示,
由f2(x)-af(x)=0,得f(x)=0或f(x)=a,
由图象可知f(x)=0有两解,
所以f(x)=a也有两解,题组二 与数列有关的压轴小题方法技巧 数列与函数的交汇、数列与不等式的交汇问题是高考的热点.解决这类问题的关键在于利用数列与函数的对应关系,将条件进行准确的转化,确定数列的通项或前n项和,利用函数的性质、图象求解最值问题,不等关系或恒成立问题.5.在公比为q的正项等比数列{an}中,a4=4,则当2a2+a6取得最小值时,log2q=
________.6.已知Sn和Tn分别为数列{an}与数列{bn}的前n项和,且a1=e4,Sn=eSn+1-e5,an=
,则当Tn取得最大值时n的值为________.4或5解析 由Sn=eSn+1-e5,得Sn-1=eSn-e5(n≥2),两式相减,得an=ean+1(n≥2),所以当n=4或n=5时,Tn取得最大值.所以bn+1=(n-2λ)·2n.因为数列{bn}是单调递增数列,
所以当n≥2时,由bn+1>bn,得(n-2λ)·2n>(n-1-2λ)·2n-1,解得n>2λ-1,解得a=1或a=-4.
当a=1时,f(x)=x2+9x-10,则Sn=n2+9n-10,数列{an}不是等差数列;
当a=-4时,f(x)=x2+4x,Sn=f(n)=n2+4n,
∴a1=5,a2=7,an=5+(7-5)(n-1)=2n+3,押题冲刺练12345678解析 由于函数为单调函数,12345678bn=2n-1(n∈N*)12345678解析 设等差数列{bn}的公差为d,即2+(n-1)d=4k+2k(2n-1)d,
整理得(4k-1)dn+(2k-1)(2-d)=0,
因为对任意正整数n上式恒成立,所以数列{bn}的通项公式为bn=2n-1(n∈N*).12345678(-∞,-2]12345678解析 设m=f(x),作出函数f(x)的图象,如图所示,
则当m≥1时,m=f(x)有两个根,
当m<1时,m=f(x)有一个根.
若关于x的方程f2(x)+f(x)+t=0有三个不同的实根,
则等价为m2+m+t=0有两个不同的实数根m1,m2,
且m1≥1,m2<1.
当m=1时,t=-2,此时由m2+m-2=0,
解得m=1或m=-2,f(x)=1有两个根,f(x)=-2有一个根,满足条件;
当m≠1时,设h(m)=m2+m+t,其对称轴为m=- ,
则需h(1)<0即可,即1+1+t<0,解得t<-2.
综上,实数t的取值范围为t≤-2.4.若存在两个正实数x,y使等式2x+m(y-2ex)(ln y-ln x)=0成立(其中e=2.718 28…),
则实数m的取值范围是_____________________.1234567812345678解析 当m=0时,不满足题意,12345678则g′(t)在(0,+∞)上单调递减,
当t=e时,g′(t)=0,
则当t∈(0,e)时,g′(t)>0,函数g(t)单调递增,
当t∈(e,+∞)时,g′(t)<0,函数g(t)单调递减,且当t→0时,g(t)→-∞,123456785.当n为正整数时,定义函数N(n)表示n的最大奇因数.如N(3)=3,N(10)=5,…,S(n)=N(1)+N(2)+N(3)+…+N(2n),则S(5)=________.342解析 ∵N(2n)=N(n),N(2n-1)=2n-1,而S(n)=N(1)+N(2)+N(3)+…+N(2n),
∴S(n)=N(1)+N(3)+N(5)+…+N(2n-1)+[N(2)+N(4)+…+N(2n)],
∴S(n)=1+3+5+…+2n-1+[N(1)+N(2)+N(3)+…+N(2n-1)],即S(n)-S(n-1)=4n-1,
又S(1)=N(1)+N(2)=1+1=2,
∴S(5)-S(1)=[S(5)-S(4)]+[S(4)-S(3)]+…+[S(2)-S(1)]=44+43+42+4,
∴S(5)=2+4+42+43+44=342.1234567812345678解析 设等比数列{an}的公比为q,依题意得2(a3+2)=a2+a4,又S4=a1+28,
∴a2+a3+a4=28,得a3=8,又a2>a1,∴a1=2,q=2,
∴an=2n,Sn=2n+1-2,n∈N*.12345678又Tn-2n-2-(Tn+1-2n-1)12345678即Tn-2n-2>Tn+1-2n-1,
故数列{Tn-2n-2}单调递减,又Tn≤2n-2+M恒成立,
即M≥Tn-2n-2恒成立,123456787.已知公比不为1的等比数列{an}中,a1=1,a2=a,且an+1=k(an+an+2)对任意正整数n都成立,且对任意相邻三项am,am+1,am+2按某顺序排列后成等差数列,
则满足题意的k的值为________.12345678解析 设等比数列{an}的公比为q,所以am=am-1,am+1=am,am+2=am+1.
