课件44张PPT。第31练
压轴小题专练(2)第三篇 押题冲刺练题组对点练栏目索引题组对点练题组一 与向量有关的压轴小题方法技巧 (1)以向量为载体的综合问题，要准确使用平面向量知识进行转化，最后归结为不含向量的问题.
(2)平面向量常与三角函数、平面几何、解析几何等相结合，利用向量共线或数量积的知识解题.解析 由于M，N分别是边AD，BC的中点，解析 如图所示，分别延长OA，OB，OC，使OD＝2OA，OE＝3OB，OF＝4OC，4∶2∶3即O是△DEF的重心，故△DOE，△EOF，△DOF的面积相等，解析 延长AG交BC于点D，则D为BC的中点，3解析 如图，过点C作CD∥OB交OA的延长线于点D.①
②即m＝10－5n，
代入①得12n2－49n＋49＝0，题组二 与解析几何有关的压轴小题方法技巧 求圆锥曲线范围、最值问题的常用方法
(1)定义性质转化法：利用圆锥曲线的定义性质进行转化，根据平面几何中的结论确定最值或范围.
(2)目标函数法：建立所求的目标函数，将所求最值转化为函数最值解决.
(3)条件不等式法：找出与变量相关的所有限制条件，然后再通过解决不等式(组)求变量的范围.解析 如图，作PB⊥x轴于点B.
由题意可设F1F2＝PF2＝2，则c＝1，
由∠F1F2P＝120°，故AB＝a＋1＋1＝a＋2，6.已知A，B是椭圆C上关于原点对称的两点，若椭圆C上存在点P，使得直线PA，PB
斜率的绝对值之和为1，则椭圆C的离心率的取值范围是________.则B (-x1，-y1)，所以a2≥4b2＝4a2－4c2，即3a2≤4c2，解析 因为等腰直角△AOB内接于抛物线y2＝2px(p＞0)，O为抛物线的顶点，OA⊥OB，将A(4,4)代入y2＝2px，得p＝2，抛物线的方程为y2＝4x，所以F(1,0).8.如图，抛物线y2＝4x的一条弦AB经过焦点F，取线段OB的中点D，延长OA至点C，使OA＝AC，过点C，D作y轴的垂线，垂足分别为E，G，则EG的最小值为________.4解析 设点A(xA，yA)，B(xB，yB)，
由题意可知EG＝OE＋OG当直线AB的斜率存在时，设直线AB的斜率为k，得ky2－4y－4k＝0，即EG的最小值为4.
当直线AB的斜率不存在时，直线AB：x＝1，
此时A(1，－2)，B(1,2)，综上，EG的最小值为4.押题冲刺练1234567812345678解析 求导可得f′(x)＝6x2＋6|a|x＋6a·b，
则由函数f(x)＝2x3＋3|a|x2＋6a·bx＋7在实数集R上单调递增，可得f′(x)＝6x2＋6|a|x＋6a·b≥0在R上恒成立，
即x2＋|a|x＋a·b≥0恒成立，
故判别式Δ＝a2－4a·b≤0，又∵〈a，b〉∈[0，π]，12345678212345678解析 F(0,1)，A(0，－1)，过M作MN⊥l，垂足为N，∴△AMF的高为AN，∴△AMN为等腰直角三角形，∴△AMF的面积为2.1234567812345678123456781234567812345678焦点F(c,0)，不妨设yA>0，yB<0，1234567812345678解析 建立如图所示的平面直角坐标系，123456781234567812345678解析 设P(x，y)且y2＝2px，则根号下二次函数的对称轴为x＝4－p∈(0,4)，
所以在对称轴处取得最小值，即解得p＝3或5(舍去)，经检验p＝3符合题意.1234567812345678解析 设点A(x1，y1)，C(x2，y2)，因为四边形OABC为矩形，所以点B(x1＋x2，y1＋y2)，存在实数解的问题，展开第三个方程，并把另外三个方程代入，12345678易知直线OA和OC的斜率均存在，12345678又a>b，所以a2≥3b2，123456788.已知平面向量a，b满足|a|，|b|，|a＋b|∈[1,3]，则a·b的取值范围是___________.12345678于是问题转化为在圆环1≤r≤3(r为圆的半径)上的两点A，B之间的距离在[1,3]之间，12345678 本课结束 第三篇 第31练 压轴小题专练(2)
题组一 与向量有关的压轴小题
方法技巧 (1)以向量为载体的综合问题，要准确使用平面向量知识进行转化，最后归结为不含向量的问题．
(2)平面向量常与三角函数、平面几何、解析几何等相结合，利用向量共线或数量积的知识解题．
1．(2019·南通期末)在平面凸四边形ABCD中，AB＝2，点M，N分别是边AD，BC的中点，且MN＝1，若·(－)＝，则·的值为________．
答案
解析 由于M，N分别是边AD，BC的中点，故＝(＋)，－＝＋＝＋，所以·(－)＝(－)·(＋)＝，所以2－2＝3，所以2＝1，而2＝－，所以(2)2＝(－)2，即4＝4＋1－2·，故·＝.
