课件32张PPT。第7练
概率统计与推理证明第二篇 明晰考情 1.抽样方法，总体估计和古典概型是高考的热点.
2.推理证明中的合情推理与演绎推理是B级考点，应引起重视.题组对点练栏目索引易错易混练押题冲刺练题组对点练题组一 随机抽样和总体估计方法技巧 (1)由频率分布直方图进行相关计算时，需掌握关系式： ＝频率，此关系式的变形为 ＝样本容量，样本容量×频率＝频数.
(2)总体估计的方法：用样本的数字特征估计总体的数字特征.
(3)图表判断法：若根据统计图表比较样本数据的大小，可根据数据的分布情况直观分析，大致判断平均数的范围，并利用数据的波动性大小比较方差(标准差)的大小.1.(2018·全国Ⅲ)某公司有大量客户，且不同年龄段客户对其服务的评价有较大差异.为了解客户的评价，该公司准备进行抽样调查，可供选择的抽样方法有简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，则最合适的抽样方法是__________.解析 因为客户数量大，且不同年龄段客户对其服务的评价有较大差异，
所以最合适的抽样方法是分层抽样.分层抽样2.对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计，得到样本的茎叶图(如图所示)，则该样本的中位数、众数、极差分别是________.解析 将数据按从小到大排序，位于中间的两位数为45和47，取其平均数可知中位数为46；由于45出现了3次，出现的次数最多，因此其众数为45；
总体中最大值为68，最小值为12，所以极差为68－12＝56.46,45,563.(2019·江苏)已知一组数据6,7,8,8,9,10，则该组数据的方差是______.4.(2019·盐城期末)某中学为了了解全校学生的阅读情况，在全校采用随机抽样的方法抽取一个样本进行问卷调查，并将他们在一个月内去图书馆的次数进行了统计，将学生去图书馆的次数分为5组：[0,4)，[4,8)，[8,12)，[12,16)，[16,20]制作了如图所示的频率分布表，则抽样总人数为________.20解析 前三组，即[0,4)，[4,8)，[8,12)三组的频率为1－(0.2＋0.1)＝0.7，题组二 古典概型与几何概型方法技巧 (1)求古典概型问题的两种方法：①转化为几个互斥事件的和，利用互斥事件的加法公式求解.
②要用间接法，利用对立事件的概率公式进行求解.
(2)几何概型问题解决的关键是确定区域的测度，注意区分长度与角度、面积与体积等一般所选对象的活动范围.5.有两张卡片，一张的正反面分别画着老鼠和小鸡，另一张的正反面分别画着老鹰和蛇.现在有个小孩随机地将两张卡片排在一起放在桌面上，不考虑顺序，则向上的图
案是老鹰和小鸡的概率是________.6.(2019·淮安测试)集合A＝{2,3}，B＝{1,2,3}，从A，B中各任意取一个数，则这两个
数之和等于4的概率是________.解析 集合A＝{2,3}，B＝{1,2,3}，从A，B中各任意取一个数有2×3＝6(种)，
其两数之和为4的情况有两种：2＋2，1＋3，7.已知圆C：x2＋y2＝1，直线l：y＝k(x＋2)，在[－1,1]上随机选取一个数k，则事件
“直线l与圆C相交”发生的概率为________.8.独具特色的中国古建筑凝聚了历代工匠们的智慧，与其他艺术门类(如书法、水墨画等)不同的是，在中国古建筑体系中，突出运用了严谨的“数学方法”和精妙的“数学之美”.图中的图案是我国古代建筑中的一种装饰图案，形若钱币，寓意富贵吉祥，现向该圆形区域随机撒m(m∈N*)粒芝麻，则落在阴影区域(阴影部分由四条四分之一圆弧围成)的芝麻的
粒数约为________.题组三 合情推理与演绎推理方法技巧 (1)归纳推理的思维步骤：发现共性，归纳猜想，结论验证.
(2)类比推理的思维步骤：观察比较，联想类推，猜测结论.
