课件38张PPT。第2练
快速解填空题第一篇 填空题具有小巧灵活、结构简单、运算量不大等特点.在高考中，填空题的题量较大，共同特点是不管过程，只要结果.因此解答这类题目除直接法外，还要掌握一些解题的基本策略，避免“小题大做”.解题基本策略是：充分利用题目提供的信息作出判断.先定性后定量，先特殊后推理，先间接后直接，提高解题速度.直接从题设条件出发，运用有关概念、性质、定理、法则和公式等知识，结合有关性质或结论，有意识地采取灵活、简捷的解法解决问题.方法一 直接法1.已知集合A＝{x|x<1}，B＝{x|log3x<0}，则A∩B＝__________.解析 由log3x<0解得0所以A∩B＝{x|02e1－ke2(k∈R)，且a·(a－b)＝8，则实数k的值为________.4.若抛物线y2＝4x上的点M到焦点的距离为10，则点M到y轴的距离是________.解析 设点M的横坐标为x0，准线方程为x＝－1，
∵点M到焦点的距离为10，
根据抛物线定义得x0＋1＝10，
∴x0＝9，因此点M到y轴的距离为9.95.已知抛物线C1：y2＝4x的焦点为F，点P为抛物线上一点，且PF＝3，双曲线C2：
(a>0，b>0)的渐近线恰好过P点，则双曲线C2的离心率为________.解析 设点P(x0，y0)，由抛物线定义得x0－(－1)＝3，
所以x0＝2.当题目已知条件中含有某些不确定的量，可将题中变化的不定量选取符合条件的恰当特殊情形(特殊函数、特殊角、特殊数列、特殊位置、特殊点、特殊方程、特殊模型等)进行处理，从而得出探求的结论.为保证答案的正确性，在利用此方法时，可以多取几个特例.方法二 特值、特例法6.(2019·无锡天一中学月考)若函数f(x)＝2x＋ 是偶函数，则实数a＝________.∴f(－1)＝f(1)，解得a＝1(经验证适合题意).17.cos2α＋cos2(α＋120°)＋cos2(α＋240°)的值为________.4因此m＝n＝2，故m＋n＝4.9.如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱A1A和B1B上各有一动点P，Q满足A1P＝BQ，过P，Q，C三点的截面把棱柱分成两部分，则其上下两部分体积之比为________.2∶1解析 将P，Q置于特殊位置：P→A1，Q→B，此时仍满足条件A1P＝BQ，
则有VP－ABC＝ ＝ .有些题目条件中的式子或关系具有明显的几何意义，我们可以作出函数的图象或几何图形，借助于图象或图形的性质、特征，得出结论. 方法三 数形结合法11.设s，t是不相等的两个正数，且s＋sln t＝t＋tln s，则s＋t－st的取值范围为___________.(1，＋∞)解析 由已知s＋sln t＝t＋tln s，当x∈(0,1)时，f′(x)>0，函数f(x)为增函数；
当x∈(1，＋∞)时，f′(x)<0，函数f(x)为减函数.
如图，作出函数f(x)的图象，
由题意知f(s)＝f(t)，所以s，t为方程f(x)＝m的两个不同的解.
不妨设s>t，则0故s＋t－st－1＝(s－1)(1－t)>0，所以s＋t－st>1.12.已知函数f(x)＝ 关于x的方程f(x)＝m(m∈R)有四个不同的实数解
x1，x2，x3，x4，则x1x2x3x4的取值范围为________.(0,1)关于x的方程f(x)＝m恰有四个互不相等的实根x1，x2，x3，x4，
即函数y＝f(x)的图象与直线y＝m有四个不同的交点，
则0不妨设从左向右的交点的横坐标分别为x1，x2，x3，x4.
当x>0时，由对数函数的性质知，log2x3＝－log2x4，x3x4＝1，
当x<0时，由y＝－x2－2x的对称性知，x1＋x2＝－2，又x1则－x1>－x2>0，(－x1)＋(－x2)＝2，所以0所有取值为集合D，若函数F(x)＝f(x)－kx(x∈D)有零点，则k的取值范围是_________.由图可知D＝{x|2函数F(x)＝f(x)－kx(x∈D)有零点，
即方程f(x)＝kx有根，即y＝kx的图象与y＝f(x)的图象在(2,4]上有交点，设过原点的直线与y＝log2x的切点为(x0，log2x0)，14.已知函数f(x)＝ 若集合A＝{x∈Z|x[f(x)－m]≥0}中有且仅有
4个元素，则整数m的个数为________.34解析 ∵x＝0∈A，∴符合条件的整数根，除零外有且只有三个即可.