2．已知点O是△ABC内部一点，且满足2＋3＋4＝0，则△AOB，△BOC，△AOC的面积之比为________．
答案 4∶2∶3
解析 如图所示，分别延长OA，OB，OC，使OD＝2OA，OE＝3OB，OF＝4OC，
∵2＋3＋4＝0，
∴＋＋＝0，
即O是△DEF的重心，故△DOE，△EOF，△DOF的面积相等，
不妨令它们的面积均为1，则△AOB的面积为，△BOC的面积为，△AOC的面积为，故△AOB，△BOC，△AOC的面积之比为∶∶＝4∶2∶3.
3．过△ABC的重心G的直线l分别与边AB，AC交于F，E两点，设＝x，＝y(x>0，y>0)，则x＋y的最小值为________．
答案
解析 延长AG交BC于点D，则D为BC的中点，所以＝(＋)，所以＝(＋)＝＋，又E，F，G三点共线，所以＋＝3，则3(x＋y)＝(x＋y)＝2＋＋≥4，当且仅当＝，即x＝，y＝时取等号．所以x＋y≥，即最小值为.
4．(2017·江苏)如图，在同一个平面内，向量，，的模分别为1,1，，与的夹角为α，且tan α＝7，与的夹角为45°.若＝m＋n(m，n∈R)，则m＋n＝________.
答案 3
解析 如图，过点C作CD∥OB交OA的延长线于点D.
设＝m，＝n，则在△ODC中，有OD＝m，
DC＝n，OC＝，∠OCD＝45°，
由tan α＝7，得cos α＝，
又由余弦定理知，
即
①＋②得4－2n－m＝0，
即m＝10－5n，
代入①得12n2－49n＋49＝0，
解得n＝或n＝，
当n＝时，m＝10－5×＝－<0(舍去)，
当n＝时，m＝10－5×＝，
故m＋n＝＋＝3.
题组二 与解析几何有关的压轴小题
方法技巧 求圆锥曲线范围、最值问题的常用方法
(1)定义性质转化法：利用圆锥曲线的定义性质进行转化，根据平面几何中的结论确定最值或范围．
(2)目标函数法：建立所求的目标函数，将所求最值转化为函数最值解决．
(3)条件不等式法：找出与变量相关的所有限制条件，然后再通过解决不等式(组)求变量的范围．
5．(2018·全国Ⅱ改编)已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为的直线上，△PF1F2为等腰三角形，∠F1F2P＝120°，则C的离心率为________．
答案
解析 如图，作PB⊥x轴于点B.
由题意可设F1F2＝PF2＝2，则c＝1，
由∠F1F2P＝120°，
可得∠PF2B＝60°，PB＝，BF2＝1，
故AB＝a＋1＋1＝a＋2，
tan∠PAB＝＝＝，
解得a＝4，所以e＝＝.
