课件25张PPT。第4练
走进数学文化第一篇 教育部考试中心函件《关于2017年普通高考考试大纲修订内容的通知》要求“增加中华优秀传统文化的考核内容，积极培育和践行社会主义核心价值观，充分发挥高考命题的育人功能和积极导向作用.比如，在数学中增加数学文化的内容”.近几年的高考题也证明的确有这样的题目，因此，我们特别策划了本专题，能够为广大师生二轮复习备考提供帮助.方法技巧 (1)和算法结合的数学文化，要读懂流程图，按流程图依次执行.
(2)数学文化中蕴含的数列问题，要寻找数列前几项，寻找规律，抽象出数列模型.考点一 算法、数列中的数学文化1.角谷猜想是日本著名学者谷静夫提出的极简单规则：对任何一个正整数进行变换，最终会陷入“4－2－1”的死循环，如下流程图示意了角谷猜想，则输出的i＝________.解析 由流程图可知，角谷猜想为：正整数按照如下规则变化：若为偶数，则除以2，
若为奇数，则3倍加1，如此循环，若干步后为1.
则有：3→10→5→16→8→4→2→1，则输出的i＝7.72.如图所示的流程图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该流程图，若输入的a，b分别为14,18，则输出的a为________.解析 由题意可知输出的a是18,14的最大公约数2.23.我国古代数学典籍《九章算术》“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚十尺，两鼠对穿，初日各一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问几何日相逢？”上述问题中，两鼠在第________天相逢.4解析 由题意可知，大老鼠每天打洞的距离是以1为首项，以2为公比的等比数列，即两鼠在第4天相逢.4.天坛公园是明、清两代皇帝“祭天”“祈谷”的场所.天坛公园中的圜丘台共有三层(如图1所示)，上层坛的中心是一块呈圆形的大理石板，从中心向外围以扇面形石铺成(如图2所示).上层坛从第一环至第九环共有九环，中层坛从第十环至第十八环共有九环，下层坛从第十九环至第二十七环共有九环；第一环的扇面形石有9块，从第二环起，每环的扇面形石块数比前一环多9块，则第二十七环的扇面形石块数是________；上、中、下三层坛所有的扇面形石块数是________.2433 402解析 第一环的扇面形石有9块，从第二环起，每环的扇面形石块数比前一环多9块，
则依题意得每环的扇面形石块数是一个以9为首项，9为公差的等差数列，
所以，an＝9＋(n－1)×9＝9n，
所以，a27＝9×27＝243，方法技巧 从题目叙述中分析蕴含的图形及数量关系，通过分析图形特征建立数学模型，转化为三角函数或几何问题.考点二 三角函数、几何中的数学文化5.如图是我国古代数学家赵爽的弦图，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如果小正方形的面积为4，大正方形的面积为100，直角三角形中较小的锐角为α，
则tan α＝________.解析 由题意得，大正方形的边长为10，小正方形的边长为 2，解析 设AC＝x，AB＝2x，所以△ABC的面积的最大值为12，7.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有仓，广三丈，袤四丈五尺，容粟一万斛.”翻译过来就是：有一个长方体的粮仓，宽三丈，长四丈五尺，可装粟一万斛，已知1斛粟的体积为2.7立方尺，一丈为十尺，则该粮仓的表面积为________平方丈.57解析 长方体粮仓如图所示，以丈为单位，
则AD＝3，AB＝4.5，
又V＝10 000×2.7×10－3＝27，故所求表面积S＝2×(3×4.5＋3×2＋2×4.5)＝57(平方丈).8.(2019·全国Ⅱ)中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一.印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”(图1).半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美.图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1.则该半正多面体共有________个面，其棱长为__________.26解析 依题意知，题中的半正多面体的上、下、左、右、前、后6个面都在正方体的表面上，
且该半正多面体的表面由18个正方形，8个正三角形组成，
因此题中的半正多面体共有26个面.
注意到该半正多面体的俯视图的轮廓是一个正八边形，
设题中的半正多面体的棱长为x，方法技巧 (1)概率与数学文化的结合，特别是几何概型与数学文化的结合是常考的内容，关键是掌握几何概型的求解方法.
