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聚焦六大核心素养第一篇 教育部考试中心在2019年高考考试大纲中，着重明确了高考考：必备知识、关键能力、学科素养、核心价值.
《普通高中课程方案和各科课程标准》，首次提出了“学科核心素养”.数学核心素养包括数学抽象、逻辑推理、直观想象、数学建模、数学运算、数据分析.主要表现在用数学的眼光观察世界，用数学的思维分析世界，用数学的语言表达现实世界.通过由具体的实例概括一般性结论，看学生能否在综合的情境中学会抽象出数学问题，并在得到数学结论的基础上形成新的命题.一 数学抽象1.传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上面用点或小石子表示数.他们研究过如图所示的三角形数，将三角形数1,3,6,10，…记为数列{an}，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列{bn}.可以推测：(1)b2 018是数列{an}中的第________项；
(2)b2k－1＝________.(用k表示)5 045故b1＝a4，b2＝a5，b3＝a9，b4＝a10，b5＝a14，b6＝a15，故b2 018＝b2×1 009＝a5×1 009＝a5 045，
即b2 018是数列{an}中的第5 045项.2.《九章算术》第三章“衰分”介绍比例分配问题：“衰分”是按比例递减分配的意思，通常称递减的比例(百分比)为“衰分比”.如甲、乙、丙、丁衰分得100,60,36,21.6个单位，递减的比例为40%.今共有粮m(m>0)石，按甲、乙、丙、丁的顺序进行“衰分”，已知丙衰分得80石，乙、丁衰分所得的和为164石，则“衰分比”与m的值分别为__________.20%,369解析 设“衰分比”为a，甲衰分得b石，解得b＝125，a＝20%，m＝369.通过提出问题和论证命题的过程，看我们能否选择合适的论证方法和途径予以证明，并能用准确、严谨的数学语言表述论述过程，以此考查逻辑推理素养.二 逻辑推理3.(2019·江苏)如图是一个算法流程图，则输出的S的值是________.5x＝3，S＝3，不满足条件；
x＝4，S＝5，满足条件，结束循环，故输出的S的值是5.4.(2019·全国Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知bsin A＋acos B＝0，
则B＝________.解析 ∵bsin A＋acos B＝0，由正弦定理，得－cos B＝sin B，通过空间图形与平面图形的观察以及图形与数量关系的分析，对复杂的数学问题进行直观表达，看我们能否运用图形和空间想象思考问题，感悟事物的本质，形成解决问题的思路，以此考查直观想象素养.三 直观想象5.(2018·江苏)如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体
积为________.它是由两个有公共底面的正四棱锥组合而成的，正四棱锥的高为1，证明：CD⊥平面A1OC.证明 在题图(1)中，连结EC(图略)，因为ED＝BC＝a，ED∥BC，所以四边形BCDE是平行四边形，所以CD∥BE，所以CD⊥AC，
即在题图(2)中，CD⊥A1O，CD⊥OC，
又A1O∩OC＝O，所以CD⊥平面A1OC.通过对实际应用问题的处理，看我们是否能够运用数学语言，清晰、准确地表达数学建模的过程和结果，以此考查数学建模素养.四 数学建模8.(2019·北京)李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒.为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x元，每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%.
(1)当x＝10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付________元；130解析 顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，总价为60＋80＝140(元)，又140>120，
所以优惠10元，顾客实际需要付款130元.(2)在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为________.15解析 设顾客一次购买的水果总价为m元，
由题意知，当0当m≥120时，(m－x)×80%≥m×70%，通过各类数学问题特别是综合性问题的处理，看我们能否做到明确运算对象，分析运算条件，选择运算法则，把握运算方向，设计运算程序，获取运算结果，以此考查数学运算素养.五 数学运算10.(2019·全国Ⅱ改编)2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就.实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系.为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日L2点的轨道运行.L2点是平衡点，位于地月连线的延长线上.设地球质量为M1，月球质量为M2，地月距离为R，L2点到月球的距离为r，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r满足方程：
由于α的值很小，因此在近似计算中 ≈3α3，则r的近似值为__________.通过对概率与统计问题中大量数据的分析和加工，看我们能否获得数据提供的信息及其所呈现的规律，进而分析随机现象的本质特征，发现随机现象的统计规律，以此考查数据分析素养.六 数据分析11. (2018·江苏)已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么这5位裁判打出的分数的平均数为________.解析 这5位裁判打出的分数分别是89,89,90,91,91，9012.(2019·全国Ⅰ)为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验.试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验.对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药.一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验.当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效.为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得－1分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得－1分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分.甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X.
(1)求X的概率分布；解 X的所有可能取值为－1,0,1.
P(X＝－1)＝(1－α)β，
P(X＝0)＝αβ＋(1－α)(1－β)，
P(X＝1)＝α(1－β).