(3)新定义问题是演绎推理问题的重要形式，这类题目的解题思路：读懂新定义的含义，在领会新定义实质的基础上，将其应用在具体情境中进行演绎推理，得到新的结论.9.(2019·徐州模拟)在平面几何中，△ABC的∠C内角平分线CE分AB所成线段的比AE∶EB＝AC∶BC(如图所示)，把这个结论类比到空间：在三棱锥A－BCD中(如图所示)，平面DEC平分二面角A－CD－B且与AB相交于点E，则得到的结论是
___________________________.解析 在△ABC中，作ED⊥AC于D，EF⊥BC于F，
则ED＝EF，10.分别计算31＋51,32＋52,33＋53,34＋54,35＋55，…，并根据计算的结果，猜想32 019＋52 019的末位数字为________.2解析 由31＋51＝8,32＋52＝34,33＋53＝152,34＋54＝706,35＋55＝3 368,36＋56＝16 354,37＋57＝80 312,38＋58＝397 186…，可猜想3n＋5n(n∈N*)的结果的末位数字呈8,4,2,6循环.
∵2 019＝504×4＋3，∴32 019＋52 019的末位数字为2.11.现有五张相同的卡片，卡片上分别写有数字1,2,3,4,5，甲、乙两人分别从中各自随机抽取一张，然后根据自己手中卡片上的数字推测谁手中卡片上的数字更大.甲看了看自己手中卡片上的数字，想了想说：我不知道谁手中卡片上的数字更大；乙听了甲的判断后，看了看自己手中卡片上的数字，思索了一下说：我也不知道谁手中卡片上的数字更大.如果甲、乙所作出的推理都是正确的，那么乙手中卡片上的数字是________.解析 由题意得卡片上的5个数字是1,2,3,4,5.
因为甲说，我不知道谁手中卡片上的数字更大，所以手中卡片上的数字只能为2,3,4.
乙听了甲的判断后说，我也不知道谁手中卡片上的数字更大，
说明他手中卡片上的数字不可能是2,4，只能是3.312.如图，将平面直角坐标系的格点(横、纵坐标均为整数的点)按如下规则标上数字标签：原点处标0，点(1,0)处标1，点(1，－1)处标2，点(0，－1)处标3，点(－1，－1)处标4，点(－1,0)处标5，点(－1,1)处标6，点(0,1)处标7，以此类推，则标签2 0172的格点的坐标为_____________.解析 由图形规律可知，由0(记为第0圈)开始，
第n圈的正方形右上角标签为(2n＋1)2－1，坐标为(n，n)，
所以标签为2 0172的数字是标签为2 0172－1的右边一格，
标签为2 0172－1的坐标为(1 008,1 008)，
所以标签为2 0172的坐标为(1 009,1 008).(1 009,1 008)1.为了解某团战士的体重情况，采用随机抽样的方法.将样本体重数据整理后，画出了如图所示的频率分布直方图.已知图中从左到右前三个小组频率之比为1∶2∶3，第二小组频数为12，则全团共抽取人数为________.易错易混练解析 由题得频率分布直方图左边三组的频率和为1－5×(0.037 5＋0.012 5)＝0.75，48易错提醒 本题考查总体分布的估计，易错点在于频率分布直方图意义的理解，各个小矩形的面积是对应各组的频率.2.如图1是美丽的“勾股树”，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形.图2是第1代“勾股树”，图3是第2代“勾股树”，依此类推.已知“勾股树”中最大的正方形面积为1，则第n(n∈N*)代“勾股树”中正方形的个数和所有正方形的面积和分别为______________.2n＋1－1，n＋1解析 第1代“勾股树”中正方形的个数为1＋2＝3，面积的和为2；
第2代“勾股树”中正方形的个数为1＋2＋22＝7，面积的和为3；
第3代“勾股树”中正方形的个数为1＋2＋22＋23＝15，面积的和为4；
……