(2)推理证明与数学文化结合，要根据已知条件进行逻辑推理，得到相应的结论.考点三 概率、推理证明的数学文化9.青朱出入图(图1)是东汉末年数学家刘徽根据“割补术”运用数形关系证明勾股定理引入的图形，该图中的两个青入的三角形分别与两个青出的三角形全等，朱入与朱出的三角形全等，朱方与青方是两个正方形，为便于叙述，将其绘成图2，若E是正方形ABCD的边AB的中点，在图2中随机取一点，则该点取自阴影部分的概率为
________.解析 设正方形ABCD的边长为4，
因为E是AB的中点，所以AB＝4，BE＝2，
由题意可得AE＝BE＝FK＝DG＝DK＝DJ＝CJ＝2，AL＝LK＝HI＝IJ＝1，10.(2019·全国Ⅰ改编)我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化，每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“ ”和阴爻“— —”，如图就是一
重卦，在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是________.解析 由6个爻组成的重卦种数为26＝64，在所有重卦中随机取一重卦，11.我国的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方：将1,2，…，9填入3×3的方格内，使三行、三列、两对角线的三个数之和都等于15 (如图).一般地，将连续的正整数1,2,3，…， n2填入n×n的方格内，使得每行、每列、每条对角线上的数的和相等，这个正方形就叫做n阶幻方.记n阶幻方的一条对角线上数的和为Nn (如：在3阶幻方中，N3＝15)，则N10＝________.505∵n阶幻方共有n行，12.庙会是我国古老的传统民俗文化活动，又称“庙市”或 “节场”.庙会大多在春节、元宵节等节日举行.庙会上有丰富多彩的文化娱乐活动，如“砸金蛋”(游玩者每次砸碎一颗金蛋，如果有奖品，则“中奖”).今年春节期间，某校甲、乙、丙、丁四位同学相约来到某庙会，每人均获得砸一颗金蛋的机会.游戏开始前，甲、乙、丙、丁四位同学对游戏中奖结果进行了预测，预测结果如下：
甲说：“我或乙能中奖”； 乙说：“丁能中奖”；
丙说：“我或乙能中奖”； 丁说：“甲不能中奖”.
游戏结束后，这四位同学中只有一位同学中奖，且只有一位同学的预测结果是正确的，则中奖的同学是________.甲解析 由四人的预测可得下表：由分析可知，中奖者是甲. 本课结束 第一篇 第4练 走进数学文化
教育部考试中心函件《关于2017年普通高考考试大纲修订内容的通知》要求“增加中华优秀传统文化的考核内容，积极培育和践行社会主义核心价值观，充分发挥高考命题的育人功能和积极导向作用.比如，在数学中增加数学文化的内容”.近几年的高考题也证明的确有这样的题目，因此，我们特别策划了本专题，能够为广大师生二轮复习备考提供帮助.
考点一 算法、数列中的数学文化
方法技巧 (1)和算法结合的数学文化，要读懂流程图，按流程图依次执行．
(2)数学文化中蕴含的数列问题，要寻找数列前几项，寻找规律，抽象出数列模型．
1．角谷猜想是日本著名学者谷静夫提出的极简单规则：对任何一个正整数进行变换，最终会陷入“4－2－1”的死循环，如下流程图示意了角谷猜想，则输出的i＝________.
答案 7
解析 由流程图可知，角谷猜想为：正整数按照如下规则变化：若为偶数，则除以2，若为奇数，则3倍加1，如此循环，若干步后为1.则有：3→10→5→16→8→4→2→1，则输出的i＝7.
2．如图所示的流程图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该流程图，若输入的a，b分别为14,18，则输出的a为________．
答案 2
解析 由题意可知输出的a是18,14的最大公约数2.
3．我国古代数学典籍《九章算术》“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚十尺，两鼠对穿，初日各一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问几何日相逢？”上述问题中，两鼠在第________天相逢．
答案 4
解析 由题意可知，大老鼠每天打洞的距离是以1为首项，以2为公比的等比数列，
前n天打洞的距离之和为＝2n－1；
同理，小老鼠前n天打洞的距离之和为
＝2－，
∴2n－1＋2－＝10，解得n∈(3,4)，取n＝4.
即两鼠在第4天相逢．
4．天坛公园是明、清两代皇帝“祭天”“祈谷”的场所．天坛公园中的圜丘台共有三层(如图1所示)，上层坛的中心是一块呈圆形的大理石板，从中心向外围以扇面形石铺成(如图2所示)．上层坛从第一环至第九环共有九环，中层坛从第十环至第十八环共有九环，下层坛从第十九环至第二十七环共有九环；第一环的扇面形石有9块，从第二环起，每环的扇面形石块数比前一环多9块，则第二十七环的扇面形石块数是________；上、中、下三层坛所有的扇面形石块数是________．
答案 243 3 402
解析 第一环的扇面形石有9块，从第二环起，每环的扇面形石块数比前一环多9块，
则依题意得每环的扇面形石块数是一个以9为首项，9为公差的等差数列，
所以，an＝9＋(n－1)×9＝9n，
所以，a27＝9×27＝243，
前27项和为S27＝＝＝3 402.
考点二 三角函数、几何中的数学文化
方法技巧 从题目叙述中分析蕴含的图形及数量关系，通过分析图形特征建立数学模型，转化为三角函数或几何问题．
5.如图是我国古代数学家赵爽的弦图，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如果小正方形的面积为4，大正方形的面积为100，直角三角形中较小的锐角为α，则tan α＝________.
答案
解析 由题意得，大正方形的边长为10，小正方形的边长为 2，∴2＝10cos α－10sin α，∴cos α－sin α＝，
又α为锐角，易求得tan α＝.