①若am+1为等差中项,
则2am+1=am+am+2,
即2am=am-1+am+1,
解得a=1,不合题意.
②若am为等差中项,
则2am=am+1+am+2,
即2am-1=am+am+1,化简得a2+a-2=0,
解得a=-2或a=1(舍去).12345678③若am+2为等差中项,
则2am+2=am+1+am,
即2am+1=am+am-1,
化简得2a2-a-1=0,1234567812345678解析 f(x)=x2+(ln 3x)2-2a(x+3ln 3x)+10a2=(x-a)2+(ln 3x-3a)2表示点M(x,ln 3x)与点N(a,3a)距离的平方,
M点的轨迹是函数g(x)=ln 3x的图象,N点的轨迹是直线y=3x,作g(x)的平行于直线y=3x的切线,
设切点为P(x1,y1),12345678此时N为垂足,点M与点P重合, 本课结束 第三篇 第30练 压轴小题专练(1)
[明晰考情] 高考题中填空题的最后2或3个小题,往往出现逻辑思维深刻,难度高档的题目.
题组一 与函数有关的压轴小题
方法技巧 本类压轴题常以超越方程、分段函数、抽象函数等为载体,考查函数性质、函数零点、参数的范围和通过函数性质求解不等式.解决该类问题的途径往往是构造函数,进而研究函数的性质,利用函数性质去求解问题是常用方法,其间要注意导数的应用.
1.偶函数f(x)满足f(x-1)=f(x+1),且当x∈[-1,0]时,f(x)=x2,若函数g(x)=f(x)-|lg x|,则g(x)在(0,10)上的零点个数为________.
答案 10
解析 由题意g(x)=f(x)-|lg x|=
∵f(x-1)=f(x+1),∴f(x)=f(x+2),故f(x)是周期函数,且T=2,
又函数f(x)是R上的偶函数,
∴f(1-x)=f(1+x),∴f(x)的图象关于x=1对称,当x>0时,在同一坐标系中作出y=f(x)和y=|lg x|的图象,如图所示.
由图象知函数g(x)的零点个数为10.
2.已知f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数,当x∈(-∞,0]时,f′(x)>1,则不等式f(2x-1)-f(x+2)≥x-3的解集为________.
答案 [3,+∞)
解析 令g(x)=f(x)-x,
当x∈(-∞,0]时,g′(x)=f′(x)-1>0,
∴g(x)=f(x)-x在(-∞,0]上单调递增,
∵f(x)为奇函数,y=-x为奇函数,
∴g(x)也是奇函数,且在R上单调递增,
由f(2x-1)-f(x+2)≥x-3化为
f(2x-1)-(2x-1)≥f(x+2)-(x+2)
得g(2x-1)≥g(x+2),
∴2x-1≥x+2?x≥3,
f(2x-1)-f(x+2)≥x-3的解集为[3,+∞).
3.函数f(x)的定义域为D,若满足:①f(x)在D内是单调函数;②存在[a,b]?D使得f(x)在[a,b]上的值域为,则称函数f(x)为“成功函数”.若函数f(x)=logm(mx+2t)(其中m>0,且m≠1)是“成功函数”,则实数t的取值范围为________.
答案
解析 无论m>1还是0
0),则mx+2t=可化为2t=λ-λ2=-2+,结合图形(图略)可得t∈.
4.已知函数f(x)=(x2-3)ex,设关于x的方程f2(x)-af(x)=0(a∈R)有4个不同的实数解,则a的取值范围是________.
答案 ∪(-2e,0)
解析 由题意知,f′(x)=2xex+(x2-3)ex
=ex(x2+2x-3),
令f′(x)=0,解得x=1或x=-3,
所以当x<-3或x>1时,f′(x)>0,当-3
所以f(x)在(-∞,-3)上单调递增,在(-3,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,
所以当x=-3时,f(x)取得极大值;
当x=1时,f(x)取得极小值-2e,当x→-∞时,f(x)→0,
作出函数f(x)的图象,如图所示,
由f2(x)-af(x)=0,得f(x)=0或f(x)=a,
由图象可知f(x)=0有两解,
所以f(x)=a也有两解,
所以a=或-2e
题组二 与数列有关的压轴小题
方法技巧 数列与函数的交汇、数列与不等式的交汇问题是高考的热点.解决这类问题的关键在于利用数列与函数的对应关系,将条件进行准确的转化,确定数列的通项或前n项和,利用函数的性质、图象求解最值问题,不等关系或恒成立问题.