第n代“勾股树”中正方形的个数为1＋2＋22＋23＋…＋2n＝2n＋1－1，面积的和为n＋1.易错提醒 本题是归纳推理中的图形推理问题.求解此类问题易错的地方是弄不清题意，不能根据图形信息作出合理迁移，从而找不到变化规律，解决问题的关键是合理利用图形的数量关系、结构变化，通过归纳推理得出结论，并用赋值法检验.1.(2019·如皋调研)某中学高中部有三个年级，其中高一年级有学生400人，采用分层抽样法抽取一个容量为45的样本，高二年级抽取15人，高三年级抽取10人，那么高中部的学生人数为________.押题冲刺练123456900解析 因为抽取样本容量为45，且高二年级抽取15人，高三年级抽取10人，那么高一年级抽取45－15－10＝20人，设高中部学生人数为n，2.从向阳小区抽取100户居民进行月用电量调查，为制定阶梯电价提供数据，发现其用电量都在50到350度之间，制作频率分布直方图的工作人员粗心大意，位置t处未标明数据，你认为t＝________.123456解析 由题意得，50×(0.006＋t＋0.003 6＋0.002 4×2＋0.001 2)＝1，解得t＝0.004 4.0.004 4123456解析 依题意，圆的面积为S＝πr2，3.(2019·全国大联考江苏卷)如图，半径为r的圆O内有一内接正六边形ABCDEF，正六边形中的黑色部分和白色部分关于圆的圆心O成中心对称，在圆内随机取一点，则此
点取自阴影部分的概率为________.1234564.(2019·江苏)从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名
同学中至少有1名女同学的概率是________.解析 记3名男同学为A，B，C,2名女同学为a，b，则从中任选2名同学的情况有(A，B)，(A，C)，(A，a)，(A，b)，(B，C)，(B，a)，(B，b)，(C，a)，(C，b)，(a，b)，共10种，
其中至少有1名女同学的情况有(A，a)，(A，b)，(B，a)，(B，b)，(C，a)，(C，b)，(a，b)，共7种，5.给出下面四个类比结论：
①实数a，b，若ab＝0，则a＝0或b＝0；类比复数z1，z2，若z1·z2＝0，则z1＝0或z2＝0；
②实数a，b，若ab＝0，则a＝0或b＝0；类比向量a，b，若a·b＝0，则a＝0或b＝0；
④实数a，b，若a2＋b2＝0，则a＝b＝0；类比向量a，b，若a2＋b2＝0，则a＝b＝0.
其中类比结论正确的个数是________.1234562123456解析 ①显然正确；
②中若a⊥b，则a·b＝0，∴②错误；④中a2＝|a|2，b2＝|b|2，
若a2＋b2＝0，
则|a|＝|b|＝0，
∴a＝b＝0，∴④正确.
综上，正确结论的个数是2.1234566.(2019·江苏省扬州仪征中学考试)如图，在圆内画1条线段，将圆分成2部分；画2条相交线段，将圆分割成4部分；画3条线段，将圆最多分割成7部分；画4条线段，将
圆最多分割成11部分，则在圆内画n条线段，将圆最多分割成___________部分.123456解析 设n条线段将圆最多分成的部分数组成数列{an}，
则n＝1，a1＝1＋1，n＝2，a2＝a1＋2，
n＝3，a3＝a2＋3，n＝4，a4＝a3＋4，…，
归纳可得，an＝an－1＋n，n≥2，
以上式子相加整理得，当n＝1时，a1＝2也满足上式， 本课结束 第二篇 第7练 概率统计与推理证明
[明晰考情] 1.抽样方法，总体估计和古典概型是高考的热点.2.推理证明中的合情推理与演绎推理是B级考点，应引起重视．
题组一 随机抽样和总体估计
方法技巧 (1)由频率分布直方图进行相关计算时，需掌握关系式：＝频率，此关系式的变形为＝样本容量，样本容量×频率＝频数．
(2)总体估计的方法：用样本的数字特征估计总体的数字特征．
(3)图表判断法：若根据统计图表比较样本数据的大小，可根据数据的分布情况直观分析，大致判断平均数的范围，并利用数据的波动性大小比较方差(标准差)的大小．
1．(2018·全国Ⅲ)某公司有大量客户，且不同年龄段客户对其服务的评价有较大差异．为了解客户的评价，该公司准备进行抽样调查，可供选择的抽样方法有简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，则最合适的抽样方法是________．
答案 分层抽样
解析 因为客户数量大，且不同年龄段客户对其服务的评价有较大差异，所以最合适的抽样方法是分层抽样．
2.对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计，得到样本的茎叶图(如图所示)，则该样本的中位数、众数、极差分别是________．
答案 46,45,56
解析 将数据按从小到大排序，位于中间的两位数为45和47，取其平均数可知中位数为46；由于45出现了3次，出现的次数最多，因此其众数为45；
总体中最大值为68，最小值为12，所以极差为68－12＝56.