6．在古希腊数学家海伦的著作《测地术》中记载了著名的海伦公式，利用三角形的三边长求三角形的面积．若三角形的三边分别为a，b，c，则其面积S＝，这里p＝.已知在△ABC中，BC＝6，AB＝2AC，则当△ABC的面积最大时，sin A＝________.
答案
解析 设AC＝x，AB＝2x，由三角形三边关系得解得2则由海伦公式得
S＝
＝
＝
≤·＝12，
当且仅当x2－4＝36－x2，即x＝2，即AC＝2，AB＝4时不等式取等号．
所以△ABC的面积的最大值为12，此时由余弦定理得
cos A＝＝，
故sin A＝＝.
7．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有仓，广三丈，袤四丈五尺，容粟一万斛．”翻译过来就是：有一个长方体的粮仓，宽三丈，长四丈五尺，可装粟一万斛，已知1斛粟的体积为2.7立方尺，一丈为十尺，则该粮仓的表面积为________平方丈．
答案 57
解析 长方体粮仓如图所示，以丈为单位，
则AD＝3，AB＝4.5，
又V＝10 000×2.7×10－3＝27，
所以AA1＝＝＝2.
故所求表面积S＝2×(3×4.5＋3×2＋2×4.5)＝57(平方丈)．
8．(2019·全国Ⅱ)中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”(图1)．半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体．半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1.则该半正多面体共有________个面，其棱长为________．
答案 26 －1
解析 依题意知，题中的半正多面体的上、下、左、右、前、后6个面都在正方体的表面上，且该半正多面体的表面由18个正方形，8个正三角形组成，因此题中的半正多面体共有26个面．注意到该半正多面体的俯视图的轮廓是一个正八边形，设题中的半正多面体的棱长为x，则x＋x＋x＝1，解得x＝－1，故题中的半正多面体的棱长为－1.
考点三 概率、推理证明的数学文化
方法技巧 (1)概率与数学文化的结合，特别是几何概型与数学文化的结合是常考的内容，关键是掌握几何概型的求解方法．
(2)推理证明与数学文化结合，要根据已知条件进行逻辑推理，得到相应的结论．
9．青朱出入图(图1)是东汉末年数学家刘徽根据“割补术”运用数形关系证明勾股定理引入的图形，该图中的两个青入的三角形分别与两个青出的三角形全等，朱入与朱出的三角形全等，朱方与青方是两个正方形，为便于叙述，将其绘成图2，若E是正方形ABCD的边AB的中点，在图2中随机取一点，则该点取自阴影部分的概率为________．
答案
解析 设正方形ABCD的边长为4，因为E是AB的中点，所以AB＝4，BE＝2，由题意可得AE＝BE＝FK＝DG＝DK＝DJ＝CJ＝2，AL＝LK＝HI＝IJ＝1，所以整个图形的面积S＝4×4＋×1×2＋22＋×5×2＝26.阴影部分的面积S1＝4×4－×1×2－×2×4＋×(1＋2)×2＝14.由几何概型的概率计算公式得所求事件的概率P＝＝＝.
10.(2019·全国Ⅰ改编)我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化，每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“”和阴爻“— —”，如图就是一重卦，在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是________．
答案
解析 由6个爻组成的重卦种数为26＝64，在所有重卦中随机取一重卦，该重卦恰有3个阳爻的种数为C＝＝20.根据古典概型的概率计算公式得，所求概率P＝＝.
11．我国的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方：将1,2，…，9填入3×3的方格内，使三行、三列、两对角线的三个数之和都等于15 (如图)．一般地，将连续的正整数1,2,3，…， n2填入n×n的方格内，使得每行、每列、每条对角线上的数的和相等，这个正方形就叫做n阶幻方．记n阶幻方的一条对角线上数的和为Nn (如：在3阶幻方中，N3＝15)，则N10＝________.
答案 505
解析 n阶幻方共有n2个数，其和为1＋2＋…＋n2＝，
∵n阶幻方共有n行，
∴每行的和为＝，
即Nn＝，
∴N10＝＝505.
12．庙会是我国古老的传统民俗文化活动，又称“庙市”或 “节场”．庙会大多在春节、元宵节等节日举行．庙会上有丰富多彩的文化娱乐活动，如“砸金蛋”(游玩者每次砸碎一颗金蛋，如果有奖品，则“中奖”)．今年春节期间，某校甲、乙、丙、丁四位同学相约来到某庙会，每人均获得砸一颗金蛋的机会．游戏开始前，甲、乙、丙、丁四位同学对游戏中奖结果进行了预测，预测结果如下：
甲说：“我或乙能中奖”； 乙说：“丁能中奖”；
丙说：“我或乙能中奖”； 丁说：“甲不能中奖”．
游戏结束后，这四位同学中只有一位同学中奖，且只有一位同学的预测结果是正确的，则中奖的同学是________．
答案 甲
解析 由四人的预测可得下表：
中奖人
预测结果
甲
乙
丙
丁
甲
√
×
×
×
乙
√
×
√
√
丙
×
×
√
√
丁
×
√
×
√
由分析可知，中奖者是甲．