画出f(x)的图象如图.
当x＞0时，f(x)≥m；当x＜0时，m≥f(x).
即y轴左侧的图象在y＝m下面，y轴右侧的图象在y＝m上面，
∵f(3)＝－3×9＋18＝－9，f(4)＝－3×16＋24＝－24，
f(－3)＝－(－3)3－3×(－3)2＋4＝4，
f(－4)＝－(－4)3－3×(－4)2＋4＝20，
平移y＝m，由图可知：
当－24＜m≤－9时，A＝{1,2,3}，符合题意；
当m＝0时，A＝{－1,1,2}，符合题意；
当2≤m≤3时，A＝{1，－1，－2}，符合题意，当4≤m＜20时，A＝{－1，－2，－3}，符合题意；
∴整数m的值为－23，－22，－21，－20，－19，－18，－17，－16，－15，－14，－13，－12，－11，－10，－9,0,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19，共34个. 构造模型法是由题目的条件和结论的特殊性构造出几何体、函数、向量等数学模型，然后在模型中进行推导与运算，达到快速解题的目的. 构造模型法是建立在观察联想、分析综合的基础之上的，细致观察题目中数学结构、形式上的特点，通过分析、联想、类比接触过的数学模型，寻找灵感构造具体的数学模型.方法四 构造模型法15.如图，已知球O的球面上有四点A，B，C，D，DA⊥平面ABC，AB⊥BC，DA＝AB＝BC＝ ，则球O的体积为________.解析 如图，以DA，AB，BC为棱长构造正方体，设正方体的外接球球O的半径为R，则正方体的体对角线长即为球O的直径.16.中国古代数学名著《张丘建算经》中记载：“今有马行转迟，次日减半，疾七日，行七百里”.其意思是：现有一匹马行走的速度逐渐变慢，每天走的里数是前一天的一半，连续行走7天，共走了700里.若该匹马按此规律继续行走7天，则它这14天内所
走的总路程为________里.解析 由题意，该匹马每日所行路程构成等比数列{an}，17.已知x，y∈R，则(x＋y)2＋ 2的最小值为________.418.已知奇函数f(x)的定义域为{x|x∈R且x≠0}，f(－2)＝0，若对任意的x1>x2>0，都有x1f(x2)x2>0，所以g(x)在区间(0，＋∞)上单调递增，
因为f(x)为奇函数，所以g(x)在区间(－∞，0)上单调递减，
且g(－2)＝g(2)＝0.解得x<－2或0 填空题具有小巧灵活、结构简单、运算量不大等特点.在高考中，填空题的题量较大，共同特点是不管过程，只要结果.因此解答这类题目除直接法外，还要掌握一些解题的基本策略，避免“小题大做”.解题基本策略是：充分利用题目提供的信息作出判断.先定性后定量，先特殊后推理，先间接后直接，提高解题速度.
方法一 直接法
直接从题设条件出发，运用有关概念、性质、定理、法则和公式等知识，结合有关性质或结论，有意识地采取灵活、简捷的解法解决问题.
1．已知集合A＝{x|x<1}，B＝{x|log3x<0}，则A∩B＝________.
答案 {x|0解析 由log3x<0解得0所以A∩B＝{x|02．已知a，b均为正实数，且a＋b＝3，则＋的最小值为________．
答案
解析 因为a，b均为正实数，所以＋＝·(a＋b)＝＋≥＋＝(当且仅当a＝b时等号成立)，
即＋的最小值为.
3．(2019·南通基地密卷)已知e1，e2是夹角为60°的两个单位向量，a＝3e1＋2e2，b＝2e1－ke2(k∈R)，且a·(a－b)＝8，则实数k的值为________．
答案 －
解析 a＝3e1＋2e2，a－b＝e1＋(2＋k)e2，则a·(a－b)＝(3e1＋2e2)·[e1＋(2＋k)e2]＝3e＋[2＋3(2＋k)]e1·e2＋2(2＋k)e＝3＋[2＋3(2＋k)]cos 60°＋2(2＋k)＝8，解得k＝－.