3．(2019·江苏)已知一组数据6,7,8,8,9,10，则该组数据的方差是_________________________．
答案
解析 数据6,7,8,8,9,10的平均数是＝8，则方差是＝.
4．(2019·盐城期末)某中学为了了解全校学生的阅读情况，在全校采用随机抽样的方法抽取一个样本进行问卷调查，并将他们在一个月内去图书馆的次数进行了统计，将学生去图书馆的次数分为5组：[0,4)，[4,8)，[8,12)，[12,16)，[16,20]制作了如图所示的频率分布表，则抽样总人数为________．
分组
人数
频率
[0,4)
2
[4,8)
3
[8,12)
9
[12,16)
0.2
[16,20]
0.1
答案 20
解析 前三组，即[0,4)，[4,8)，[8,12)三组的频率为1－(0.2＋0.1)＝0.7，＝0.7, 解得n＝20.
题组二 古典概型与几何概型
方法技巧 (1)求古典概型问题的两种方法：①转化为几个互斥事件的和，利用互斥事件的加法公式求解．
②要用间接法，利用对立事件的概率公式进行求解．
(2)几何概型问题解决的关键是确定区域的测度，注意区分长度与角度、面积与体积等一般所选对象的活动范围．
5．有两张卡片，一张的正反面分别画着老鼠和小鸡，另一张的正反面分别画着老鹰和蛇．现在有个小孩随机地将两张卡片排在一起放在桌面上，不考虑顺序，则向上的图案是老鹰和小鸡的概率是________．
答案
解析 向上的图案为鼠鹰、鼠蛇、鸡鹰、鸡蛇四种情况，其中向上的图案是鸡鹰的概率为.
6．(2019·淮安测试)集合A＝{2,3}，B＝{1,2,3}，从A，B中各任意取一个数，则这两个数之和等于4的概率是________．
答案
解析 集合A＝{2,3}，B＝{1,2,3}，从A，B中各任意取一个数有2×3＝6(种)，其两数之和为4的情况有两种：2＋2，1＋3，∴这两数之和等于4的概率P＝＝.
7．已知圆C：x2＋y2＝1，直线l：y＝k(x＋2)，在[－1,1]上随机选取一个数k，则事件“直线l与圆C相交”发生的概率为________．
答案
解析 圆心C到直线l：y＝k(x＋2)的距离为d＝<1，解得－8.独具特色的中国古建筑凝聚了历代工匠们的智慧，与其他艺术门类(如书法、水墨画等)不同的是，在中国古建筑体系中，突出运用了严谨的“数学方法”和精妙的“数学之美”．图中的图案是我国古代建筑中的一种装饰图案，形若钱币，寓意富贵吉祥，现向该圆形区域随机撒m(m∈N*)粒芝麻，则落在阴影区域(阴影部分由四条四分之一圆弧围成)的芝麻的粒数约为________．
答案 m
解析 设圆的半径为r，则S阴影＝πr2－2(πr2－r·r)＝4r2－πr2＝(4－π)r2，故向圆形区域随机撒m粒芝麻，落在阴影区域的芝麻的粒数约为m＝m.