所以X的概率分布为(2)若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，pi(i＝0,1，…，8)表示“甲药的累计得分为i时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则p0＝0，p8＝1，pi＝api－1＋bpi＋cpi＋1(i＝1,2，…，7)，其中a＝P(X＝－1)，b＝P(X＝0)，c＝P(X＝1).假设α＝0.5，β＝0.8.
(ⅰ)证明：{pi＋1－pi}(i＝0,1,2，…，7)为等比数列；证明 由(1)得a＝0.4，b＝0.5，c＝0.1.
因此pi＝0.4pi－1＋0.5pi＋0.1pi＋1，
故0.1(pi＋1－pi)＝0.4(pi－pi－1)，
即pi＋1－pi＝4(pi－pi－1).
又因为p1－p0＝p1≠0，
所以{pi＋1－pi}(i＝0,1,2，…，7)为公比为4，首项为p1的等比数列.(ⅱ)求p4，并根据p4的值解释这种试验方案的合理性.解 由(ⅰ)可得
p8＝p8－p7＋p7－p6＋…＋p1－p0＋p0
＝(p8－p7)＋(p7－p6)＋…＋(p1－p0)所以p4＝(p4－p3)＋(p3－p2)＋(p2－p1)＋(p1－p0) 本课结束 第一篇
第1练 聚焦六大核心素养
教育部考试中心在2019年高考考试大纲中，着重明确了高考考：必备知识、关键能力、学科素养、核心价值．
《普通高中课程方案和各科课程标准》，首次提出了“学科核心素养”．数学核心素养包括数学抽象、逻辑推理、直观想象、数学建模、数学运算、数据分析．主要表现在用数学的眼光观察世界，用数学的思维分析世界，用数学的语言表达现实世界．
通过由具体的实例概括一般性结论，看学生能否在综合的情境中学会抽象出数学问题，并在得到数学结论的基础上形成新的命题.
1．传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上面用点或小石子表示数．他们研究过如图所示的三角形数，将三角形数1,3,6,10，…记为数列{an}，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列{bn}．可以推测：
(1)b2 018是数列{an}中的第________项；
(2)b2k－1＝________.(用k表示)
答案 (1)5 045 (2)
解析 由题意可得an＝1＋2＋3＋…＋n＝，n∈N*，
故b1＝a4，b2＝a5，b3＝a9，b4＝a10，b5＝a14，b6＝a15，
由上述规律可知，
b2k＝a5k＝(k∈N*)，
b2k－1＝a5k－1＝＝，
故b2 018＝b2×1 009＝a5×1 009＝a5 045，
即b2 018是数列{an}中的第5 045项．
2．《九章算术》第三章“衰分”介绍比例分配问题：“衰分”是按比例递减分配的意思，通常称递减的比例(百分比)为“衰分比”．如甲、乙、丙、丁衰分得100,60,36,21.6个单位，递减的比例为40%.今共有粮m(m>0)石，按甲、乙、丙、丁的顺序进行“衰分”，已知丙衰分得80石，乙、丁衰分所得的和为164石，则“衰分比”与m的值分别为________．
答案 20%,369
解析 设“衰分比”为a，甲衰分得b石，
由题意，得
解得b＝125，a＝20%，m＝369.
通过提出问题和论证命题的过程，看我们能否选择合适的论证方法和途径予以证明，并能用准确、严谨的数学语言表述论述过程，以此考查逻辑推理素养.
3．(2019·江苏)如图是一个算法流程图，则输出的S的值是________．
答案 5
解析 执行算法流程图，x＝1，S＝，不满足条件；x＝2，S＝，不满足条件；x＝3，S＝3，不满足条件；x＝4，S＝5，满足条件，结束循环，故输出的S的值是5.
4．(2019·全国Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知bsin A＋acos B＝0，则B＝________.
答案
解析 ∵bsin A＋acos B＝0，∴＝，
由正弦定理，得－cos B＝sin B，
∴tan B＝－1，又B∈(0，π)，∴B＝.
通过空间图形与平面图形的观察以及图形与数量关系的分析，对复杂的数学问题进行直观表达，看我们能否运用图形和空间想象思考问题，感悟事物的本质，形成解决问题的思路，以此考查直观想象素养.
5.(2018·江苏)如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为________．
答案
解析 由题意知所给的几何体是棱长均为的八面体，它是由两个有公共底面的正四棱锥组合而成的，正四棱锥的高为1，所以这个八面体的体积为2V正四棱锥＝2××()2×1＝.
6．如图(1)，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD＝，AB＝BC＝AD＝a，E是AD的中点，O是AC与BE的交点．将△ABE沿BE折起到图(2)中△A1BE的位置，得到四棱锥A1－BCDE.
证明：CD⊥平面A1OC.