4．若抛物线y2＝4x上的点M到焦点的距离为10，则点M到y轴的距离是________．
答案 9
解析 设点M的横坐标为x0，准线方程为x＝－1，
∵点M到焦点的距离为10，
根据抛物线定义得x0＋1＝10，
∴x0＝9，因此点M到y轴的距离为9.
5．已知抛物线C1：y2＝4x的焦点为F，点P为抛物线上一点，且PF＝3，双曲线C2：－＝1(a>0，b>0)的渐近线恰好过P点，则双曲线C2的离心率为________．
答案
解析 设点P(x0，y0)，由抛物线定义得x0－(－1)＝3，
所以x0＝2.
又因为y＝4x0，得y0＝±2，即P(2，±2)．
又因为双曲线C2的渐近线过P点，所以＝＝，
故e＝＝＝.
方法二 特值、特例法
当题目已知条件中含有某些不确定的量，可将题中变化的不定量选取符合条件的恰当特殊情形?特殊函数、特殊角、特殊数列、特殊位置、特殊点、特殊方程、特殊模型等?进行处理，从而得出探求的结论.为保证答案的正确性，在利用此方法时，可以多取几个特例.
6．(2019·无锡天一中学月考)若函数f(x)＝2x＋是偶函数，则实数a＝________.
答案 1
解析 ∵ f(x)＝2x＋是偶函数，
∴f(－1)＝f(1)，
即2＋＝＋2a，
解得a＝1(经验证适合题意)．
7．cos2α＋cos2(α＋120°)＋cos2(α＋240°)的值为________．
答案
解析 令α＝0°，则原式＝cos20°＋cos2120°＋cos2240°＝.
8．如图所示，在△ABC中，AO是BC边上的中线，K为AO上一点，且＝2，过点K的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若＝m，＝n，则m＋n＝________.
答案 4
解析 可取特殊位置来解，当过点K的直线与BC平行时，MN就是△ABC的一条中位线，这时由于＝2，＝2，
因此m＝n＝2，故m＋n＝4.
9．如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱A1A和B1B上各有一动点P，Q满足A1P＝BQ，过P，Q，C三点的截面把棱柱分成两部分，则其上下两部分体积之比为________．
答案 2∶1
解析 将P，Q置于特殊位置：P→A1，Q→B，此时仍满足条件A1P＝BQ，则有VP－ABC＝＝.
剩余部分的体积为，所以截后两部分的体积比为2∶1.
10．设坐标原点为O，抛物线y2＝2x，过焦点的直线l交该抛物线于A，B两点，则·＝________.
答案 －
解析 本题隐含条件是·的值为定值，所以·的值与直线l的倾斜角无关，所以取直线l：x＝，
不妨令A点在x轴上方．
由
可得A，B，
于是·＝－1＝－.
方法三 数形结合法
有些题目条件中的式子或关系具有明显的几何意义，我们可以作出函数的图象或几何图形，借助于图象或图形的性质、特征，得出结论.
11．设s，t是不相等的两个正数，且s＋sln t＝t＋tln s，则s＋t－st的取值范围为________．
答案 (1，＋∞)
解析 由已知s＋sln t＝t＋tln s，
可得＝.
设f(x)＝(x>0)，
则f′(x)＝.
当x∈(0,1)时，f′(x)>0，函数f(x)为增函数；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)<0，函数f(x)为减函数．如图，作出函数f(x)的图象，由题意知f(s)＝f(t)，所以s，t为方程f(x)＝m的两个不同的解．不妨设s>t，则00，所以s＋t－st>1.
12．已知函数f(x)＝关于x的方程f(x)＝m(m∈R)有四个不同的实数解x1，x2，x3，x4，则x1x2x3x4的取值范围为________．
答案 (0,1)
解析 函数f(x)＝的图象如图所示，关于x的方程f(x)＝m恰有四个互不相等的实根x1，x2，x3，x4，即函数y＝f(x)的图象与直线y＝m有四个不同的交点，则00时，由对数函数的性质知，log2x3＝－log2x4，x3x4＝1，当x<0时，由y＝－x2－2x的对称性知，x1＋x2＝－2，又x1－x2>0，(－x1)＋(－x2)＝2，所以0所以013．已知函数f(x)＝方程f(x)－a＝0有四个不同的根，记最大的根的所有取值为集合D，若函数F(x)＝f(x)－kx(x∈D)有零点，则k的取值范围是________．
答案
解析 作出函数f(x)＝的图象如图，
由图可知D＝{x|2函数F(x)＝f(x)－kx(x∈D)有零点，
即方程f(x)＝kx有根，即y＝kx的图象与y＝f(x)的图象在(2,4]上有交点，
则k的最小值为，
设过原点的直线与y＝log2x的切点为(x0，log2x0)，
由y′＝，
得k＝，
则切线方程为y－log2x0＝(x－x0)，
把(0,0)代入，可得－log2x0＝－，
即x0＝e，
∴切线斜率为，即为k的最大值，
∴k的取值范围是.