题组三 合情推理与演绎推理
方法技巧 (1)归纳推理的思维步骤：发现共性，归纳猜想，结论验证．
(2)类比推理的思维步骤：观察比较，联想类推，猜测结论．
(3)新定义问题是演绎推理问题的重要形式，这类题目的解题思路：读懂新定义的含义，在领会新定义实质的基础上，将其应用在具体情境中进行演绎推理，得到新的结论．
9．(2019·徐州模拟)在平面几何中，△ABC的∠C内角平分线CE分AB所成线段的比AE∶EB＝AC∶BC(如图所示)，把这个结论类比到空间：在三棱锥A－BCD中(如图所示)，平面DEC平分二面角A－CD－B且与AB相交于点E，则得到的结论是________．
答案 ＝
解析 在△ABC中，作ED⊥AC于D，EF⊥BC于F，则ED＝EF，所以＝＝，根据面积类比体积，长度类比面积可得＝，即＝.
10．分别计算31＋51,32＋52,33＋53,34＋54, ,35＋55，…，并根据计算的结果，猜想32 019＋52 019的末位数字为________．
答案 2
解析 由31＋51＝8,32＋52＝34,33＋53＝152,34＋54＝706,35＋55＝3 368,36＋56＝16 354,37＋57＝80 312,38＋58＝397 186…，可猜想3n＋5n(n∈N*)的结果的末位数字呈8,4,2,6循环．
∵2 019＝504×4＋3，∴32 019＋52 019的末位数字为2.
11．现有五张相同的卡片，卡片上分别写有数字1,2,3,4,5，甲、乙两人分别从中各自随机抽取一张，然后根据自己手中卡片上的数字推测谁手中卡片上的数字更大．甲看了看自己手中卡片上的数字，想了想说：我不知道谁手中卡片上的数字更大；乙听了甲的判断后，看了看自己手中卡片上的数字，思索了一下说：我也不知道谁手中卡片上的数字更大．如果甲、乙所作出的推理都是正确的，那么乙手中卡片上的数字是________．
答案 3
解析 由题意得卡片上的5个数字是1,2,3,4,5.因为甲说，我不知道谁手中卡片上的数字更大，所以手中卡片上的数字只能为2,3,4.乙听了甲的判断后说，我也不知道谁手中卡片上的数字更大，说明他手中卡片上的数字不可能是2,4，只能是3.
12．如图，将平面直角坐标系的格点(横、纵坐标均为整数的点)按如下规则标上数字标签：原点处标0，点(1,0)处标1，点(1，－1)处标2，点(0，－1)处标3，点(－1，－1)处标4，点(－1,0)处标5，点(－1,1)处标6，点(0,1)处标7，以此类推，则标签2 0172的格点的坐标为________．
答案 (1 009,1 008)
解析 由图形规律可知，由0(记为第0圈)开始，
第n圈的正方形右上角标签为(2n＋1)2－1，坐标为(n，n)，
所以标签为2 0172的数字是标签为2 0172－1的右边一格，
标签为2 0172－1的坐标为(1 008,1 008)，
所以标签为2 0172的坐标为(1 009,1 008)．
1．为了解某团战士的体重情况，采用随机抽样的方法．将样本体重数据整理后，画出了如图所示的频率分布直方图．已知图中从左到右前三个小组频率之比为1∶2∶3，第二小组频数为12，则全团共抽取人数为________．
答案 48
解析 由题得频率分布直方图左边三组的频率和为1－5×(0.037 5＋0.012 5)＝0.75，
所以全团抽取的人数为12÷＝48.
易错提醒 本题考查总体分布的估计，易错点在于频率分布直方图意义的理解，各个小矩形的面积是对应各组的频率．
2．如图1是美丽的“勾股树”，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．图2是第1代“勾股树”，图3是第2代“勾股树”，依此类推．已知“勾股树”中最大的正方形面积为1，则第n(n∈N*)代“勾股树”中正方形的个数和所有正方形的面积和分别为________．
答案 2n＋1－1，n＋1
解析 第1代“勾股树”中正方形的个数为1＋2＝3，面积的和为2；
第2代“勾股树”中正方形的个数为1＋2＋22＝7，面积的和为3；
第3代“勾股树”中正方形的个数为1＋2＋22＋23＝15，面积的和为4；
……
第n代“勾股树”中正方形的个数为1＋2＋22＋23＋…＋2n＝2n＋1－1，面积的和为n＋1.
