课件35张PPT。第5练
集合与常用逻辑用语第二篇 明晰考情 1.集合是高考每年必考点，主要考查集合的关系与运算，送分题.
2.命题的真假判断、命题的否定、充分必要条件在高考中偶有考查，难度不大.题组对点练栏目索引易错易混练押题冲刺练要点重组 (1)若集合A中含有n个元素，则集合A有2n个子集，2n－1个真子集.
(2)A∩B＝A?A?B?A∪B＝B.题组对点练题组一 集合与运算1.(2019·江苏)已知集合A＝{－1,0,1,6}，B＝{x|x>0，x∈R}，则A∩B＝________.解析 由交集定义可得A∩B＝{1,6}.{1,6}2.(2018·全国Ⅱ改编)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤3，x∈Z，y∈Z}，则A中元素的个数为________.解析 将满足x2＋y2≤3的整数x，y全部列举出来，即(－1，－1)，(－1,0)，(－1,1)，(0，－1)，(0,0)，(0,1)，(1，－1)，(1,0)，(1,1)，共有9个.9解析 A＝{x|x≤2}，B＝{x|x>－2}，
∴A∩B＝{x|－21或x≤0}，N＝{y|y＋2＝x2}，则M∩N＝_________________.解析 M＝{x|x>1或x≤0}，N＝{y|y≥－2}，
∴M∩N＝{x|x>1或－2≤x≤0}.{x|x>1或－2≤x≤0}题组二 命题的真假判断及量词要点重组 (1)四种命题的真假关系：互为逆否命题的两个命题具有相同的真假性.
(2)含逻辑联结词的命题的真假判断规律：p∧q：一假即假；p∨q：一真即真；p和綈p：真假相反.
(3)?x∈M，p(x) ?x∈M，綈p(x)，简记：改量词，否结论.5.已知命题p：?x>1，log2x≥0，则綈p是________________.解析 因为全称命题的否定是存在性命题，所以綈p：?x>1，log2x<0.?x>1，log2x<06.下列有关命题的说法正确的是________.(请填写所有正确的命题序号)
①命题“若x2＝1，则x＝1”的否命题为“若x2＝1，则x≠1”；
②命题“若x＝y，则sin x＝sin y”的逆否命题为真命题；
③已知x>0时，(x－1)f′(x)<0，若△ABC是锐角三角形时，则f(sin A)>f(cos B).解析 对于①，命题“若x2＝1，则x＝1”的否命题是“若x2≠1，则x≠1”，故错误；
对于②，命题“若x＝y，则sin x＝sin y”是真命题，则它的逆否命题也是真命题，故正确；
对于③，x>0时，(x－1)f′(x)<0，则f(x)在(0,1)上是增函数；②③这四个命题中，所有真命题的编号是________.①③解析 方法一 画出可行域如图中阴影部分(含边界)所示.
目标函数z＝2x＋y是一条平行移动的直线，且z的几何意义是直线z＝2x＋y在y轴上的截距.
显然，当直线过点A(2,4)时，zmin＝2×2＋4＝8，
即z＝2x＋y≥8.
∴2x＋y∈[8，＋∞).
由此得命题p：?(x，y)∈D,2x＋y≥9正确；
命题q：?(x，y)∈D,2x＋y≤12不正确.
∴①③真，②④假.且满足2x＋y≥9，不满足2x＋y≤12，故p真，q假.
∴①③真，②④假.题组三 充要条件要点重组 充要条件判定的三种方法
(1)定义法：定条件，找推式(条件间的推出关系)，下结论.
(2)集合法：根据集合间的包含关系判定.