6．已知A，B是椭圆C上关于原点对称的两点，若椭圆C上存在点P，使得直线PA，PB斜率的绝对值之和为1，则椭圆C的离心率的取值范围是________．
答案
解析 不妨设椭圆C的方程为＋＝1(a>b>0)，P(x，y)，A(x1，y1)，
则B (-x1，-y1)，
所以＋＝1，＋＝1，
两式相减得＝－，
所以＝－，
所以直线PA，PB斜率的绝对值之和为＋≥2＝，
由题意得≤1，
所以a2≥4b2＝4a2－4c2，即3a2≤4c2，
所以e2≥，
又因为0
所以≤e<1.
7．等腰直角△AOB内接于抛物线y2＝2px(p＞0)，O为抛物线的顶点，OA⊥OB，△AOB的面积是16，抛物线的焦点为F，若M是抛物线上的动点，则的最大值为________．
答案
解析 因为等腰直角△AOB内接于抛物线y2＝2px(p＞0)，O为抛物线的顶点，OA⊥OB，
所以可设A(a，a)(a＞0)，
S△AOB＝a×2a＝16，得a＝4，
将A(4,4)代入y2＝2px，得p＝2，抛物线的方程为y2＝4x，所以F(1,0)．
设M(x，y)，则x≥0，设t＝(0则＝＝
＝＝≤＝，
当t＝时“＝” 成立．
8.如图，抛物线y2＝4x的一条弦AB经过焦点F，取线段OB的中点D，延长OA至点C，使OA＝AC，过点C，D作y轴的垂线，垂足分别为E，G，则EG的最小值为________．
答案 4
解析 设点A(xA，yA)，B(xB，yB)，
由题意可知EG＝OE＋OG
＝2≥2
＝2，
当直线AB的斜率存在时，设直线AB的斜率为k，
则直线AB的方程为y＝k(x－1)，联立
得ky2－4y－4k＝0，
所以yA，B＝，
所以yAyB＝－4，由此可知EG≥4 ，当且仅当时等号成立，
即EG的最小值为4.
当直线AB的斜率不存在时，直线AB：x＝1，此时A(1，－2)，B(1,2)，所以C(2，－4)，D，即G(0,1)，E(0，－4)，所以EG＝5.
综上，EG的最小值为4.
1．已知向量a，b满足|a|＝2|b|≠0，且关于x的函数f(x)＝2x3＋3|a|x2＋6a·bx＋7在实数集R上单调递增，则向量a，b的夹角的取值范围是________．
答案
解析 求导可得f′(x)＝6x2＋6|a|x＋6a·b，则由函数f(x)＝2x3＋3|a|x2＋6a·bx＋7在实数集R上单调递增，可得f′(x)＝6x2＋6|a|x＋6a·b≥0在R上恒成立，即x2＋|a|x＋a·b≥0恒成立，
故判别式Δ＝a2－4a·b≤0，
再由|a|＝2|b|≠0，
可得8|b|2≤8|b|2cos〈a，b〉，
∴cos〈a，b〉≥，
又∵〈a，b〉∈[0，π]，
∴〈a，b〉∈.
2．抛物线C：y＝x2的焦点为F，其准线l与y轴交于点A，点M在抛物线C上，当＝时，△AMF的面积为________．
答案 2
解析 F(0,1)，A(0，－1)，过M作MN⊥l，垂足为N，∴△AMF的高为AN，
设M(m>0)，
则S△AMF＝×2m＝m.
又由＝，MN＝MF，
∴△AMN为等腰直角三角形，
∴m2＋1＝m，∴m＝2，
∴△AMF的面积为2.
3．已知△ABC三个内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，且C＝，c＝2，当·取得最大值时，的值为________．
答案 2＋
解析 设△ABC的外接圆半径为R，则2R＝＝，
·＝bccos A＝2bcos A＝2×sin Bcos A
＝sin Bcos A，
∵B＝－A，
∴·＝cos Asin
＝cos A
＝4cos2A＋sin Acos A
＝2(1＋cos 2A)＋sin 2A＝sin 2A＋2cos 2A＋2＝＋2
＝sin＋2.