14．已知函数f(x)＝若集合A＝{x∈Z|x[f(x)－m]≥0}中有且仅有4个元素，则整数m的个数为________．
答案 34
解析 ∵x＝0∈A，∴符合条件的整数根，除零外有且只有三个即可．
画出f(x)的图象如图．
当x＞0时，f(x)≥m；当x＜0时，m≥f(x)．
即y轴左侧的图象在y＝m下面，y轴右侧的图象在y＝m上面，
∵f(3)＝－3×9＋18＝－9，f(4)＝－3×16＋24＝－24，
f(－3)＝－(－3)3－3×(－3)2＋4＝4，
f(－4)＝－(－4)3－3×(－4)2＋4＝20，
平移y＝m，由图可知：
当－24＜m≤－9时，A＝{1,2,3}，符合题意；
当m＝0时，A＝{－1,1,2}，符合题意；
当2≤m≤3时，A＝{1，－1，－2}，符合题意，
当4≤m＜20时，A＝{－1，－2，－3}，符合题意；
∴整数m的值为－23，－22，－21，－20，－19，－18，－17，－16，－15，－14，－13，－12，－11，－10，－9,0,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19，共34个.
方法四 构造模型法
构造模型法是由题目的条件和结论的特殊性构造出几何体、函数、向量等数学模型，然后在模型中进行推导与运算，达到快速解题的目的. 构造模型法是建立在观察联想、分析综合的基础之上的，细致观察题目中数学结构、形式上的特点，通过分析、联想、类比接触过的数学模型，寻找灵感构造具体的数学模型.
15．如图，已知球O的球面上有四点A，B，C，D，DA⊥平面ABC，AB⊥BC，DA＝AB＝BC＝，则球O的体积为________．
答案 π
解析 如图，以DA，AB，BC为棱长构造正方体，设正方体的外接球球O的半径为R，则正方体的体对角线长即为球O的直径．
∴CD＝＝2R，∴R＝，
故球O的体积V＝＝π.
16．中国古代数学名著《张丘建算经》中记载：“今有马行转迟，次日减半，疾七日，行七百里”．其意思是：现有一匹马行走的速度逐渐变慢，每天走的里数是前一天的一半，连续行走7天，共走了700里．若该匹马按此规律继续行走7天，则它这14天内所走的总路程为________里．
答案
解析 由题意，该匹马每日所行路程构成等比数列{an}，其中首项为a1，公比q＝，S7＝700,
则700＝，
解得a1＝，
那么S14＝＝.
17．已知x，y∈R，则(x＋y)2＋2的最小值为________．
答案 4
解析 构造函数y1＝x，y2＝－，则(x，x)与两点分别在两个函数图象上，故所求可看成是两点(x，x)与之间的距离平方，
令?x2＋mx＋2＝0?Δ＝m2－8＝0?m＝2，
所以y＝x＋2是与y1＝x平行的y2＝－的切线，故最小距离为d＝2，
所以(x＋y)2＋2的最小值为4.
18．已知奇函数f(x)的定义域为{x|x∈R且x≠0}，f(－2)＝0，若对任意的x1>x2>0，都有x1f(x2)答案 (－∞，－2)∪(0,2)
解析 设g(x)＝(x≠0)，
由题意得对?x1>x2>0，
都有>，
所以g(x)在区间(0，＋∞)上单调递增，
因为f(x)为奇函数，
所以g(x)＝为偶函数，
所以g(x)在区间(－∞，0)上单调递减，
且g(－2)＝g(2)＝0.
由f(x)<0得或
解得x<－2或019．已知直线l⊥平面α，垂足为O.在矩形ABCD中，AD＝1，AB＝2，若点A在l上移动，点B在平面α上移动，则O，D两点间的最大距离为______________．
答案 ＋1
解析 设AB的中点为E，易知OE＝1，则E点的轨迹是球面的一部分，DE＝，
所以OD≤OE＋ED＝＋1.
当且仅当O，E，D三点共线时等号成立．