(3)等价转换法：根据逆否命题的等价性判定.9.若“0∵(0,1)?[a，a＋2]，[－1,0]10.设命题p：f(x)＝ln x＋2x2＋mx＋1在(0，＋∞)内单调递增，命题q：m≥－5，则p是q的_____________条件.即p：m≥－4.所以p是q的充分不必要条件.充分不必要充要∵点A，B，C不共线，
∴线段AB，BC，AC构成一个△ABC，设内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，即c2＋b2＋2bc·cos A>c2＋b2－2bc·cos A，
∴cos A>0，又A，B，C三点不共线，12.设命题p：|4x－3|≤1，命题q：x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0，若綈p是綈q的必要不充
分条件，则实数a的取值范围是______________.q：x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0，∴a≤x≤a＋1，
由题意知p是q的充分不必要条件，易错易混练1.设命题p：?x<0，x2≥1，则綈p为____________.?x<0，x2<1解析 綈p为：?x<0，x2<1.易错提醒 在对含有全称量词或存在量词的命题进行否定时，要先对全称量词或存在量词进行否定；全称量词的否定为存在量词，存在量词的否定为全称量词，然后对结论进行否定.简记为：改量词，否结论.而其否命题既要否定条件又要否定结论，其逆否命题是既要否定条件又要否定结论，同时还要交换条件和结论.2.设命题p：函数f(x)＝x3－ax－1在区间[－1,1]上单调递减；命题q：函数y＝ln(x2＋ax＋1)的值域是R.如果命题p或q为真命题，p且q为假命题，则实数a的取值范围是__________________.(－∞，－2]∪[2,3)解析 若p为真命题，则f′(x)＝3x2－a≤0在区间[－1，1]上恒成立，
即a≥3x2在[－1,1]上恒成立，所以a≥3.若q为真命题，
则方程x2＋ax＋1＝0的根的判别式Δ＝a2－4≥0恒成立，即a≤－2或a≥2.
由题意，得p真q假或p假q真.即a≤－2或2≤a<3.
综上所述，a∈(－∞，－2]∪[2,3).易错提醒 本题求参数范围时，可能考虑不全面，忽视某种情况，参数范围的临界值能否取到也是易错点.1.(2019·苏北三市质检)已知集合A＝{0,1,2,3}，B＝{x|0所以B＝{x|－a≤x<4－a}，解得2≤a≤3.123456必要不充分4.下列命题错误的是________.(填序号)
①命题“若xy＝0，则x＝0”的否命题为：“若xy＝0，则x≠0”；
②命题“?x∈R，使得2x2－1<0”的否定是：“?x∈R,2x2－1<0”；
③“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题为真命题；
④命题“若cos x＝cos y，则x＝y”的逆否命题为真命题.解析 对于①，命题“若xy＝0，则x＝0”的否命题为“若xy≠0，则x≠0”，否命题是条件和结论的双重否定，故①错误；
对于②，命题“?x∈R，使得2x2－1<0”的否定是“?x∈R,2x2－1≥0”，故②错误；
③的逆命题为真命题，故③正确；
④的原命题是假命题，则逆否命题也是假命题，故④错误.
综上，错误的命题是①②④.123456①②④5.已知曲线F(x，y)＝0关于x轴、y轴和直线y＝x均对称，设集合S＝{(x，y)|F(x，y)＝0，x∈Z，y∈Z}.下列命题：
①若(1,2)∈S，则(－2，－1)∈S；
②若(0,2)∈S，则S中至少有4个元素；
③S中元素的个数一定为偶数；
④若{(x，y)|y2＝4x，x∈Z，y∈Z}?S，则{(x，y)|x2＝－4y，x∈Z，y∈Z}?S.