易错提醒 本题是归纳推理中的图形推理问题．求解此类问题易错的地方是弄不清题意，不能根据图形信息作出合理迁移，从而找不到变化规律，解决问题的关键是合理利用图形的数量关系、结构变化，通过归纳推理得出结论，并用赋值法检验．
1．(2019·如皋调研)某中学高中部有三个年级，其中高一年级有学生400人，采用分层抽样法抽取一个容量为45的样本，高二年级抽取15人，高三年级抽取10人，那么高中部的学生人数为________．
答案 900
解析 因为抽取样本容量为45，且高二年级抽取15人，高三年级抽取10人，那么高一年级抽取45－15－10＝20人，设高中部学生人数为n，则＝，得n＝＝900(人)．
2．从向阳小区抽取100户居民进行月用电量调查，为制定阶梯电价提供数据，发现其用电量都在50到350度之间，制作频率分布直方图的工作人员粗心大意，位置t处未标明数据，你认为t＝________.
答案 0.004 4
解析 由题意得，50×(0.006＋t＋0.003 6＋0.002 4×2＋0.001 2)＝1，解得t＝0.004 4.
3.(2019·全国大联考江苏卷)如图，半径为r的圆O内有一内接正六边形ABCDEF，正六边形中的黑色部分和白色部分关于圆的圆心O成中心对称，在圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为________．
答案
解析 依题意，圆的面积为S＝πr2，由对称性知阴影部分的面积为S1＝3S正△OAB＝r2，故此点取自阴影部分的概率是P＝＝.
4．(2019·江苏)从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是________．
答案
解析 记3名男同学为A，B，C,2名女同学为a，b，则从中任选2名同学的情况有(A，B)，(A，C)，(A，a)，(A，b)，(B，C)，(B，a)，(B，b)，(C，a)，(C，b)，(a，b)，共10种，其中至少有1名女同学的情况有(A，a)，(A，b)，(B，a)，(B，b)，(C，a)，(C，b)，(a，b)，共7种，故所求概率为.
5．给出下面四个类比结论：
①实数a，b，若ab＝0，则a＝0或b＝0；类比复数z1，z2，若z1·z2＝0，则z1＝0或z2＝0；
②实数a，b，若ab＝0，则a＝0或b＝0；类比向量a，b，若a·b＝0，则a＝0或b＝0；
③实数a，b，若a2＋b2＝0，则a＝b＝0；类比复数z1，z2，有z＋z＝0，则z1＝z2＝0；
④实数a，b，若a2＋b2＝0，则a＝b＝0；类比向量a，b，若a2＋b2＝0，则a＝b＝0.
其中类比结论正确的个数是________．
答案 2
解析 ①显然正确；②中若a⊥b，
则a·b＝0，∴②错误；
③中取z1＝1，z2＝i，
则z＋z＝0，∴③错误；
④中a2＝|a|2，b2＝|b|2，
若a2＋b2＝0，
则|a|＝|b|＝0，
∴a＝b＝0，∴④正确．
综上，正确结论的个数是2.
6．(2019·江苏省扬州仪征中学考试)如图，在圆内画1条线段，将圆分成2部分；画2条相交线段，将圆分割成4部分；画3条线段，将圆最多分割成7部分；画4条线段，将圆最多分割成11部分，则在圆内画n条线段，将圆最多分割成________部分．
答案 1＋
解析 设n条线段将圆最多分成的部分数组成数列{an}，
则n＝1，a1＝1＋1，n＝2，a2＝a1＋2，
n＝3，a3＝a2＋3，n＝4，a4＝a3＋4，…，
归纳可得，an＝an－1＋n，n≥2，
以上式子相加整理得，
an＝1＋1＋2＋3＋…＋n＝1＋，n≥2.
当n＝1时，a1＝2也满足上式，
所以an＝1＋，n∈N*.