∵0∴当2A＋＝，即A＝时，·取得最大值＋2，此时△ABC中，B＝，＝，＝＝＝2＋.
4．设双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，过点F作与x轴垂直的直线l交两渐近线于A，B两点，且与双曲线在第一象限的交点为P，设O为坐标原点，若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，λμ＝，则该双曲线的离心率为________．
答案
解析 双曲线的渐近线方程为y＝±x，焦点F(c,0)，不妨设yA>0，yB<0，则A，B，P，因为＝λ＋μ，
所以＝，
所以λ＋μ＝1，λ－μ＝，
解得λ＝，μ＝，
又由λμ＝，得＝，
又b2＝c2－a2，
所以＝2，所以e＝.
5.在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，AD∥BC，AB＝BC＝2AD＝2，E，F分别为BC，CD的中点，以A为圆心，AD为半径的圆交AB于点G，点P在上运动(如图)．若＝λ＋μ，其中λ，μ∈R，则6λ＋μ的取值范围是________．
答案 [2,2]
解析 建立如图所示的平面直角坐标系，则A(0,0)，B(2,0)，E(2,1)，C(2,2)，D(0,1)，F.
设P(cos θ，sin θ)，其中0≤θ≤，则
＝(cos θ，sin θ)，＝(2,1)，＝，
∵＝λ＋μ，
∴(cos θ，sin θ)＝λ(2,1)＋μ，
即解得
∴6λ＋μ＝2sin θ＋2cos θ＝2sin，
∵0≤θ≤，
∴≤θ＋≤，
∴2≤2sin≤2，
即6λ＋μ的取值范围是[2,2]．
6．已知抛物线C：y2＝2px(0＜p＜4)的焦点为F，点P为C上一动点，A(4,0)，B(p，p)，且PA的最小值为，则BF＝________.
答案
解析 设P(x，y)且y2＝2px，则
PA＝＝
＝，
根号下二次函数的对称轴为x＝4－p∈(0,4)，
所以在对称轴处取得最小值，即
＝，
解得p＝3或5(舍去)，经检验p＝3符合题意．
所以抛物线方程为y2＝6x，B(3,3)，
易知点B在抛物线上，所以BF＝3＋＝.
7．设A，B，C是椭圆＋＝1(a>b>0)上的三个不同的点，若四边形OABC(其中O为坐标原点)为矩形，则该椭圆的离心率的最小值为________．
答案
解析 设点A(x1，y1)，C(x2，y2)，因为四边形OABC为矩形，所以点B(x1＋x2，y1＋y2)，
则问题转化为方程组
存在实数解的问题，展开第三个方程，并把另外三个方程代入，整理得x1x2＝.
易知直线OA和OC的斜率均存在，
分别设为k，－，由
得x＝，同理x＝，因此·＝2，令t＝k2，则关于t的二次方程t2－·t＋1＝0有正解，即2－4≥0，且3－8>0，所以≥0，又a>b，所以a2≥3b2，所以≤e<1，
故椭圆的离心率的最小值为.
8．已知平面向量a，b满足|a|，|b|，|a＋b|∈[1,3]，则a·b的取值范围是________．
答案
解析 如图，设平面内＝a，＝－b，||＝|a＋b|.
于是问题转化为在圆环1≤r≤3(r为圆的半径)上的两点A，B之间的距离在[1,3]之间，求
－·的取值范围．
易知，·＝2－2，其中M为线段AB的中点．
又1≤2≤9，故只需考虑2的取值范围，显然当A，B位于半径为3的圆周上，且AB的长度为1时，2取得最大值，为32－2＝，
从而2的取值范围是0≤2≤，因此0－≤2－2≤－，
从而－≤·≤，即a·b的取值范围是.