其中正确命题的序号为________.(写出所有正确命题的序号)123456①②④解析 ①若(1,2)∈S，则(1,2)关于y＝x对称的点(2,1)∈S，点(2,1)关于x轴对称的点(2，－1)∈S，点(2，－1)关于y轴对称的点(－2，－1)∈S，故①正确；
②若(0,2)∈S，关于x轴对称的点(0，－2)∈S，关于y＝x对称的点(2,0)∈S，(－2,0)∈S，此时S中至少有4个元素，故②正确；
③若(0,0)∈S，则(0,0)关于x轴，y轴，y＝x对称的点是自身，此时S中元素的个数为奇数个，故③错误；
④若{(x，y)|y2＝4x，x∈Z，y∈Z}?S，则关于y对称的集合为{(x，y)|y2＝－4x，x∈Z，y∈Z}?S, 从而{(x，y)|y2＝－4x，x∈Z，y∈Z}关于y＝x对称的集合{(x，y)|x2＝－4y，x∈Z，y∈Z}?S，故④正确，
故答案为①②④123456123456123456解析 由命题p真，可得0第5练 集合与常用逻辑用语
[明晰考情] 1.集合是高考每年必考点，主要考查集合的关系与运算，送分题.2.命题的真假判断、命题的否定、充分必要条件在高考中偶有考查，难度不大．
题组一 集合与运算
要点重组 (1)若集合A中含有n个元素，则集合A有2n个子集，2n－1个真子集．
(2)A∩B＝A?A?B?A∪B＝B.
1．(2019·江苏)已知集合A＝{－1,0,1,6}，B＝{x|x>0，x∈R}，则A∩B＝________.
答案 {1,6}
解析 由交集定义可得A∩B＝{1,6}．
2．(2018·全国Ⅱ改编)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤3，x∈Z，y∈Z}，则A中元素的个数为________．
答案 9
解析 将满足x2＋y2≤3的整数x，y全部列举出来，即(－1，－1)，(－1,0)，(－1,1)，
(0，－1)，(0,0)，(0,1)，(1，－1)，(1,0)，(1,1)，共有9个．
3．已知集合A＝{x|y＝}，B＝，则A∩B＝________.
答案 (－2,2]
解析 A＝{x|x≤2}，B＝{x|x>－2}，
∴A∩B＝{x|－24．已知集合M＝{x|x>1或x≤0}，N＝{y|y＋2＝x2}，则M∩N＝________.
答案 {x|x>1或－2≤x≤0}
解析 M＝{x|x>1或x≤0}，N＝{y|y≥－2}，
∴M∩N＝{x|x>1或－2≤x≤0}．
题组二 命题的真假判断及量词
要点重组 (1)四种命题的真假关系：互为逆否命题的两个命题具有相同的真假性．
(2)含逻辑联结词的命题的真假判断规律：p∧q：一假即假；p∨q：一真即真；p和綈p：真假相反．
(3)?x∈M，p(x)?x∈M，綈p(x)，简记：改量词，否结论．
5．已知命题p：?x>1，log2x≥0，则綈p是________．
答案 ?x>1，log2x<0
解析 因为全称命题的否定是存在性命题，所以綈p：?x>1，log2x<0.
6．下列有关命题的说法正确的是________．(请填写所有正确的命题序号)
①命题“若x2＝1，则x＝1”的否命题为“若x2＝1，则x≠1”；
②命题“若x＝y，则sin x＝sin y”的逆否命题为真命题；
③已知x>0时，(x－1)f′(x)<0，若△ABC是锐角三角形时，则f(sin A)>f(cos B)．
答案 ②③
解析 对于①，命题“若x2＝1，则x＝1”的否命题是“若x2≠1，则x≠1”，故错误；
对于②，命题“若x＝y，则sin x＝sin y”是真命题，则它的逆否命题也是真命题，故正确；
对于③，x>0时，(x－1)f′(x)<0，则f(x)在(0,1)上是增函数；
当△ABC是锐角三角形时，A＋B>，
即A>－B，
所以sin A>sin＝cos B，则f(sin A)>f(cos B)，故正确．故答案为②③.
7．命题“?x∈[1,2]，x＋>2a”是真命题，则实数a的取值范围为________．
答案
解析 设f(x)＝x＋，∵函数在区间[1,2]上是增函数，
∴f(x)max＝f(2)＝，
又“?x∈[1,2]，x＋＞2a”是真命题，
∴>2a，∴a<.