5.在公比为q的正项等比数列{an}中,a4=4,则当2a2+a6取得最小值时,log2q=________.
答案
解析 2a2+a6≥2=2=8,即2a2+a6=+a4q2≥8,所以q4-2q2+2≥0,即(q2-)2≥0,当且仅当q4=2时取等号,所以log2q==.
6.已知Sn和Tn分别为数列{an}与数列{bn}的前n项和,且a1=e4,Sn=eSn+1-e5,an=ebn,则当Tn取得最大值时n的值为________.
答案 4或5
解析 由Sn=eSn+1-e5,得Sn-1=eSn-e5(n≥2),两式相减,得an=ean+1(n≥2),易知a2=e3,==,所以数列{an}是首项为e4,公比为的等比数列,所以an=e5-n.因为an=,所以bn=5-n.由
即解得4≤n≤5,
所以当n=4或n=5时,Tn取得最大值.
7.已知数列{an}满足:a1=1,an+1=(n∈N*).若bn+1=(n-2λ)·(n∈N*),b1=-λ,且数列{bn}是单调递增数列,则实数λ的取值范围是________.
答案
解析 由an+1=,得=+1,即+1=2,所以是以+1为首项,2为公比的等比数列,所以+1=2n-1=2n,所以bn+1=(n-2λ)·2n.因为数列{bn}是单调递增数列,
所以当n≥2时,由bn+1>bn,得(n-2λ)·2n>(n-1-2λ)·2n-1,解得n>2λ-1,即2>2λ-1,所以λ<;当n=1时,由b2>b1得(1-2λ)·2>-λ,解得λ<,因此λ<.
8.已知函数f(x)=x2+(a+8)x+a2+a-12,且f(a2-4)=f(2a-8),设等差数列{an}的前n项和为Sn(n∈N*),若Sn=f(n),则的最小值为________.
答案
解析 由题意可得a2-4=2a-8或a2-4+2a-8=2×,解得a=1或a=-4.
当a=1时,f(x)=x2+9x-10,则Sn=n2+9n-10,数列{an}不是等差数列;
当a=-4时,f(x)=x2+4x,Sn=f(n)=n2+4n,
∴a1=5,a2=7,an=5+(7-5)(n-1)=2n+3,
∴==×=×
≥
=+1,
当且仅当n+1=,即n=-1(舍负)时取等号,
∵n为正整数,2<-1<3,∴当n=2时,=;当n=3时,=,故当n=3时原式取最小值.
1.已知函数f(x)是R上的单调函数,且对任意实数x都有f=,则f(log23)=________.
答案
解析 由于函数为单调函数,
故设t=f(x)+,f(t)=,
即t=+,
即t=1,
所以f(x)=1-,f(log23)=1-=.
2.设数列{an}的前n项和为Sn,若为常数,则称数列{an}为“精致数列”. 已知等差数列{bn}的首项为1,公差不为0,若数列{bn}为“精致数列”,则数列{bn}的通项公式为__________.
答案 bn=2n-1(n∈N*)
解析 设等差数列{bn}的公差为d,
由为常数,设=k且b1=1,
得n+n(n-1)d=k,
即2+(n-1)d=4k+2k(2n-1)d,
整理得(4k-1)dn+(2k-1)(2-d)=0,
因为对任意正整数n上式恒成立,
则
解得
所以数列{bn}的通项公式为bn=2n-1(n∈N*).
3.已知函数f(x)=若关于x的方程f2(x)+f(x)+t=0有三个不同的实根,则t的取值范围为________.
答案 (-∞,-2]
解析 设m=f(x),作出函数f(x)的图象,如图所示,则当m≥1时,m=f(x)有两个根,当m<1时,m=f(x)有一个根.若关于x的方程f2(x)+f(x)+t=0有三个不同的实根,则等价为m2+m+t=0有两个不同的实数根m1,m2,且m1≥1,m2<1.当m=1时,t=-2,此时由m2+m-2=0,解得m=1或m=-2,f(x)=1有两个根,f(x)=-2有一个根,满足条件;当m≠1时,设h(m)=m2+m+t,其对称轴为m=-,则需h(1)<0即可,即1+1+t<0,解得t<
-2.综上,实数t的取值范围为t≤-2.
4.若存在两个正实数x,y使等式2x+m(y-2ex)(ln y-ln x)=0成立(其中e=2.718 28…),则实数m的取值范围是________.