证明 在题图(1)中，连结EC(图略)，
因为AB＝BC＝AD＝a，
E是AD的中点，∠BAD＝，所以BE⊥AC.
因为ED＝BC＝a，ED∥BC，所以四边形BCDE是平行四边形，所以CD∥BE，所以CD⊥AC，
即在题图(2)中，CD⊥A1O，CD⊥OC，
又A1O∩OC＝O，所以CD⊥平面A1OC.
通过对实际应用问题的处理，看我们是否能够运用数学语言，清晰、准确地表达数学建模的过程和结果，以此考查数学建模素养.
7．(2018·北京改编)“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展作出了重要贡献．十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于.若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为________．
答案 f
解析 由题意知，这十三个单音的频率构成首项为f、公比为的等比数列，则第八个单音的频率为()7f＝f.
8．(2019·北京)李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x元，每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%.
(1)当x＝10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付________元；
(2)在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为________．
答案 130 15
解析 (1)顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，总价为60＋80＝140(元)，又140>120，所以优惠10元，顾客实际需要付款130元．
(2)设顾客一次购买的水果总价为m元，由题意知，当0所以x的最大值为15.
通过各类数学问题特别是综合性问题的处理，看我们能否做到明确运算对象，分析运算条件，选择运算法则，把握运算方向，设计运算程序，获取运算结果，以此考查数学运算素养.
9．(2019·江苏)已知＝－，则sin的值是________．
答案
解析 ＝＝＝－，解得tan α＝2或tan α＝－，当tan α＝2时，sin 2α＝＝＝，cos 2α＝＝＝－，此时sin 2α＋cos 2α＝，同理当tan α＝－时，sin 2α＝－，cos 2α＝，此时sin 2α＋cos 2α＝，所以sin＝(sin 2α＋cos 2α)＝.
10．(2019·全国Ⅱ改编)2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就．实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日L2点的轨道运行．L2点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为M1，月球质量为M2，地月距离为R，L2点到月球的距离为r，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r满足方程：＋＝(R＋r).设α＝.由于α的值很小，因此在近似计算中≈3α3，则r的近似值为________．
答案 R
解析 由＋＝(R＋r)，得＋＝M1.因为α＝，所以＋＝(1＋α)M1，得＝.由≈3α3，得3α3≈，即33≈，所以r≈·R.
通过对概率与统计问题中大量数据的分析和加工，看我们能否获得数据提供的信息及其所呈现的规律，进而分析随机现象的本质特征，发现随机现象的统计规律，以此考查数据分析素养.
11. (2018·江苏)已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么这5位裁判打出的分数的平均数为________．
答案 90
解析 这5位裁判打出的分数分别是89,89,90,91,91，
因此这5位裁判打出的分数的平均数为＝90.
12．(2019·全国Ⅰ)为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得－1分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得－1分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X.
(1)求X的概率分布；
(2)若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，pi(i＝0,1，…，8)表示“甲药的累计得分为i时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则p0＝0，p8＝1，pi＝api－1＋bpi＋cpi＋1(i＝1,2，…，7)，其中a＝P(X＝－1)，b＝P(X＝0)，c＝P(X＝1)．假设α＝0.5，β＝0.8.
(ⅰ)证明：{pi＋1－pi}(i＝0,1,2，…，7)为等比数列；
(ⅱ)求p4，并根据p4的值解释这种试验方案的合理性．
(1)解 X的所有可能取值为－1,0,1.
P(X＝－1)＝(1－α)β，
P(X＝0)＝αβ＋(1－α)(1－β)，
P(X＝1)＝α(1－β)．
所以X的概率分布为
X
－1
0
1
P
(1－α)β
αβ＋(1－α)(1－β)
α(1－β)
(2)(ⅰ)证明 由(1)得a＝0.4，b＝0.5，c＝0.1.
因此pi＝0.4pi－1＋0.5pi＋0.1pi＋1，
故0.1(pi＋1－pi)＝0.4(pi－pi－1)，
即pi＋1－pi＝4(pi－pi－1)．
又因为p1－p0＝p1≠0，所以{pi＋1－pi}(i＝0,1,2，…，7)为公比为4，首项为p1的等比数列．
(ⅱ)解 由(ⅰ)可得
p8＝p8－p7＋p7－p6＋…＋p1－p0＋p0
＝(p8－p7)＋(p7－p6)＋…＋(p1－p0)
＝p1.
由于p8＝1，故p1＝，所以
p4＝(p4－p3)＋(p3－p2)＋(p2－p1)＋(p1－p0)
＝p1
＝.
p4表示题干中的实验方案最终认为甲药更有效的概率．由计算结果可以看出，在甲药治愈率为0.5，乙药治愈率为0.8时，认为甲药更有效的概率为p4＝≈0.003 9，此时得出错误结论的概率非常小，说明这种试验方案合理．