8．(2019·全国Ⅲ改编)记不等式组表示的平面区域为D.命题p：?(x，y)∈D,2x＋y≥9；命题q：?(x，y)∈D,2x＋y≤12.下面给出了四个命题：
①p∨q；②(綈p)∨q；③p∧(綈q)；④(綈p)∧(綈q)．
这四个命题中，所有真命题的编号是________．
答案 ①③
解析 方法一 画出可行域如图中阴影部分(含边界)所示．
目标函数z＝2x＋y是一条平行移动的直线，且z的几何意义是直线z＝2x＋y在y轴上的截距．
显然，当直线过点A(2,4)时，zmin＝2×2＋4＝8，
即z＝2x＋y≥8.
∴2x＋y∈[8，＋∞)．
由此得命题p：?(x，y)∈D,2x＋y≥9正确；
命题q：?(x，y)∈D,2x＋y≤12不正确．
∴①③真，②④假．
方法二 取x＝4，y＝5，满足不等式组且满足2x＋y≥9，不满足2x＋y≤12，故p真，q假．
∴①③真，②④假．
题组三 充要条件
要点重组 充要条件判定的三种方法
(1)定义法：定条件，找推式(条件间的推出关系)，下结论．
(2)集合法：根据集合间的包含关系判定．
(3)等价转换法：根据逆否命题的等价性判定．
9．若“0答案 [－1,0]
解析 由(x－a)[x－(a＋2)]≤0，得a≤x≤a＋2，
∵(0,1)?[a，a＋2]，
∴解得－1≤a≤0.
10．设命题p：f(x)＝ln x＋2x2＋mx＋1在(0，＋∞)内单调递增，命题q：m≥－5，则p是q的________条件．
答案 充分不必要
解析 f′(x)＝＋4x＋m(x>0)，
由f′(x)＝＋4x＋m≥0，得m≥－.因为＋4x≥2 ＝4，所以－≤－4，所以m≥－4，即p：m≥－4.所以p是q的充分不必要条件．
11．(2019·北京改编)设点A，B，C不共线，则“与的夹角为锐角”是“|＋|>||”的________条件．
答案 充要
解析 若|＋|>||，则|＋|2>||2，2＋2＋2·>||2，∵点A，B，C不共线，∴线段AB，BC，AC构成一个△ABC，设内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，则由平面向量的数量积公式及余弦定理可知，2＋2＋2·>||2，即c2＋b2＋2bc·cos A>c2＋b2－2bc·cos A，∴cos A>0，又A，B，C三点不共线，故与的夹角为锐角．反之，易得当与的夹角为锐角时，|＋|>||，∴“与的夹角为锐角”是“|＋|
>||”的充要条件．
12．设命题p：|4x－3|≤1，命题q：x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0，若綈p是綈q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是________．
答案
解析 p：|4x－3|≤1，∴≤x≤1.
q：x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0，∴a≤x≤a＋1，
由题意知p是q的充分不必要条件，
∴(等号不能同时成立)，∴0≤a≤.
1．设命题p：?x<0，x2≥1，则綈p为________．
答案 ?x<0，x2<1
解析 綈p为：?x<0，x2<1.
易错提醒 在对含有全称量词或存在量词的命题进行否定时，要先对全称量词或存在量词进行否定；全称量词的否定为存在量词，存在量词的否定为全称量词，然后对结论进行否定．简记为：改量词，否结论．而其否命题既要否定条件又要否定结论，其逆否命题是既要否定条件又要否定结论，同时还要交换条件和结论．
2．设命题p：函数f(x)＝x3－ax－1在区间[－1,1]上单调递减；命题q：函数y＝ln(x2＋ax＋1)的值域是R.如果命题p或q为真命题，p且q为假命题，则实数a的取值范围是________．
答案 (－∞，－2]∪[2,3)
解析 若p为真命题，则f′(x)＝3x2－a≤0在区间[－1，1]上恒成立，即a≥3x2在[－1,1]上恒成立，所以a≥3.若q为真命题，则方程x2＋ax＋1＝0的根的判别式Δ＝a2－4≥0恒成立，即a≤－2或a≥2.