答案 (-∞,0)∪
解析 当m=0时,不满足题意,
由题意可得m=,
则==·ln,
令t=,构造函数g(t)=ln t(t>0),
则g′(t)=-ln t+×
=-ln t+-(t>0),
设h(t)=g′(t),
则h′(t)=--=-<0恒成立,
则g′(t)在(0,+∞)上单调递减,
当t=e时,g′(t)=0,
则当t∈(0,e)时,g′(t)>0,函数g(t)单调递增,
当t∈(e,+∞)时,g′(t)<0,函数g(t)单调递减,
则当t=e时,g(t)取得最大值g(e)=,
且当t→0时,g(t)→-∞,
据此有≤,
∴m<0或m≥.
综上可得,实数m的取值范围是(-∞,0)∪.
5.当n为正整数时,定义函数N(n)表示n的最大奇因数.如N(3)=3,N(10)=5,…,S(n)=N(1)+N(2)+N(3)+…+N(2n),则S(5)=________.
答案 342
解析 ∵N(2n)=N(n),N(2n-1)=2n-1,而S(n)=N(1)+N(2)+N(3)+…+N(2n),
∴S(n)=N(1)+N(3)+N(5)+…+N(2n-1)+[N(2)+N(4)+…+N(2n)],
∴S(n)=1+3+5+…+2n-1+[N(1)+N(2)+N(3)+…+N(2n-1)],
∴S(n)=×+S(n-1)(n≥2),
即S(n)-S(n-1)=4n-1,
又S(1)=N(1)+N(2)=1+1=2,
∴S(5)-S(1)=[S(5)-S(4)]+[S(4)-S(3)]+…+[S(2)-S(1)]=44+43+42+4,
∴S(5)=2+4+42+43+44=342.
6.已知等比数列{an}的前n项和为Sn,a2>a1,S4=a1+28,且a3+2是a2,a4的等差中项,若数列的前n项和Tn≤2n-2+M恒成立,则M的最小值为________.
答案 -
解析 设等比数列{an}的公比为q,依题意得2(a3+2)=a2+a4,又S4=a1+28,
∴a2+a3+a4=28,得a3=8,
∴
解得或
又a2>a1,∴a1=2,q=2,
∴an=2n,Sn=2n+1-2,n∈N*.
令bn=,
∴bn==-,n∈N*,
∴Tn=++…+=-=-.
故Tn-2n-2=--2n-2.
又Tn-2n-2-(Tn+1-2n-1)
=2n-2-
>2n-2-
=≥0,
即Tn-2n-2>Tn+1-2n-1,
故数列{Tn-2n-2}单调递减,
故(Tn-2n-2)max=--2-1=-.
又Tn≤2n-2+M恒成立,
即M≥Tn-2n-2恒成立,
故M≥-,
所以M的最小值为-.
7.已知公比不为1的等比数列{an}中,a1=1,a2=a,且an+1=k(an+an+2)对任意正整数n都成立,且对任意相邻三项am,am+1,am+2按某顺序排列后成等差数列,则满足题意的k的值为________.
答案 -
解析 设等比数列{an}的公比为q,
则q==a(a≠1),
所以am=am-1,am+1=am,am+2=am+1.
①若am+1为等差中项,
则2am+1=am+am+2,
即2am=am-1+am+1,
解得a=1,不合题意.
②若am为等差中项,
则2am=am+1+am+2,
即2am-1=am+am+1,化简得a2+a-2=0,
解得a=-2或a=1(舍去).
∴k====-.
③若am+2为等差中项,
则2am+2=am+1+am,
即2am+1=am+am-1,
化简得2a2-a-1=0,
解得a=-或a=1(舍去),
∴k====-.
综上可得满足要求的实数k有且仅有一个,且k=-.
8.已知函数f(x)=x2+(ln 3x)2-2a(x+3ln 3x)+10a2,若存在x0使得f(x0)≤成立,则实数a的值为________.
答案
解析 f(x)=x2+(ln 3x)2-2a(x+3ln 3x)+10a2=(x-a)2+(ln 3x-3a)2表示点M(x,ln 3x)与点N(a,3a)距离的平方,M点的轨迹是函数g(x)=ln 3x的图象,N点的轨迹是直线y=3x,则g′(x)=.作g(x)的平行于直线y=3x的切线,设切点为P(x1,y1),则=3,所以x1=,切点为P,所以曲线上点P到直线y=3x的距离最小,最小距离d=,所以f(x)≥,根据题意,要使f(x0)≤,则f(x0)=,此时N为垂足,点M与点P重合,kMN==
-,得a=.
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