由题意，得p真q假或p假q真．
当p真q假时，即a∈?；
当p假q真时，
即a≤－2或2≤a<3.
综上所述，a∈(－∞，－2]∪[2,3)．
易错提醒 本题求参数范围时，可能考虑不全面，忽视某种情况，参数范围的临界值能否取到也是易错点．
1．(2019·苏北三市质检)已知集合A＝{0,1,2,3}，B＝{x|0答案 {1,2}
2．集合A＝{x|－2答案 [2,3]
解析 由题意可知t∈(－2,1)，所以x＝t2－a∈[－a,4－a)，所以B＝{x|－a≤x<4－a}，由A?B，得
解得2≤a≤3.
3．(2019·江苏省如皋中学期中)“a＝b”是“＝”的________条件．
答案 必要不充分
解析 当a＝b时，＝不一定成立，如a＝b＝－1时，无意义；
反之，当＝时，a＝b一定成立．
所以“a＝b”是“＝”的必要不充分条件．
4．下列命题错误的是________．(填序号)
①命题“若xy＝0，则x＝0”的否命题为：“若xy＝0，则x≠0”；
②命题“?x∈R，使得2x2－1<0”的否定是：“?x∈R,2x2－1<0”；
③“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题为真命题；
④命题“若cos x＝cos y，则x＝y”的逆否命题为真命题．
答案 ①②④
解析 对于①，命题“若xy＝0，则x＝0”的否命题为“若xy≠0，则x≠0”，否命题是条件和结论的双重否定，故①错误；对于②，命题 “?x∈R，使得2x2－1<0”的否定是
“?x∈R,2x2－1≥0”，故②错误；③的逆命题为真命题，故③正确；④的原命题是假命题，则逆否命题也是假命题，故④错误．综上，错误的命题是①②④.
5．已知曲线F(x，y)＝0关于x轴、y轴和直线y＝x均对称，设集合S＝{(x，y)|F(x，y)＝0，x∈Z，y∈Z}．下列命题：
①若(1,2)∈S，则(－2，－1)∈S；
②若(0,2)∈S，则S中至少有4个元素；
③S中元素的个数一定为偶数；
④若{(x，y)|y2＝4x，x∈Z，y∈Z}?S，则{(x，y)|x2＝－4y，x∈Z，y∈Z}?S.
其中正确命题的序号为________．(写出所有正确命题的序号)
答案 ①②④
解析 ①若(1,2)∈S，则(1,2)关于y＝x对称的点(2,1)∈S，点(2,1)关于x轴对称的点(2，－1)∈S，点(2，－1)关于y轴对称的点(－2，－1)∈S，故①正确；
②若(0,2)∈S，关于x轴对称的点(0，－2)∈S，关于y＝x对称的点(2,0)∈S，(－2,0)∈S，此时S中至少有4个元素，故②正确；
③若(0,0)∈S，则(0,0)关于x轴，y轴，y＝x对称的点是自身，此时S中元素的个数为奇数个，故③错误；
④若{(x，y)|y2＝4x，x∈Z，y∈Z}?S，则关于y对称的集合为{(x，y)|y2＝－4x，x∈Z，y∈Z}?S,
从而{(x，y)|y2＝－4x，x∈Z，y∈Z}关于y＝x对称的集合{(x，y)|x2＝－4y，x∈Z，y∈Z}?S，故④正确，
故答案为①②④
6．已知c>0，且c≠1.设命题p：函数f(x)＝logcx为减函数．命题q：当x∈时，函数g(x)＝x＋>恒成立．如果p或q为真命题，p且q为假命题，那么实数c的取值范围为________________．
答案 ∪(1，＋∞)
解析 由命题p真，可得0∵当x∈时，g(x)min＝2，
∴由命题q真，可得<2，
解得c>.
由p或q为真命题，p且q为假命题知，p，q一真一假．
若p真q假，则01，
故实数c的取值范围是∪(1，＋∞)．
